衢州市衢江区2013-2014学年第一学期九年级第三次联考

数学试题

参考公式：抛物线2

y ax bx c =++的顶点坐标为2424b ac b a a ??

-- ???

，；

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1．Sin60°=（） A ．

．2 D ．1

2．已知甲、乙两地相距100（km ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t （h ）与行驶速度v

（km/h ）的函数关系图象大致是（）

3．抛物线22(1)3y x =++的顶点坐标（）

A.（1，3）

B.（1，-3）

C.（-1，-3）

D.（-1，3） 4．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A=α，AC =3，那么AB 的长为（）

A ．3sinα

B ．3cosα

C ．3cos α

D ．3

sin α

5．下列计算错误的是（）

A ．0.220.77a b a b a b a b

++=

-- B ．3223x y x x y y = C ．1a b

b a

-=-- D ．123c

c c

= 6．如图，将一个有45°角的三角板ABC 的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的

另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的最大边AB 的长为（） A. 3 cm B.6cm

D. 7．如图，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于D ，∠A =50°，则∠OCD 的度数是（） A. 40° B ．45° C ．50° D ．60°

8．把抛物线y ＝(x －1)2＋2绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为（） A ．y ＝－(x ＋1)2－2 B ．y ＝－(x －1)2－2 C ．y ＝－(x －1)2+2 D ．y ＝－(x ＋1)2+2

9．已知如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论中正确的是（） A ．AB 2=AC 2+BC 2 B ．BC 2=AC?BA

A B C

第6题图第7题图

第9题图

．

12BC AC = D

．12

AC BC =

10．如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO=90°，点A 的坐标为（1，2），将△AOB 绕点A 逆时针旋转

90°，点O 的对应点C 恰好落在双曲线y=

（x ＞0）上，则k 的值为（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．若3是x 和4的比例中项，则x 的值为___________ 12．已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4cm ，则它的侧面积为________cm 2（结果保留π）． 13．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，量角器的直径与斜边AB 相等，点D 对应的度数是56°，则

∠ACD= . 14．如图，A 是反比例函数y=

图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，△ABP 的面积为

15．在△ABC 中，AB=16,AC=10, ∠ABC=30°,则BC=

16．如图在平面直角坐标系中，一次函数43y x =-的图像与反比例函数k

y x

的图像交于A 、B 两点，则：（1）k 的值是；（2）点P 在x 轴上，且满足以点A 、B 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则P 点的坐标是 .

三、解答题（本题有8小题，共66分．务必写出解答过程） 17．（本题6分）计算：211

2()3033

--+-?+-； 18．（本题6分）已知：

2,a b b

a b a

+=-求的值.

19．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度

AB=20米，顶点M 距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N 距水面4.5米（即NC=4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求（1）大孔抛物线形的解析式；（2）此时大孔的水面宽度EF ． 20．（本题8分）

在“二中60周年校庆”的活动中，其教学楼上悬挂着庆祝条幅DC ，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后，又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°，已知测点A 、B 和C 离地面高度都

第14题第13题

第16题

为1.44米，求条幅顶端D 点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，

≈1.414

≈1.732．） 21．（本题8分）如图，AB 为O ⊙的直径，AB=AC ，BC 交O ⊙于点

D ，AC 交O ⊙于点

E ．（1）求证：BD=CD ；（2）若AB=8，∠BAC=45°，求阴影部分的面积．

22．（本题10分）二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下所示，相应图象如图所

示，结合表格和图象回答下列问题：

（1）抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=________；（2）求出二次函数y=ax 2+bx+c 的解析式及m 的值；

（3）求当方程ax 2+bx+c=k 有解时k 的取值范围．（结合图形直接写出答案）

23．（本题10分）数学课上，王老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中

点．∠AEF=90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F ，求证：AE=EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE=EF

（1）观点一：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其

它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立．

观点二：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．

请从以上两个观点中选择一个观点判断是否正确，如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.

（2）拓展：如图4，当四边形ABCD 是矩形，且AB=2AD 时，点E 是边BC 上的任意一点（不与B 、C 重

合），∠AEF=90°，且AE=2EF ，连接CF ，求tan ∠FCG 的值．

24. （本题12分）如图，在直角坐标系中，已知点A 0），B （0），以点A 为圆心，AB

为半径的圆与x 轴相交于点B ，C ，与y 轴相交于点D ，E ．（1）若抛物线y=

x bx c ++经过C ，D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上；（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得PE PC - 最大；

（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线

上是否存在这样的点M ，使得以 B 、C 、Q 、M 为顶

图

点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．

数学答题卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11． 12． 13．_________ 14． 15． _________ 16．三、解答题（本题有8小题，共66分．务必写出解答过程） 17．(本题6分)

计算：2112(3033

--+?+-；

18．（本题6分）已知：2,a b b

a b a

+=-求的值.

19．(本题6分)

20．（本题8分）

21．（本题8分）（1）（2）

（1）

（2）

（3）

23．（本题10分）

（1）

（2）

24．（本题12分）

（1）

（2）

（3）

初三数学答案

10.解：如图

∵抛物线

21322y x x =--与直线y=x-2交于A 、

B 两点，∴ 2

1322x x -- =x-2，解得：x=1或x=12

，当x=1时，y=x-2=-1，

当x=12时，y=x-2=-32，∴点A 的坐标为（12，-3

），点B 的坐标为（1，-1），∵抛物线对称

轴方程为：x=-1

作点A 关于抛物线的对称轴的对称点A′，作点B 关于x 轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与对称轴的交点是E ，与x 轴的交点是F ， ∴BF=B′F ，AE=A′E ，

∴点P 运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延长BB′，AA′相交于C ，

∴A′C=1，B′C=

， ∴A′B′=

2． ∴点P 运动的总路径的长为

．

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 2； 12. 2π；13. 4； 14. 4027x ；

15. 8(写对一个1分，2个3分，3个4分)

16. K=-，EH=

附：16.解：连OB,过E 作EM ⊥OC 于M,由折叠，点B 与点O 重合，且F 为DE 中点，可知：⊿FMO ～⊿BC0，

相似比为1:2，得：⊿FMO 的面积为矩形ABCD 面积的1

，由矩形面积为FMO ∴；

设AE=a,EH=b,MH=X,则：ab=1

(a+x)b ，得：x=a ，OD=3a,由⊿ODG ≌⊿OEH 得：OE=OD=3a,EH=∴×a=

解得：a=1, ∴EH=

三、解答题（本题有8小题，共66分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17．解；原式

=4331-+-+=

18．化简原式得：x-1 ，

19．如图所示△ABC 就是所求的等腰三角形

（1）填空：C 点的坐标是，△ABC 的面积是;

（2）

20．解：在Rt △BCD 中，tan45°=

=1，∴CD=BC ．在Rt △ACD 中，tan30°=

AC ＝

3，

∴

AB BC

+＝

3．

∴

10CD

+＝

． ∴

∴5≈13.66

∴条幅顶端D 点距离

地面的高度为13.66+1.44=15.1（米）．

21．（本题8分）

（1）证明：连结AD ，

∵AB 为⊙O 直径 ∴AD ⊥BC 又∵AB=AC ∴BD=CD （2）连结OE ，

S 阴=S △BOE +S 扇形OAE =8+4π

22．解：（1）小明骑车速度：

在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h ）

（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km /h ）

设直线BC 解析式为y =20x +b 1，把点B （1，10）代入得b 1=﹣10 ∴y =20x ﹣10 设直线DE 解析式为y =60x +b 2，把点D （，0）代入得b 2=﹣80∴y =60x ﹣80 ∴

解得

∴交点F （1.75，25）．

答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km ．

（3）方法一：设从家到乙地的路程为m （km ）则点E （x 1，m ），点C （x 2，m ）分别代入y =60x ﹣80，y =20x ﹣10得：，

∵

∴

∴m =30．

方法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n （km ），由题意得：

∴n

∴从家到乙地的路程为5+25=30（km ）． 23解：（1）观点一正确.

证明：在AB 上取一点M ，使AM ＝EC ，连接ME ． ∴BM ＝BE ．∴∠BME ＝45°.∴∠AME ＝135°． ∵CF 是外角平分线，

∴∠DCF ＝45°.∴∠ECF ＝135°． ∴∠AME ＝∠ECF ．

∵∠AEB ＋∠BAE ＝90°，∠AEB ＋CEF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CEF ． ∴△AME ≌△BCF （ASA ）． ∴AE ＝EF ．观点二正确．

证明：在BA 的延长线上取一点N ，使AN ＝CE ，连接NE ． ∴BN ＝BE ． ∴∠N ＝∠FCE ＝45° 四边形ABCD 是正方形， ∴AD ‖BE ． ∴∠DAE ＝∠BEA ． ∴∠NAE ＝∠CEF ． ∴△ANE ≌△ECF （ASA ）． ∴AE ＝EF ．

（2）作FM ⊥CG 于M 。∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠FEM=90° ∵∠B=90°∴∠AEB+∠EAB=90° ∴∠EAB=∠FEM ∵∠B=∠EMF=90° ∴⊿EAB ∽⊿FEM ∴AB BE AE

EM FM EF

∵AE=2EF ∴AB=2EM BE=2FM ∵AB=2AD ∴EM=AD ∵AD=BC ∴EM=BC ∴BE=CM ∴CM=2FM ∴tan ∠FCG=

FM CM = 24. 解：（1）令x=0，得y=-2， ∴C （0，-2），

∵∠ACB=90°，CO ⊥AB ， ∴△AOC ∽△COB ，

∴OA?OB=OC 2

， ∴OB=4，

∴m=4，

将A （-1，0），B （4，0）代入y=ax 2

+bx-2，得：抛物线的解析式为y=213

222

x x -- （2）∵HQ ∥AB

∴△CHQ∽△CAB ∴HQ：AB=CR：CO，

即：设HG=x，则

2 52 HQ x

解得：HQ=

-x+5

∴矩形的面积S=HG?HQ=-5

x2+5x

∴当x=-1时，矩形的面积取得最大值．此时点Q的坐标为（2，-1）（2）D(1，-3) 可得∴E（6，7）．

过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），

∴AH=EH=7，∴∠EAH=45°．

过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0），∴BF=DF=3，

∴∠DBF=45°，∴∠EAH=∠DBF=45°，∴∠DBH=135°，

90°＜∠EBA＜135°．

则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：

①若△DBP1∽△EAB，则BP BD AB AE

=，

∴BP115

, ∴OP1=

∴P1（

，0）．

②若△DBP2∽△BAE，则BP BD AE AB

=，

∴BP2=42

，∴OP2=

，∴P2（-

，0）．

综合①、②，得点P的坐标为：P1（13

，0）或P2（-

，0）．