2015届高三艺术班数学一轮复习资料 第二章 第3讲 函数的奇偶性及周期性]

第二章函数、导数及其应用

第3讲函数的奇偶性及周期性

一、必记2个知识点

1．函数的奇偶性

(1)周期函数：

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

二、必明3个易误区

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．

3．分段函数奇偶性判定时，f(－x0)＝f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．

三、必会2个方法

1．判断函数奇偶性的两个方法

(1)定义法：

(2)图像法：

2．周期性常用的结论

对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝

1

f (x )

，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1

f (x )

，则T ＝2a .(a >0)

(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x

－3－x

； (4)f (x )＝4－x 2

|x ＋3|－3

；

(5)f (x )＝?????

x 2＋x ，x >0，

x 2－x ，x <0.

解：(1)∵由?

????

x 2

－1≥0，

1－x 2

≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}． 又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )． ∴f (x )既是奇函数又是偶函数．

(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为????

??

32，不关于坐标原点对称，

∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．

(3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－

x －3x ＝－(3x －3－

x )＝－f (x )，

所以f (x )为奇函数．

(4)∵由?

????

4－x 2

≥0，

|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为，

∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3

＝4－x 2

x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．

(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又当x >0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0，

故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；

当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．

判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体如下：

(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； (2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； (3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．

(1)(2013·山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

(2)已知奇函数f (x )的定义域为，且在区间上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．

(1)当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝12＋1

1＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.

A (2)∵f (x )的定义域为，

∴?

????

－2≤1－m ≤2，

－2≤1－m 2

≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在上递减， ∴f (x )在上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)?1－m >m 2－1，即－2

一题多变：本例(2)中条件在区间上“递减”变为“递增”，试想m 的范围改变吗？若改变，求m 的取值范围

解：改变．∵f (x )为奇函数且在上递增，

∴f (x )在上递增．∴m 2－1>1－m .即m >1或m <－2. 由例(2)①知1

应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法

(1)求函数值：

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：

将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．

(3)求函数解析式中参数的值：

利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．

(4)画函数图像和判断单调性：

利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性．

1．设函数f(x)＝x(e x＋a e－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．

解析：∵函数f(x)＝x(e x＋a e－x)(x∈R)是偶函数，∴设g(x)＝e x＋a e－x，x∈R，

由题意知，g(x)为奇函数，∴g(0)＝0，则1＋a＝0，即a＝－1.答案：－1

2．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a 的取值范围是________．

解析：∵y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，

∴函数y＝f(x)在∪∪定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝() A．335 B．338

C．1 678 D．2 012

由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338. B

函数周期性的判定与应用

(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．

设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈时，f(x)＝2x－x2.

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈时，求f(x)的解析式．

解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．

∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)∵x∈，∴－x∈，∴4－x∈，

∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.

又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈．

课后作业

1．(2013·广东高考)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是()

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

解析：选C 由奇函数的概念可知，y ＝x 3，y ＝2sin x 是奇函数． 2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13

B.13

C.12

D ．－1

2

解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1

3.

3已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ????x ＋3

2，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________. 解析：∵f (x )＝－f ???

?x ＋3

2， ∴f (x ＋3)＝f ???

?????x ＋32＋32＝－f ???

?x ＋3

2＝f (x )．∴f (x )是以3为周期的周期函数． 则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2.答案：2

4．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ????－5

2＝( ) A ．－1

2

B ．－14

C.14

D.12

解析：选A ∵f (x )是周期为2的奇函数，

∴f ????－52＝－f ????52＝－f ????52－2＝－f ????12＝－2×12×????1－12＝－12. 做一做

5．(2014·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )

A ．y ＝－1x

B ．y ＝log 2|x |

C ．y ＝1－x 2

D ．y ＝x 3－1

解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．

6．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.

解析：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3·cos a ＋1＝－10＋1＝－9.答案：－9

7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.

解析：法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.

法二：由f (－1)＝f (1)，得|a －1|＝|a ＋1|得a ＝0.答案：0

8．设定义在上的偶函数f (x )在区间上单调递减，若f (1－m )

????

?

－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.

解得：1

2

0在上的解集为( )

A ．(1,3)

B ．(－1,1)

C ．(－1,0)∪(1,3)

D ．(－1,0)∪(0,1)

解析：选C f (x )的图像如图．

当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )<0得x ∈?； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．

10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈时，f (x )＝????121－x

，则：

①2是函数f (x )的周期；

②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝????12x －3

.

其中所有正确命题的序号是________． 解析：由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，

则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝????121＋x ，

函数y ＝f (x )的图像如图所示：

当3

f (x )＝f (x －4)＝????12x －3

，因此②④正确，③不正确．答案：①②④