第三讲：有理数的综合复习

学生： 科目： 数学 第 1 阶段第 3 次课 教师：

课 题

第三讲：有理数的综合复习

教学目标

1、理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值；

2、能熟练运用法则结合数轴比较有理数的大小，特别是应用绝对值概念比较两个负数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序排列。 重点、难点

重点：1、绝对值的概念和求一个数的绝对值；

2、运用法则借助数轴比较两个有理数的大小。

难点：1、绝对值的几何意义及求绝对值等于某一个正数的有理数； 2、利用绝对值概念比较两个负分数的大小。

考点及考试要求

1、求一个数的绝对值

2、利用数轴比较有理数的大小

教学内容 知识框架

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????????????????

???????????

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--有理数的大小比较值号两个符号：负号，绝对，绝对值的几何意义）工具：数轴（比较大小绝对值

相反数非负数

负数相关概念负分数正分数分数负整数自然数正整数整数有理数有理数及其分类有理数0

知识点一：正数与负数

1、有理数的分类：

（按类型分）负分数正分数分数负整数自然数零正整数整数有理数???

?

??????????

?

????? （按性质分）负分数负整数负有理数零正分数正整数

正有理数有理数??????

????????? 负数：在正数前面加“—”的数； 0既不是正数，也不是负数。 典型例题

例1、 把下列各数填入相应的括号内

-2.7, 15, 65, 0.11, 0, -1312, -21, +9.87, +69, +7

4

, 0.99

正整数{ } 负整数{ } 正分数{ } 负分数{

} 正有理数{

} 负有理数{

}

例2、下列叙述，正确的是（ ） A ．0可以看成是正数，也可以看成是负数；

B ．若盈利1000元记作+1000元，则亏损200就应该记做-200元

C ．若向南走记为正，则“-10米”表示向北走-10米

D ．温度为0摄氏度就是没有温度

变式训练

变式1、用正数或负数表示下列各题中的数量：

(1)如果火车向东开出400千米记作+400千米，那么火车向西开出4000千米，记作 ； (2)球赛时，如果胜2局记作+2分，那么-2分表示 ； (3)若-4万表示亏损4万元，那么盈余3万元记作 ； (4) +150米表示高出海平面150米，低于海平面200米应记作 ； 变式2、下列说法不具有相反意义的量的是（ ）

（A ）向东2.5千米和向西2千米 （B ）上升3米和下降1.5米

（C）零上6 ℃和零下5 ℃（D）收入5000元和亏损5000元变式3、把下列各数填在相应额大括号内：

6

1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，

7

·正整数｛｝；·正有理数｛｝；·负有理数｛｝；·负整数｛｝；·自然数｛｝；·正分数｛｝；·负分数｛｝；

知识点二：数轴

数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线.

数轴的三要素：原点，正方向和单位长度（数轴是一条特殊的直线）

所有有理数都可以用数轴上的点表示。

典型例题

例1、下列各图中，表示数轴的是()

例2、按照要求在数轴上进行操作，并说出移动后表示的数.

（1）点A表示数-3，将点A向右移动5个单位，再向左移动3个单位，那么此时A点表示的数是什么？

（2）若将点C向左移动4个单位，再向右移动2个单位，此时C点到原点的距离等于原来C点到原点的距离，那么原来C点表示的数是什么？

变式训练：

变式1、在数轴上，点A表示4，距离点A 5个单位的的数是

变式2、一个点从数轴上表示-1的点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，这时表示的数是多少？这个点共移动了多少个单位长度？终点与始点相距多少个单位长度？

知识点三：相反数

代数意义：只有符号不同的两个数（0除外），如-2与2为互为相反数。

互为相反数的两数之和为零。规定：0的相反数是0。

几何意义：在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两边，并且到原点的距离相等。

即，互为相反数两数的绝对值相等。

典型例题

例1、如果一个数与它的相反数在数轴上对应的点之间的距离为8，那么这个数是（）

A、+8或-8

B、+4或-4

C、+8

D、-4

例2、已知数轴上点A表示的数是a，把A点向右移动4个单位，再移动3个单位，此时的点A表示的数和a是互为相反数，求a的值。

变式训练：

变式1、在数轴上到原点距离等于2的点所表示的数是。

数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A，B两点的距离为多少？

变式2、已知在数轴上点A表示的数是a，把A点移动4个单位，此时的点A表示的数和a是互为相反数，求a的值。

知识点四：绝对值

1、①代数意义：一个正数的绝对值是本身。

一个负数的绝对值是他的相反数。

0的绝对值为0。

即 任何数的绝对值都为非负数 ，│a │≥0 （a 为任意实数） ②几何意义：一个数的绝对值就是这个数在数轴上所表示的点到原点的距离（非负数）。 2、（1）数a 的绝对值记作︱a ︱;

（2）0,= ; =0, = ; 00<0= ; a a a a a a ?>?

??

?若正数的绝对值是它本身

若的绝对值等于若，

负数的绝对值是它的相反数

（3) 对任何有理数a,总有︱a ︱≥0. 典型例题

例1、下列各数中，互为相反数的是（ ）

A 、3232--和

B 、3223--和

C 、 2332和-

D 、3

2

32和-

例2、绝对值是5的有理数是________，绝对值不大于3的正整数是_____________。 绝对值大于2且小于5的所有整数_________ 例3、计算

10191........514141313121211-++-+-+-+-

例4、如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： （1）如果点A 、B 表示的数互为相反数，那么点C 表示的数是多少

（2）如果点D 、B 表示的数互为相反数，那么点C 表示的数是正数还是负数，图中表示的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小，最小的绝对值是多少？

变式训练：

变式1、计算 （1）621+?-

（2）5

2513--

（3）65311-÷ （4）2

1

35101-÷-?-

变式2、 在－｜－1｜，－｜0｜，)2(--，24

中，负数共有( )． (A)4个 (B)3个

(C)2个 (D)1个

变式3、在数轴上表示绝对值不小于2而又不大于5.1的所有整数；并求出绝对值小于4的所有整数的和.

（选做）教师节这一天上午，出租车司机小王在东西走向的公路上免费接送老师，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：km ）：+15，-4，-13

（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出发地点的距离是多少？

（2）若汽车耗油量为0.2L/km ，这天上午汽车共耗油多少L ？

知识点五、有理数大小的比较

①口诀：正数大于0；负数小于0；正数大于负数。 两个正数比较大小，绝对值大的数大。 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

②利用数轴： 数轴上右边的数总比左边的数大。先画数轴，再描点，后排序。 （注意小于符号＜，和大于符号＞的区别） ③作差比较：若a-b ＞ 0，则 a ＞b 若a-b=0 ，则 a=b

若a-b ＜0，则 a ＜b （满足移项法则） 典型例题

例1、 把表示下列各数的点画在数轴上，再按从大到小的顺序，用“＞”号把这些数连

接起来： 0,2

15,4,5.2,3,5-----

0-6-5-4-3-2-1654321

例2、若3

1

3,3,-=-=-=c b a π，则下列结论正确的是（ ）

A 、c b a <<

B 、b a c <<

C 、c b a >>

D 、a b c >>

例3、a ，b 为两个有理数，表示在数轴上的位置如图所示，把-a ，-b 在数轴上表示出来，再把a ，b ，-a ，-b ，0按从大到小的顺序排列出来．

变式训练：

变式1、比较大小：

43-______;87-

)

32

(+-______);43(-+ )14.3(--______)π(--． 变式2、比较4.2-, 5.0-, ()2-- ，3-的大小，下列正确的（ ）。 A.3- >4.2- > ()2--> 5.0- B.()2-- > 3->4.2-> 5.0- C.()2-- > 5.0- > 4.2-> 3- D. 3-> ()2-->4.2-> 5.0- 变式3、若p ，q 两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空．

①p______q ； ②－p______0； ③－q______0； ④－p______－q ； ⑤－p______q ；

⑥p______－q ．

（选做）在数轴上的点A ，B ，C ，D 分别表示a,b,c,d,已知A 在B 的右侧，C 在B 的左测，D 在B ，C 之间，则下列式子成立的是（ ）

A a

B b

C c

D c

课后作业

1、下列各对量中，不具有相反意义的是( )

A ．胜2局与负3局.

B ．盈利3万元与亏损3万元.

C ．气温升高4℃与气温为-10℃.

D ．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈.

2、在,8- ,201

-

,01.0- ,211

- 17-中最大的数是（ ）

（A ）17- （B ）,201

-

（C ）,211

- （D ）,01.0-

3、下列说法中，不正确的是( )

A ．零是有理数.

B ．零是整数.

C ．零是正数.

D ．零不是负数. 4、一个数的绝对值一定是( )

A ．正数.

B ．负数.

C ．零.

D ．零或正数. 5、数轴上到数—2所表示的点的距离为4的点所表示的数是（ ） （A ）—6 （B ）6 （C ）2 （D ）—6或2 6、不大于4的正整数的个数为（ ）

（A ）2个 （B ）3个 （C ） 4个 （D ）5个

7、绝对值小于3的整数是 ，最大的负整数是 ，最小的正整数是 . 8、把下列各数填入表示它所属的括号内：

5.0,3

2

,212,20,215,4,7.2,3,5-------，

整数：{ }； 负整数：{ }； 正分数：{ }； 负有理数：{ }

9、在数轴上表示数4，-2，1，0，-2.5，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“<”连接.

10、计算下列各式：

(1)|21||10||9|;-+-++ (2)

19|3|||;

320+?-

附加题

1、已知有理数a 、 b 在数轴上的位置如图所示，试用“<”号按从小到大的顺序，将数a 、 b 、 0、—a 、—b 连接起来。

2、下列关系一定成立的是（ ） （A ）若b

a =，则

b a = （B ）若

b

a =，则

b a =

（C ）若b

a -=，则

b a = （D ）若b a -=，则

b

a =