浅谈复合函数的求导运算

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浅谈复合函数的求导运算

作者：张菊

来源：《求知导刊》2016年第10期

摘要：分析多个复合函数的复合过程用对应法则分析方法，能快速且准确地分析出多个

复合函数的复合过程，从而准确求导。这种找对应法则的分析方法对大学生学习高等数学相关内容能起到相当重要的作用，使教师取得令人满意的教学效果。

关键词：复合函数；复合过程；对应法则；变量；导数

中图分类号：013 文献标识码：B 收稿日期：2016-01-05

一、复合函数的定义

高等数学教材对复合函数是这样定义的：设y=f （u），其中u=φ（x），且φ（x）的值域全部或部分落在f（u）的定义域内，则称y=f [φ（x）]为x的复合函数，u称为中间变量。对于复合函数复合过程的分析，分析只有一个中间变量的复合函数很简单，难度大的是如何正确分析有多个中间变量的多重复合函数的复合过程。对于多重复合函数的复合过程的分析，关键要准确找出多重复合函数的中间变量的包含关系，关于这一点，教材中没有给出明确具体的分析思路，不少学生上完这节内容，脑子里还是模模糊糊的，似懂非懂，不能完全理解。实际上，复合函数的复合过程有其内在的规律，即其自变量、因变量和中间变量之间互相牵制、相互制约，并呈相互依赖关系。了解了复合函数中各变量之间的这种特点，正确分析复合函数的复合过程就变得轻而易举。以下通过分析复合函数各变量之间的依赖制约关系，来探讨复合函数复合过程的分析方法。

二、复合函数的分解过程

复合函数始终是由多个基本初等函数构成，如函数的“三要素”（定义域、值域、对应法则）。我们知道，只要准确找出复合函数中的对应法则，准确分析复合函数的复合关系是很容易的。分析复合函数复合关系的一般方法是：从外向里，找准最外面的基本初等函数的对应法则，一层一层向里推进，直至找到自变量的基本函数的对应法则为止。例如：y=tan2

（1+2x2），可以先转化成y=[tan（1+2x2）]2，最外层的应该是幂函数的平方，即可设为

y=u2，u=tan（1+2x2），对于u=tan（1+2x2），最外层的应该是三角函数中的正切函数，即可设为u=tanφ，φ=1+2x2，此时φ表示的函数是x的基本初等函数，到此分析完成。从以上分解过程来看，这个复合函数分解如下。

简单复合函数求导

简单复合函数的导数一、基础知识梳理：（一）常用的求导公式 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则（二）复合函数的求导数公式若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± （三）复合函数求导法则 1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。则)()('?'='x u f y φ 2、多次复合函数求导法则类推二、典型例题分析：例1、求下列函数的导数； 1）、3 (23)y x =- 2）、ln(51)y x =+

练习：求下列函数的导数 1）、2 (23)y x =+ 2）、3 (13)y x =- 例2、求下列函数的导数； 1）、1 31 y x = - 2)、cos(12)y x =- 练习：求导数； 1）、1ln y x = 2）、2x y e = 3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ==== ，根据下列条件求(5)h 及'(5)h 1）、()3()2()h x f x g x =+ 2）、 ()()()1h x f x g x =+ 3）、()2 ()() f x h x g x +=

复合函数求导方法和技巧

复合函数求导方法和技巧毛涛（理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班， 723000）指导老师：延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向层逐层求导（或者也可以由层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[]()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算

复合函数的求导法则(导案)

当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）4 x x y = ；（2）1ln 1ln x y x -=+．（3）2(251)x y x x e =-+?；（4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解：（1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。（2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。（4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+

复合函数求导法则及其应用

习题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ??? ? ?-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解（1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。（2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。（3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。（4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。（5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。（6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。

（7 ）1'2y = 。（8 ）2 2 'x x y --= = 1 22 2--x e x 。（9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。（10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。（11 ）'y == 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。（12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。（13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。（14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。

复合函数求导及应用

复合函数求导及应用求y ＝(3x ＋2)2，f (u )＝u 2，g (x )＝3x ＋2的导数． 1．复合函数的概念对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))． 2．复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．题型一简单的复合函数求导问题 [例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)??? ? ?+=32sin πx y ；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． [解] (1)设21u y =，u ＝1－2x 2，则y ′＝(21u )′(1－2x 2 )′＝2121-u ·(－4x ) ＝()21 2 2-121-x (－4x )＝－2x 1－2x 2 . (2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x . (3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos （2x+3 π）. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝10u ln 2＝ 102x ＋1ln 2 . 复合函数的求导步骤

65 1.2.3 简单复合函数的导数 (文科：补充)教师版

反思感悟： 1.2.3 简单复合函数的导数（文科：补充）教师版班级：高二（）班姓名：时间：月日一、学习目标 1. 了解复合函数的概念； 2. 理解简单复合函数的求导法则； 3. 会求简单的复合函数的导数. 教学重、难点：简单复合函数的求导法则的理解与应用. 本课内容简析：本课从两个实例入手，归纳、总结出了简单复合函数的求导法则. 在学习中，要注意对简单复合函数的求导法则的准确理解和应用. 二、自学内容阅读选修2-2 P23（文科见导学案附），然后尽可能．．．用多．．种．方法．．完成下列练习. 1. 已知sin 2y x =，求y '. （教材P23）解：法一：[](sin 2)2(sin cos )2(sin )cos sin (cos )y x x x x x x x '''''===+ 222(cos sin )2cos2x x x =-=. 法二：sin 2y x =可由sin y u =及2u x =复合而成，从而cos 22cos2x y u x '=?=. 2. 已知2x y e =，求y '. 解：法一：22()()()()2x x x x x x x x y e e e e e e e e '''''==?=?+?=. 法二：2x y e =可由u y e =及2u x =复合而成，从而2()222u u x x u x y y u e e e ''''=?=?==. 3. 已知2(23)y x =+，求y '. 解：法一：∵24129y x x =++，∴812y x '=+. 法二：[](23)(23)(23)(23)(23)(23)812y x x x x x x x ''''=++=+++++=+. 法三：2(23)y x =+可由2y u =及23u x =+复合而成，从而22812x y u x '=?=+. 三、问题探究例1 求下列函数的导数：（1）3(23)y x =-；（2）ln(51)y x =+；解：（1）3(23)y x =-可由3y u =及23u x =-复合而成，从而322()266(23)x u x y y u u u x ''''=?=?==-. （2）ln(51)y x =+可由ln y u =及51u x =+复合而成，从而55(ln )551x u x y y u u u x ''''=?=?==+.

复合函数求导公式-复合函数综合应用

相信自己，相信翔鹏，你是最棒的！导数的运算法则及基本公式应用一、常用的求导公式 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± 三、基础运用举例 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y = 5 9 ++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25 x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2) ()(lim 000--→ =_________ 4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________ 5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程

复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则

复合函数求导公式大全大学复合函数求导法则复合函数如何求导？大学符合函数求导公式有哪些？下文小编给大家整理了复合函数的求导公式及法则，供参考！ ?复合函数求导公式 ? ? ?复合函数求导法则证法一：先证明个引理 ?f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0 连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0) ?证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域)；H(x)=f'(x0),x=x0 ?因lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0) ?所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0) ?反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0), x∈U(x0) ?因存在极限lim(x->;x0)H(x)=lim(x->;x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->;x0) f'(x)=H(x0) ?所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0) ?引理证毕。 ?设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0) ?证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

高中数学选修2-2教学设计5：简单复合函数求导教案

简单复合函数求导教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则导数运算法则 1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]''' ()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] '''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可函数导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =

以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ax x a x 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716．四．课堂练习 1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）1 22sin -= x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数

高中数学复合函数的求导法则教案

§1.2.2复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二．新课讲授复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y ＝ax x a x 22--的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ．【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋ 4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1．于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14），过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716．

复合函数求导公式,复合函数综合应用

复合函数求导公式,复合函数综合应用 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

相信自己，相信翔鹏，你是最棒的！导数的运算法则及基本公式应用一、常用的求导公式 11.(),'()0; 2.(),'(); 3.()sin ,'()cos ; 4.()cos ,'()sin ; 5.(),'()ln (0); 6.(),'(); 17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>==== >≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' ='' +'='?' ±'='± 三、基础运用举例 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y = 59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25 x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25 x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________ 4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________ 5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程

复合函数求导练习题及解答

复合函数求导练习题及解答 1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。 ?x?x f?f 取极限求导数f’?lim ?x?0?x 求平均变化率 2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。．常用的导数公式及求导法则：公式 ①C?0，③’??sinx ‘ ②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex ⑤’?axlna ⑦? ‘ 11’ ⑧? xlnax11’’ cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]， [fg]’?f’g?g’f f’f’g?g’f [ ]?2 gg 例：

32 y?xx?4y? ?? sinx x y?3cosx?4sinx y??2x?3? y?ln?x?2? 2 复合函数的导数如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且 ])ˊ= 或记作熟记链式法则若y= f ，u=?? y= f [?]，则 f?????? ??u?y?x=yux y?x=f??? 若y= f ，u=?，v=? ? y= f [?)]，则 ?? y?x=f??? 复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四

则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。例1函数y? 1 的导数. 4 解：y? 1?4 ． ?4 ，u?1?3x，则设y?u ?4 y’x?y’u?u’x?’u?’x ??4u ?5 ??12u?5?12?5? 12 ．例2求y?x 的导数． 1?x 15

复合函数的求导法则教案

§1.2.3复合函数的求导法则教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．一．创设情景（一）基本初等函数的导数公式表导数运算法则 1．[]' ''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）函数导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =

复合函数求导公式函数求导法则有哪些

复合函数求导公式函数求导法则有哪些对于高中生来说，想要学好数学，就要了解公式。函数是高中数学的一个难点，那幺，符合函数公式有哪些呢？下面和小编一起来看看吧！ 1 复合函数求导公式有哪些1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)； 2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；拓展： 1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。 2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数 y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。 3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则 y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+). 4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。 1 复合函数怎幺求导复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u

复合函数求导与应用

课时作业4 复合函数求导及应用时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2 C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)n D ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－1 答案：A 2．函数y ＝? ????x ＋1x 5 的导数为( ) A ．y ′＝5? ????x ＋1x 4 B ．y ′＝5? ????x ＋144? ????1＋1x C ．y ′＝5? ????x ＋1x 4 (1－x －2) D ．y ′＝5? ?? ??x ＋1x 4 (1＋x －2) 解析：y ′＝5? ????x ＋1x 4·? ???? x ＋1x ′ ＝5? ????x ＋1x 4? ?? ?? 1－1x 2.故选C. 答案：C 3．函数y ＝cos(1＋x 2)的导数是( ) A ．y ′＝2x sin(1＋x 2) B ．y ′＝－sin(1＋x 2)

C．y′＝－2x sin(1＋x2) D．y′＝2cos(1＋x2) 解析：y′＝[cos(1＋x2)]′＝－sin(1＋x2)(1＋x2)′＝－2x sin(1＋x2)．故选C. 答案：C 4．函数y＝x ln(2x＋5)的导数为( ) A．y′＝ln(2x＋5)－x 2x＋5B．y′＝ln(2x＋5)＋ 2x 2x＋5 C．y′＝2x ln(2x＋5) D．y′＝x 2x＋5 解析：y′＝[x ln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5) ＋x·1 2x＋5·(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋ 2x 2x＋5 . 答案：B 5．已知函数y＝e x－e－x，下列说法正确的是( ) A．y′＝e x－e－x B．y′＝2e x C．y′>0恒成立D．方程y′＝0有实数解解析：由于y′＝(e x－e－x)′＝e x＋e－x>0，所以选项C正确．答案：C 6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )

导数--复合函数的导数练习题

函数求导 1. 简单函数的定义求导的方法（一差、二比、三取极限）（1）求函数的增量)()(00x f x x f y -?+=?；（2）求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+=??)()(00。（3）取极限求导数=)(0'x f x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 000 2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点)(0'x f 的导数就是导函数)(x f ，当0x x =时的函数值。 3．常用的导数公式及求导法则：（1）公式 ①0' =C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '= ③x x sin )(cos '-= ④1')(-=n n nx x ⑤a a a x x ln )('= ⑥x x e e =')( ⑦a x x a ln 1)(log ' = ⑧x x 1)(ln ' = ⑨x x 2'cos 1)(tan = ⑩（x x 2' sin 1)cot -= （2）法则：' '')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±， )()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f += ) ()()()()(])()([2 '''x g x f x g x g x f x g x f -= 例：（1）() 32 4y x x =- （2）sin x y x = （3）3cos 4sin y x x =- （4）()2 23y x =+ （5）()ln 2y x =+

复合函数的导数如果函数)(x ?在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ?处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ?]在点x 处也可导，并且 (f [)(x ?])ˊ= [])(x f ?')(x ?' 或记作 x y '=u y '?x u ' 熟记链式法则若y= f (u )，u=)(x ?? y= f [)(x ?]，则 x y '=)()(x u f ?'' 若y= f (u )，u=)(v ?，v=)(x ψ? y= f [))((x ψ?]，则 x y '=)() ()(x v u f ψ?''' （2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。例1函数4 )31(1 x y -= 的导数. 解：4 ) 31(1x y -= 4 )31(--=x ．设4 -=u y ，x u 31-=，则 x u x u y y '''?=x u x u )'31()'(4-?=- )3(45 -?-=-u 55)31(1212---==x u 5 ) 31(12 x -= ．

简单的复合函数求导法则教案

§1.2.3简单的复合函数求导法则【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。【重点、难点】重点：简单复合函数的求导法则；难点：复合函数的导数。一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1 )'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．【思考】下列函数（1）用基本初等函数求导公式如何求导？（2）（3）能用学过的公式求导吗？（1）2)32(+=x y （2）)2ln(-=x y （3）1005+-=x e y 二．新知探究复合函数的导数求解法则：复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为： x u x u y y '''?= 三．典例分析例1：写出函数10)34(+-=x y 的中间变量，并利用复合导数的求导法则求出此函数的导数。例2：求下列函数的导数（1）)2ln(-=x y （2）1005+-=x e y （3）)4sin(+=x y π （4）1 2-= x y 【说明】①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量； ②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆； ③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．

浅谈复合函数的求导运算

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