数学解题中的几种常见错误

数学解题中的几种常见错误
数学解题中的几种常见错误

数学解题中的几种常见错误

江苏省上冈高级中学 丁素华

在学习过程中,每个学生都会或多或少地犯一些错误,有的学生会认真地总结经验教训,确保以后不再犯同样的错误,有的学生则不善于总结,以至于一错再错,最终导致考场失利,每次月考结束后,总会有许多遗憾,某个选择题不该错,某个计算题粗心把结果算错,某道题忽略了一个已知条件,如此种种,举不胜举,为帮助同学们纠正常犯的解题错误,本文详细分析这些常见错误,并有针对性的给出纠正的办法: 1、粗心之错

这里所说的“粗心”,指的是一些莫名其妙,会而不对的错误,如计算60-15=55等等。 例1、已知),()

21(6622106

R x x a x a x a a x ∈++++=-

则|1a |+|2a |+……+|6a |的值为:

错解:因|1a |,|2a |,……,|6a |都是正值,故只需令1-=x ,即可得和为72936

=。

错因:粗心把0a 忘掉减去。

正解:令1-=x 可得,|1a |+|2a |+……+|6a |=72813

6

=-

例2、若函数)12(-=x f y 是偶函数,则函数)12(+=x f y 的图像的对称轴是 。

A 、1-=x

B 、0=x

C 、21

=

x D 、C 、2

1-

=x 错解:可用特殊函数法,设2)1()(+==x x f y ,则24)12(x x f y =-=是偶函数,

2)12(4)12(+=+=x x f y 。 ∴ )12(+=x f y 的对称轴为2

1

-=x ,选D 。

错因:也是粗心所致,你怎么能把12+x 代入2

4x 中呢?

正解:抽象函数问题可采用特殊函数法:设:2)1()(+==x x f y ,则2

4)12(x x f y =-=是偶函数。

∴ 2

2)1(4)12(12(+=++=+=x x x f y 对称轴为1-=x ,选A 。

纠错方法:要纠正粗心的错误,唯有培养认真的习惯。 2、理解错误

理解错误主要指学生对概念的理解不全面,甚至错误,如对定义域为R 与值域为R 的理解混淆,造成张冠李戴的错误,对函数的定义域与函数有意义的理解模糊,造成合而为一的错误的现象等。

例3、已知函数)(log 2

2a ax x y --=的值域为R ,则实数a 的取值范围为: 。

错解:令a ax x x f --=2)(,则0)(),(log 2 x f x y =恒成立,所以应有042

a a +=?,

解得04 a -。即a 的取值范围为(—4,0)。

错因分析:以上错解的错误原因在于没有准确地理解函数)(log 22a ax x y --=的值域为

R 的意义。根据对数函数的图像和性质可知,当且仅当a ax x x f --=2)(的值能取遍一切

正实数时,

函数)(log 2

2a ax x y --=的值域才是R ,而 当0 ?时,由图可知,0)( x f 恒成立, 这只能说明函数)(log 22a ax x y --=的定义 域为R ,而不能保证)(x f 可以取遍一切正数, 要使)(x f 可以取遍一切正数,结合二次函数 的图象可知,)(x f 的图象应与x 轴有交点才 能满足。

正解:要使a ax x x f --=2)(的值能取遍一切正实数,应有042

≥+=?a a 。解得0

≥a 或4-≤a ,即a 的取值范围为 [][]+∞?-∞-,04,。 3、忽略之错

这种错误主要表现在解题中忽略隐含条件,忽视特殊情况而导致的错误。

例4、已知=)(x f ???≥+-1,log 1

,4)13(x x x a x x a

,是)(∞+-∞上的,减函数,那么a 的取值范

围是多少?

错解:由已知可得???-1

0013( a a ,解得310 a ,即a 的取值范围为)31

,0(∈a 。

错因:忽略题中的隐含条件,1 x 时函数的最小值应比1≥x 时的函数最大值还大。

正解:由题意可知:

??

?

?

?≥+--0

413100

13(a a a a 解之得:31253 a ≤。 这类问题要特别注意隐含条件。

例5、若向量)2,3(),2,(x b x x a -==,且b a ,的夹角为钝角,则x 的取值范围是什么?

错解:因b a ,的夹角为钝角,于是可以得到0 b a ?,所以0432

x x b a +-=?,故0

x 或4

3

x 。 错因:忽视了0 b a ?,不是b a ,夹角为钝角的充要条件,因为b a ,的夹角为180°时也有

x

)(x f

0 b a ?,从而扩大了x 的范围,导致错误。

正解:因b a ,的夹角是钝角,故0432

x x b a +=?,解得0 x 或3

4

x ………① 又由b a ,共线且反向可得31

-=x ……② 由①、②可得x 的范围是),3

4

()0,31()31,(+∞?-?--∞。

4、思维定式错误

所谓思维定式就是人们通过训练,形成的思维习惯,如错误地将等式的性质类比到不等式中,造成习惯性的错解现象,如对分式不等式,习惯上不考虑分母的符号,直接将分式不等式化为整式不等式。 例6、不等式11

x

的解集为: 错解:

11

x

x 1,即1 x 。∴ x 的的范围为(1,∞-)。 错因:受解分式方程的影响,去分母而导致错误。 正解:不等式

11

x

的解集为)1,0(。 纠错方法:克服思维定式,必须要从基础知识抓起,区分易混淆的式子。 5、重复或遗漏之错

这类错误通常发生在排列、组合、概率问题之中,因考虑不周,导致重复或遗漏。 例7、从5双不同的鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只鞋子配成一双的取法有 种。 错解:从5双鞋子中任取一双有15C 种取法,第二步,从余下的8只中任取两只有2

8C 种取

法,由分步计数原理可知,一共有15C ·2

8C =140种符合条件的取法。

错因:第一步的15C 种取法中,若取到21,a a 这一双鞋,第二步的2

8C 种取法中,取到2

1,b b 另一双鞋;这种取法与第一步的15C 种取法中取21,b b ,第二步2

8C 种取法到21,a a 实际上是同一种取法,在上述解法中视为了不同的取法,因此产生了重复现象。 正解:至少有2只成双有两种可能。

恰有一双:120212415=C C C 种;恰成二双:102

5=C 种,∴共有130种取法。 纠错方法:避免重复或遗漏现象的方法就是分类或分步中一定要细心,认真领会排列组合的原理。

6、以偏概全之错

这类错误常发生在数列、圆锥曲线等问题中。

例8、设数列的前n 项和为*)(422

N n n n S n ∈++=,则这个数列的通项公式

为: 。 错解:因为1--=n n n S S a ,所以

*)(12N n n a n ∈+=。

错因:此题错在没有分析1=n 的情况,以偏概全,误认为任何情况下都有

*)(1N n S S a n n n ∈-=-。

正解:1=n 时,2,711≥==n s a 时,121+=-=-n S S a n n n 。

∴ ?

??≥+==)2(,121

,7n n n a n

纠错方法:要克服这类错误,主要解决好特殊与一般的关系,有无前提条件等。

错误并不可怕,可怕的是忽视错误,也许你的错误还不止以上所说的六种,但没关系,只要我们认真吸取自己或他人的教训,一定能开辟出自己的成功之路。

初中数学竞赛常用解题方法(代数)

初中数学竞赛常用解题方法(代数) 一、 配方法 例1练习:若2 ()4()()0x z x y y z ----=,试求x+z 与y 的关系。 二、 非负数法 例21 ()2 x y z =++. 三、 构造法 (1)构造多项式 例3、三个整数a 、b 、c 的和是6 的倍数.,那么它们的立方和被6除,得到的余数是( ) (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 不确定的 (2)构造有理化因式 例4、 已知(2002x y =. 则2 2 346658x xy y x y ----+=___ ___。 (3)构造对偶式 例5、 已知αβ、是方程2 10x x --= 的两根,则4 3αβ+的值是___ ___。 (4)构造递推式 例6、 实数a 、b 、x 、y 满足3ax by +=,2 2 7ax by +=,3 3 16ax by +=,4 4 42ax by +=.求5 5 ax by +的值___ ___。 (5)构造几何图形 例7、(构造对称图形)已知a 、b 是正数,且a + b = 2. 求u =___ ___。 练习:(构造矩形)若a ,b 形的三条边的长,那么这个三角形的面积等于___________。 四、 合成法 例8、若12345,,,x x x x x 和满足方程组

123451234512345123451234520212 224248296 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=++++=++++=++++=++++= 确定4532x x +的值。 五、 比较法(差值比较法、比值比较法、恒等比较法) 例9、71427和19的积被7除,余数是几? 练习:设0a b c >>>,求证:222a b c b c c a a b a b c a b c +++>. 六、 因式分解法(提取公因式法、公式法、十字相乘法) 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ 1221()(...)n n n n n n a b a b a a b ab b ----+=+-+-+ 例10、设n 是整数,证明数3 231 22 M n n n =++为整数,且它是3的倍数。 练习:证明993 991993 991+能被1984整除。 七、 换元法(用新的变量代换原来的变量) 例11、解方程2 9(87)(43)(1)2 x x x +++= 练习:解方程 11 (1) 11 (1x) x =. 八、 过度参数法(常用于列方程解应用题) 例12、一商人进货价便宜8%,售价保持不变,那么他的利润(按进货价而定)可由目前的 %x 增加到(10)%x +,x 等于多少? 九、 判别式法(24b ac ?=-判定一元二次方程20ax bx c ++=的根的性质) 例13、求使2224 33 x x A x x -+=-+为整数的一切实数x. 练习:已知,,x y z 是实数,且 2 2 2 212 x y z a x y z a ++=++=

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2.[选修模块3-5]如图所示,玻璃砖的折射率2 3 n = ,一细光束从玻璃砖左端以入射角i 射入,光线进入玻璃砖后在上表面恰好发生全反射.求光速在玻璃砖中传播的速度v 及入射角i .(已知光在真空中传播速度c =3.0×108 m/s ,计算结果可用三角函数表示). 【答案】83310/v m s =?;3 sin i = 【解析】 【分析】 【详解】 根据c n v = ,83310/v m s =? 全反射条件1 sin C n =,解得C=600,r =300, 根据sin sin i n r = ,3 sin 3 i = 3.质量为M 的木楔倾角为θ (θ < 45°),在水平面上保持静止,当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时,它正好匀速下滑.当用与木楔斜面成α角的力F 拉木块,木块匀速上升,如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止). (1)当α=θ时,拉力F 有最小值,求此最小值; (2)求在(1)的情况下木楔对水平面的摩擦力是多少? 【答案】(1)min sin 2F mg θ= (2)1 sin 42 mg θ 【解析】 【分析】 (1)对物块进行受力分析,根据共点力的平衡,利用正交分解,在沿斜面和垂直斜面两方向列方程,进行求解. (2)采用整体法,对整体受力分析,根据共点力的平衡,利用正交分解,分解为水平和竖直两方向列方程,进行求解. 【详解】 木块在木楔斜面上匀速向下运动时,有mgsin mgcos θμθ=,即tan μθ= (1)木块在力F 的作用下沿斜面向上匀速运动,则:

高中数学教学案例反思精选4篇

高中数学教学案例反思精选4篇 篇一:高中数学教学反思案例 高中数学教学反思案例 在新课程背景下,如何有效利用课堂教学时间,如何尽可能地提高学生的学习兴趣,提高学生在课堂上45分钟的学习效率,首先要对新课标和新教材有整体的把握和认识,这样才能将知识系统化。注意知识前后的联系,形成知识框架,其次要了解学生的现状和认知结构,了解学生此阶段的知识水平,以便因材施教,再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系,课堂教学是实施高中新课程教学的主阵地,也是对学生进行思想品德教育和素质教育的主渠道,课堂教学不但要加强双基而且要提高智力,要发展学生的创造力。不但要让学生学会,而且要让学生会学,特别是自学,尤其是在课堂上,不但要发展学生的智力因素,而且要提高学生在课堂45分钟的学习效率,在有限的时间里,出色地完成教学任务,不能穿新鞋走老路。 1.要有明确的教学目标教学目标分为三大目标,即认知目标、情感目标和动作技能目标。因此,在备课时要围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体,把内容进行必要的重组。备课时要依据教材,但又不拘泥于教材,灵活运用教材。在数学教学中,要通过师生的共同努力,使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标,以提高学生的综合素质。 2.要能突出重点、化解难点每一堂课都要有教学重点,而整堂

的教学都是围绕着教学重点来逐步展开的。为了让学生明确本堂课的重点、难点,教师在上课开始时,可以在黑板的一角将这些内容简短地写出来,以便引起学生的重视。讲授重点内容,是整堂课的教学高潮。教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具,刺激学生的大脑,使学生能够兴奋起来,适当地还可以插入与此类知识有关的笑话,对所学内容在大脑中刻下强烈的印象,激发学生的学习兴趣,提高学生对新知识的接受能力。尤其是在选择例题时,例题最好是呈阶梯式展现,我在准备一堂课时,通常是将一节或一章的题目先做完,再针对本节的知识内容选择相关题目,往往每节课都涉及好几种题型。 3.要善于应用现代化教学手段 在新课标和新教材的背景下,教师掌握现代化的多媒体教学手段显得尤为重要和迫切,现代化教学手段的显著特点一是能有效地增大每一堂课的课容量,从而把原来45分钟的内容在35分钟中就加以解决,二是减轻教师板书的工作量,使教师能有精力讲深讲透所举例子,提高讲解效率,三是直观性强,容易激发起学生的学习兴趣。有利于提高学生的学习主动性,四是有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结,在课堂教学结束时,教师引导学生总结本堂课的内容,学习的重点和难点,同时通过投影仪,同步地将内容在瞬间跃然幕上,使学生进一步理解和掌握本堂课的内容,在课堂教学中。对于板演量大的内容,如立体几何中的一些几何图形、一些简单但数量较多的小问答题、文字量较多应用题,复习课中章节内容的总结、选择题的训练等

高中数学竞赛解题方法篇(不等式)

高中数学竞赛中不等式的解法 摘要:本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式,平均值不等式,柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程,并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位,由于其证明的困难性和方法的多样性,而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中,常常要用到几个著名的代数不等式:排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1.排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤,则有 1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++(乱序积和) 1122 ...n n a b a b a b ≤+++(顺序积和) 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列,等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立.

(说明: 本不等式称排序不等式,俗称倒序积和乱序积和顺序积和.) 证明:考察右边不等式,并记1 2 12...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式 1 2 12...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义:当121,2,...,n r r r n ===时,S 达到 最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此,首先证明n a 必须和n b 搭配,才能使S 达到最大值.也即,设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ (1-1) 事实上, ()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥ 不等式(1-1)告诉我们当n r n <时,调换n b 和n r b 的位置(其余n-2项不 变),会使和S 增加.同理,调整好n a 和n b 后,再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后,和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++,这就证明了 1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端, 得 1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++

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4 OAF △中 π 4 AOF AFO ∠=∠= π cos 4 R OF= GF D OF =- 得 1m GF= FGE △中 π 4 GFE GEF ∠=∠= d GE GF == 得 1m d= 2.如图所示,在x≤0的区域内存在方向竖直向上、电场强度大小为E的匀强电场,在x>0的区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场。现一带正电的粒子从x轴上坐标为(-2l,0)的A点以速度v0沿x轴正方向进入电场,从y轴上坐标为(0,l)的B点进入磁场,带电粒子在x>0的区域内运动一段圆弧后,从y轴上的C点(未画出)离开磁场。已知磁场的磁感应强度大小为,不计带电粒子的重力。求: (1)带电粒子的比荷; (2)C点的坐标。 【答案】(1) 2 2 v q m lE =;(2)(0,-3t) 【解析】 【详解】 (1)带电粒子在电场中做类平抛运动,x轴方向 2l v t = y轴方向

2017年高三物理总复习(专题攻略)之数学方法在物理学中的应用及高考题型答题技巧 数学方法在物理

数学方法在物理学中的应用(一) 物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数学问题,然后经过求解再次还原为物理结论的过程。复习中应加强基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用,对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数方程等数学方法的应用。在解决力学问题时,要注意极值法、微元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。 一、极值法 数学中求极值的方法很多,物理极值问题中常用的极值法有:三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。 1.利用三角函数求极值 y =acos θ+bsin θ = ( + ) 令sin φ=,cos φ= 则有:y = (sin φcos θ+cos φsin θ)= sin (φ+θ) 所以当φ+θ=π2 时,y 有最大值,且y max =。 【典例1】在倾角θ=30°的斜面上,放置一个重量为200 N 的物体,物体与斜面间的动摩擦因数为μ=3 3,要使物体沿斜面匀速向上移动,所加的力至少要多大?方向如何?

解得:F =α μαθμθsin cos cos (sin ++mg 因为θ已知,故分子为定值,分母是变量为α的三角函数 y=cos + = ( cos + sin ) = (sin cos + cos sin ) = sin(+ ) 其中 sin = ,cos =,即 tan = 。 当+ = 90 时,即 = 90 - 时,y 取最大值 。 F 最小值为 ,由于 = ,即 tan = ,所以 = 60。 带入数据得 F min = 100 N,此时 = 30 。 【答案】 100 N 与斜面夹角为30 【名师点睛】 根据对物体的受力情况分析,然后根据物理规律写出相关物理量的方程,解出所求量的表达式,进而结合三角函数的公式求极值,这是利用三角函数求极值的常用方法,这也是数学中方程思想和函数思想在物理解题中的重要应用。 2.利用二次函数求极值 二次函数:y =ax 2+bx +c =a (x 2 +b a x +b 24a 2)+c -b 24a =a (x +b 2a )2+4ac -b 24a (其中a 、b 、c 为实常数),

高中数学解题反思能力的培养

高中数学解题反思能力 的培养 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

高中数学解题反思能力的培养 培养学生对解题过程的反思,是提高学生解题元认知水平的需要、是加深学生对数学知识的理解、是对数学方法运用的有效途径、是促进学生对解决问题由感性上升为理性的质变。 数学反思能力 培养学生对解题过程的反思,是提高学生解题元认知水平的需要、是加深学生对数学知识的理解、是对数学方法运用的有效途径、是促进学生对解决问题由感性上升为理性的质变。那么,如何培养高中升数学解题的反思能力呢 一、高中数学解题反思能力培养的积极意义 (一)积极反思,查缺补漏,确保解题的合理性和正确性 解数学题,有时由于审题不确,概念不清,忽视条件,套用相近知识,考虑不周或计算出错,难免产生这样或那样的错误,即学生解数学题,不能保证一次性正确和完善。所以解题后,必须对解题过程进行回顾和评价,对结论的正确性和合理性进行验证。可是一些同学把完成作业当成是赶任务,解完题目万事大吉,头也不回,扬长而去。这种错误思想和做法,像蛀虫一样严重蛀蚀着学生的思维品质,影响学生解题能力的提高。由此可见,解题反思的积极意义及其重要性,必须引起师生在教学中的足够重视。 (二)积极反思,探求一题多解和多题一解,提高综合解题能力

数学知识有机联系纵横交错,解题思路灵活多变,解题方法途径繁多,但最终却能殊途同归。即使一次性解题合理正确,也未必能保证一次性解题就是最佳思路,最优最简捷的解法。不能解完题就此罢手,如释重负。应该进一步反思,探求一题多解,多题一解的问题,开拓思路,勾通知识,掌握规律,权衡解法优劣,在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结,使自己的解题能力更胜一筹。 (三)积极反思、系统小结,使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化,在解题中应用自如,有的放矢。 不少同学做题,易犯就事论事,就题论题,"铁路巡警,各管一段"的毛病,掌握的知识支离破碎,脑海一片空白。如果进行解题后反思,对重要数学方法、公式、定理仿上依法炮制,长此下去,肯定对新学知识的内在联系脉络清楚,运用规律了如指掌,解起题来得心应手,解题能力大有提高。 二、高中数学解题反思能力的培养策略 1、加强学生学习的主动性 学生解题反思能力的提高,还需要学生自己加强学习的主动性和积极性。学生学习的主动性是整个解题反思过程的核心,也是提高学生解题反思过程效果和质量的关键。然而在现实的教学过程中,由于受教师的观念、教学方法和教材内容呈现方式等多方面的影响,学生普遍对数学学习的兴趣普遍偏低,认为数学知识内容是枯燥、乏味的,从而造成他们对学习数学的主动性不

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高中物理中数学知识的应用

如图讨论绳子变长时,绳子的拉力和墙面的支持力如何变化?解析法: θ cos 2G F =如果绳子变长,θ角减小,θcos 变大,F 2减小;θtan 1 G F =,θ角减小,θtan 减小,F 1减小。此题图解法较容易在此省略。在力(速度、加速度)的合成与分解问 题中正弦、余弦、正切函数知识用的很多。 (2)正弦定理应用实例: 如图所示一挡板和一斜面夹住一球,挡板饶底端逆时针旋转直到水平,讨论挡板和斜面对球的弹力如何变化?此题图解法较容易在此省略。

解析法:βθαsin sin sin 12F F G == α θ sin sin 2G F = 因为θ不变α从锐角变成90 大再变小,所以F 2先变小后变大; () ()θβθβθβ βθβαβοcos cot sin sin sin 180sin sin sin sin 1-= =+= --== G G G G F β角从钝角变为零的过程中,βcot 一直变大,所以F 1一直变小。 (用到了正弦定理、诱导公式、两角和的正弦函数这种解法理论性较强。 ) (3)化θθcos sin b a +为一个角的正弦应用实例 如图所示物体匀速前进时,当拉力与水平方向夹角为多少度时最省力?动摩擦因数设为μ。 解答:匀速运动合力为零()θμθsin cos F G F -= ()() θβμμθβθβμμθμμθμμμθ μθμ++= ++= ??? ? ??++++= += sin 1sin cos cos sin 1sin 1cos 111sin cos 22222G G G G F 所以当θβ+为直角时F 最小,也就是当1 1 arcsin 2 2 2 +-= -= μπ βπ θ时F 最小。 5.组合应用实例 如图所示一群处于第四能级的原子,能发出几种频率的光子?这个还可以用一个一个查数的办法解决,如果是从第五能级开始向低能级跃迁问可以发出几种频率的光子就很难一个一个地数了。 利用组合知识很容易解决,处于第四能级有623 42 4=?==! C N 种 处于第五能级有10! 24 5!3!2!52 5=?=?= =C N 种 6.平面几何(1)三角形相似应用实例 例题1:如图所示当小球沿着光滑圆柱缓慢上升时,讨论绳子的拉力 和支持力如何变化? 由三角形相似可得 l T h G R N ==可以N 不变T 减小。 例题2:(2013新课标)水平桌面上有两个玩具车A 和B ,两者用一轻质 橡皮筋相连,在橡皮绳上有一红色标记R 。在初始时橡皮筋处于拉直状态,A 、B 和R 分别位于直角坐标系中的(0,l 2),(0,l -)和(0,0)点。已 知A 从静止开始沿y 轴正向做加速度大小为a 的匀加速运动:B 平行于x 轴朝x 轴正向匀速运动。两车此

物理解题常用的方法和技巧

物理解题常用的方法和技巧 1、正交分解法 在两个互相垂直的方向上,研究物体所受外力的大小及其对运动的影响,既好操作,又便于计算。 2、画图辅助分析问题的方法 分析物体的运动时,养成画v-t图和空间几何关系图的.习惯,有助于对问题进行全面而深刻的分析。 3、平均速度法 处理物体运动的问题时,借助平均速度公式,可以降二次方程为一次方程,以简化运算,极大提高运算速度和准确率。 4、巧用牛顿第二定律 牛顿第二定律是高中阶段最重要、最基本的规律,是高考中永恒不变的热点,至少应做到在以下三种情况中的熟练应用:重力场中竖直平面内光滑轨道内侧最高点临界条件,地球卫星匀速圆周运动的条件,带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的条件。 5、回避电荷正负的方法 在电场中,电荷的正负很容易导致考生判断失误,在下列情景中可设法回避:比较两点电势高低时,无论场源电荷的正负,只需记住“沿电场线方向电势降低”;比较两点电势能多少时,无论检验电荷的正负,只需记住“电场力做正功电势能减少”。 6、“大内小外”

在电学实验中,选择电流表的内外接,待测电阻比电流表内阻大很多时,电流表内接;待测电阻比电压表内阻小很多时,电流表外接。 7、针对选择题常用的方法 ①特殊值验证法:对有一定取值范围的问题,选取几个特殊值进行讨论,由此推断可能的情况以做出选择。 ②选项代入或选项比较的方法:充分利用给定的选项,做出选择。 ③半定量的方法:做选择题尽量不进行大量的推导和运算,但是写出有关公式再进行分析,是避免因主观臆断而出现错误的不二法门,因此做选择题写出物理公式也是必不可少的。 二.物理基本性质 物理学是人们对自然界中物质的运动和转变的知识做出规律性的总结,这种运动和转变应有两种。一是早期人们通过感官视觉的延伸;二是近代人们通过发明创造供观察测量用的科学仪器,实验得出的结果,间接认识物质内部组成建立在的基础上。物理学从研究角度及观点不同,可大致分为微观与宏观两部分:宏观物理学不分析微粒群中的单个作用效果而直接考虑整体效果,是最早期就已经出现的;微观物理学的诞生,起源于宏观物理学无法很好地解释黑体辐射、光电效应、原子光谱等新的实验现象。它是宏观物理学的一个修正,并随着实验技术与理论物理的发展而逐渐完善。

物理中常用的数学特殊方法

专题2 物理中常用的数学特殊方法 考点1. 利用数学方法求极值 1.利用三角函数求极值 (1)二倍角公式法:如果所求物理量的表达式可以化成y=A sin θcos θ,则根据二倍角公式,有y=A 2 sin 2θ,当θ=45°时,y 有最大值,y max =A 2 。 (2)辅助角公式法:如果所求物理量的表达式为y=a sin θ+b cos θ,通过辅助角公式转化为y=√a 2+b 2sin (θ+φ),当 θ+φ=90°时,y 有最大值y max =√a 2+b 2。 2.利用二次函数求极值 二次函数y=ax 2 +bx+c (a 、b 、c 为常数,且a ≠0),当 x=-b 2a 时,y 有极值 y m =4ac -b 2 4a (a>0时,y m 为极小值;a<0时,y m 为极大值)。 3.利用均值不等式求极值 对于两个大于零的变量a 、b ,若其和a+b 为一定值,则当a=b 时,其积ab 有极大值;若其积ab 为一定值,则当a=b 时,其和 a+b 有极小值。 1.(2019年衡水二调)(多选)如图甲所示,位于同一水平面上的两根平行导电导轨,放置在斜向左上方、与水平面成60°角足够大的匀强磁场中,现给出这一装置的侧视图,一根通有恒定电流的金属棒正在导轨上向右做匀速运动,在匀强磁场沿顺时针缓慢转过30°的过程中,金属棒始终保持匀速运动,则磁感应强度B 的大小变化可能是( )。 A .始终变大 B .始终变小 C .先变大后变小 D .先变小后变大 2.一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜,观测到了一组双星系统,它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动,如图所示。此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质,达到质量转移的目的,假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变,则在最初演变的过程中( )。 A .它们做圆周运动的万有引力保持不变 B .它们做圆周运动的角速度不断变大 C .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度也变大 D .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度变小 3.(2019年湖北省宜昌市高三模拟)(多选)如图所示,斜面底端上方高h 处有一小球以水平初速度v 0抛出, 恰好垂直打在斜面上,斜面的倾角为30°,重力加速度为g ,下列说法正确的是( )。 A .小球打到斜面上的时间为 √3v 0 g B .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0成正比 C .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0的平方成正比 D .若高度h 一定,现小球以不同的初速度v 0平抛,落到斜面上的速度最小值为√(√21-3)gh 考点2.函数图象及应用 图象问题是高考命题的高频考点,年年皆有。不管怎么考,我们只要深刻理解图象中的基本要素便可应对,具体为图 象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”等。 图象 函数形式 特例及物理意义 y=c 匀速直线运动的v-t 图象。“面积”表示位移 y=kx ①匀速直线运动的x-t 图象。斜率表示速度 ②初速度v 0=0的匀加速直线运动的v-t 图象。斜率表示加速度,“面积”表示位移

高一数学教学反思

高一数学下学期教学工作总结 不知不觉一年已过去,这一年我担任着高一(3)班的数学老师.这一里我通过对教学的实践,以及对学生学情的掌握,我逐步适应了这个层次学生的接受能力,学生也慢慢适应了我的这种教学模式。这是对我的一个检验,也使得我对教学有了更深层次的认识,为以后的教学做更充足的准备。以下是我在教学过程中的一些认识和感想: 一、根据学生学情教学 在教学中,我常常把自己学生时代学习数学的经历作为选择教学方法的一个重要参照,我们每一个人都做过学生,我们每一个人都学过数学,在学习过程中所品尝过的喜怒哀乐的经历对我们今天的学生仍有一定的启迪。 但是,在开始的上课过程中,我常常看到学生茫然的眼神,以及一声声的“老师,我听不懂!”让我的内心觉得非常的不安:我是不是讲的太难了?表达的不够清楚?回头想想,发现自己是以以前自身作为学生的情况来考虑教学,并没有更多的考虑现在学生的情况。这时候就应该站在学生的角度,从学生的观点出发,参考并制定适合他们的教学方法,而不能以我们的经验去参考学生.每个学生的情况都未必相同,理应先考虑大多数学生的学习情况,然后可以适当的进行针对性的备课与教学。 二、备课小组组内交流探讨 这一年来通过与同事和学生代表交流,一致认为不应该急于求成赶进度,应该将学生的基础夯实,并将初中的部分相关知识点融入到课堂教学中。 通过对教学过程的探讨与交流,我们高一备课组成员达成对“精讲多练”以及“边讲边练”的共识,上课一般先花5分钟先让学生大概熟悉教材,然后讲一知识点练几道练习,最后练几道综合性的练习,发现学生还是蛮喜欢这种教学方式的。在之后的教学过程中,力争做到精讲多练,更好地提高课堂教学的有效性。 三、认真听取学生对数学课的意见和建议 由于在课堂教学过程中,我经常把他们对数学课的感受以及意见和建议都写在纸条上交上来(无记名方式),或者经常找学生聊聊学习数学感受。我在阅读他们的意见和建议的过程中,发现了许多自身的不足和学生的基本情况: 1、讲多练少。这一点在之后的教学过程中已经逐步改善。 2、课堂例题应以课本为主,出题要有针对性,还要从易到难逐步递进。 3、题目讲解、分析要清晰明了,步骤要分明。这方面在听取多位老教师讲课后,大为改观,尤为体现在作业完成情况上,解题格式明显清晰许多。

《高等数学》知识在物理学中的应用举例

《高等数学》知识在物理学中的应用举例 一 导数与微分的应用 分析 利用导数与微分的概念与运算,可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时,应结合问题的物理意义,明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上,灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。 例 1 如图,曲柄,r OA =以均匀角速度ω饶定点O 转动.此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线Ox 运动.求连杆上C 点的轨道方程及速度.设,a CB AC == ,?=∠AOB .ψ=∠ABO y 解 1) 如图,点C 的坐标为: ψ?cos cos a r x +=, (1) .sin ψa y = (2) 由三角形的正弦定理,有 ,sin 2sin ? ψa r = o x 故得 .2sin 2sin r y r a == ψ? (3) 由(1)得 r y a x r a x 2 2cos cos --= -=ψ? (4) 由,1cos sin )4()3(2222=+=+??得 ,12422 222222=---++r y a x y a x r y 化简整理,得C 点的轨道方程为: .)3()(422222222r a y x y a x -++=- 2) 要求C 点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得 ,sin cos 2cos sin ψψ?ω?ωr r x --=' ,2 cos ? ωr y =' 其中.?ω'=

又因为,sin 2sin ψ?a r = 对该式两边分别求导,得 .cos 2cos ψ ? ωψa r = ' 所以C 点的速度 2 2 y x V '+'=4 cos )sin cos 2cos sin (2222 ?ωψψ?ω?ωr r r + --= .)sin(cos sin 4cos cos 22ψ?ψ??ψ ω ++= r 例2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为),2sin 1(T t c a π-=式中c 及 T 为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程. 解: 由题设及加速度的微分形式dt dv a = ,有 ,)2sin 1(dt T t c dv π-= 对等式两边同时积分 ? ?-=v t dt T t c dv 0 ,)2sin 1(π 得: ,2cos 2D T t T c ct v ++=ππ 其中D 为常数. 由初始条件:,0,0==t v 得,2c T D π - =于是 )].12(cos 2[-+ =T t T t c v ππ 又因为,dt ds v = 得 ,)]12(cos 2[dt T t T t c ds -+ =ππ 对等式两边同时积分,可得: )].2sin 2(221[2t T t T T t c s -+=πππ

小学数学竞赛一几种解题方法

一几种解题方法 1.28分。提示:按从多到少顺序枚举。如果小军是两个1角硬币,那么小红的三枚硬币不可能是18分;当小军是一个1角一个5分时,小红是一个1角,一个2分,一个1分。 2.5种。 3.495。解:因为93>700,所以只有下面三种可能: 13+33+53=153 13+33+73=371, 33+53+73=495,其中只有495是11的倍数。 4.286。解:此数是13的偶数倍,必能被26整除。由260依次往小试验,260-26=234,234-26=208,都不符合题意。再由260往大试验,260+26=286符合题意。 5.15。解:1与不小于4的任何自然数都不满足题意,所以四个数中没有1。取2,3,4,a,前三个数满足条件,a=5不满足条件,a=6满足条件。所求数为2+3+4+6=15。 6.8种。解:将四个瓶子依次记为A,B,C,D,将四张标签依次记为a,b,c,d。假设A贴对了,其余的都贴错了,有两种情况: ①Aa,Bc,Cd,Db;②Aa,Bd,Cb,Dc。 同理B,C,D贴对了,其余的都贴错了,也各有两种情况。共8种。 7.10种。提示:有0,0,3;0,1,2;0,2,1;0,3,0;1,0,2;1,1,1;1,2,0;2,0,1;2,1,0;3,0,0十种方法。 8.7。解:不拆盒可买的节数有3,5,8,9,10,…因为超过10的数都可以由8,9,10中的某个数加3的倍数形成,而8,9,10都可以不拆盒,所以买7节以上(不含7)都不必拆盒。 9.11。提示:与第8题类似。 10.18支、10支、6支、4支。提示:因为总的铅笔数不多,故可依次假设丁有2支、3支、4支……铅笔。 11.21个。 提示:乙的红球、白球都是偶数。因为甲的红球数是乙的白球数的2倍,并且不超过10,所以乙的白球数只能是2或4。

高中物理数学物理法(一)解题方法和技巧及练习题及解析

高中物理数学物理法(一)解题方法和技巧及练习题及解析 一、数学物理法 1.如图所示,ABCD是柱体玻璃棱镜的横截面,其中AE⊥BD,DB⊥CB,∠DAE=30°, ∠BAE=45°,∠DCB=60°,一束单色细光束从AD面入射,在棱镜中的折射光线如图中ab所示,ab与AD面的夹角α=60°.已知玻璃的折射率n=1.5,求:(结果可用反三角函数表示) (1)这束入射光线的入射角多大? (2)该束光线第一次从棱镜出射时的折射角. 【答案】(1)这束入射光线的入射角为48.6°; (2)该束光线第一次从棱镜出射时的折射角为48.6° 【解析】 试题分析:(1)设光在AD面的入射角、折射角分别为i、r,其中r=30°, 根据n=,得: sini=nsinr=1.5×sin30°=0.75 故i=arcsin0.75=48.6° (2)光路如图所示: ab光线在AB面的入射角为45°,设玻璃的临界角为C,则: sinC===0.67 sin45°>0.67,因此光线ab在AB面会发生全反射 光线在CD面的入射角r′=r=30° 根据n=,光线在CD面的出射光线与法线的夹角: i′="i=arcsin" 0.75=48.6° 2.一玩具厂家设计了一款玩具,模型如下.游戏时玩家把压缩的弹簧释放后使得质量m=0.2kg的小弹丸A获得动能,弹丸A再经过半径R0=0.1m的光滑半圆轨道后水平进入光滑水平平台,与静止的相同的小弹丸B发生碰撞,并在粘性物质作用下合为一体.然后从平台O点水平抛出,落于水平地面上设定的得分区域.已知压缩弹簧的弹性势能范围为

p 04E ≤≤J ,距离抛出点正下方O 点右方0.4m 处的M 点为得分最大值处,小弹丸均看作 质点. (1)要使得分最大,玩家释放弹簧时的弹性势能应为多少? (2)得分最大时,小弹丸A 经过圆弧最高点时对圆轨道的压力大小. (3)若半圆轨道半径R 可调(平台高度随之调节)弹簧的弹性势能范围为p 04E ≤≤J ,玩家要使得落地点离O 点最远,则半径应调为多少?最远距离多大? 【答案】(1)2J (2) 30N (3) 0.5m ,1m 【解析】 【分析】 【详解】 (1)根据机械能守恒定律得: 2 1p 012 2E v mg R m = +? A 、B 发生碰撞的过程,取向右为正方向,由动量守恒定律有: mv 1=2mv 2 200122gt R = x =v 2t 0 解得: E p =2J (2)小弹丸A 经过圆弧最高点时,由牛顿第二定律得: 2 1N v F mg m R += 解得: F N =30N 由牛顿第三定律知: F 压=F N =30N (3)根据 2 p 1122 E mv mg R = +? mv 1=2mv 2 2R =1 2gt 2, x =v 2t

高年级初中中学物理中常用的数学方法

初中物理中常用的数学方法简介 江苏省南通市第三中学:江宁 数学计算是指人们根据利用已有的知识,对一定的现象、规律进行数学计算,发现各个量之间的数学关系,从深一层次去认识新的事物的方法。 数学计算是研究性学习中必备的手段,是初中物理研究性学习中进一步认识事物中最可靠的工具。通过数学计算,学生可以从定性认识事物发展到定量认识事物,使感性认识上升到理性认识,从而更准确地认识事物各个量之间的内在规律。 以下所列是初中物理中常用的一些数学方法: 1、代入法 “代入法”是指在研究物理问题中,已知因变量与自变量之间关系公式,将物理量直接代入公式进行计算的方法。学会利用公式直接进行计算是学生解决问题的基本能力之一,它可以促进学生掌握物理量之间的来龙去脉,熟悉物理量在日常生活中的应用。 例:质量为的水,温度从 60℃降至40℃,会放出______J 的热量。若将这部分热量全部被初温为10℃、质量为的酒精吸收,则酒精的温度将上升______℃。[酒精的比热容为×103 J /(kg ·℃),水的比热容为 ×103 J /(kg ·℃)] 解:物体升、降温时吸、放的热量计算公式为:Q=c ·m ·Δt 应用“代入法”进行解题时,可以根据公式用自变量求因变量,也可以根据公式用因变量求自变量,但要注意在计算过程中,物理单位必统一。 2、比例法 “比例法”是指用两个已知的物理量的比值来表示第三个物理量的方法。比值法可以充分体现出在两个物理量同时变化的条件下影响物理过程的真正因素。 例:现有两杯质量不同的液体酒精和水,若两者的质量之比为2∶3,求两种液体的体积比?(ρ酒 精 = ×103kg/m 3,ρ水= ×103kg/m 3) 解:6 58.0132=?=?==酒水水酒水 水酒酒 水酒ρρρρm m m m V V 另外,初中物理中的许多物理量是通过比值来介绍的,如:速度、密度、热值、电阻等等。是中学生在初中物理学习中学到的第一个数学方法。 3、近似法 “近似法”是指在数学计算过程中,当个别量的微小变化并不影响整体结果时,为了计算与分析的方便,将个别量进行一定程度的近似代换或取舍的方法。利用近似法可以降低复杂的数学计算,帮助学生用最根本的数据去认识事物的内在规律,从而抓住各种物理现象中最本质的特征。 例:一位同学从一楼跑到三楼用了10s 时间,他的功率大概是多少? 解:根据生活经验,一位中学生的质量约为50kg ,一层楼的高度约为3m ,g 取10N/kg 。 事实上,只要在误差允许范围内,任何一种测量和计算都是对所求物理量的实际情况的一个近似。运用近似法可以帮助学生理解物理研究中绝对性与相对性的真正含义。 4、方程法 “方程法”是指在求解某个物理量时,根据因变量与自变量之间的因果对应关系,列出方程,通过求解方程从而求出物理量的方法。方程法可以减少学生的数学过程思维,解决问题简捷明了,方便于学生发现因变量与自变量的因果关系。 W s m kg N kg t Gh t W P 300106/1050=??===

最新高考物理数学物理法解题技巧及练习题

最新高考物理数学物理法解题技巧及练习题 一、数学物理法 1.如图所示,圆心为O 1、半径4cm R =的圆形边界内有垂直纸面方向的匀强磁场B 1,边界上的P 点有一粒子源,能沿纸面同时向磁场内每个方向均匀发射比荷 62.510C/kg q m = ?、速率5110m/s v =?的带负电的粒子,忽略粒子间的相互作用及重力。其中沿竖直方向PO 1的粒子恰能从圆周上的C 点沿水平方向进入板间的匀强电场(忽略边缘效应)。两平行板长110cm L =(厚度不计),位于圆形边界最高和最低两点的切线方向上,C 点位于过两板左侧边缘的竖线上,上板接电源正极。距极板右侧25cm L =处有磁感应强度为21T B =、垂直纸面向里的匀强磁场,EF 、MN 是其左右的竖直边界(上下无边界),两边界间距8cm L =,O 1C 的延长线与两边界的交点分别为A 和O 2,下板板的延长线与边界交于D ,在AD 之间有一收集板,粒子打到板上即被吸收(不影响原有的电场和磁场)。求: (1)磁感应强度B 1的方向和大小; (2)为使从C 点进入的粒子出电场后经磁场偏转能打到收集板上,两板所加电压U 的范围; (3)当两板所加电压为(2)中最大值时,打在收集板上的粒子数与总粒子数的比值η。(可用反三解函数表示,如 π1arcsin 62 =) 【答案】(1)11B =T ,方向垂直纸面向里;(2)1280V 2400V U ≤≤; (3)17 arcsin arcsin 168π + 【解析】 【分析】 【详解】 (1)由题可知,粒子在圆形磁场区域内运动半径

r R = 则 2 1 v qvB m R = 得 11T B = 方向垂直纸面向里。 (2)如图所示 211()22L qU y mR v =? 且要出电场 04cm y ≤≤ 在磁场B 2中运动时 2 2v qvB m r =合 ,cos v v a =合 进入B 2后返回到边界EF 时,进出位置间距 2cos y r a ?= 得 2 2mv y qB ?= 代入得 8cm y ?= 说明与加速电场大小无关。要打到收集板上,设粒子从C 点到EF 边界上时所发生的侧移为y 0,需满足 04cm 8cm y ≤≤ 且

高中数学反思十篇

高中数学反思 平面向量反思 在平面向量的教学过程中,由于内容比较直观,学生对知识的理解和掌握并不困难,但运用“平面向量”的思想方法,去分析解决具体问题,学生很不习惯。特别是运用平面向量基本定理,去求平面图形中的“点分线段的定比λ的值”的问题,学生感觉比较难。在教学中我所用的“多讲多练,突破难点”方法,效果不是很理想,有待今后进一步探索和总结。 在教学中,还有一点必须注意,那就是要充分发挥学生的主观能动作用,鼓励学生用向量方法,去求解一些他们非常熟悉的平面几何问题,例如,用向量的方法证明勾股定理;垂径定理;直径所对的圆周角是直角:三角形的三条高相交于一点等等,目的是使学生尽快习惯用“平面向量”的思想方法,去分析解决具体问题。 最后,用“平面向量方法,求证三点共线”,可作为一个专题,鼓励学生写点小论文进行交流,以期巩固所学习平面向量知识,提高动手能力与探索精神,激发学生们对数学学习的兴趣。 锐角三角函数教学反思 课后,我进行了反思,为什么我精心准备的课没有按计划完成任务,毛病出在哪里?以后上课又该吸取哪些教训呢? 1.学生活动时间没有控制好,探究时间太长,从而耽误了后边教学。 2.把重点放在了“当锐角固定时,它的边的比值是唯一的”探索中,真正的重点锐角三角函数的教学,由于时间太紧,一带而过了,重点没有突出来。 3.没有做到当堂练习,由于时间紧,几乎也没有单独提问。 出现这些不当的原因,关键是我活动没有安排好,课后,我也在思考合理的安排: 探究时,由于任务大,分工更应该细化,全班学生应分四大组,分别负责直角三角形中锐角的对边与斜边,邻边与斜边,对边与邻边,邻边与对边的比值的计算,然后,全班学生总结出结果,这样能把多出来的时间用在后边的锐角三角函数的教学及练习上。 应吸取的教训: 1.学生探究任务大时,应分工合作,即探究出了结果又节省时间。 2.合理控制课堂时间,应突出重点,突破难点,不能喧宾夺主。

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