分数傅里叶变换产生分数泰伯效应

分数傅里叶变换产生分数泰伯效应
分数傅里叶变换产生分数泰伯效应

*国家自然科学基金资助项目。收稿日期∶1996—02—06;收到修改稿日期∶1996—03—28第24卷 第2期

中 国 激 光V o l.A24,N o.2

 1997年2月C HIN ESE J O U RN AL O F LASERS February ,1997

分数傅里叶变换产生分数泰伯效应*

华建文 刘立人

(中国科学院上海光机所 上海201800)

提要 讨论了如何使用分数傅里叶变换来产生分数泰伯效应,导出了要产生这种双重变换的光学

条件,变换后的周期、变换比例因子和级联运算法则,并进行了实验验证。这种双重变换有助于光

学系统的设计、分析和计算。最后给出了应用实例。

关键词 光学变换,傅里叶变换,泰伯效应

1 引 言

分数傅里叶变换的概念是Namias [1]首先提出的。后来由McBride 和Kerr [2]

把它发展成一个较为完整的数学理论。它是傅里叶变换的全族。后来,Lohm ann [3]在分析Wig ner 函数的基础上建立了光学领域中的分数傅里叶变换,并给出了光学实现的两种方案。Mendlovic 和Oza-ktas [4,5]研究了分数傅里叶变换的某些特性以及在光纤中的光学实现。文献[6~11]报道了一些分数傅里叶变换的应用。泰伯效应是光栅在相干光照明下在自由空间中某些特定的距离Z 处自成像的现象。分数泰伯效应或称分数泰伯自成像是指这种成像过程发生在Z 的分数距离上,如Z /2处,Z /3处等等。关于它的基本理论及许多应用的回顾可在文献[12]及[13]中找到。本文主要研究如何利用分数傅里叶变换使光栅产生分数泰伯像,或者说如何使分数傅里叶变换和分数泰伯自成像同时发生。这两种过程同时发生有一定的实用意义。利用这双重的分数变换(自成像也可看作一种变换)有助于一些光学系统的设计和分析,也有助于光路级联计算的简化。我们把它用于位相物体观察系统的光学设计,得到的装置比波面成像剪切干涉系统简单,尺寸又小。而且还能满足观察不同大小物体的要求。2 分数泰伯效应和分数傅里叶变换

泰伯效应是一相干波照明一光栅,在自由空间中距光栅的某些特定的平面上能出现一些准确泰伯像和更多的分数泰伯像[13]。一块周期为T ,开口比为h 的朗奇光栅可用下式描述

g (x ,y )=rect(x /h )* n

W (x -n T )(1)符号“*”表示卷积。用单色平面波照明光栅,其菲涅耳衍射场在光栅后方自由空间中传播,在离光栅距离为Z 的平面上,光强分布为[13]

|e(x,y)|2=|g(x,y)*ex p(j c x2/λZ)|2=|rect(x/h)*L(x∶T/U)|2(2)

图1分数傅里叶变换装置

Fig.1Frac tional Fo urie r tr ansfo rm se tup Q=sin O,R=tg(O/2)这里略去了所有的常数因子。在距离

Z=

T

U

T2

λ(3)处,如果T/U是一个整数,则L(x∶T/U)将就是n

W(x-nT),这时|e(x,y)|2就是光栅g(x,y)的准确像。如果T及U都是大于1的整数且T/U是一个不能再约分的分数,则方程式(2)表示的|e(x,y)|2将是光栅的分数泰伯像。这些分数泰伯像的周期为T/U,同时还可能伴有一横向位移。其详细的叙述可见文献[13]。

光学分数傅里叶变换由Lohma nn[3]给出。图1中g0(x0)是待变换的物体,g1(x1)表示g0(x0)的分

数傅里叶变换。Lohmann给出的定义为

g1(x1)=F p[g0(x0)]=∫g0(x0)ex p[j c(x20+x21)/(λf e tg O)]ex p[-j2c x1x0/(λf e sin O)]d x0

(4)这里f e=f Q(5) f是透镜焦距,Q为sin O。其中O和分数值P是通过下式联系的:

O=P c/2(6) 3 分数傅里叶变换产生分数泰伯效应

首先考虑单个透镜系统中的分数傅里叶变换产生的分数泰伯效应。分数傅里叶变换的定义为方程式(4)。整理后得到其光强分布为

|g1(x1)|2=|∫g0(x0)ex p[j c(x0-x1/co s O)2/(λf e tg O)]d x0|2(7)如果令

f e t

g O=Z e(8)和x1/cos O=x1e(9)那么方程(7)可重写成

|g1(x1)|2=|[g0(x1e)*ex p(j c x21e/(λZ e)]|2(10)把方程(10)与方程(2)比较就可见它们在形式上是等效的。如果g0(x0)是一块周期为T的朗奇光栅,并且

Z e=T

U

T2

λ(11)

那么在观察平面x1e上就会形成周期为T/U的泰伯像。由于实际观察平面是x1,因而它还有一比例因子

M=cos O(12)所以像的实际周期为cos O T/U。把方程(8)代入方程(11)并且设分数泰伯数T/U=N,则有

tg O/N=T2/λf e(13) 164中 国 激 光24卷

此式就是光学分数傅里叶变换产生分数泰伯像所要遵循的条件。

4 系统级联

图2研究双重分数变换的装置Fig

.2T he setup fo r studying the dual fractional t ransfor m 这一节考虑透镜级联的情况。图2中两级透

镜串连。假定每一级都满足上述讨论的条件:分数

傅里叶变换产生了分数泰伯像。用脚码“1”及“01”

表示第一级中的参数,“2”及“12”表示第二级中的

参数,“02”表示整个系统的参数。从方程(13)就有

tg O 1/N 01=T 2/λf e (14)

和tg O 2/N 12=T 2/λf e (15)

由于分数傅里叶变换具有可加性,因而两个分数

级分别为P 1和P 2的傅里叶变换级联就等于分数为(P 1+P 2)的单个傅里叶变换。按照这一特性,

参考方程(7),就有

|g 2(x 2)|2=|∫g 0(x 0)exp{j c [x 0-x 2/cos(O 1+O 2)]2/[λf e tg (O 1+O 2)]}d x 0|2(16)

从方程(16)可见对于级联系统的结论类似于第三节中的结论。

整个系统的泰伯数N 02应满足条件

tg (O 1+O 2)/N 02=T 2/λf e

(17)当在平面x 2上形成分数泰伯像时,像的比例因子

M 02=cos(O 1+O 2)

(18)控制着像的大小并对泰伯像的实际观察周期有影响。联立方程式(14)、(15)和(17),就立即得到泰伯数的级联运算法则为

N 02=(N 01+N 12)(λf e )2(λf e )2-N 01N 12T 4(19)

方程(19)表明在一个级联系统中,如每一级都是分数傅里叶变换产生分数泰伯自成像,那么总的泰伯数与第一级和第二级的泰伯数有关。这意味着级联系统中输出平面x 2上的分数泰伯像的周期与每一级的泰伯数有关。计算很简单,但不是线性的。适当调整光学参数同样能使整个系统具有双重变换的能力,这一点可从方程(19)或(17)看出。

5 实验与应用

通过上述分析,结论是分数泰伯效应可以与分数傅里叶变换同时发生或者说可由分数傅里叶变换产生。这可用实验证实。在图1的x 0平面处放置一张朗奇光栅并以相干光照明。图中泰伯数N 选为1/2,透镜焦距为130mm,光波波长为0.6328μm,光栅周期T 为0.5mm ,光栅开口比为1/4。把这些参数代入方程(13)和方程(5),就能计算出O 为119.7°或60.3°。我们用O 等于119.7°做一实验验证,即光栅放置在透镜左边距透镜的距离为f (1-co s O )=194.5m m 处。在透镜右边的这个距离上就可以得到N 为1/2的分数泰伯像。它的周期是T /2,但还要考虑一个尺度因子cos O ,因而观察到的实际周期应为cos O T /2,它等于0.124mm 。图3(a )1652期华建文等:分数傅里叶变换产生分数泰伯效应

及3(b )分别是物光栅和它的分数傅里叶变换下的分数泰伯像的照片。图3(a )的照相放大因子为2,图3(b )的照相放大因子为10。从图3中可以看到3(a )与(b )有两点不同。一为周期不同,另一为黑白条纹的宽度比不同。图3(a )的黑条纹宽度与节距之比为1/4,图3(b )的黑条纹宽度与节距之比为1/2。如果从分数泰伯像中扣除比例因子co s O ,则此光栅像正好是物光栅再加上移过了二分之一周期后的这个物光栅。像的频率正好是物光栅频率的2倍。这说明图3(b )确实是带有一个比例因子的分数泰伯像

图3光栅的双重分数变换的结果

焦距f :130mm,角度O :119.7°。(a )光栅,节距T :0.5

mm ,开口比1/4,照相比例:2;(b )分数泰伯像。条纹周期:

0.124mm,亮暗宽度比:1 1,照相比例:10

Fig.3The r esult of a g ra ting under the dua l fr actio na l

tra nsfo rm

Th e focal leng th f is 130mm ,and O is 119.7

°.(a )th e grat-ing,its pitch T is 0.5mm,and th e open ratio is 1/4.ph oto-

graphic scale :2;(b )th e fractional image,the period of

fringes is 0.124m m ,th e wid th of b lack fringes occupies h alf

period ,ph otog raphic s cale :10

作为一个例子,我们用它来观察炽热气体的流型。在图2所示的系统中,在x 1平面处插入一个酒精焰炬。由于火焰近似于一种位相型物体,可以用exp [j θ(x )]来表示它。这样,第二级分数傅里叶变换的输入便是g 1(x 1)ex p [j θ(x )]。g 1(x 1)是物光栅g 0(x 0)的第一级分数傅里叶变换的输出,也是它的第一级分数泰伯像。根据方程(4)在平面x 2上的输出为

g 2(x 2)=F P

2{g 1(x 1)ex p [j θ(x 1)]}

=∫g 1(x 1)ex p [j θ(x 1)]×ex p [j c (x 21+x 22)/(λf e tg O 2)]ex p [-j 2c x 2x 1/(λf e sin O 2)]d x 1

=lim x 1→∞∫x 1-x 1u (x 1)ex p [j θ(x 1)]d x 1(20)

这里

u (x 1)=g 1(x 1)ex p [j c (x 21+x 22)/(λf e tg O 2)]ex p [-j 2c x 2x 1/(λf e sin O 2)](21)设∫u (x

1)d x 1=v (x 1)(22)方程(20)就可写成g 2(x 2)=lim x 1→∞∫x 1

-x 1

ex p [j θ(x )]d v (x 1)=lim x 1→∞{v (x 1)ex p [j θ(x 1)]}x 1-x 1-lim x 1→∞∫x

1-x 1

v (x 1)ex p [j θ(x 1)]j d θ(x 1)(23)假设焰炬是关于x 1对称的并且在无穷远处θ=θ0,则方程(23)便成为

g 2(x 2)=ex p(j θ0)lim x 1→∞∫x

1-x 1u (x 1)d(x 1)-lim x 1→∞∫x 1-x 1

v (x 1)ex p [j θ(x 1)]j d θ(x 1)(24)把方程(21)代入(24),就有

g 2(x 2)=exp(j θ0)F P

2[g 1(x 1)]-j ∫+∞

-∞v (x 1)ex p [j θ(x 1)]d θ(x 1)(25)方程(25)右边第一项F P 2[g 1(x 1)]在上述导出的条件下可以是光栅g 0(x 0)的分数泰伯像。第

166中 国 激 光24卷

图4双重分数变换测得的火焰密度场 Fig.4The flame density distributio n de-tected by the dual fra ctio nal t rans-

fo rm 二项与位相物体的分布有关。如果物体是均匀的则

d θ(x 1)=0,第二项就为0。我们放一块与

F P 2[g 1(x 1)]匹配的检测光栅在x 2平面上来观察第

二项。物光栅与检测光栅的栅线必须平行放置,并且

都在铅垂方向。检测光栅的条纹必须能与分数泰伯

像F P

2[g 1(x 1)]互补。首先观察没有火焰时的莫尔条

纹,渐渐地转动检测光栅使得条纹宽度趋于无限。这

时,如果在x 1处放入一个焰炬,炽热气体的流型分布

就立即出现在检测光栅上。图4便是它的照片,它相

应于方程(25)中的积分项。

用分数傅里叶变换产生分数泰伯像来观察火

焰,运算简单并且具有一个灵活的比例因子cos O 可调节照明区的大小。除此之外,光栅像的栅线的周期

也可调节。当然光栅在平行光照明下在自由空间中形成的泰伯像也可用来观察火焰,但照明区的大小是无法调节的。另一种观察位相物体的方法是波面成像剪切干涉法。把位相体的波面通过两条光路成像在一起,并使两个波面具有一相对剪切量,这样就产生干涉条纹。这种装置相对复杂并且尺寸大,因为对于透镜成像,物体和它的像之间的距离至少为4f ,而对于分数傅里叶变换,物体与变换平面之间的距离为2R tg (O /2)(见图1),即2f (1-cos O )。

6 结 论

在方程(13)这一条件下,分数傅里叶变换可使光栅产生分数泰伯像即分数傅里叶变换和分数泰伯自成像能同时发生。这种双重变换系统能多个级联。级联结果仍能为一种双重变换。级联的运算法则由方程式(19)给出。由双重分数变换得到的光栅像的大小和周期都是灵活可变的。比例因子为cos O 控制着像的大小。分数像的实际观察周期为原光栅周期的cos O /U 倍。利用这双重的分数变换有助于一些光学系统的设计和分析,也有助于光路级联中计算的简化和概念的清晰。

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Fractional Talbot Effect under Fractional Fourier Transform

Hua J ianw en Liu Liren

(Shanghai I nstitute of Optics and Fine Mechanics,Chinese Academy of Sciences,Shanghai201800)

Abstract How to produce the Talbo t fractio nal effect using the fraction-

al Fourier transform is discussed.The optical co nditio ns under which

this dual transform will be realized,tra nsfo rm scale factor,image peri-

od and o peration rule fo r cascade a re deduced,and then an ex periment

was made to v erify the theo ry.This dual transfo rm is helpful fo r the

desig n,analy sis a nd calculatio n of an o ptical sy stem.An ex ample o f ap-

plication is given in the end.

Key words o ptical transfo rm,Fo urier transform,Talbo t effect

MAtlab傅里叶变换实验报告

班级信工142 学号 22 姓名何岩实验组别实验日期室温报告日期成绩报告内容:(目的和要求,原理,步骤,数据,计算,小结等) 1.求信号的离散时间傅立叶变换并分析其周期性和对称性; 给定正弦信号x(t)=2*cos(2*pi*10*t),fs=100HZ,求其DTFT。 (a)代码: f=10;T=1/f;w=-10:0.2:10; t1=0:0.0001:1;t2=0:0.01:1; n1=-2;n2=8;n0=0;n=n1:0.01:n2; x5=[n>=0.01]; x1=2*cos(2*f*pi*t1); x2=2*cos(2*f*pi*t2); x3=(exp(-j).^(t2'*w)); x4=x2*x3; subplot(2,2,1);plot(t1,x1); axis([0 1 1.1*min(x2) 1.1*max(x2)]); xlabel('x(n)');ylabel('x(n)'); title('原信号x1'); xlabel('t');ylabel('x1'); subplot(2,2,3);stem(t2,x2); axis([0 1 1.1*min(x2) 1.1*max(x2)]); title('原信号采样结果x2'); xlabel('t');ylabel('x2'); subplot(2,2,2);stem(n,x5); axis([0 1 1.1*min(x5) 1.1*max(x5)]); xlabel('n');ylabel('x2'); title('采样函数x2'); subplot(2,2,4);stem(t2,x4); axis([0 1 -0.2+1.1*min(x4) 1.1*max(x4)]); xlabel('t');ylabel('x4'); title('DTFT结果x4'); (b)结果: 2.用以下两个有限长序列来验证DTFT的线性、卷积和共轭特性; (n) x1(n)=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];x2(n)=R 10 (1)线性:(a)代码: w=linspace(-8,8,10000); nx1=[0:11]; nx2=[0:9]; x1=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];

希尔伯特变换与傅立叶变换

在数学与信号处理的领域中,一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积,以得到。因此,希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出,而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学, 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope),出现在通讯理论(应用方面的详述请见下文。) 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下: 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value),其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是: 若,则可被定义,且属于;其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出: , 其中 ?是傅立叶变换, ?i (有时写作j )是虚数单位, ?是角频率,以及

? 即为符号函数。 既然: , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°,而正频率成分偏移?90°。 反(逆)希尔伯特转换 我们也注意到:。因此将上面方程式乘上,可得到: 从中,可以看出反(逆)希尔伯特转换 傅里叶变换(Fourier变换)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。

傅立叶变换的原理、意义和应用

傅立叶变换的原理、意义和应用 1概念:编辑 傅里叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分,比如正弦波、方波、锯齿波等,傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。 参考《数字信号处理》杨毅明著,机械工业出版社2012年发行。 定义 f(t)是t的周期函数,如果t满足狄里赫莱条件:在一个周期内具有有限个间断点,且在这些间断点上,函数是有限值;在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅里叶变换, ②式的积分运算叫做F(ω)的傅里叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数,f(t)叫做 F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换 中文译名 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译

名,常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。为方便起见,本文统一写作“傅里叶变换”。 应用 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小)。 相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; *卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; * 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).[1] 2性质编辑 线性性质 傅里叶变换的线性,是指两函数的线性组合的傅里叶变换,等于

快速傅里叶变换(FFT)原理及源程序

《测试信号分析及处理》课程作业 快速傅里叶变换 一、程序设计思路 快速傅里叶变换的目的是减少运算量,其用到的方法是分级进行运算。全部计算分解为M 级,其中N M 2log =;在输入序列()i x 中是按码位倒序排列的,输出序列()k X 是按顺序排列;每级包含2N 个蝶形单元,第i 级有i N 2 个群,每个群有12-i 个蝶形单元; 每个蝶形单元都包含乘r N W 和r N W -系数的运算,每个蝶形 单元数据的间隔为12-i ,i 为第i 级; 同一级中各个群的系数W 分布规律完全相同。 将输入序列()i x 按码位倒序排列时,用到的是倒序算法——雷德算法。 自然序排列的二进制数,其下面一个数总比上面的数大1,而倒序二进制数的下面一个数是上面一个数在最高位加1并由高位向低位仅为而得到的。 若已知某数的倒序数是J ,求下一个倒序数,应先判断J 的最高位是否为0,与2 N k =进行比较即可得到结果。如果J k >,说明最高位为0,应把其变成1,即2 N J +,这样就得到倒序数了。如果J k ≤,即J 的最高位为1,将最高位化为0,即2N J -,再判断次高位;与4N k =进行比较,若为0,将其变位1,即4 N J +,即得到倒序数,如果次高位为1,将其化为0,再判断下一位……即从高位到低位依次判断其是否为1,为1将其变位0,若这一位为0,将其变位1,即可得到倒序数。若倒序数小于顺序数,进行换位,否则不变,防治重复交换,变回原数。 注:因为0的倒序数为0,所以可从1开始进行求解。 二、程序设计框图 (1)倒序算法——雷德算法流程图

(2)FFT算法流程

分数傅里叶变换

分数傅里叶变换 分数傅里叶定义: 分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次,其中不一定要为整数(比傅里叶变换更加广泛);通过分数傅里叶变换之后,图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。 1.1(维基百科) 第一种定义: 第二种定义: 1.2 从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式: Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换 A.W.Lohmann在1993 年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质,说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数空间中相当于角度是pπ/2的旋转,这里,p是分数傅里叶变换的级次。

分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。当分数傅里叶变换的幂次p从0 连续增长到达1 时,分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间(空间)形式开始逐渐变化成为它的纯频域(谱)形式,幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时(空)域和频域之间的一个过渡域的形式,形成一个既包含时(空)域信息同时也包含频(谱)域信息的混合信号。因此,这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时(空)-频描述和分析工具 分数傅里叶的分类: 1.一维分数傅里叶变换 分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式, 1.积分形式 2级数表达式形式 其中 2.二维分数傅里叶变换 其中C为相应常系数。当a=b时, 上式就是二维分数傅里叶变换的表 达式; 当a=b=1时, 上式转化为常规二维傅里叶变换; 当a与b不相等时, 我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。此时在x、y 方向实施的变换级次是不同的。 分数傅里叶变换的性质 1周期性:(k为整数) 2线性:(c1和c2是复常数)

常用傅里叶变换表

时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 | 线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 \ 4 如果值较大,则会收缩 到原点附近,而会扩 散并变得扁平. 当| a | 趋向无 穷时,成为Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 / 傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应

8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 - 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器,sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11- tri是三角形函数 12变换12的频域对应 13高斯函数exp( ? αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时,这是可积的。 ¥14 15 16》 a>0

18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性:该函数是常函数的傅立叶变换 【 19 变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21` 由变换1和25得到,应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用,我们可以变换所有多项式。 / 24此处sgn(ω)为符号函数;注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式

26【 变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数,且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.

快速傅里叶变换原理及其应用(快速入门)

快速傅里叶变换的原理及其应用 摘要 快速傅氏变换(FFT),是离散傅氏变换的快速算法,它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性,对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现,但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换,可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用,但是它的计算过于复杂,大量的计算对于系统的运算负担过于庞大,使得一些对于耗电量少,运算速度慢的系统对其敬而远之,然而,快速傅里叶变换的产生,使得傅里叶变换大为简化,在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度,增强了系统的综合能力,提高了运算速度,因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用,对于学习掌握都有着非常大的意义。 关键词快速傅氏变换;快速算法;简化;广泛应用

Abstract Fast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance. Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used

基于分数阶Fourier变换的图像加密算法

Electronic Component & Device Applications 姨 ·exp(j (s 2+u 2)2tan α-jsu sin α )exp(j (t 2+v 2 )2tan β -jtv sin β ) (1) 其中,α=p 1π/2,β=p 2π/2,表示信号通过二维傅里叶变换后的旋转角度。应用二维傅里叶变换核K p1,p2(s ,t ,u ,v ),在变换阶数p 1和p 2给定的情况下,信号f (s ,t )的二维分数阶傅里叶变换定义为: F p1,p2(u ,v )= ∞-∞ 乙∞ -∞ 乙f (s ,t )K p1,p2 (s ,t ,u ,v )dsdt (2) 因为二维分数阶傅里叶变换核是可分离的, 即: K p1,p2(s ,t ,u ,v )=K p1(s ,u )×K p2(t ,v ) (3) 二维离散分数阶傅里叶变换和逆变换定义 为: X p1,p2(m ,n )=M -1m =0 ΣN -1 n =0 Σx (p ,q )K p1,p2(p ,q ,m ,n ) (4)x (m ,n )=M -1m =0 ΣN -1 n =0 ΣX p1,p2(m ,n )K -p1,-p2(p ,q ,m ,n ) (5) 收稿日期:2010-09-21 基于分数阶Fourier 变换的图像加密算法 尚宇雄,尚 宇 (西安工业大学电子信息工程学院,陕西 西安 710032) 摘 要:针对目前基于分数阶傅里叶变换的图像加密算法中存在的不足,设计了一种基于分 数阶傅里叶变换和混沌系统的图像加密新算法。该方案的安全性依赖于随机混沌图像、分数阶傅里叶变换阶数以及混沌系统的初始参数。理论分析和模拟实验结果表明该方案具有良好的图像加密效果。 关键词:分数阶Fourier 变换;混沌置乱;图像加密 doi:10.3969/j.issn.1563-4795.2011.03.017 52

分数傅里叶变换产生分数泰伯效应

*国家自然科学基金资助项目。收稿日期∶1996—02—06;收到修改稿日期∶1996—03—28第24卷 第2期 中 国 激 光V o l.A24,N o.2  1997年2月C HIN ESE J O U RN AL O F LASERS February ,1997 分数傅里叶变换产生分数泰伯效应* 华建文 刘立人 (中国科学院上海光机所 上海201800) 提要 讨论了如何使用分数傅里叶变换来产生分数泰伯效应,导出了要产生这种双重变换的光学 条件,变换后的周期、变换比例因子和级联运算法则,并进行了实验验证。这种双重变换有助于光 学系统的设计、分析和计算。最后给出了应用实例。 关键词 光学变换,傅里叶变换,泰伯效应 1 引 言 分数傅里叶变换的概念是Namias [1]首先提出的。后来由McBride 和Kerr [2] 把它发展成一个较为完整的数学理论。它是傅里叶变换的全族。后来,Lohm ann [3]在分析Wig ner 函数的基础上建立了光学领域中的分数傅里叶变换,并给出了光学实现的两种方案。Mendlovic 和Oza-ktas [4,5]研究了分数傅里叶变换的某些特性以及在光纤中的光学实现。文献[6~11]报道了一些分数傅里叶变换的应用。泰伯效应是光栅在相干光照明下在自由空间中某些特定的距离Z 处自成像的现象。分数泰伯效应或称分数泰伯自成像是指这种成像过程发生在Z 的分数距离上,如Z /2处,Z /3处等等。关于它的基本理论及许多应用的回顾可在文献[12]及[13]中找到。本文主要研究如何利用分数傅里叶变换使光栅产生分数泰伯像,或者说如何使分数傅里叶变换和分数泰伯自成像同时发生。这两种过程同时发生有一定的实用意义。利用这双重的分数变换(自成像也可看作一种变换)有助于一些光学系统的设计和分析,也有助于光路级联计算的简化。我们把它用于位相物体观察系统的光学设计,得到的装置比波面成像剪切干涉系统简单,尺寸又小。而且还能满足观察不同大小物体的要求。2 分数泰伯效应和分数傅里叶变换 泰伯效应是一相干波照明一光栅,在自由空间中距光栅的某些特定的平面上能出现一些准确泰伯像和更多的分数泰伯像[13]。一块周期为T ,开口比为h 的朗奇光栅可用下式描述 g (x ,y )=rect(x /h )* n W (x -n T )(1)符号“*”表示卷积。用单色平面波照明光栅,其菲涅耳衍射场在光栅后方自由空间中传播,在离光栅距离为Z 的平面上,光强分布为[13]

快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式

快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式 原理及公式 非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为 式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是,在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。 有限长离散信号x(n),n=0,1,…,N-1的DFT定义为: 可以看出,DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N较大时,这个计算量是很大的。利用WN的对称性和周期性,将N点DFT分解为两个N/2点 的DFT,这样两个N/2点DFT总的计算量只是原来的一半,即(N/2)2+(N/2)2=N2/2,这样可以继续分解下去,将N/2再分解为N/4点DFT等。对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT,这样其计算量可以减少为(N/2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT算法的优越性。 将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和,即

x1(n)和x2(n)的长度都是N/2,x1(n)是偶数序列,x2(n)是奇数序列,则 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N/2点DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期,且WN k+N/2=-WN k,所以X(k)又可表示为: 上式的运算可以用图2表示,根据其形状称之为蝶形运算。依此类推,经过m-1次分解,最后将N点DFT分解为N/2个两点DFT。图3为8点FFT的分解流程。 FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换,降低了运算要求,提高了与运算速度。FFT不是DFT的近似运算,它们完全是等效的。 关于FFT精度的说明: 因为这个变换采用了浮点运算,因此需要足够的精度,以使在出现舍入误差时,结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。为了FFT的舍入误差,应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。以256为基数、长度为N字节的数

图像处理与傅里叶变换原理与运用

图像处理与傅里叶变换 1背景 傅里叶变换是一个非常复杂的理论,我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。 1.1离散傅立叶变换 图象是由灰度(RGB )组成的二维离散数据矩阵,则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。 对图像数据f(x,y)(x=0,1,… ,M-1; y=0,1,… ,N-1)。则其离散傅立叶变换定义可表示为: 式中,u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为 式中,x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1 在图象处理中,一般总是选择方形数据,即M=N 影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱: 相位谱: 能量谱(功率谱) ) 1(2exp ),(1),(101 ∑∑ -=-=????? ???? ??+-= M x N y N vy M ux i y x f MN v u F π) 2(2exp ),(1),(101 ∑∑ -=-=????? ???? ??+= M u N v N vy M ux i v u F MN y x f π) ,(),(),(2 2 v u I v u R v u F +=[] ),(/),(),(v u R v u I arctg v u =?) ,(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==

1.2快速傅里叶变化 可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现,对于一个影像f(x,y),可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换,再对其每一行再求一维变换 正变化 逆变换 由于二维的傅立叶变换具有可分离性,故只讨论一维快速傅立叶变换。 正变换 逆变换 由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。 按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时,对于N 个F ∑ ∑∑∑ -=-=-=-=? ???? ? ?????? ? = ?? ???? +=1 1 0101 )(2exp ),(1 )(2exp ),(1 )(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F N N ux i v u F N N vy ux i v u F NN y x f πππ∑ -=?? ? ???-= 1 2exp )(1)(N x N ux i x f N u F π∑ ∑ ∑∑ -=-=-=-=? ???? ? -?????? ? -= ?? ???? +-= 1 1 101 )(2exp ),(1 )( 2exp ),(1 )(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f N N ux i y x f N N vy ux i y x f NN v u F πππ∑ -=?? ????= 1 2exp )(1)(N u N ux i u F N x f π

分数阶傅里叶变换

分数阶傅里叶变换的MATLAB 仿真计算以及几点讨论 在Haldun M. Ozaktas 和 Orhan Arikan 等人的论文《Digital computation of the fractional Fourier transform 》中给出了一种快速计算分数阶傅里叶变换的算法,其MATLAB 计算程序可在https://www.360docs.net/doc/628335261.html,.tr/~haldun/fracF.m 上查到。现在 基于该程序,对一方波进行计算仿真。?????<=其它 ,01,1)(t t x 注:网上流传较为广泛的FRFT 计算程序更为简洁,据称也是Haldun M. Ozaktas 和 Orhan Arikan 等人的论文《Digital computation of the fractional Fourier transform 》使用的算法。但是根据Adhemar Bultheel 和 Hector E. Martnez Sulbaran 的论文《Computation of the Fractional Fourier Transform 》中提到,Ozaktas 等人的分数阶傅里叶变换的计算程序仅有上述网站这一处,而两个程序的计算结果基本相符。本文使用较为简洁的计算程序,Ozaktas 等人的计算程序在附表中给出。 程序如下: clear clc %构造方波?????<=其它 ,01 ,1)(t t x dt=0.05; T=20; t=-T:dt:T; n=length(t); m=1; for k=1:n; % tt=-36+k; tt=-T+k*dt; if tt>=-m && tt<=m x(k)=1; else

实验六傅里叶变换及其反变换

实验六 傅里叶变换及其反变换 6.1实验目的 1.学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶变换; 2.学会运用MATLAB 求连续时间信号的傅里叶反变换; 3.学会运用MATLAB 求连续时间信号的频谱图。 6.2实验原理及实例分析 1.连续时间信号傅里叶变换----CTFT 傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义,它主要是用来进行信号的频谱分析的。傅里叶变换和其逆变换定义如下: ?∞ ∞--= dt e t x j X t j ωω)()( 6.1 ?∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 6.2 连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。按照教材中的说法,任意非周期信号,如果满足狄里克利条件,那么,它可以被看作是由无穷多个不同频率(这些频率都是非常的接近)的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的,每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量(frequency component ),其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值,其相位为对应频率的X(j ω)的相位。 X(j ω)通常为关于的复函数,可以按照复数的极坐标表示方法表示为: X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω) 其中,| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱,而∠X(j ω)则称为x(t)的相位谱。 给定一个连续时间非周期信号x(t),它的频谱也是连续且非周期的。对于连续时间周期信号,也可以用傅里变换来表示其频谱,其特点是,连续时间周期信号的傅里叶变换时有冲激序列构成的,是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。 2.用MATLAB 实现CTFT 的计算 MATLAB 进行傅里叶变换有两种方法,一种利用符号运算的方法计算,另一种是数值计算。 1) MATLAB 符号运算求解法 MATLAB 符号数学工具箱提供了直接求解傅里叶变换与傅里叶反变换的函数fourier( )及ifourier( )。常用的是:F=fourier(f) 默认返回值是关于ω的函数。 f=fourier(F,t) 返回值是关于t 的函数 例:利用MATLAB 求单边指数信号f(t) = e -2t u(t)的傅里叶变换,画出f(t)及其幅度谱和相位谱图。 syms t v w x phase im re ; %定义符号变量 f = exp(-2*t)*sym('Heaviside(t)'); %f(t)=exp(-2*t)*u(t) Fw = fourier(f); %求傅里叶变换 subplot(311); ezplot(f); %绘制f(t)的时域波形 axis([-1 2.5 0 1.1]); subplot(312); ezplot(abs(Fw)); %绘制幅度谱 im = imag(Fw); %计算F(w)的虚部

5.图像的频域增强及傅里叶变换

5. 图像的频域增强及傅里叶变换 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面,傅立叶的改进算法,比如离散余弦变换,gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中,傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用: 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量,通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量,可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘; 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取: 形状特征:傅里叶描述子 纹理特征:直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征:将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据;常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换;傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下,傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象:一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器,每个成分的颜色由波长(或频率)来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜,将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性,对称性(可以用在计算信号的傅里叶变换里面);时移性:函数在时域中的时移,对应于其在频率域中附加产生的相移,而幅度频谱则保持不变;频移性:函数在时域中乘以,可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理,通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性(将不同的信号调制到不同的频段上同时传输);卷积定理:时域卷积等于频域乘积;时域乘积等于频域卷积(附加一个系数)。(图像处理里面这个是个重点) 信号在频率域的表现 在频域中,频率越大说明原始信号变化速度越快;频率越小说明原始信号越平缓。当频

傅里叶变换算法详细介绍

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、 DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换(Real DFT) 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /********************************************************** *****************************************/ 这一片的傅里叶变换算法,讲解透彻,希望对大家会有所帮助。感谢原作者们(July、dznlong)的精心编写。 /********************************************************** ****************************************/ 前言:

“关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong, 那么,到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换(Fourier transform)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。 哦,傅里叶变换原来就是一种变换而已,只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下,你就知道了,傅里叶就是一种变换,一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok,咱们再来总体了解下傅里叶变换,让各位对其有个总体大概的印象,也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式,究竟有多复杂: 以下就是傅里叶变换的4种变体(摘自,维基百科) 连续傅里叶变换 一般情况下,若“傅里叶变换”一词不加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数f(t)表示成复指数函数的积分或级数形式。

分数阶Fourier变换在通信中的应用

分数阶Fourier变换在通信中的应用 分数阶Fourier变换是对经典Fourier变换的推广。最早由Namias 以数学形式提出, 并很快在光学领域得到了广泛应用。而其在信号处 理领域的潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘。尽管分数阶Fourier变换的定义式直观上看仅是chirp基分解, 而实质上分数阶Fourier 变换更具有时频旋转的特性,它是一种统一的时频变换,随 着变换阶数从0 连续增长到 1 而展示出信号从时域逐步变化到频域 的所有特征。 一、FRFT概述 FRFT是一种重要的时频分析工具,其根本特点可以理解为对傅 立叶变换特征值的分数化。酉性、旋转相加性和对信号时频形式的统 一性是FRFT的基本性质。由于对特征值分数化方式的不同,以及对FRFT性质约束的宽泛性,使得FRFT具有很多种不同的定义形式。 根据这些定义各自的出发点和基本特征,可以大致将其划分为两类,即:经典类FRFT(CFRFT)和加权类FRFT(WFRFT)。 CFRFT是提出比较早的一种FRFT形式,目前CFRFT定义主要有三种不同形式:一种是V. Namias在1980年从傅立叶变换的特征值与特征函数的角度定义了分数傅立叶变换,数学上表示为“无穷级数和”的形式;另一种是1987年,A. C. Mcbride和F. H. Kerr基于Namias 的标准Chirp类分数傅立叶变换提出的“积分形式”;最后一种是 A. W.Lohmann在1993年从Wigner分布函数相空间的角度定义的分数傅 立叶变换。三种定义形式研究角度不同,但可以证明是相互等价的。

由于经典FRFT具有chirp形式的正交基,因而经典类FRFT又被称为“chirp类FRFT”。经典FRFT在求解微分方程、量子力学、信号 分析和处理等科学研究中有着比较广泛的应用;工程技术方面,如光通信系统、光图像处理等光学相关领域是最早利用经典FRFT的,也是目前应用最成功的。但是受限于经典FRFT的离散算法问题,其在通信领域的应用受到了比较大的限制。 二、FRFT分类及通信中的应用 CFRFT在通信系统中的应用往往与Chirp 信号在通信中的使用密不可分。IEEE 802.15.4a中就有两种不同的采用Chirp信号作为传输信号的调制方式。其一是利用Chirp信号的扩频特性的CSS技术,它将Chirp信号的扫频率作为调制参数;其二是在脉冲超宽带系统中 利用Chirp信号设计脉冲波形。考虑到线性调频信号在分数域体现为 冲激函数,易于检测和识别,因此分数阶傅里叶变换常被应用于线性 调频信号的检测与参数估计;而IEEE802.15.4a技术体系下对于时延/频偏的估计,以及同步和测距的需求,都可利用CFRFT进行深入的研究。 Chirp信号在通信系统中的另一个主要应用方式是构造多载波系统。M. Martone针对在时间和频率双选择性衰落信道下传统正交频分 复用系统的子载波正交性容易受到破坏而导致系统性能下降的问题, 提出了基于分数傅里叶变换调制解调的多载波系统,其结果表明该系统是双弥散信道中近似最优的无线通信系统,可以在不增加额外计算的代价下,提升系统性能。其后,T. Erseghe等在Martone的工作基

傅里叶变换在信号与系统系统中的应用.

河北联合大学 本科毕业设计(论文) 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 院系理学院 专业班级07数学一班 学生姓名刘帅 学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日

题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换,且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理;其次,掌握其在滤波,调制、解调,抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法,通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理,由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波,低通滤波,带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化,简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈 连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译 腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电 子科技大学出版社 [9] https://www.360docs.net/doc/628335261.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A.V.Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译:刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人

常用函数傅里叶变换

信号与系统的基本思想:把复杂的信号用简单的信号表示,再进行研究。 怎么样来分解信号?任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统,才可以用单位冲激函数处理,主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。 线性系统(齐次性,叠加定理) 时不变系统 对一个系统输入单位冲激函数,得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西,只要知道了系统对单位冲击函数的响应,就知道了它对任何信号的响应,因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。 例如:d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积 总结为两点:对于现行时不变系统,任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示,任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示 连续时间信号和系统的频域分析 时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和,只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和,只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。

周期函数可以展开为傅里叶级数,将矩形脉冲展开成傅里叶级数,得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。 取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡,0点的值最大,然后渐渐衰减直至0 第一:对于傅里叶级数的系数,n 是离散的,所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上,其包络是取样函数。 第二:谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ,02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变,T 增大,那么0w 减小,当T 非常大的时候,0w 非常小,谱线近似连续,越来越密,幅度越来越小。 傅里叶变换:非周期函数 正变换:--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?( 反变换:-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换(典型非周期信号的频谱)

傅里叶变换

傅里叶变换 法国数学家傅里叶发现,任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示(选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的),后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数,根据欧拉公式,三角函数又能化成指数形式,也称傅立叶级数为一种指数级数。 法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国,程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明 多元三角级数球形和的唯一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。[ 它具有很多好的性质,例如: 收敛性 傅里叶级数的收敛性:满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下: 在任何周期内,x(t)须绝对可积; 傅里叶级数 在任一有限区间中,x(t)只能取有限个最大值或最小值; 在任何有限区间上,x(t)只能有有限个第一类间断点。 吉布斯现象:在x(t)的不可导点上,如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和x(t),那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。

正交性 所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0,这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如,在三维欧氏空间中,互相垂直的向量之间是正交的。事实上,正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。 傅里叶级数 一组n个互相正交的向量必然是线形无关的,所以必然可以张成一个n维空间,也就是说,空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。 傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义,首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明:任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号,以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。 和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理,这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此,可以说,傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号(信号的频谱),可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域,傅里叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 在数学领域,尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具,但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。任意的函数通过一定的分解,都能够表示为正弦函数的线性组合的形式,而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类:1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。 正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

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