第三节 最短路问题

第三节 最短路问题
第三节 最短路问题

第三节 最短路问题

3.1 两个指定顶点之间的最短路径

问题如下:给出了一个连接若干个城镇的铁路网络,在这个网络的两个指定城镇间,找一条最短铁路线。

以各城镇为图G 的顶点,两城镇间的直通铁路为图G 相应两顶点间的边,得图G 。对G 的每一边e ,赋以一个实数)(e w —直通铁路的长度,称为e 的权,得到赋权图G 。G 的子图的权是指子图的各边的权和。问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。这条轨叫做00,v u 间的最短路,它的权叫做00,v u 间的距离,亦记作),(00v u d 。 求最短路已有成熟的算法:迪克斯特拉(Dijkstra )算法,其基本思想是按距0u 从近到远为顺序,依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离,直至0v (或直至G 的所有顶点),算法结束。为避免重复并保留每一步的计算信息,采用了标号算法。下面是该算法。 (i) 令0)(0=u l ,对0u v ≠,令∞=)(v l ,}{00u S =,0=i 。

(ii) 对每个i S v ∈(i i S V S \=),用

)}()(),({min uv w u l v l i

S u +∈ 代替)(v l 。计算)}({min v l i

S v ∈,把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ,令}{11++=i i i u S S 。 (iii). 若1||-=V i ,停止;若1||-

算法结束时,从0u 到各顶点v 的距离由v 的最后一次的标号)(v l 给出。在v 进入i S 之前的标号)(v l 叫T 标号,v 进入i S 时的标号)(v l 叫P 标号。算法就是不断修改各项点的T 标号,直至获得P 标号。若在算法运行过程中,将每一顶点获得P 标号所由来的边在图上标明,则算法结束时,0u 至各项点的最短路也在图上标示出来了。

例1 某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司,从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。(∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市间的票价最便宜的路线图。

??????????????????∞∞∞∞∞∞

05525251055010202525100102040

2010015252015050102540500 用矩阵n n a ?(n 为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量pb 、1index 、2index 、d 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。其中分量

?

??=顶点未标号当第顶点已标号当第i i i pb 01)(; )(2i index 存放始点到第i 点最短通路中第i 顶点前一顶点的序号;

)(i d 存放由始点到第i 点最短通路的值。

求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab 程序如下:

clear;

clc;

M=10000;

a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];

a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25];

a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M];

a(4,:)=[zeros(1,4),10,25];

a(5,:)=[zeros(1,5),55];

a(6,:)=zeros(1,6);

a=a+a';

pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1;

while sum(pb)

tb=find(pb==0);

d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));

tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));

temp=tb(tmpb(1));

pb(temp)=1;

index1=[index1,temp];

index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1))); if length(index)>=2

index=index(1);

end

index2(temp)=index;

end

d, index1, index2

3.2 每对顶点之间的最短路径

计算赋权图中各对顶点之间最短路径,显然可以调用Dijkstra 算法。具体方法是:每次以不同的顶点作为起点,用Dijkstra 算法求出从该起点到其余顶点的最短路径,反复执行n 次这样的操作,就可得到从每一个顶点到其它顶点的最短路径。这种算法的时间复杂度为)(3n O 。第二种解决这一问题的方法是由Floyd R W 提出的算法,称之为Floyd 算法。

假设图G 权的邻接矩阵为0A ,

?????

???????=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221

112110 来存放各边长度,其中:

0=ii a n i ,,2,1 =;

∞=ij a j i ,之间没有边,在程序中以各边都不可能达到的充分大的数代替; ij ij w a = ij w 是j i ,之间边的长度,n j i ,,2,1, =。

对于无向图,0A 是对称矩阵,ji ij a a =。

Floyd 算法的基本思想是:递推产生一个矩阵序列n k A A A A ,,,,,10 ,其中),(j i A k 表示从顶点i v 到顶点j v 的路径上所经过的顶点序号不大于k 的最短路径长度。

计算时用迭代公式:

)),(),(),,(min(),(111j k A k i A j i A j i A k k k k ---+=

k 是迭代次数,n k j i ,,2,1,, =。

最后,当n k =时,n A 即是各顶点之间的最短通路值。

例10 用Floyd 算法求解例1。

矩阵path 用来存放每对顶点之间最短路径上所经过的顶点的序号。Floyd 算法的Matlab 程序如下:

clear;

clc;

M=10000;

a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];

a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25];

a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M];

a(4,:)=[zeros(1,4),10,25];

a(5,:)=[zeros(1,5),55];

a(6,:)=zeros(1,6);

b=a+a';path=zeros(length(b)); for k=1:6

for i=1:6

for j=1:6

if b(i,j)>b(i,k)+b(k,j) b(i,j)=b(i,k)+b(k,j); path(i,j)=k;

end

end

end

end

b, path

第七章 短路电流计算

第一章短路电流计算 系统图转化为等值电路图 一、基准值: 工程上通常选取基准容量Sj=100MV A,基准电压通常取各元件所在的各级平均电压: 220KV电压级:Vj=1.05×220KV=230KV 110KV电压级: Vj=1.05×110KV=115KV 10KV电压级: Vj=1.05×10KV=10.5KV 基准电流220KV侧Ij=0.251KA,110KV侧Ij=0.502KA,10KV侧Ij=5.5KA 三绕组变压器阻抗电压为 U12%=14.5 U13%=23.2 U23%=7.2 三绕组变压器等值电抗分别为: X1%=1/2(U12%+U13%-U23%)=1/2(14.5+23.2-7.2)=15.25 X2%=1/2(U12%+U23%-U23%)=1/2(14.5+7.2-23.2)=0

X3%=1/2(U13%+U23%-U12%)1/2(23.2+7.2-14.5)=7.95 功率: Sd1=100Sc/x1%=100×120/15.25=786.89MVA Sd3=100Sc/x3%=100×120/7.95=1509.43MVA 各绕组电抗标么值: X4*=X1*=x1%/100×Sj/Sn=15.25/100×100/120=0.127 X6*=X3*=x3%/100×Sj/Sn=7.95/100×100/120=0.066 等值线路图:各取220KV,110KV和10KV母线处短路点为d1,d2,d3 1、220KV短路计算 由图知:220KV母线d1点发生短路时,

系统等效电抗 X7*=xd2*+x1*∥x4*=0.3835 d1短路时的短路电流标么值: Id1*=E1*/xd1*+E2*/x7*=1/0.16+1/0.3835=8.86 故d1处短路时短路电流的有名值为: Id1=Ij×Id1*=0.251×8.86=2.22KA 冲击电流: Ich1=ich= 2Kch I d=2.55Id 冲击电流最大有效值为: Ich=2)1 +Kch Id=1.51Id (2 1- 工程设计中所取冲击系数为Kch=1.8 即220KV测冲击电流和最大有效值为: ich1=2.55Id=2.55×2.22=5.661KA Ich1=1.51Id=1.51×2.22=3.352KA 短路容量: Sd1=3Vj1Id1=3×230×2.22=884.4MVA 2、110KV母线发生短路时: 由以上等效图计算:

运筹学论文最短路问题

运筹学论文 ——旅游路线最短问题摘要: 随着社会的发展,人民的生活水平的提高,旅游逐渐成为一种时尚, 越来越多的人喜欢旅游。而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项 重要环节,是选择旅游时间最短,旅游花费最少还是旅游路线最短等问题 随之出现,如何决策成为一道难题。然而,如果运用运筹学方法来解决这 一系列的问题,那么这些问题就能迎刃而解。本文以旅游路线最短问题为 列,给出问题的解法,确定最短路线,实现优化问题。 关键词:最短路 0-1规划约束条件 提出问题: 从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游,每个城市去且仅去一次,再回到重庆,问如何安排旅游线路,使总旅程最短。 各城市之间的航线距离如下表: 重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明 重庆0 1640 1500 662 2650 649 北京1640 0 1200 1887 1010 2266 杭州1500 1200 0 1230 2091 2089 桂林662 1887 1230 0 2822 859 哈尔滨2650 1010 2091 2822 0 3494 昆明649 2266 2089 859 3494 0 问题分析: 1.这是一个求路线最短的问题,题目给出了两两城市之间的距离,而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的(即紧接着先 后到达的关系),有些城市之间就可能没有这种关系,所以给出的两 两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了,有些则 没有用。这是一个0-1规划的问题,也是一个线性规划的问题。 2.由于每个城市去且仅去一次,最终肯定是形成一个圈的结构,这就

导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的,另外也有两个 城市是不连接的。这就可以考虑设0-1变量,如果两个城市紧接着 去旅游的则为1,否则为0。就如同下图 实线代表两个城市相连为1, 虚线代表没有相连为0 3.因为每个城市只去一次,所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。 LINGO解法: 为了方便解题,给上面六个城市进行编号,如下表(因为重庆是起点, 将其标为1) 假设:设变量x11。如果x11=1,则表示城市i与城市j直接相连(即先后紧接到达关系),否则若x11=0,则表示城市i与城市j不相连。 特别说明:xij和xji是同一变量,都表示表示城市i与城市j是否有相连的关系。这里取其中xij (i

短路电流计算公式

变压器短路容量-短路电流计算公式-短路冲击电流的计算发布者:admin 发布时间:2009-3-23 阅读:513次供电网络中发生短路时,很大的短路电流会使电器设备过热或受电动力作用而遭到损坏,同时使网络内的电压大大降低,因而破坏了网络内用电设备的正常工作。为了消除或减轻短路的后果,就需要计算短路电流,以正确地选择电器设备、设计继电保护和选用限制短路电流的元件。 二.计算条件 1.假设系统有无限大的容量.用户处短路后,系统母线电压能维持不变.即计算阻抗比系统阻抗要大得多。 具体规定: 对于3~35KV级电网中短路电流的计算,可以认为110KV及以上的系统的容量为无限。只要计算35KV及以下网络元件的阻抗。 2.在计算高压电器中的短路电流时,只需考虑发电机、变压器、电抗器的电抗,而忽略其电阻;对于架空线和电缆,只有当其电阻大于电抗1/3时才需计入电阻,一般也只计电抗而忽略电阻。 3. 短路电流计算公式或计算图表,都以三相短路为计算条件。因为单相短路或二相短路时的短路电流都小于三相短路电流。能够分断三相短路电流的电器,一定能够分断单相短路电流或二相短路电流。 三.简化计算法 即使设定了一些假设条件,要正确计算短路电流还是十分困难,对于一般用户也没有必要。一些设计手册提供了简化计算的图表.省去了计算的麻烦.用起来比较方便.但要是手边一时没有设计手册怎么办?下面介绍一种“口诀式”的计算方法,只要记牢7句口诀,就可掌握短路电流计算方法。 在介绍简化计算法之前必须先了解一些基本概念。 1.主要参数 Sd三相短路容量(MV A)简称短路容量校核开关分断容量 Id三相短路电流周期分量有效值(KA)简称短路电流校核开关分断电流和热稳定 IC三相短路第一周期全电流有效值(KA) 简称冲击电流有效值校核动稳定 ic三相短路第一周期全电流峰值(KA) 简称冲击电流峰值校核动稳定 x电抗(W) 其中系统短路容量Sd和计算点电抗x 是关键. 2.标么值 计算时选定一个基准容量(Sjz)和基准电压(Ujz).将短路计算中各个参数都转化为和该参数的基准量的比值(相对于基准量的比值),称为标么值(这是短路电流计算最特别的地方,目的是要简化计算). (1)基准 基准容量Sjz =100 MV A 基准电压UJZ规定为8级. 230, 115, 37, 10.5, 6.3, 3.15 ,0.4, 0.23 KV 有了以上两项,各级电压的基准电流即可计算出,例: UJZ (KV)3710.56.30.4

(完整版)八年级最短路径问题归纳小结

八年级数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题,旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括: ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点,求最短路径的问题. ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反,该问题是已知终结结点,求最短路径的问题. ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点,求两结点之间的最短路径. ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径. 【问题原型】“将军饮马”,“造桥选址”,“费马点”. 【涉及知识】“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“三角形三边关系”,“轴对称”,“平移”. 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等. 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”,近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.

在直线l 上求一点P ,使PB PA -的值最大. 作直线AB ,与直线l 的交 点即为P . 三角形任意两边之差小于 第三边.PB PA -≤AB . PB PA -的最大值=AB . 【问题11】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ,使PB PA -的值最大. 作B 关于l 的对称点B '作直线A B ',与l 交点即 为P . 三角形任意两边之差小于 第三边.PB PA -≤AB '. PB PA -最大值=AB '. 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 △ABC 中每一内角都小于120°,在△ABC 内求一点P ,使P A +PB +PC 值最小. 所求点为“费马点”,即满足∠APB =∠BPC =∠ APC =120°.以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ,连CD 、BE 相交于P ,点P 即为所求. 两点之间线段最短. P A +PB +PC 最小值=CD . 【精品练习】 1.如图所示,正方形ABCD 的面积为12,△ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有 一点P ,使PD +PE 的和最小,则这个最小值为( ) A .3 B .26 C .3 D 6 2.如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠ABC =60°,若将△ACD 绕点A 旋转,当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ,则△CEF 的周长的最小值为( ) A .2 B .32 C .32+ D .4 l B A l P A B l A B l B P A B' A B C P E D C B A A D E P B C

初二最短路径问题归纳

初二最短路径问题归纳 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

最短路径问题专题学习【基本问题】 m n

在直线l 上求一点P ,使PB PA -的值最小. 【问题10】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ,使PB PA -的值最大. 作B 关于l 的对称点B '作直线A B ',与l 交点即为 P . 三角形任意两边之 差小于第三边.PB PA -≤ AB '. PB PA -最大值= AB '. 【精品练习】 1.如图所示,正方形ABCD 的面积为12,△ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有一点P ,使PD +PE 的和最小,则这个最小值为( ) A .23.6 C .3 D 6 2.如图,在边长为2的菱形ABCD 中,∠ABC =60°,若将△ACD 绕点A 旋转,当 AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ,则△CEF 的周长的最小值为( ) A .2 B .32 C .32+ D .4 3.四边形ABCD 中,∠B =∠D =90°,∠C =70°,在BC 、CD 上分别找一点M 、N ,使△AMN 的周长最小 时,∠AMN +∠ANM 的度数为( ) l A B D E A B C A D E P B C D A M A B M N 第2题 第3题 第4

A .120 ° B .130° C .110° D .140° 4.如图,在锐角△ABC 中,AB =4 2 ,∠BAC =45°,∠BAC 的平分线交BC 于点D , M 、N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM +MN 的最小值是 . 5.如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,AB =6,点E 在AB 边上,点D 在BC 边上(不与点B 、C 重 合),且ED =AE ,则线段AE 的取值范围是 . 6.如图,∠AOB =30°,点M 、N 分别在边OA 、OB 上,且OM =1,ON =3,点P 、Q 分 别在边OB 、OA 上,则MP +PQ +QN 的最小值是_________. 7.如图,三角形△ABC 中,∠OAB =∠AOB =15°,点B 在x 轴的正半轴,坐标为 B (36,0). OC 平分∠AOB ,点M 在OC 的延长线上,点N 为边OA 上的点,则MA +MN 的最小值 是______. 8.已知A (2,4)、B (4,2).C 在y 轴上,D 在x 轴上,则四边形ABCD 的周长最 小值为 , 此时 C 、D 两点的坐标分别为 . 9.已知A (1,1)、B (4,2). y x B O A y x B A O 第6题 第

短路电流计算方法

供电网络中发生短路时,很大的短路电流会使电器设备过热或受电动力作用而遭到损坏,同时使网络内的电压大大降低,因而破坏了网络内用电设备的正常工作.为了消除或减轻短路的后果,就需要计算短路电流,以正确地选择电器设备、设计继电保护和选用限制短路电流的元件。 二.计算条件 1.假设系统有无限大的容量.用户处短路后,系统母线电压能维持不变.即计算阻抗比系统阻抗要大得多。 具体规定: 对于3~35KV级电网中短路电流的计算,可以认为110KV及以上的系统的容量为无限大.只要计算35KV及以下网络元件的阻抗。 2.在计算高压电器中的短路电流时,只需考虑发电机、变压器、电抗器的电抗,而忽略其电阻;对于架空线和电缆,只有当其电阻大于电抗1/3时才需计入电阻,一般也只计电抗而忽略电阻。 3. 短路电流计算公式或计算图表,都以三相短路为计算条件.因为单相短路或二相短路时的短路电流都小于三相短路电流.能够分断三相短路电流的电器,一定能够分断单相短路电流或二相短路电流。 三.简化计算法 即使设定了一些假设条件,要正确计算短路电流还是十分困难,对于一般用户也没有必要.一些设计手册提供了简化计算的图表.省去了计算的麻烦.用起来比较方便.但要是手边一时没有设计手册怎么办?下面介绍一种“口诀式”的计算方法,只要记牢7句口诀,就可掌握短路电流计算方法. 在介绍简化计算法之前必须先了解一些基本概念. 1.主要参数 Sd三相短路容量 (MVA)简称短路容量校核开关分断容量 Id三相短路电流周期分量有效值(KA)简称短路电流校核开关分断电流 和热稳定 IC三相短路第一周期全电流有效值(KA) 简称冲击电流有效值校核动稳定 ic三相短路第一周期全电流峰值(KA) 简称冲击电流峰值校核动稳定 x电抗(Ω) 其中系统短路容量Sd和计算点电抗x 是关键. 2.标么值

勾股定理之最短路径(填空选择)中考题

一、选择题(共17小题) 1、(2011?广安)如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点,且PC=BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是() A、B、5cm C、D、7cm 2、(2009?乐山)如图,一圆锥的底面半径为2,母线PB的长为6,D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为() A、B、2 C、3 D、3 3、(2009?恩施州)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是() A、5 B、25 C、10+5 D、35 4、(2005?山西)如图,点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心.一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走的最短路程是()

A、40cm B、20cm C、20cm D、10cm 5、(2005?贵阳)如图A,一圆柱体的底面周长为24cm,高BD为4cm,BC是直径,一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是() A、6cm B、12cm C、13cm D、16cm 6、(2004?淄博)如图是一块长,宽,高分别是6cm,4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处,沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是() A、(3+2)cm B、cm C、cm D、cm 7、(2004?梅州)如图,一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的路程最短为() A、 a B、(1+)a C、3a D、a 8、(2004?济宁)如图,正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点,蚂蚁爬行的最短距离是()

(完整版)短路电流的计算方法

第七章短路电流计算 Short Circuit Current Calculation §7-1 概述General Description 一、短路的原因、类型及后果 The cause, type and sequence of short circuit 1、短路:是指一切不正常的相与相之间或相与地(对于中性点接地 的系统)发生通路的情况。 2、短路的原因: ⑴元件损坏 如绝缘材料的自然老化,设计、安装及维护不良等所造成的设备缺陷发展成短路. ⑵气象条件恶化 如雷击造成的闪络放电或避雷器动作;大风造成架空线断线或导线覆冰引起电杆倒塌等. ⑶违规操作 如运行人员带负荷拉刀闸;线路或设备检修后未拆除接地线就加电压. ⑷其他原因 如挖沟损伤电缆,鸟兽跨接在裸露的载流部分等. 3、三相系统中短路的类型: ⑴基本形式: )3(k—三相短路;)2(k—两相短路; )1( k—单相接地短路;)1,1(k—两相接地短路; ⑵对称短路:短路后,各相电流、电压仍对称,如三相短路; 不对称短路:短路后,各相电流、电压不对称; 如两相短路、单相短路和两相接地短路. 注:单相短路占绝大多数;三相短路的机会较少,但后果较严重。4、短路的危害后果 随着短路类型、发生地点和持续时间的不同,短路的后果可能只破坏局部地区的正常供电,也可能威胁整个系统的安全运行。短路的危险后果一般有以下几个方面。 (1)电动力效应 短路点附近支路中出现比正常值大许多倍的电流,在导 体间产生很大的机械应力,可能使导体和它们的支架遭 到破坏。 (2)发热 短路电流使设备发热增加,短路持续时间较长时,设备 可能过热以致损坏。 (3)故障点往往有电弧产生,可能烧坏故障元件,也可能殃

最短路问题及其应用——最短路径

最短路问题及应用 摘要:主要介绍最短路的两种算法,迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法以及这两种算法在实际问题中的应用和比较。 关键词:最短路获克斯特拉(Dijkstra),弗罗伊德(Floyd)算法 1.引言 图论是应用数学的一个分支,它的概念和结果来源非常广泛,最早起源于一些数 学游戏的难题研究,如欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题,以及在民间广泛流传的一些游戏难题,如迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走路线问题等。这些古老的难题,当时吸引了很多学者的注意。在这些问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想 和汉米尔顿(环游世界)数学难题。 1847年,图论应用于分析电路网络,这是它最早应用于工程科学,以后随着科学的发展,图论在解决运筹学,网络理论,信息论,控制论,博弈论以及计算机科学 等各个领域的问题时,发挥出越来越大的作用在实践中,图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、军事等领域中许多问题的有力工具之一。 最短路问题是图论理论的一个经典问题。寻找最短路径就是在指定网络中两结点 间找一条距离最小的路。最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。 最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学 与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。 2.最短路算法 2.1 最短路的定义 对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图()0 w≥的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的,该ij 算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短

专题训练之最短路径问题(最全面的经典例题)

最短路径问题 1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点面 爬到点B处,则它爬行的最短路径是 _______________ 。 ②如右图是一个长方体木块,已知AB=3,BC=4,CD=2假设一只蚂蚁在点A处, 它要沿着木块侧面爬到点D处,则蚂蚁爬行的最短路径是____________________ 。 2、①如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 *李庄 张村. ②如图,直线L同侧有两点A B,已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3, 两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB勺和最小。请在图中找出点P的位置,并计算PA+P啲最小值。.B A■ _____________________ L ③要在河边修建一个水泵站,向张村、李庄铺设管道送水,若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km张村与李庄的水平距离为3Km则所用水管最短长度为。 A沿木块侧 A B

是一个长方体木块,已知 AB=5,BC=3,CD=4假设一只蚂 蚁在点A D 处,则蚂蚁爬行的最短路径是2、 现要在如图所示的圆柱体侧面 A 点与B 点之间缠一条金丝带(金丝带的宽度 忽略不计),圆柱体高为6cm 底面圆周长为16cm ,则所缠金丝带长度的最小值 为 。 3、 如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从 A 点爬到点B 处吃到 食物,知圆柱体的高为5 cm ,底面圆的周长为24cm 则蚂蚁爬行的最短路径 为 。 5、 在菱形ABCD 中 AB=2 / BAD=60,点E 是AB 的中点,P 是对角线 AC 上 的一个动点,贝S PE+PB 勺最小值为 ___________ 。 6、 如图,在△ ABC 中, AC= BC= 2,Z ACB= 90°, D 是 BC 边的中点,E 是 AB 边 上一动点,则EO ED 的最小值为 ____________ 。 7、 AB 是OO 的直径,AB=2 OC 是O O 的半径,OCL AB,点 D 在 AC 上,AD 二 2CD 点P 是半径OC 上的一个动点,贝S AP+PD 勺最小值为 __________ 。 &如图,点P 关于OA OB 的对称点分别为 C D,连接CD 交OA 于M 交OB 于N 若CD= 18cm 则厶PMN 勺周长为 ___________ 。 9、已知,如图DE >^ ABC 的边AB 的垂直平分线,D 为垂足,DE 交BC 于 E ,且 AC= 5, BC= 8,则厶 AEC 的周长为 __________ 。 10、已知,如图,在△ ABC 中, AB

短路电流 计算方法 口诀

短路电流计算方法口诀 一.概述 供电网络中发生短路时,很大的短路电流会使电器设备过热或受电动力作用而遭到损坏,同时使网络内的电压大大降低,因而破坏了网络内用电设备的正常工作.为了消除或减轻短路的后果,就需要计算短路电流,以正确地选择电器设备、设计继电保护和选用限制短路电流的元件. 二.计算条件 1.假设系统有无限大的容量.用户处短路后,系统母线电压能维持不变.即计算阻抗比系统阻抗要大得多. 具体规定: 对于3~35KV级电网中短路电流的计算,可以认为110KV及以上的系统的容量为无限大.只要计算35KV及以下网络元件的阻抗. 2.在计算高压电器中的短路电流时,只需考虑发电机、变压器、电抗器的电抗,而忽略其电阻;对于架空线和电缆,只有当其电阻大于电抗1/3时才需计入电阻,一般也只计电抗而忽略电阻. 3. 短路电流计算公式或计算图表,都以三相短路为计算条件.因为单相短路或二相短路时的短路电流都小于三相短路电流.能够分断三相短路电流的电器,一定能够分断单相短路电流或二相短路电流. 三.简化计算法

即使设定了一些假设条件,要正确计算短路电流还是十分困难,对于一般用户也没有必要.一些设计手册提供了简化计算的图表.省去了计算的麻烦.用起来比较方便.但要是手边一时没有设计手册怎么办?下面介绍一种“口诀式”的计算方法,只要记牢7句口诀,就可掌握短路电流计算方法. 在介绍简化计算法之前必须先了解一些基本概念. 1.主要参数 Sd三相短路容量(MVA)简称短路容量校核开关分断容量 Id三相短路电流周期分量有效值(KA)简称短路电流校核开关分断电流 和热稳定 IC三相短路第一周期全电流有效值(KA) 简称冲击电流有效值校核动稳定 ic三相短路第一周期全电流峰值(KA) 简称冲击电流峰值校核动稳定 x电抗(Ω) 其中系统短路容量Sd和计算点电抗x 是关键. 2.标么值 计算时选定一个基准容量(Sjz)和基准电压(U jz).将短路计算中各个参数都转化为和该参数的基准量的比值(相对于基准量的比值),称为标么值(这是短路电流计算最特别的地方,目的是要简化计算).

最短路问题

§ 3最短路问题 在实践中常遇到的一类网络问题是最短路问题。给定一个有向赋权图D=(V,A),对每一个弧a =( ,),相应有权≥0,指定D中的为发点,为终点。最短路问题就是要在所有到的路中,求出一条总权数最小的路。这里权数可以是距离,也可以是时间,或者是费用等等。 最短路问题是最重要的优化问题之一,它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题,如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等,而且经常被作为一个基本工具,用于解决其它优化问题。 3.1 狄克斯拉(Dijkstra)算法 最短路问题可以化为线性规划问题求解,也可以用动态规划方法求解,这里介绍一种有效算法—狄克斯拉(Dijkstra)算法,这一算法是1959年首次被提出来的。该算法适用于每条弧的权数≥0情形。 算法的基本思路:从发点出发,有一个假想的流沿网络一切可能的方向等速前进,遇到新节点后,再继续沿一切可能的方向继续前进,则最先到达终点的流所走过的路径一定是最短的。为了实现这一想法,对假想流依次到达的点,依次给予p标号,表示到这些点的最短距离。对于假想流尚未到达的点给予T标号,表示到这些点的最短距离的估计值。具体作法如下: 1°标p()=0,其余点标T()=+∞; 2°由刚刚获得p标号的点出发,改善它的相邻点的T标号,即 新的T()=min{老的T(),p()+ } 若T()= p()+ ωij ,则记k()=(前点标记); 3°找出具有最小T标号的点,将其标号改为p标号。若已获得p标号,则已找到最短路,由k ()反向追踪,就可找出到的最短路径,p()就是到的最短距离。否则,转2°。 例2 求图下中v1 到v8 的最短路。

变压器短路电流的实用计算方法

变压器短路电流的实用计算方法 胡浩,杨斌文,李晓峰 (湖南文理学院,湖南常德415000) 基金项目:湖南省科技厅计划项目(2007FJ3046) 1前言 在电力系统中,对于电气设备的选用、电气接线方案的选择、继电保护装置的设计与整定以及有关设备热稳定与动稳定的校验等工作,都需要对变压器的短路电流进行计算。短路电流的计算,一般采用有名制或标幺值算法,再者是应用曲线法。然而,无论哪种方法应用起来都比较繁琐,尤其是对于企业的技术人员与农村的电工,因缺乏相应的技术资料,又不能从变压器铭牌上查到所有计算短路电流的数据,所以想快速算出短路电流值是相当困难的。笔者在多年的实际工作中,依据变压器的基本原理与基本关系式,总结出快速计算短路电流值的实用方法,以满足现场与工程上的需要。 2变压器低压三相短路时高压侧短路电流的计算 变压器的阻抗电压是在额定频率下,变压器低压绕组短接,高压绕组施加逐步增大的电压,当高压绕组中的电流达到额定电流时,所施加的电压为阻抗电压Ud,一般以高压侧额定电压U1N为基础来表示: Ud%=Ud/U1N×100% (1) 由变压器的等值电路可知,低压侧短路后的阻抗折算到高压侧,与高压侧阻抗相加后得总的阻抗Zd,在阻抗电压Ud时,高压绕组电流为额定值I1N, 即: I1N=Ud/Zd (2) 如果高压绕组的电压为U1,则此时高压绕组的电流I1为: I1=U1/Zd (3) 由式(2)和式(3)可得: I1=U1/Ud*I1N (4) 对于单个变压器,其容量远小于电力系统的容量,故可以认为当变压器低压侧出现短路时,高压侧电压不变,即为U1N,代入式(4)就可得到变压器低压侧短路时,高压侧的短路电流I1d: I1d=U1N/Ud*I1N (5) 将式(1)中的Ud代入式(5)得: I1d=I1N/Ud%×100 (6) 而变压器高压绕组的额定电流I1N可表示为: I1N=SN/√3U1N (7) 式中SN———变压器的额定容量 将式(7)代入式(6)可得: I1d=100SN/√3U1NUd% (8) 由式(6)或式(8)可计算出变压器低压三相短路时,高压侧的短路电流值。 3变压器低压三相短路时低压侧短路电流的计算 由于变压器的励磁电流仅为I1N的1%~3%,忽略励磁电流,则高、低压绕组的电流I1、I2与电压U1、 U2的关系为: I1/I2=U2/U1=U2N/U1N 式中

最短路问题及最速下降问题

§1 变分法简介 作为数学的一个分支,变分法的诞生,是现实世界许多现象不断探索的结果,人们可以追寻到这样一个轨迹: 约翰·伯努利(Johann Bernoulli ,1667-1748)1696年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下滑,时间最短?” 这就是著名的“最速降线”问题(The Brachistochrone Problem )。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同,它是要求出一个未知函数(曲线),来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣,罗比塔(Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704)、雅可比·伯努利(Jacob Bernoulli 1654-1705)、莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)和牛顿(Isaac Newton1642—1727)都得到了解答。约翰的解法比较漂亮,而雅可布的解法虽然麻烦与费劲,却更为一般化。后来欧拉(Euler Lonhard ,1707~1783)和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法,从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是,在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案,即,固定项链的两端,在重力场中让它自然垂下,问项链的曲线方程是什么。在大自然中,除了悬垂的项链外,我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的蜘蛛网,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链线(catenary )。 伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。惠更斯(Huygens, 1629~1695)在1646年(当时17岁),经由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出答案。到1691年,也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年,莱布尼兹、惠更斯(以62岁)与约翰·伯努利各自得到了正确答案,所用方法是诞生不久的微积分,具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 解此方程并适当选取参数,得 )(21ax ax e e a y -+= (1) 即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系,然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索,虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风,但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链,在所有可能的形状中,以悬链线的重心最低,具有最小势能”,算是扳回了一局,俩兄弟扯平了!之所以提到悬链线问题,有两方面考虑,其一,这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻,而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族,其二,有关悬链线的得几个结论,可以用变 ???????='=+=0)0()0()(102 2 2y y y dx dy a dx y d

最短路径问题

最短路径问题 摘要 在图论当中,任意两点间的最短路径问题,运用Dijkstra 算法,Flord 算法,匈牙利算法等都可以就解决这类相关问题,本文主要就是运用图论相关知识,来分析问题的。 在问题一中,需要为货车司机选择一条从地点1到地点11的最短时间问题,其实际归结为求一个两点间最短路径问题,运用运筹学中的网络模型相关知识,建立了一个一个0-1线性模型,并最终求的其结果,最短时间为21,货车司机的运输路线为1891011v v v v v →→→→。 运用Floyd 算法解决问题二,并且运用Matlab 软件编程,Floyd 算法与Matlab 软件编程所得出的结果一致,最后得出了一个最短航程表,及任意两点间的最短航程图。 本文的最大亮点在于将问题二进行更深一步的拓展,从问题实际出发,从公司的差旅费用最小出发,利用Mtlab 软件编程的出了公司到个城市间差旅费用最小图,从而更能为公司节省成本。 任意城市间差旅费用最小 其次是本文结果的准确性,问题一运用Lingo 软件编程,和WinQSB 软件,所得出结果都是一致的,问题二更是运用Floyd 算法,Matlab 软件编程,WinQSB 软件,大大地保证了结果的准确性,并且十分恰当地运用WinQSB 软件将作图功能,把每一提的最短路径都清晰的描绘出来,更加直观地将结果展现出来。 关键字:Matlab Lingo WinQSB Floyd 算法 0-1规划

一、 问题重述 问题一需要解决的问题是在一个城市交通网络中(图一),如何从地点1找到一条时间最短路径通往地点11,在这个城市交通网络中,有单向道,也有双向道,即如何处理一个有向图与无向图结合的图论问题,并且是一个两点间的最短路径问题: 图(一) 问题二阐述的是某公司员工往来于六个城市间,给出了这六个城市间的直达航班票价(表二),需要为这家公司提供出这六个城市间任意两点间的最小航班费用表 05040251050015202515010204020100102525201005510 2525550∞ ?? ??∞???? ∞∞?????? ∞?? ∞?? 表(二) 二、问题分析

短路计算公式

短路计算 1、在下图所示网络中,设G 为无穷大系统,A MV S B ?=100,B av U U =,sh 1.8K =,求K 点发生三相短路时的冲击电流、短路电流的最大有效值、短路功率。 (*B G NT S X S =,*%100k B T NT U S X S =?,*02B L L S X X L U = ,*R R X X =) 40km U k %=10.5 6.3kV X R %=4 0.5km 解:解:采用标幺值的近似计算法: 各元件电抗的标幺值: G 为无穷大系统,故系统阻抗为零, 1*2 **2*2100 400.40.12111510.51000.35 10030 44 1.222 100100100 0.50.080.1008 6.3L T B R N L X X I X I X =?? ==?==?===??= 则从短路点看进去的总电抗的标幺值: 7937.1*2***1*=+++=∑L R T L k X X X X X 短路点短路电流的标幺值,近似认为短路点的开路电压k U 为该段的平均额定电压av U 5575.01 * ***=== ∑∑X X U I k k 短路点短路电流的有名值 kA I I I B k k 113.53 .63100 5575.0*=?? =?= 冲击电流kA I i k sh 01.13113.555.255.2=?== 最大有效值电流kA I I k sh 766.7113.552.152.1=?== 短路功率:A MV I I S S S B k B k k ?=?=?=?=75.551005575.0**

最短路问题

最短路问题 何谓最短路? 最短路问题考虑的是有向网络N=(V,A,W),其中弧(i,j)∈A 对应的权又称为弧长或费用。对于其中的两个顶点s,t∈V,以s 为起点,t 为终点的有向路称为s-t 有向路,其所经过的所有弧上的权(或弧长、费用)之和称为该有向路的权(或弧长、费用)。所有s-t 有向路中权最小的一条称为s-t 最短路。 ij w 如何得到最短路? 最短路问题的线性规划描述如下: (,)m i n i j i j i j A w x ∈∑ (1):(,):(,)1,,.. 1,,0,,ij ji j i j A j j i A i s s t x x s i s t ∈∈=??t ?=?=??≠? ∑∑ (2) 0ij x ≥ (3) 其中决策变量表示弧(i,j)是否位于s-t 路上:当=1时,表示弧(i,j)位于s-t 路上,当=0时,表示弧(i,j)不在s-t 路上。本来,应当是0-1变量,但由于约束(2)的约束矩阵就是网络的关联矩阵,它是全幺模矩阵,因此0-1变量可以松弛为区间[0,1]中的实数(当用单纯形法求解时,将得到0-1整数解)。 ij x ij x ij x ij x 值得注意的是,我们这里将变量直接松弛为所有非负实数。实际上,如果可以取0-1以外的整数,则约束条件并不能保证对应于非零的弧所构成的结构(记为P)一定是一条路,因为这一结构可能含有圈。进一步分析,我们总是假设网络本身不含有负圈,而任何正圈不可能使目标函数最小,因此上面的约束条件(2),(3)可以保证当达到最优解时,P 如果包含圈,该圈一定是零圈,我们从P 中去掉所有的零圈,就可以得到最短路。 ij x ij x ij x 无圈网络与正费用网络一般采用标号设定算法。 Bellman 方程(最短路方程) 将约束条件(2)两边同时乘以-1,得到其对偶问题为: m ax()t s u u ? (4) ..,(,)j i ij s t u u w i j A ?≤?∈ (5) 根据互补松弛条件,当x 和u 分别为原问题和对偶问题的最优解时:

排列组合中的最短路径问题

两个计数原理的应用 一、选择题 1.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为【答案】B (A)24 (B)18 (C)12 (D)9 【解析】 试题分析:由题意,小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6,再从F处到G ?=,故处最短路径的条数为3,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318 选B. 【考点】计数原理、组合 【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是相互独立的;分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分,而未完成这件事,步步之间是相互关联的. 2.如图,一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点,再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点,则它可以爬行的不同的最短路径有( B )条

A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 【解析】试题分析:蚂蚁从到需要走五段路,其中三纵二竖,共有条路径,从到共有条路径,根据分步计数乘法原理可知,蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条,故选B. 考点:分步计数乘法原理. 二、解答题 3.某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图,某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往H. (1)列出此人从小区A到H的所有最短路径(自A至H依次用所经过的小区的字母表示); (2)求他经过市中心O的概率. 【答案】(1)见解析(2)2 3 【解析】 解:(1)此人从小区A前往H的所有最短路径为:

人教版八年级上册13.4最短路径问题练习题

13.4课题学习最短路径问题 知识点: 1.最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要连接这两点,与直线的交点即为所求. (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求. 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质,将所求线段之和转化为一条线段的长,是解决距离之和最小问题的基本思路,不论题目如何变化,运用时要抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心,所有作法都相同.3.利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时,可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零,转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题. 同步练习: 1.如图所示,点A,B分别是直线l异侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短,这时点C是直线l与AB的交点. 2.如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点,在l上找一个点C,使CA+CB最短, B A l 3..在图中直线l上找到一点M,使它到A,B两点的距离和最小.

4. 如图,小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自来水厂向A村与B村供水. (1)若要使厂部到A,B村的距离相等,则应选择在哪建厂? (2)若要使厂部到A,B两村的水管最短,应建在什么地方? 5. 如图,从A地到B地经过一条小河(河岸平行),今欲在河上建一座与两岸垂直的桥,应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短?

参考答案: 1. 2.这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′,则点C 是直线l 与AB ′的交点. 为了证明点C 的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C ′,连接AC ′,BC ′,B ′C ′,证明AC +CB <AC ′+C ′B .如下: 证明:由作图可知,点B 和B ′关于直线l 对称, 所以直线l 是线段BB ′的垂直平分线. 因为点C 与C ′在直线l 上, 所以BC =B ′C ,BC ′=B ′C ′. 在△AB ′C ′中,AB ′<AC ′+B ′C ′, 所以AC +B ′C <AC ′+B ′C ′, 所以AC +BC <AC ′+C ′B . 3. 解:如图所示:(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′; (2)连接AB ′交直线l 于点M . (3)则点M 即为所求的点. 4.解:(1)如图1,取线段AB 的中点G ,过中点G 画AB 的垂线,交EF 于P , 则P 到A ,B 的距离相等.也可分别以A 、B 为圆心,以大于12 AB 为半径画弧,两弧交于两点,过这两点作直线,与EF 的交点P 即为所求. (2)如图2,画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′,连接A ′B 交EF 于P ,则P 到A ,B 的距离和最短. 5.解:(1)如图2,过点A 作AC 垂直于河岸,且使AC 等于河宽.

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