影响集合题难度的因素分析

影响集合题难度的因素分析

摘要 集合是高考必考知识，集合题近年来都是以选择题、填空题的形式出现，难易程度或者简单，或者中等。在集合题的解题过程中常常涉及到高中阶段的多种数学方法、数学思想。因此，了解集合题的命题特点，分析影响集合题难度的因素，对集合的教学、攻克集合题有很大的作用。

关键词 集合、数学方法、数学思想

高考数学试卷中的集合试题是指核心考点为集合内容的高考数学试题[1]。本文中的集合题是指题目核心点为集合内容的数学题，不单单指高考题。在集合题中常常涉及到其他的知识点，如二元一次方程、二元一次不等式、初等函数等等。这也就影响了集合题的难易程度[2]。因此，学好集合知识不一定能很好的完成集合题。本文针对集合题进行分析研究，探索数学集合题的命题特点和规律，期望为教师日常教学、学生复习备考提供一些参考和建议。本文从以下五个方面来分析集合题的难易程度。

1、知识点的个数影响了集合题的难度

有些集合题只考察一个知识点，而有些集合题则会考察到两个、三个知识点，甚至更多。一般来说，一个集合题里所考察的知识点个数越多，则综合型越强，难度越大。

问题1、设集合3,4},{1,2=A ，5},{1,3=B ，则=B A （ ）．

A 、{1,2}

B 、{1,3}

C 、 3,4,5}2{1，，

D 、5}{4，

分析：答案B 。这个问题中所涉及到的知识点有：数集、集合运算中的交集。题目简单，考察学生对集合的交集运算的理解。

问题2、设全集3,4,5},{1,2=U ，集合{1,4}=M ，5},{1,3=N ，

则=)(M C N U （ ）．

A 、{1,3}

B 、{1,5}

C 、 {3,5}

D 、5}{4，

分析：答案C 。这个问题中所涉及到的知识点有：数集、集合运算中的补集和交集。题目比较简单，主要考察学生对集合运算及运算顺序的理解。一般有两种解法。一是常规法：先求M C U ，再求N 与M C U 的交集；二是用文恩图法。

评注：问题1和问题2比较，很容易发现：问题2考察的知识点比问题1多，综合性变强，难度提高。

2、知识点的本身影响了集合题的难度

集合题中常常涉及到除集合之外的知识点。如：一元二次方程、不等式、函数定义域、值域……数学中有些知识点较简单，学生容易掌握，而有些知识点比较难，对学生的理解能力、接受能力要求比较高，不容易掌握。

问题3、已知集合},1),{(22R y x y x y x A ∈=+=， ，

},,),{(R y x x y y x B ∈==，则B A 的元素个数为（ ）

． A 、0 B 、1 C 、2 D 、3

分析：答案C 。本题中给出的两个集合是点集，集合A 指圆心为（0,0）半径为1的圆上的点的集合。集合B 指过原点（0,0）且斜率为1的直线上的点的集合。解法一般有两种。一种是解方程组：将直线方程与圆的方程联立起来解方程组，看解的个数；另一种是数形结合：在同一平面直角坐标系中画出圆和直线的图像，观察其交点个数。

评注：这个题难度适中，对于基础好的同学很容易解出来，基础一般的学生也可以顺利解出，但是对于基础差的学生来说，可能是无从下手。而对于数形结合思想，它是数学中最重要、最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有

效思想[3]，集合题也不例外。

问题4、已知全集R U =，函数11

+=x y 的定义域为集合A ，函数

)2(lo g 2+=x y 的定义域为集合B ，则集合=B A C U )(（ ）．

A 、(-2,-1)

B 、(-2,-1]

C 、,-2)(-∞

D 、)(-1,+∞ 分析：答案B 。分别求函数11+=

x y 和函数)2(log 2+=x y 的定义域，再求

B A

C U )(。 评注：这个题难度较简单，但是题中涉及到函数的定义域问题，而学生在求解函数的定义域时容易出错，特别是对于基础一般或者基础差的学生来说，有点难度。要想准确、快速地解答，需要把题中涉及到的知识点牢牢掌握好。

3、集合题的题型影响了集合题的难度

在高考中，集合题常常以选择题的形式出现，有时候也会是填空题。实际上，在我们平常学习和复习中，集合题也会以解答题的形式出现。

问题5、某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种。则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；

②这三天售出的商品最少有________种。

分析：答案16，29。设第一天售出的商品为集合A ，则A 中有19个元素，

第二天售出的商品为集合B ，则B 中有13个元素，第三天售出的商品为集合C ，则C 中有18个元素。由于前两天都售出的商品有3种，则B A 中有3个元素，后两天都售出的商品有4种，则C B 中有4个元素，所以该网店第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16种。这三天售出的商品种数最少时，第一天和第三天售出的种类重合最多，由于前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，故第一天和第三天都售出的商品可以有17种，即C A 中有17个元素，如图，即这三天售出的商品最少有2＋14＋3＋1＋9＝29种。

评注：这个是填空题，有两问，第一问难度适中，第二问难度较大。最好借助文恩图来解答。

问题6、已知R 为全集，}2)3(log {21-≥-=x x A ，}12

5{≥+=x x

B ，求B A

C R ． 分析：分别解对数不等式2)3(log 21-≥-x 和分式不等式

12

5≥+x ，再求B A C R 。 由已知得4log )3(log 2121≥-x ，因为x 2

1log 为减函数，所以43≤-x ．

由?

??>-≤-0343x x ，解得31<≤-x ．所以}31{<≤-=x x A ． 由125≥+x 可化为02

302)2(5≥+-≥++-x x x x ，即， 得?

??≠+≤+-020)2)(3(x x x ，解得32≤<-x ，所以}32{≤<-=x x B ． 因为}31{≥-<=x x x A C R 或，所以}312{=-<<-=x x x B A C R 或 ．

评注：本题难度较大，主要考察对数不等式和分式不等式的解法。对数不等式一般要借助函数的单调性来求解，而分式不等式一般先转化为一元二次不等式，再求解（注意分母不为0的情况）。

4、含参或不含参影响了集合题的难度

含参变量问题作为高中数学非常重要的一部分，经常直接或间接出现在数学高考试题中。集合作为高中阶段最新接触的数学知识点，含参变量问题出现在集合题里自然也不例外。

问题7、设},12,4{2a a A --=,}9,1,5{a a B --=，已知}9{=B A ，求a 的值．

分析：因为}9{=B A ，所以912=-a 或者92=a ，所以5=a 或3=a 或3-=a ．

当5=a 时，}25,9,4{-=A ，}9,4,0{-=B ，}94{，-=B A ，不满足；

当3=a 时，}9,5,4{-=A ，}9,2,2{--=B ，不满足；

当3-=a 时，}9,7,4{--=A ，}9,4,8{-=B ，}9{=B A ．

综上所述3-=a ．

评注：这个题难度适中，主要考察学生对集合三要素、集合交集的理解。解答过程中运用了分类讨论思想，这在集合题解答过程中经常能看到。分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略。分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置。分类讨论思想是高中阶段重要的数学思想之一，在高考命题中占用重要地位，是高中生必须要熟练掌握的数学思想。

问题8、若集合}01)12()1({22=+++-∈=x a x a R x A 中只有一个元素，则实数a 的值构成的集合为________．

分析：集合A 中只有一个元素，则说明方程01)12()1(22=+++-x a x a 只有一个根或者有两个相等的实根。故分两种情况讨论。

当012=-a ，即1=a 或1-=a 时，

方程分别为013=+x 或01=+-x ，方程都只有一个根，满足题意．

当012≠-a 时，0)1(4)12(22=--+=?a a ，

即054=+a ，得4

5-=a ．此时方程有两个相等的实根，满足题意． 故a 的值构成的集合为}4

5,1,1{--． 评述：这是一道含参变量集合问题。主要考查集合的表示方法（描述法）与方程根的个数的关系。因方程中含有参数a ，故而需要分类讨论，这也使得这道集合题难度加大啦。学生在解题中，很容易忽略二次项系数为1的情况。

5、知识点的逆用影响了集合题的难度

问题9、设集合},23{Z n n a a A ∈+==，集合},13{Z k k b b B ∈-==，试判断集合A 、B 的关系．

分析：先判断元素与集合的关系，再判断集合与集合的关系。

设A a ∈，则1)1(323-+=+=n n a ，Z n ∈，

∵Z n ∈，∴Z n ∈+1，∴B a ∈，故B A ?．

又设B b ∈，则2)1(313+-=-=k k b ，Z k ∈．

∵Z k ∈，∴Z k ∈+1，∴A b ∈，故A B ?．

综上可知B A =．

评注：在说明B a ∈，或A b ∈的过程中，关键在于“凑”，先要凑出形式，然后再推理。

问题10、设集合}2{<-=a x x A ，}12

12{<+-=x x x B ，若B A ?,求实数a 的取值范围．

分析：先解绝对值不等式、分式不等式，再根据集合关系求解。 由2<-a x ，得22+<<-a x a ，所以}22{+<<-=a x a x A ． 由1212<+-x x ，得02

3<+-x x ，即32<<-x ，所以}32{<<-=x x B ． 因为B A ?，所以?

??≤+-≥-3222a a ，于是10≤≤a ． 评述：这是一道考察集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。难度较大，容易出错。在解题过程中可利用数形结合的思想方法，将不等式的解集在数轴上的表示出来进行求解。

综上所述，我们可以知道，影响集合题难度的因素不是唯一的，是多方面的，它是多个因素影响下的综合产物。除此之外，同一道集合题对于不同的学生来说，难度也是不一样的，它跟学生对数学知识、数学方法、解题技巧的熟悉程度都有关系。比如，如果一位学生经常接触跟题目相类似的题目，那这道题对他来说自然就比较简单了。因此，除了了解集合题的命题特点、解题思路，我们可以通过更多地接触集合题、熟悉集合题，“熟能生巧”，以达到降级集合题的难度，更快更准确的求解。

参考文献：

[1]魏元芳，孙彬博.高考试卷中“集合”试题的分析与思考.《中学数学》.2015年.

[2]王琴竹，孟朝霞.通过试题难度控制试卷难度方法的探讨.《电脑知识与技术》.2009年.