任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式
一、任意三角形外接圆半径
设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示）
则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2
22-=-+=
+ab
c b a
（余弦定理）
而R b
R b
22cos ==α，R b R 4sin 22
-
=
α R
a
R a
22cos ==β，R
a R 4sin 2
2
-
=
β 即有：=-+ab c b a 2222R
a R R
b R R a R b 442222
22
-
?
--? 即有：2
22222222)
4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=
-+ 所以：)4)(4()(
222222
222
a R
b R ab
c b a R ab --=-+- 即有：2222242
2224
2
2
2
2
2
)(416)(
4)(4)(b a R b a R ab
c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])(
4[2
2222
2
ab
c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：)
)()()((a c b b c a c b a c b a abc
R -+-+-+++=
而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S
abc
R 4=
※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A a 2sin =，而bc
a c
b A 2cos 2
22-+= 所以：
2
222222
2222)(4)
2(12)
(cos 12sin 2a c b c b abc
bc
a c
b a
A a
A a R -+-=
-+-=
-==
二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，（如右图所示）
因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有
??
?
?
?=+=+=+c
z y b y x a
z x ，解得2c b a x -+= 显然：αtan x r =，而α
ααα
α2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=
+= 而由余弦定理有：ab
c b a 22cos 2
22-+=α
所以：)
)(()()(421)
2(1tan 2
22222222
222c b a c b a c b a ab ab
c b a ab c b a -+++-+-=-++
-+-=α
即有:)
(2)()(4))(()
()(42222222
2222c b a c b a ab c b a c b a c b a ab c b a r ++-+-=
-+++-+-?-+= 即：c
b a S
c b a S c b a a c b b c a c b a c b a r ++=
++=++-+-+-+++=
2)(24)(2))()()((
高中数学三角函数公式大全全解
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
人教版九年级数学下册三角形的内切圆
3.2 三角形的内切圆同步练习 ◆基础训练 1．如图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，?连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（） A．40°B．55°C．65°D．70° 图1 图2 图3 2．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，?则∠DOE=（） A．70°B．110°C．120°D．130° 3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（） A．112.5°B．112°C．125°D．55° 4．下列命题正确的是（） A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B．三角形的内心不一定在三角形的内部 C．等边三角形的内心，外心重合 D．一个圆一定有唯一一个外切三角形 5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5 6．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．（1）求证：BF=CE； （2）若∠C=30°，CE=23，求AC的长．
7．如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是? DEF上的 动点（与D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由． 8．如图，△ABC中，∠A=m°． （1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数； （2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数； （3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数． ◆提高训练 9．如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，?然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（）
任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法
任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法 圆与三角形有着密不可分的关系，对于任意一个三角形来说，三角形是圆的内接三角形或是外切三角形。而对于圆来说，三角形必定有它的外接圆和内切圆。那么三角形的各边数量关系与其对应的圆的半径有着怎样的一种关系呢？下面就上述问题作一探索。 一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例1、已知R t △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：由题意得；2132==c R ；22 131252=-+=-+=c b a r 。 二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。 例2、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝14，BC ＝15，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。 解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝15－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()2222151413x x --=-，得x=5 33； 再得：AD ＝5 56， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 1514132 15561521++=?? 得： r ＝4 ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于 E ，连接CE 。则△ABD ∽△AEC ， 则AC AD AE AB = ，即14 556 213=R ，得R ＝865。 例3、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝25，BC ＝17，求 外接圆半径R 和内切圆半径r 值。
解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝17－x 。由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2， 即：()()2222172 513x x --=-，得x=12； 再得：AD ＝5， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++= ?21 得：()r 2517132151721++=?? 得： r ＝2 26- ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE 。则△ABE ∽△ADC ， 则AC AE AD AB = ，即252513R = ，得R ＝2 213。 三、小结 例2和例3中，求三角形内切圆半径是通过()r c b a s ABC ++= ?21公式，根据三角形的面积和周长来达到目的。 求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。它们有一共同的特征就是要求出一条边上的高线。 例2和例3中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形，为了避免在计算中分类的问题，可统一为选择最长的一边为底边，再计算这条边上的高线即可,这时就不需考虑这个三角形是锐角还是钝角三角形的问题。 2009-1-6
如何计算抛物线点处的曲率和曲率半径
用物理方法计算抛物线某点处的曲率和曲率半径 对于一般的弧来说，各点处曲率可能不同，但当弧上点A处的曲率不为零时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A相切（即与弧有公切线），这样的圆就称为弧上A点处的曲率圆。 对于函数图形某点的曲率和曲率半径，在数学上我们需要用到求二阶导数的方法。 今天我想简单说一种有趣的方法，将该问题用物理的思维来解决，无需求导便能够知道抛物线某点处的曲率和曲率半径。这种方法不属于主流方法，因此不能用它代替常规方法。介绍此方法的目的，只是为了让大家对抛物线及抛体运动和圆周运动乃至整个曲线运动本质上的联系有更加深刻的认识。 举一个最简单的例子：y=-x2，我们作出它的图像 设图像上存在一点A（a，-a2），求该点的曲率和曲率半径。 我们假设一质点从顶点O开始做平抛运动，恰经过A（a，-a2）。 接下来，我们可以算出该点处质点的速度大小：先得到下落时间，接着算出水平速度和竖直速度分量，再合成。质点在该点处速度大小为v=√(g/2+2a2g）。 接下来，我们利用角度关系，将A处的加速度（即重力加速度g）沿速度方向和垂直于速度方向分解，如下图：
令A点处质点速度方向与水平方向的夹角为θ，可得垂直于速度方向的加速度分量为gcosθ。我们可以求出cosθ=v0/v=1/√(1+4a2)，那么垂直于速度方向的加速度分量就等于g/√(1+4a2)。 我们想象一下在A点处有个圆与抛物线切于A，且该圆为抛物线A点处的曲率圆，半径为r。 根据圆周运动向心加速度计算式a=v2/r，得到gcosθ=g/√(1+4a2)=(g/2+2a2g）/r。 从而可以求出r=(1/2+2a2)√(1+4a2) 我们用微积分可求出该函数图象某点处曲率半径为：R=|{1+[y’(x)]2}3/2/y”|(x)。 在A点，导数为-2a，二阶导数为-2，所以上式就等于(1+4a2)3/2/2=(1/2+2a2)√(1+4a2)。 与上面算出的半径相等！ 因而，曲率半径K=1/r=2/(1+4a2)3/2 抛体运动和圆周运动都是曲线运动，但在高中课本里它们是分开学习的，大家或许曲线运动学得都不错，但或许很少有人想过抛体运动和圆周运动的内在联系。 高中阶段数学还没有曲率半径的概念，写本文的目的并不在于提前灌输曲率知识，也并不代表这种求法能够替代微积分。表面上看，这是一种新的数学求法，但实质上是以数学的形式为物理服务，目的是让大家看到抛体运动和圆周运动这两种曲线运动并不是割裂开的，它们内部有着非常大的联系，甚至可以说本质是相同的，我们甚至可以将抛体运动视为由无数个圆周运动组合而成！
三角形内切圆半径公式_数学教案-三角形的内切圆
三角形内切圆半径公式_数学教案－三角形的内切圆 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一． 难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好． 2、教学建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质； （2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学． 教学目标： 1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； 2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； 3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动． 教学重点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质． 教学难点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质． 教学活动设计 （一）提出问题 1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画?
2、分析、研究问题： 让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义． 3、解决问题： 例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切． 引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法． 提出以下几个问题进行讨论： ①作圆的关键是什么? ②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件? ③这样的点I应在什么位置? ④圆心I确定后半径如何找． A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成． 完成这个题目后，启发学生得出如下结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个． （二）类比联想，学习新知识． 1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2、类比： 名称 确定方法 图形 性质 外心（三角形外接圆的圆心） 三角形三边中垂线的交点 （1）OA=OB=OC； （2）外心不一定在三角形的内部．
三角形的内切圆——与内切圆半径有关的计算
B 三角形的内切圆 ——与内切圆半径有关的计算 【学习目标】 1．理解三角形内切圆的有关概念。 2．掌握三角形的内心的位置、数量特征。 3．会求三角形的内切圆半径，会利用内心的相关性质解决计算问题。 【预备知识】 1.内切圆的有关概念 _________________________叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是__________________________的交点。 2.内切圆的性质 （Ⅰ）内心的性质：_____________________________的距离相等。 （Ⅱ） 设S 是△ABC 面积，a, b ，c 是三角形三边长，r 为三角形 内切圆半径,则三角形面积与其内切圆半径的关系为：S=______________ 3. 切线长定理 这一点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长。从圆外一 ________________________________。 C
【中考衔接】 (天津中考)已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8。 （Ⅰ）如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1； （Ⅱ）如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求r 2； （Ⅲ）如图③，当n 大于2的正整数时，若半径r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n 依次外切，且⊙O 1与AC 、BC 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、…、⊙O n －1均与AB 边相切，求r n . 拓展路径1： C B A C B A C B A 拓展路径2： C B A C B A C B A 小结： 类比，由特殊到一般，等面积转化。
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式
一、任意三角形外接圆半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示） 则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2 22-=-+= +ab c b a （余弦定理） 而R b R b 22cos ==α，R b R 4sin 22 - = α R a R a 22cos ==β，R a R 4sin 2 2 - = β 即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 442222 22 - ? --? 即有：2 22222222) 4)(4(R a R b R ab ab c b a ---= -+ 所以：)4)(4()( 222222 222 a R b R ab c b a R ab --=-+- 即有：2222242 2224 2 2 2 2 2 )(416)( 4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])( 4[2 2222 2 ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：) )()()((a c b b c a c b a c b a abc R -+-+-+++= 而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S abc R 4= ※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A a 2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+= 所以： 2 222222 2222)(4) 2(12) (cos 12sin 2a c b c b abc bc a c b a A a A a R -+-= -+-= -==
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法 江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7 A B C O A B C O D A B C O D A B C O D E
三角形的外接圆与内切圆半径的求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法 一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形 如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2 ， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形 ①已知一角和它的对边 例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 ? 80sin 5 . 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD. 则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90° ∴AD ＝ D sin AB ＝?60sin 10＝ 33 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为 33 10 . ②已知两边夹一角 例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2 1 AC ＝1，AE ＝3， BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7
初中数学专题训练--圆--三角形的内切圆
例 如图，△ABC 的内心为I ，外心为O ，且∠BIC=115°，求∠BOC 的度数． 解：∵I 为△ABC 的内心， ∴∠IBC= 21∠ABC ，∠ICB=2 1 ∠ACB ． ∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°． ∴∠ABC+∠ACB=130°． ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=50°． 又O 是△ABC 的外心，∴∠BOC=2∠A=100° 说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：∠BIC=90°+ 2 1 ∠A ；∠BOC=4∠BIC-360°． 例 已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长． 分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解． 解：由勾股定理得：322=-= AC AB BC 连结OA 、OB 、OC ，设⊙O 的半径为r ，则： r CA BC AB S ABC )(21++= △，又BC AC S ABC ?=21 △． ∴BC AC r CA BC AB ?=++2 1 )(21， ∴14353 4=++?=++?= CA BC AB BC AC r ． 答：直角三角形内切圆的半径为1． 说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度． 例 （陕西省，2001）如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于D ，交△ABC 的外接圆于点E ． （1）求证：IE=BE ； （2）若IE=4，AE=8，求DE 的长． 证明：（1）连结BI ， ∵∠BIE=∠BAI+∠ABI= 21 （∠BAC+∠ABC ）， ∠IBE=∠IBC+∠EBC=21∠ABC+∠EAC=2 1 （∠ABC+∠BAC ）， ∴∠BIE=∠IBE ∴IE=BE 解：（2）∵I 是△ABC 的内心，∴∠BAE=∠CAE ， 又∵∠DBE=∠CAE ， ∴∠BAE=∠DBE ，又∵∠E 为公共角， ∴△ABE ∽△BDE ，∴ DE BE BE AE =，∴DE AE BE 2 ?= ∴DE AE IE 2 ?=，∴28 4AE IE DE 2 2=== ． 说明：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材117页12题和B 组第3题的变形与结合；（3 ）本题为 A B C D E I
探求三角形的外接圆半径
探求三角形的外接圆半径 泰州市二中附属初中 王 征 我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。 一、特殊三角形 1.直角三角形 例1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径r. 分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜 边。 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5， ∴AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴∠C ＝90°， ∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径r 为6.5. 2.等腰三角形 例2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC=10，BC ＝12，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r. 分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题. 解：作直径AD 交BC 于点E ，交圆于点D ，连接BD.∴∠ABD=90°， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∵∠C=∠D ，∴∠ABC=∠D. ∵∠BAE=∠DAB ，∴△ABE ∽△ADB, ∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=822=-BE AB . ∵△ABE ∽△ADB ，∴ AB AE AD AB =
∴188 122 2===AE AB AD , ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为9. 二、一般三角形 1.已知一角和它的对边 ⑴ 锐角三角形 例3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝60°，求△ 径r. 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径AD ，连结BD. ∴∠D ＝∠C ＝＝60°，∠DBA ＝90°. ∴AD ＝ D sin AB ＝ ? 60sin 10＝3 3 20 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为3 3 10. ⑵ 钝角三角形 例4.在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.（用三角函数表示） 分析：方法同例3. 解：作直径BD ，连结AD. 则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90° ∴BD ＝ D sin AB ＝ ? 80sin 10 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为? 80sin 5. 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 2.已知两边夹一角 例5．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.
任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通用公式
任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通 用公式 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
一、任意三角形外接圆半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 外接圆半径为R ，（如右图所示） 则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(2 2 2 -=-+= +ab c b a （余弦定理） 而R b R b 22cos ==α，R b R 4sin 22 - = α R a R a 22cos ==β，R a R 4sin 2 2 - = β 即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 442222 22 - ?-- ? 即有：2 22222222) 4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+ 所以：)4)(4()( 222222 222 a R b R ab c b a R ab --=-+- 即有： 2222242 2224 2 2 2 2 2 )(416)(4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+- 所以：])( 4[2 2222 2 ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：) )()()((a c b b c a c b a c b a abc R -+-+-+++= 而三角形面积： ))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++= （海伦公式） 所以，有：S abc R 4= ※ 另一求法，可用正弦定理，即：R A a 2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+= 所以：
三角形的内切圆经典练习
例：如图为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，若△ABC的周长为21，BC 边的长为6，则△ADE的周长为（B） A．15 B．9C．7.5 D．7 如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=2． 如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（C） A．E F＞AE+BF B．E F＜AE+BF C．E F=AE+BF D．E F≤AE+BF 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P 作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（C） A．r B． r C．2r D． r 如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD=（C） A．B．C．D． 如图，O是△ABC内一点，且O到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等，若∠BAC=70°，则∠BOC=125度．
如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，∠BAC=80°，求∠BOC的度数． 如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为 如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点，若∠DEF=52°，则∠A的度数为（A） A．76°B．68°C．52°D．38° 如图，已知E是△ABC的内心，∠BAC的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB； （2）若AD=8cm，DF：FA=1：3．求DE的长．
三角形内切圆知识点总结
知识点：三角形内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，三角形内切圆的圆心叫三角形的 . 例1.（2009湖北省荆门市）Rt △ABC 中，9068C AC BC °，，．则△ABC 的内切 圆半径r ______． 例2. △ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求△ABC 的内切圆的半径长。 例3.任意△ABC 中内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，求证：△DEF 是锐角三 角形。 同步测试1：(2009年宁夏自治区)如图，⊙O 是边长为2的等边三角形ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积为． 同步测试2：如图 7-255，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，连结 AC ，△ABC 和△ADC 的内切圆分别为⊙O 1和⊙O 2，与AC 的切点分别为E 、F ，则EF 的长是( )． (A)2 (B)7．5 (C)13 (D)15 ◆随堂检测 1．已知⊙O 的半径为5㎝，点P 到圆心O 的距离为6㎝，那么点P 的位置（ ）
A.一定在⊙O的内部 B.一定在⊙O的外部 C.一定在⊙O的上 D.不能确定 2.如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，A为切点，连结BC交圆O于点D，连结AD，若∠ABC＝45°，则下列结论正确的是（） A． 1 2 AD BC B． 1 2 AD AC C．AC AB D．AD DC 3.一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN＝60，则OP＝( ) A．50 cm B．253cm C． 33 50 cm D．503cm 4.⊙O的半径为4㎝，若线段OA的长为10㎝，则OA的中点B在⊙O的____；若线段OA的长为7㎝，则OA的中点B在⊙O的____． 5.如图，等边三角形ABC的内切圆半径为3，则ABC △的周长为． 6.如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、 2 1BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转度时与⊙0相切．
三角形内切圆几个公式的应用
三角形内切圆几个公式的应用 公式1 . △ABC ，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c 为r ，则r ＝ 1 2 (a+b-c)。 证明: 如图1，⊙O 内切于 △ABC ，D 、E 、F 为切点， 由切线长定理知：AF=AE ，CE=CD ，BF=BD 。 ∴a+b-c=（BD+DC ）+（AE+EC ）-（AF+BF ）=2CE =2r 。∴r ＝12 (a+b-c)。 点评 ：此公式只适用于直角三角形。 公式2 . 若O 为 △ABC 的内心，则∠AOB=90°+ 1 2 ∠ACB 。 证明:如图2，∴⊙O 为 △ABC 的内切圆， ∴∠1= 12∠CAB ，∠2= 1 2 ∠ABC ， ∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180° - 12（∠CAB+∠ABC ）=180°- 1 2 （180°- ∠ACB ）=90°+ 1 2 ∠ACB 。 公式3 .如图3，在△ABC 中，内切圆O 和BC 、AC 、AB 分别相切于点E 、F 、D ，则∠FDE=90°-12 ∠ACB 。 证明:连结OE 、OF ，则OF ⊥AC ，OE ⊥BC ， 四边形CFOE 内角和为360°，∴∠FOE+∠C =180°，又因为∠FDE= 1 2 ∠FOE ，∴∠FDE= 90°- 1 2 ∠ACB 。 点评 ：由在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等可知，即使D 点不为切点，只要∠FDE 所对的弧为EF ，都有∠FDE=90°- 1 2 ∠A C B D E 图1 A B C 图2 A B C D 图3
ACB。 公式4 . △ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，，内切圆半径为r，则r = 2s a b c ++ 。 证明:如图4，⊙I内切于△ABC，连结IA，IB，IC， S=S △AIB+S △AIC+S △BIC=1 2AB·r+ 1 2 AC·r+ 1 2 CB = 1 2cr+ 1 2 ar+ 1 2 br= 1 2 （a+ b+c）r ∴r = 2s a b c ++ 。 点评：⑴. 三角形的面积等于周长与内切圆半径的乘积的一半， 即S= 1 2 p·r（p表示周长，r表示内切圆半径），这是一个很有用的结论，在解题时可以直接引用。 ⑵. 若∠C=90°，则有r = ab a b c ++ 。 应用以上我们所总结的几个公式去解答某些有关三角形内切圆的问题时，能让我们快速的找到准确答案。 【练习：】⑴.在△ABC中，BC＝12，AC＝13，AB＝5，则此三角形的内切圆的半径r=______. ⑵.若O为△ABC的内心，∠ACB=80°,则∠AOB=_______. ⑶.在△ABC中，内切圆O和BC、AC、AB分别相切于点E、F、D，若∠ACB=70°,则∠FDE=______. ⑷.△ABC中，AC=AB=5，BC=6，求△ABC的半径长。 ⑸.已知△ABC为等腰直角三角形,其腰长为1,那么它的内切圆的半径r=______. 【附答案:】⑴. 2 ⑵. 130°⑶. 55°⑷. 3 2A C 图4
三角形的内切圆和外接圆
三角形外接圆半径的求法及应用 方法一:R ＝ab/(2h ） 三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。 AD 是△A ＢＣ的高，ＡE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC=ＡE ·AD ． 证:连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE, 则∠ＡB Ｅ=９0°. ∵∠E ＝∠C, ∠ABE ＝∠ＡDC=90°， ∴Rt △ＡＢE ∽Rt △ＡＤC ， ∴AC AE AD AB ， ∴ ＡB ·AC=AE ·AD 方法二:2R=a/S ｉｎＡ,a 为∠A 的对边 在锐角△A ＢC 中,外接圆半径为R 。求证： 2R=AB/Si ｎC 证：连接AO 并延长交圆于点Ｅ，连接ＢＥ， 则∠ABE=90°. ∴AE ＝AB/ＳinE ∵∠C ＝∠E,Sin Ｃ =S ｉnE ∴ＡE=ＡＢ/Si ｎC ∴2R ＝AB/SinC 若Ｃ为钝角,则S ｉnC ＝Sin （180ｏ-Ｃ) 应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。 例1 已知：如图，在△ABC 中,AC ＝１3,ＢC=１4,AB ＝１5,求△ABC 外接圆⊙O 的半径r. 分析：作出直径AD,构造Rt △A ＢD.只要求出△ＡＢC 中B Ｃ边上的高AE,用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为Ｅ. 设C Ｅ＝x ， ∵A Ｃ２-CE 2=AE 2=ＡB 2－ＢE 2 ,∴13２-x ２=152-(14-x)2 ∴ｘ=５,即CE ＝５，∴AE=1２ R=ab/（2h ）=13x1５/（2x １2)=６５/8 A B C O D E
∴△A ＢC 外接圆⊙O 的半径r 为 8 65. 例 2 已知:在△AB Ｃ中，AB ＝1３，BC ＝12，ＡＣ=5，求△ABC 的外接圆的半径R. 分析:通过判定三角形为直角三角形,易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。 应用二、已知三角形的二边长及其夹角(特殊角)，求外接圆的半径。 例３ 已知:如图,在△ABC 中,ＡC=２，BC=3,∠C ＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径R ． 分析：考虑求出角的对边长AB,然后用方法一或方法二解题. 解:作直径AD,连结ＢD.作A Ｅ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA=90°,∠D=∠C=60°， ∠CA Ｅ=∠DAB ＝ 90°－ ６0°=30° CE=2 1AC=1，AE ＝ 3 ，AB ＝√7∴R=AC ·AB/2AE=2x √7/(2x 3 ) 应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角)，求它的外接圆的半径。 用方法二 例4 已知AD=５,AC=7，C Ｄ=3,AB=10√３,求它的外接圆的半径 解 从A 作AM ⊥B Ｃ于M,则 AD 2-MD 2=A M ２ =ＡＣ2－(ＭD+C Ｄ)2.即 5２－MD ２=7２-(MD ＋3)２． 得R ＝14, 则△ＡBC 外接圆面积S ＝πＲ2=１96π． 例５ 如图3，已知抛物线y ＝x 2－４x+h 的顶点A 在直线y ＝－4x-1上， 求①抛物线的顶点坐标; ②抛物线与x 轴的交点Ｂ、C 的坐标； ③△ＡBC 的外接圆的面积． 解 ①A(2，－9); A B C O D E
缓和曲线曲率半径 的计算
所谓完整缓和曲线就是某段缓和曲线的一端与直线连接点的曲率半径必须是无穷大(可用10的45次方代替,有时也可用“0”表示，具体情况具体分析)，而缓和曲线两端无论在什么情况下与圆曲线相接时，其两端的曲率半径必须与对应连接圆曲线的半径相等。 现在我们来谈谈非完整缓和曲线，从上面的话知道，如果某段缓和曲线的一端与直线连接点曲率半径不是无穷大，而是一个实数，那么这段缓和曲线就是非完整缓和曲线。 设计图中遇到这种情况，一般会告诉这段缓和曲线的长度(我们把这段缓和曲线的长度记作L2，缺少的一段缓和曲线长度记作L1，L1+L2=完整缓和曲线长度L),如果没告诉这段缓和曲线的长度，也可以通过两端的桩号计算出来、设计参数A及缓和曲线另一端的曲率半径R2(应该是与一个圆曲线相接,也就是说R2等于这个圆曲线的半径)。 我们在输入匝道程序时必须要知道R1(起点曲率半径)，怎么办呢？那就通过计算把R1计算出来不就行了，下面就是计算过程： 由公式：R=A2÷L 推出 R1= A2÷L1 => A2=R1*L1 ……………………………………………………① R2= A2÷(L1+L2) => A2=R2*(L1+L2) ……………………………………………………② R2= A2÷(L1+L2) => R2= A2÷L => L=A2÷ R2 …………………………………………③ 由公式①②推出 R1*L1=R2*(L1+L2) => R1=R2*(L1+L2)÷ L1 …………………………………………④ L=L1+L2 => L1=L-L2 ……………………………………………⑤ 由公式③④⑤推出 R1=R2*L÷(L-L2) => R1= A2÷(A2÷ R2-L2) …………………………………………⑥ 公式⑥就是我们要找的曲率半径公式，计算得到结果计算完毕。 现在我们在编制非完整缓和曲线程序时就清楚的知道起点和终点的曲率半径了。还要说明一点就是，计算出来的曲率半径既是起点也是终点，既是终点也是起点，关键是看线路前进方向了，只要大家细心，分清起点终点输入程序，计算出来的准没错。
由三角形内切圆导出的一个三角形的面积公式应用
由“三角形内切圆”引出的2个中考命题 我们知道：和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形3条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，这个距离就是三角形的内切圆的半径（如图甲）.观察图形3个角平分线将三角形分成3个三角形，而每个三角形的高均为内切圆的半径，底为三角形的三边长.所以 S △ABC =S △OAB +S △OBC +S △OCA = r AB ?21+r BC ?21+r CA ?2 1 = r BC AC AB ?++)(2 1 （r 为内切圆的半径） 从上述三角形面积的探究过程中隐含了一种重要的数学思维方法，有些图形的面积可以 通过适当的分割，分割为若干个可求图形的面积，利用整体等于各个部分面积之和从而获得上面的结论. 我们知道三角形是多边形中最简单的多边形，而且任意的三角形都存在唯一的内切圆，但四边形不一定存在内切圆，假若四边形存在一个内切圆上述结论成立吗对于任意的n 边形呢请欣赏如下的江苏省淮安市06年的一道中考题： 例1、阅读材料：如图(一)，△ABC 的周长为l ，内切圆O 的半径为r,连结OA 、OB 、OC ，△ABC 被划分为三个小三角形，用S △ABC 表示△ABC 的面积 ∵ S △ABC =S △OAB +S △OBC +S △OCA 又∵S △OAB = r AB ?21，S △OBC =r BC ?21，S △OCA =r CA ?21 ∴S △ABC =r AB ?21+r BC ?21+r CA ?21=r l ?2 1 (可作为三角形内切圆半径公式) （1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径； (2)类比与推理：若四边形ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆，如图(二))且面积为S ，各边长分别为a 、b 、c 、d ，试推导四边形的内切圆半径公式； （3）拓展与延伸：若一个n 边形(n 为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S ，各边长分别为a 1、a 2、a 3、…、a n ，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)． 分析：本题创设了一个以“阅读材料—三角形的面积与内切圆半径及周长之间关系”的 ┓ O C B A
关于不同类型缓和曲线 的判断及起点、终点曲率半径的计算方法
关于不同类型缓和曲线的判断及起点、终点曲率半径的计算方法 目前在匝道或线路施工坐标计算中经常遇到缓和曲线，实际中相信有很多测友选择用积木法或叫线元法正反算程序进行线路坐标计算，这就牵涉到线元的起点终点曲率半径判断的问题，一般的直线元，圆曲线元的起点终点半径判断，比较容易，可能令大家感觉麻烦的就是缓和曲线起点终点半径判断问题，缓和曲线有时候判断算对了，有时候却坐标算不对，究其原因，其实问题出于该缓和曲线是否是完整缓和曲线引起的。关于这点，相关的课本教材上没有明确的讲述，网上对此问题的解释也是散见于不同的论文著作中，对于测量新手来说，线元法程序是非常适用上手的，但却往往因为遇到不完整缓和曲线的起点或终点的半径判断计算不出来导致坐标计算错误，的确是件令人恼火的事情，在此我就把自己的判断经验做一论述，给用线元法程序的测友们一同分享，当然高手们请一笑而过，也可留下你的经验与大家一起分享交流学习。第一：先说说完整缓和曲线和不完整缓和曲线以及不对称缓和曲线与对称缓和曲线的概念问题，以免混为一谈. 1.当对于单独一段缓和曲线从其完整与否来讲是分为完整与不完整两类；当对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言）又有对称缓和曲线与不对称缓和曲线之分。由此看来，完整与对称与否是针对缓和曲线两个方面来看待区分的。 2.缓和曲线我们的测量教材上讲述的其实就是完整缓和曲线，也可以知道缓和曲线上：各个点的半径是不同的，起点到终点的半径值过度是从正无穷大到所接圆曲线半径之过度如从ZH向HY方向；或者是从所接圆曲线半径值向正无穷大过度的，如从YH向HZ方向。那么由此可以不难判断出来，完整缓和曲线就是符合上述特征的，那么不完整的缓和曲线就是不符合上述特征的，但是线路上的平曲线设计时候一般缓和曲线不单独存在的，整体上缓和曲线前或后一般都是要连接一个圆曲线的，那么不完整缓和曲线其实就是在完整缓和曲线上截取的一段，一般就是去掉了半径无穷大的那端而是从某个点开始的半径值向所接圆曲线半径值过度的。 3.对称与不对称缓和曲线是相对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言），当两个缓和曲线长度相等时候则称之为对称缓和曲线，自然此时的切线长、缓和曲线参数A值都是相等的，反之不相等就称为不对称缓和曲线，自然切线长、缓和曲线是不相等的。第二：由此可以看出对于缓和曲线而言，对称与否很容易分辨判断无需赘述，完整与否不易区分，也是这里重点要说的问题. 1.完整与不完整缓和曲线的区别判断方法：综上所述，完整缓和曲线与不完整缓和曲线的判断其实就在于验证完整缓和曲线参数方程A^2=R*Ls这个等式成立与否就可。(A为已知的缓和曲线参数，R为缓和曲线所接圆曲线的半径，Ls为该段缓和曲线的长度）理论上，当该式子成立时候，那就是完整缓和曲线无疑，当不成立时候那就可判断为不完整缓和曲线了。实际工作操作时候验证方法如下：先把R*Ls的乘积进行开平方然后看所得到的结果是否与所提供的缓和曲线参数A值相等。 2.完整缓和曲线与不完整缓和曲线起点终点的曲率半径的判断与计算：线路设计上的缓和曲线一般不会单独存在的，连续的缓和曲线起点或终点必定有一端都是要接圆曲线的,那么缓和曲线一端的半径值必定就是圆曲线的半径值了,求半径的问题就变成只需求出另外一端半径就可以了.上面说过首先判断出该缓和曲线是否是完整的办法,那么当是完整缓和曲线时候,起点或终点两端的半径,必定一端是无穷大,一端就是圆曲线半径了;那么当判断是不完整缓和曲线时,一端半径就是圆曲线半径,另一端的半径就绝对不能是无穷大了的,理论上应该是该端点的半径值要小于无穷大而大于所接圆曲线的半径值,那么该怎么求出来呢?此时就牵涉到了不完整缓和曲线的参数方程:A^2=[(R大＊R小)÷(R大－R小)]*Ls 由上方程可以看出，R大就是我们所需要求的这端半径了，R小自然就是该不完整缓和曲线所接的圆曲线半径了。A为该不完整缓和曲线参数，R小为所接圆曲线半径，Ls为该不完整缓和曲线的长度，这些图纸都提供的有了，只需按照上面的不完整缓和曲线的参数方程进行解方程就可得到另一端的半径值了，也就是R大＝(A^2*R小)÷(A^2－R小*Ls)就可以