2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及详细解析(Word版)

2014年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）

参考答案及评分标准

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。 1. 若正数b a ,满足)(log log 3log 2632b a b a +=+=+，则b

a 1

1+的值为_________ 答案：108.

解：设k b a b a =+=+=+)(log log 3log 2632，则2

2

-=k a ，3

3-=k b ，k

b a 6=+，从

而108323

26113232=?=?=+=

+--k k k

ab b a b a 。 2. 设集合}21|3

{≤≤≤+b a b a

中的最大元素与最小元素分别为M ，m ，则m M -的值

为___________ 答案：325-。 解：由21≤≤≤b a 知，

521

3

3=+≤+b a ，当1=a ，2=b 时，得最大元素5=M ，又323

3≥+≥+a a

b a ，当3==b a 时，得最小元素32=m 。因此，325-=-m M 。 3. 若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是________ 答案：]0,2[-

解：在),1[+∞上，a ax x x f -+=2

)(单调递增，等价于12

≤-

a

，即2-≥a 。在]1,0[上，a ax x x f +-=2)(单调递增，等价于

02

≤a

，即0≤a ，因此实数a 的取值范围是]0,2[- 4. 数列}{n a 满足21=a ，*)(1)

2(21N n a n n a n n ∈++=+，则=+++2013

212014...a a a a _____

答案：

2013

2015

。 解：由题设???=-?+=+=

--2112)1(2)1(2n n n a n n

n n a n n a )1(22

3212)1(211+=??????-?+=-n a n n n n n

记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则

)1(24232212++???+?+?+=-n S n n

所以)1(242322223

2

++???+?+?+?=n S n

n

将上面两式相减，得n n S n n n n 2)2222()1(212=+???+++-+=-

故2013

2015

2013220152...201320132013212014=

??=+++a a a a

5. 正四棱锥P —ABCD 中，侧面是边长为1的正三角形，M ，

N 分别是边AB ，BC 的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是____________ 答案：

4

2 解：设底面对角线AC ，BD 交于点O ，过点C 作直线MN 的垂线，交MN 于点H 。 由于PO 是底面的垂线，故PO ⊥CH ，又AC ⊥CH ，所以CH ⊥平面POC ，故CH ⊥PC 。 因此CH 是直线MN 与PC 的公垂线段，又4

2

22=

=

CN CH ，故异面直线MN 与PC 之间的距离是

4

2

。 6. 设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,。若||||212F F PF =，且

||4||311QF PF =。则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为_______

答案：

7

6

2 解：不妨设4||1=PF ，3||1=QF 。记椭圆Γ的长轴，短轴的长度分别为a 2，b 2，焦距为c 2，则c F F PF 2||||212==，且由椭圆的定义知，

42||||||||22121+=+=+=c PF PF QF QF a

于是12||||||||1212+=-+=c QF PF PF QF

设H 为线段1PF 的中点，则5||,2||1==QH H F

，且有12PF H F ⊥。由勾股定理知， 2122122222||||||||||H F F F H F QH QF -==-

即2

2222)2(5)12(-=-+c c ，解得5=c ，进而62,7==b a ，因此椭圆Γ的短轴与长

轴的比值为

7

62=a b

7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ，

若点P 满足PI=1，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________ 答案：

2

5

3+ 解：由PI=1知点P 在以I 为圆心的单位圆K 上。

设α=∠BAP ，在圆K 上取一点0P ，使得α取到最大值0α，此时0P 应落在IAC ∠内，且

是0AP 与圆

K 的切点。由于3

00π

αα<≤<，故

)6

sin()

6sin()3sin(sin )3sin(sin )3sin(21

sin 2

1

00θπθπ

απααπααπα-+=

-≤

-=-??=??AC AP AB AP S S APC APB ① 其中，006

IAP ∠=-=π

αθ

由20π=∠I AP 知，4

1

21sin 0==

=r AI IP θ，于是15cot =θ，所以 2533

153153cot 3cot sin 2

3cos 21sin 23

cos 21

)6sin()6sin(+=-+=-+=-

+

=-+θθθθθ

θθπ

θπ②

根据①、②可知，当0P P =时，

APC

APB S S ??的最大值为25

3+

8.设A ，B ，C ，D 是空间四个不共面的点，以

2

1

的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则A ，B 可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为__________ 答案：

4

3 解：每对点之间是否连边有2种可能，共有6426

=种情况。考虑其中A ，B 可用折线连接的情况数。

（1） 有AB 边：共种3225

=情况。

（2） 无AB 边，但有CD 边：此时A ，B 可用折线连接当且仅当A 与C ，D 中至少

一点相连，且B 与C ，D 中至少一点相连，这样的情况数为9)12)(12(2

2=--。

（3） 无AB 边，也无CD 边：此时AC ，CB 相连有2

2种情况，AD ，DB 相连也有2

2

种情况，但其中AC ，CB ，AD ，DB 均相连的情况重复计了一次，故A ，B

可

用折线连接的情况数为71222

2=-+。

以上三类情况数的总和为32+9+7=48，故A ，B 可用折线连接的概率为

4

36448=。 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直。 设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为Q ，R 。 （1） 证明R 是一个定点； （2） 求

|

||

|QR PQ 的最小值。 解：（1）设P 点的坐标为)0)(,(≠b b a ，易知0≠a 。记两切点A ，B 的坐标分别为),(11y x ，

),(22y x ，则PA ，PB 的方程分别为 )(211x x yy += ① )(222x x yy += ②

而点P 的坐标),(b a 同时满足①，②。故A ，B 的坐标均满足方程

)(2a x by += ③),(11y x ，),(22y x

故③就是直线AB 的方程。 直线PO 与AB 的斜率分别为a b 与b 2，由AB PO ⊥知，12

-=?b

a b ，故2-=a 。 ………4分

从而③即为)2(2

-=

x b

y ，故AB 与x 轴的交点R 是定点（2，0）。 …………8分

（2）因为2-=a ，故直线PO 的斜率21b k -=，直线PR 的斜率4

2b

k -=。设α=∠O

P R ，则α为锐角，且

22||282||28|4

2)

4)(2(1||1|tan 1||||222121=≥+=+---+=-+==b b b b b b b

b k k k k QR PQ α

当22±=b 时，

|

||

|QR PQ 的最小值为22。 ……………………16分

10.（本题满分20分）数列}{n a 满足6

1π

=a ，*))(arctan(sec 1N n a a n n ∈=+。求正整数m ，使得??21sin sin a a (100)

1sin =

?m a 。 解：由已知条件可知，对任意正整数n ，)2

,2(1π

π-∈+n a ，且n n a a sec tan 1=+ ① 由于0sec >n a ，故)2

,

0(1π

∈+n a 。由①得，n n n a a a 2212tan 1sec tan +==+，故 3

23311tan 1tan 122-=+

-=+-=n n a n a n 即3

2

3tan -=n a n 。 …………………………10分 因此，

??21sin sin a a …??=

?22

11sec tan sec tan sin a a a a a m …m

m a a sec tan ?

??=

32

21tan tan tan tan a a a a (1)

tan tan +?

m m a a （利用①） 1

31

tan tan 11+=

=

+m a a m 由

100

1

131=

+m ，得3333=m 。 …………………20分 11.（本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数),1|||,(|,212121z z z z z z ≠<，均有　z z z z 22

212

1)()(αααα++≠++。 解：记z z z f ααα++=2)()(，则

22212121)()()()(z z z z z f z f αααααα-+-++=- )())(2(212121z z z z z z -+-++=αα ①

假如存在复数1z 、|(|12z z 、1||2

|))(2(||)(|212121z z z z z z -++-=-αα

注意到，0||||||212121≠-=-=-z z z z z z ， 故2||2||||||2|2|||2121->--≥++=ααααz z z z

即2||<α。…………………………10分

另一方面，对任意满足2||<α的复数α，令i z βα

+-

=2

1，i z βα

--

=2

2，其中

2||10αβ-

<<，则21z z ≠，而1|||2

||2|<+-≤±-βα

βαi ，故||1z ，1||2

代入①可得，0)2(2)()(21=-+?=-i i z f z f βαβααα，即)()(21z f z f αα=。 综上所述，符合要求的α的值为}2||,|{≥∈αααC ……………………20分