北师大版高中数学(必修3)1.9《最小二乘估计》word教案123

最小二乘估计

遂川二中：罗连平

教学目标：1、掌握最小二乘法的思想

2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 教学重点：最小二乘法的思想

教学难点：线性回归方程系数公式的应用 教学过程 回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。

问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？

想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。 最小二乘法就是基于这种想法。

问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？

设直线方程为y=a+bx ，样本点A （x i ，y i ） 方法一、点到直线的距离公式 1

2++-=b a

y bx d i i

方法二、()[]2

i

i

bx a y +-

显然方法二能有效地表示点A 与直线y=a+bx 的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。

问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？

例如有5个样本点，其坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），（x 4，

y 4），（x 5，y 5）与直线y=a+bx 的接近程度：

()[]()[]()[]()[]()[]

2

552

442

332

22

2

1

1

bx a y bx a y bx a y bx a y

bx a y +-++-++-++-++- 从而我们可以推广到n 个样本点：（x 1，y 1），（x 2，y 2），…（x n ，y n ）与直线y=a+bx 的接近程度：

()[]()[]()[]2

2

22

2

1

1

n n bx a y bx a y

bx a y +-+++-++-

使得上式达到最小值的直线y=a+bx 就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法

问题4、怎样使()[]()[]()[]2

2

222

11n n bx a y bx a y bx a y +-+++-++- 达

到最小值？

先来讨论3个样本点的情况

设有3个点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），则由最小二乘法可知直线

y=a+bx 与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：

()[]()[]()[]2

3

3

2

2

2

2

1

1

bx a y bx a y bx a y +-++-++-…………………①

整理成为关于a 的一元二次函数)a (f ，如下所示：

()()()[]()()()2

332

222

11332211223bx y bx y bx y bx y bx y bx y a a )a (f -+-+-+-+-+--=

()[]

()()()2

332

222

11223bx y bx y bx y x b y a a -+-+-+--=

利用配方法可得

()[]()

()()()

2

2

332222

1

1

2

33x b y bx y bx y bx y x

b y a )a (f ---+-+-+--=

从而当x b y a -=时，使得函数)a (f 达到最小值。 将x b y a -=代入①式，整理成为关于b 的一元二次函数()b g

，

(

)()()[]

--+-+-=22

32221b x x x x x x )b (g

()()()()()()[]

+--+--+--y y x x y y x x y y x x b 33

21

2

1

1

2

()()()[]2

3

2221y y y y y y -+-+-

同样使用配方法可以得到，当

()()()()()()()()()

2

3

2

2

2

1

3

3

2

2

1

1

x x x x x x y

y x x y y x x y y x x b -+-+---+--+--=

2

2

32

22

133221133x

x x x xy y x y x y x -++-++=

时，使得函数()b g

达到最小值。

从而得到直线y=a+bx 的系数a ，b ，且称直线y=a+bx 为这3个样本点的线性回归方程。

用同样的方法我们可以推导出n 个点的线性回归方程的系数：

2

2

2

22

12211x

n x x x xy n y x y x y x b n n n -+++-+++=

∑∑==--=

n

i i

n

i i

i

x

n x xy

n y x 1

2

2

1

x b y a -=

其中n

y y y y ,n x x x x

n

n +++=+++=

2121

由x b y a -=我们知道线性回归直线y=a+bx 一定过

()y ,x 。

例题与练习

例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y ）与当天气温（x ）之间是线性相关的。数据如下表

（２）如果某天的气温是－3 o C ，请预测可能会卖出热茶多少杯。

可以求得

557576481.a ,.b ≈-≈

则线性回归方程为

y =57.557－1.648x

（2）当某天的气温是－3 o C 时，卖出热茶的杯数估计为：

()63501623648155757≈=-?-...

练习1 已知x ，y 之间的一组数据如下表，则y 与x 的线性回归方程y=a+bx 必经过点

( D ) （A ）（2，2） （B ）（1.5，0） （C ）（1，2） （D ）（1.5，4）

练习2 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下

表：

（２）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y 对销售额x 的回归直线

方程。 解：（1）

=

x

a-

y

b

作业：P60 习题1－8 第1题