3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计

3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计
3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计

第三章 直线与方程

3.1.1 倾斜角与斜率(2课时)

主备教师:李劲东

一、内容及其解析

“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容,是高中解析几何内容的开始。这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法,理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X 轴正方向所成的角和角的正切值。之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线,这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示,是平面直角坐标系内以坐标法(解析法)的方式来研究直线及其几何性质(如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等)的基础。通过该内容的学习,帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程,渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程,还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用。

二、目标及其解析

目标定位:1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.

2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率

3、掌握过两点的直线的斜率公式。

目标解析:

1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X 轴为基准,直线与X 轴相交时,X 轴正方向与直线向上的方向的角;理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。

2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角,会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。

3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)两点的直线的斜率

公式k = (x 1≠x 2)

三、问题诊断与分析

在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范围理解时会不糊不清 和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难,产生这两个问题的原因是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上认真正理解和对新公式

tan(180)tan αα-=-。的运用还不灵活。要解决这一困难,就要让学生从开始就认真的从定义上理解倾斜角的概念和多用公式tan(180)tan αα-=-。。其中理解倾斜角的关键是理解当直线与X 职轴相交时倾斜角的概念是怎么定义的当直线不与X 轴相交时又是怎么定义的。理解公式的tan(180)tan αα-=-。的关键是多用该阶段只要求学生会用就行。

四、教学支持条件分析

本节课打算用多媒体进行教学,因为多媒体的教学更容易刻画直线在直线坐标系中的位置,直观明了。是学生更容易理解,并且多媒体教学的课容量大,大大提高了课堂的效率

五、教学设计

情景引入:初中时我们知道确定一条直线的方法是:两点确定一条直线。我们知道一次函数的图像在直角坐标系中画出来就是一条直线,那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗?这就是我们本节课研究的主要内容

问题一:在平面直角坐标系中怎么定义直线的倾斜角和斜率?

(设计意图:以大问题的形式呈现本节课要学的内容然后理解这两个概念。)

问题1:在平面直角坐标系中过一点P能确定几条直线?观察并思考这些直线有什么共同点和不同点呢?

师生活动1:教师提问,学生动手画直角坐标系并过P作图观察并思考

结论:如图,过点P在直角坐标系中可以作出无数条直线。

这些直线的主要的共同点是都过点P,

不同点是这些直线与X轴的倾斜程度不同

由此可以定义直线的倾斜角

直线倾斜角的定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.

并且当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00。

如图α为直线l的倾斜角

直线l的倾斜角分别为:锐角、直角、钝角、0角。

由直线倾斜角的定义可知:直线倾斜角的范围是0≤α<180

理解倾斜角的概念需要注意两点:

1.直线倾斜角的定义包括两部分

(1)当直线l与x轴相交时,定义它向上的方向与x轴正方向所成的角叫倾斜角,包括锐角、直角、钝角。

(2)当直线与x轴平行或重合时规定倾斜角为0

2.在平面直角坐标系中,一条直线对应唯一的一个倾斜角,倾斜程度相同的直线,

倾斜角相等。倾斜程度不同的直线他们的倾斜角不同。故我们用倾斜角刻画直线

的倾斜程度。

问题2:探究在平面直角坐标系中怎么确定直线的位置?

师生活动:

1.已知直线过点P能确定直线的位置吗?

结论:不能,如图点P的直线可以是无数条因为直线可以任意饶点P转动

2.已知直线的倾斜角是45时,能确定直线的位置吗?

结论:不能,如图因为直线可以平行移动

3.当直线过定点p并已知它倾斜角是45,能确定直线的位置吗?

能确定,直线过定点p,并且倾斜角是45,因此这条直线不能转动和平移了。

如图:

由此可知:确定直线的方法除了两点可以确定一条直线外

还有已知一点和一个倾斜角

例1:如图所示,直线l的倾斜角是多少度()

A.45B135C0D. 不存在

变式训练:已知一条直线在第一象限过一点M,其倾斜角是30,作出这条直线

问题二:什么是斜率?

(设计意图:提出问题,以大问题的形式引出要学的内容)

问题1:日常生活中我们描述人走的快慢、汽车行驶的快慢都是用速率来表示的,也就是用路程与时间的比来表示的;我们又如何刻画山坡的坡面的倾斜程度呢?学生思考并进行讨论学习

结论:如图一个山坡的坡度可近似看做一个直角三角形

如果我们以前进量所在的直线为x轴,点o为原点建平面直角坐标系,α就是直线的倾斜角,也就是说我们可以用倾斜角α的正切值来刻画直线的倾斜程度.

坡度(比)=升高量/前进量

即坡度就是倾斜角α的正切值,这个正切值我们称为直线的斜率,

因此

直线斜率的定义:我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 斜率通常用小写的字母k 表示,所以k=tan α(α≠90,α=90正切值不存在) 当直线的倾斜角α=45时,斜率k=tan 45=1,当α=t a n 135时,k=tan135 因初中学习锐角正切值的计算,因此可以直接给出公式当α为锐角时

t a n (180)t a n

αα-=-。,对于这个公式要求会用就行,后面的学习将会进一步推导,因此tan135=tan(18045)tan 45-=-=—1

问题2:探究当α在0度到90度变化时,斜率是如何变化的?当α在90度到180度范围变化时,倾斜角的变化又如何?

下面请同学们计算:当直线斜率是以下角时,直线斜率是多少?

α=0304560=120135150α、、、,、、

由公式可计算得

k=tan 0=0、k=3tan 303=、k=45tan =1、k=603tan = k=tan1203=tan(180-60)=-tan60=-

k=tan135tan(18045)tan 451=-=-=- k=3tan150tan(18030)tan 303=-=-=-

可以利用计算器计算当α由锐角无限接近90度时k 值是向正无穷靠近的并且正值,即当α在0度到90度变化时随着倾斜角的增大斜率增大,而当α由钝角无效接近90度时,k 值是无限向负无穷靠近的并且为负值。即当α在90度到180度范围变化时,随着倾斜角的增大斜率增大。

由此可知: 当α为锐角时,斜率k=tan α>0

当α为钝角时,斜率k=tan α<0

当α为直角时,tan α不存在,所以斜率k 也就不存在

当α=0时,斜率k=tan 0=0

反过来

当直线的斜率k>0时,直线的倾斜角为锐角

当直线的斜率k<0时,直线的倾斜角为钝角

当直线的斜率k=0时,直线的倾斜角为0度角

当直线的斜率k 不存在时,直线的倾斜角为直角 例2:已知一条直线与X 轴平行,则这条直线的斜率k 的值是()

A.0 B 3- C 1 D 不存在

变式训练:正三角形ABC 在直角坐标系中的位置如图所示,求出三条边所在直线的倾斜角和斜率

解:因为BC 与x 轴重合

所以 BC 边所在直线的倾斜角为0

故tan 00BC k ==

因为ABC ∠=60

所以AB 边所在的直线的倾斜角为60

故 t a n 603

AB k == 因为60ACB ∠= 所以120ACX ∠=所以AC 边所在的直线多的倾斜角为120

所以tan120tan(12060)tan603AC k ==-=-=-

问题三:已知直线上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),且直线P 1P 2与x 轴不垂直,即x 1≠x 2,直线P 1P 2的斜率是什么?

【设计意图】:让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式,同时加深学生对斜率概念的理解。

师生活动:下图中P 1P 2的水平距离是多少,垂直距离是多少?怎样表示α的正切?

小结:两点间斜率的计算公式2121

y y k x x -=-(x 1≠x 2)。 例3、已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)

分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k 的值;

而当k = tan α<0时, 倾斜角α是钝角;

而当k = tan α>0时, 倾斜角α是锐角;

而当k = tan α=0时, 倾斜角α是0°.

略解: 直线AB 的斜率k AB =1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;

直线BC 的斜率k BC =-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;

直线CA 的斜率k CA =1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.

变式练习:求经过下列两点直线的倾斜角。

(1)、 A (2,1),B (3,1); (2)、 C (2,1),D (2,6)

六、课堂小结

1、倾斜角的定义及范围

定义:当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.

并且当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00。

范围是0≤α<

180

2、斜率的定义和求法

定义:我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率

求法:90α≠时,k= tan α 90α=时斜率不存在

3、两点间斜率的计算公式2121

y y k x x -=-(x 1≠x 2)。

七、目标检测

1.判断下列说法是否正确

(2) P 2(x 2,y 2) P 1(x 1,y 1) y o α X (1) P 2(x 2,y 2) P 1(x 1,y 1) αo y X

(1)在坐标系中,每条直线都有倾斜角

(2)在坐标系中,每条直线都有斜率

(3)一条直线与x 轴的夹角就是直线的倾斜角

(4)一条直线的倾斜角越大它的斜率越大

(5两条直线的倾斜角相等,他们的斜率也相等

(6)两条直线的斜率相等,他们的倾斜角相等

2.已知直线的斜率,求它们的倾斜角

(1)3k = (2)33k = (3)1k =-

八、配餐作业

A 组

1、 已知直线的倾斜角,求直线的斜率:

(1) α=0°;(2)α=60°;(3) α=90°;(4)α=43π

2、若直线l 过(-2,3)和(6,-5)两点,则直线l 的斜率为 ,倾斜角为

3、已知两点A (x ,-2),B (3,0),并且直线AB 的斜率为21

,则x = 。

B 组

4、判断正误:

①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为αtan ( )

②直线的斜率值为βtan ,则它的倾斜角为β( )

③因为所有直线都有倾斜角,故所以直线都有斜率( )

④因为平行于y 轴的直线的斜率不存在,所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在

5、直线l 经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是( ) A.4π B. 45π C.4π或45π

D.-4π

6、顺次连结A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是( )

A.平行四边形

B.直角梯形

C.等腰梯形

D.以上都不对

C 组

7、如图,直线1l 的倾斜角1α=30°,直线1l ⊥2l ,求1l 、2l 的斜率.

8、求证:点A(-2,3),B(7,6),C(4,5)在一条直线上。九:教学反思

l2

l1

α1α2

x O

y

中职数学基础模块8.2.2直线的倾斜角与斜率教学设计教案人教版

课题8.2.2直线的倾斜角与斜率课型新授第几 课时 1 课 时 教 学 目 标(三维) 教学重点与 难点 1.掌握直线的倾斜角的概念,知道直线的倾斜角的范围. 2.理解直线的斜率,掌握过两点的直线的斜率公式,了解倾斜角与斜率之间的关系. 3.让学生从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点,能够从不同角度去分析问题,体会代数与几何结合的数学魅力. 教学重点: 直线的倾斜角和斜率. 教学难点: 直线的斜率 教学这节课主要采用讲练结合的教学法.本节首先通过观察同一坐标系中的两条直线引入了直 方法线倾斜角的定义,在明确了倾斜角范围后,定义了直线的斜率,最后讨论了直线斜率与直线上与两个不同点坐标之间的关系.直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,手段是研究两条直线位置关系的重要依据,要引导学生正确理解概念. 使 用 教 材 的 构 想

α y ☆补充设计☆ 教师行为 学生行为 设计意图 导入; 教师提出问题,学生讨论回 引入本节 1.由一点能确定一条直线吗? 2.观察并回答问题: y A 答. 课题. 由直观图 形引入问题,激 发学生学习兴 师:从图中可以看出,直线 趣. B C 1 AC 比直线 AB 更陡一些.在数学 -1 O 1 x 中,我们用倾斜角和斜率来衡量 在图中,直线 AB ,AC 都经过哪一点? 直线相对于 x 轴的倾斜程度. 它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗? 新课: 1.直线倾斜角的定义 一般地,平面直角坐标系内,直线向 上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角α叫 做这条直线的倾斜角. y l α x O 特别地,当直线与 y 轴垂直时,规定 这条直线的倾斜角为 0?. 2.倾斜角的范围 0?≤ <180?. 3.直线斜率的定义 倾斜角不是 90?的直线,它的倾斜角的 教师对定义进行三方面的诠 释: (1)直线向上的方向; (2)x 轴的正方向; (3)最小的正角. 学生结合图形理解倾斜角的 概念. 教师强调与 y 轴垂直的直线 (包括 x 轴)的倾斜角. 教师强调倾斜角是 90?的直 明确直线 倾斜角的定义. 倾斜角与 正切值叫做这条直线的斜率,通常用 k 表 线的斜率不存在.应当使学生明 斜率的关系. 示,即 k =tan α. 练习一 已知直线的倾斜角,求对应的斜率 k : (1)α=0?; (2)α=30?; (3)α=135?;(4)α=120?. 探究一 (1)由不同的两点 P 1(x 1, 1)和 P 2(x 2, y 2)能否确定一条直线? 确所有的直线都有倾斜角,但与 x 轴垂直的直线的斜率不存在. 学生练习,教师巡视点评. 教师指明,当倾斜角是锐角 时,斜率 k 为正值;当倾斜角是 钝角时,斜率 k 为负值. 教师投影探究问题,学生分 使学生通 过练习感悟倾 斜角的变化对 斜率的影响.

直线倾斜角与斜率(教学设计)

2014年全国中职学校“创新杯”教师信息化教学设计和说课大赛 8.2.1 直线的倾斜角与斜率 教学设计方案 2014年11月

《8.2.1 直线的倾斜角与斜率》教学设计方案 【授课对象】计算机网络专业二年级学生 【教材】《数学》(基础模块)下册(主编:李广全李尚志高等教育出版社出版)【教学内容】直线的方程——直线的倾斜角与斜率 【授课类型】课堂教学 【授课时间】1课时 【教材分析】 直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是以坐标化(解析化)的方式来研究直线的相关性质的重要基础。直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程,还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要的作用。因此,正确理解直线斜率的概念,熟练掌握直线的斜率公式是学好这一章的关键。 【学情分析】 教学对象是计算机网络专业二年级的学生。他们思维活跃,勇于挑战,且具有一定的网络知识,但数学基础相对薄弱。在教学中,我力求将数学与专业相结合,充分利用《几何画板》等信息化手段去帮助学生理解、掌握本节课内容。 【教学目标】 根据中职数学新大纲的要求,结合学生的实际情况,确立了如下的教学目标: (一)知识目标 1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念。 2. 掌握直线的斜率公式及应用。 (二)能力目标 通过经历从具体实例抽象出数学概念的过程,培养学生观察、分析和概括的能力。 (三)情感目标 通过合作探索,互相交流,增强团队意识,培养协作能力。 【教学重难点】 重点:直线的倾斜角和斜率的概念, 直线斜率公式及其应用; 难点:斜率公式的推导。

突破难点的关键:充分利用数形结合,并引导学生分类讨论问题。 【教学策略】 1.教学方法:问题探究法 课前下发导学提纲,学生预习提出问题,课上通过任务展示、问题交流、小组竞赛的形式引导学生自主学习。 2.学习方法:小组合作、自主探究 按照强弱搭配的原则将学生分为5个小组,通过讨论交流共同完成学习任务。 3.评价方法:综合评价 尊重学生个体差异,关注学习过程中学生的表现和变化,通过自评、互评和师评对学生进行全面动态的评价,使合作学习更加富有成效。 【教学设备】 多媒体投影仪,电脑,素描纸,展示板,自制教具。 【设计思路】 首先,通过生活实例,把数学植根于生活。教具的制作,锻炼了学生的动手能力和学习热情。通过课前导学及微课引导学生自主探究是完成教学任务的主要环节,课上再通过ppt、《几何画板》等信息化手段化解难点。

高中数学第四届全国青年教师优秀课观摩大赛-直线的倾斜角与斜率教案

直线的倾斜角与斜率的教学设计 一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素,感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。 2、通过教学,使学生从生活中的坡度,自然迁移到数学中直线的斜率,感受数学概念来源于生活实际,数学概念的形成是自然的,从而渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面,刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实,渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式,渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。 二、教学重点与难点 重点:1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念; 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式; 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的作用。 难点:用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下,让学生在教师引导下,积极探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验公式的推导过程,主动建构自己的认知结构。 四、教学过程 (一)创设情境,揭示课题 问题1、(出示幻灯片)给出的两点P、Q相同吗? 从形的角度看,它们有位置之分,但无大小与形状之分。 从数的角度看,如何区分两个点?(用坐标区分) 问题2、过这两点可作什么图形?唯一吗?只经过其中一点(如点P)可作多少条直线?若只想定出其中的一条直线,除了再用一点外,还有其他方法吗?可以增加一个什么样的几何量?(估计不少学生能意识到需要有一个角) 由此引导学生归纳,确定直线位置可有两种方式 (1)已知直线上两点 (2)已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题3、角的形成还需一条线,也就是说要有刻画倾斜程度的角,就必须还有一条形成角的参

直线的倾斜角与斜率说课稿优质课

直线的倾斜角与斜率说课 稿优质课 Prepared on 24 November 2020

《直线的倾斜角与斜率》教学设计 赵元超 尊敬的各位评委各位老师,大家好,今天我说课的题目是《直线的倾斜角与斜率》,我主要从以下六个方面进行分析,希望大家喜欢。 一:教材分析: 本节课是新人教版高一数学必修(2)的第三章第一节的内容,根据实际教学的安排,这是第一课时的内容。 1.内容分析:本节课主要有两个概念(直线的倾斜角、直线的斜率)及一个公式(斜率计算公式)。直线的倾斜角是从形的角度描述直线的倾斜程度,而斜率从数的角度描述直线的倾斜程度。这也是数形结合思想的体现。 我们都知道两点一线的事实,那么,如何用坐标法来描述这一过程呢因此,斜率公式的推出就是很自然的一件事情了。这也体现了我们的数学具有自然美这一特性。 2.作用分析 通过本节课的学习,初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法,培养学生对数形结合、分类讨论思想的应用知识,为后继判断两条直线的位置关系以及建立直线的方程等内容起着铺垫的作用。 二:学情分析 1.学生在初中阶段已经学习过了平面直角坐标系,学习过了一次函数、二次函数、反 比例函数等。 2.同学们已经知道了两点可以确定一条直线的基本事实。 3.同学们刚刚学完立体几何,对空间点线面的关系已经有了比较深入的了解。 三:目标分析 1.知识与技能 探索确定直线位置的几何要素,感受倾斜角这个几何量的形成过程,体会由生活中的坡度的概念抽象成数学中的斜率的过程经历直线斜率公式的推导过程,并会用斜率公式解决简单的问题。 2.方法与过程

本节课设计3个大问题23个小问题,层层深入,环环相扣,步步紧逼、使学生学会用探究式的方法来研究数学问题。 3.情感态度与价值观 通过斜率概念的构建和斜率公式的探究渗透数形结合、分类讨论的思想方法,体会数学的自然之美,和谐之美,有用之美;通过学生之间师生之间的交流合作,实现共同探究的目标,培养学生的合作意识。同时也是响应国家社会主义核心价值观进课堂的重要体现。 四:重难点分析 重点:直线的倾斜角和斜率概念,过两点的直线的斜率公式 难点:倾斜角为钝角时,斜率公式的推导。 五:教学过程分析: 1.故事引入,激发兴趣 本环节讲一个讲关于法国数学家、解析几何创始人笛卡尔的一个爱情故事。 笛卡尔穷困潦倒之际与一个瑞典的公主相爱了,就像所有的爱情故事一样,他不被丈母娘看好,所以只能以悲剧结束,或许,唯有如此才能流传千古吧。但是,故事的亮点并不在此,而是他在弥留之际写给心爱姑娘的最后一封情书竟然是一个数学公式。 P=a(1-sinb)。大家想知道这封情书的含义吗那么就学好解析几何吧。今天我们就来学习解析几何的初始内容,直线的倾斜角与斜率。 设计意图:以故事吸引学生,激发学生兴趣,引爆学习数学的小宇宙。 2.设计问题层层探究 本环节我设计了三个大问题,23个小问题,把本节课的所有内容串了起来。 思考1 在平面直角坐标系内如何确定一条直线 设计意图:通过前3个问题,引出倾斜角的概念,再用后五个问题,加深同学们对倾斜角概念的理解。让学生体会到几何问题的本质就是用代数的方法来研究几何问题。 思考2 生活中,还有没有其它表示倾斜程度的量 设计意图:本环节通过前两个问题生成斜率的概念,再用后面的6个问题加深对概念的理解。本环节通过把生活中的坡度转化为数学中的斜率,让学生体会数学源于生活,高于生活,数学是自然而然产生的。 思考3:已知直线上两点的坐标如何计算直线的斜率 设计意图:本环节设计7个子问题,引导学生自己探索,指导学生注意分类讨论时思维的严谨性,培养学生思维的严谨性,完备性。 就这样通过以上23个如此简单的问题在悄无声息中完成了知识的生成,思想的渗透,以及合作意识的培养。 3.例题分析加深理解

2.1.1直线的倾斜角与斜率-导学案

直线的倾斜角与斜率(导学案) 使用说明: 1.用15分钟左右的时间,阅读探究课本62 59- p页的基础知识,自主高效预习,提升自己的阅读理解能力;2.完成教材助读设置的问题,然后结合课本的基础知识和例题,完成自测练习。 【学习目标】 1.了解在直角坐标系中,确定直线位置的几何要素 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念直线的 3.掌握过两点的斜率的计算公式 【重点难点】 重点:直线的倾斜角和斜率的概念; 难点:直线的倾斜角与斜率的关系 一、知识链接 1.在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 2.在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 二、教材助读 1.直线的倾斜角 (1)在直角坐标系中,确定直线位置的几何要素有 (2)倾斜角的定义是 (3)当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为度 (4)直线倾斜角的范围为 试试:请描出下列各直线的倾斜角 函数y=x的图像的倾斜角为 , y=-x的图像的倾斜角 为 , 直线x=1倾斜角为 ,直线y=0倾斜角为2.直线的斜率 (1)在日常生活中,我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”,则坡度的公式是怎样的? (2)斜率的定义:一条直线的倾斜角 a (α≠900) 的正切值叫做这条直线的斜率,记为 k=tan a 试试:已知各直线倾斜角,则其斜率的值为 α=0°时,则k 0°<α< 90°,则k α= 90°,,则k 90 °<α< 180°,则k 3.过两点的直线斜率的公式 (1)由直线上两点) , ( 1 1 y x A、) , ( 2 2 y x B来求直线的斜率k的公式是: 当 2 1 x x≠时,k= 当x1=x2 时, k (2)如果 1 2 1 2 ,x x y y≠ =则直线与x轴k= 如果 1 2 1 2 ,x x y y= ≠则直线与x轴倾斜角等于k (3)直线的斜率与所选择直线上两点的位置有无关系?顺序有无关系? 预习自测 1.已知直线的倾斜角,求直线的斜率 (1) 30 = α(2) 135 = α(3) 90 = α 2.已知直线的斜率求直线的倾斜角 (1)0 = k(2)1 = k(3)3 - = k(4)k不存在 3.分别求经过下列两点的直线的斜率 (1)(2,3)和(4,5)(2)(-3,-1)和(2,-1) (3)(1,3)和(-1,3 3) 4.过点) ,2 (m P-和)4, (m Q的直线的斜率等于1,则m的值为___________ 基础知识探究 1.直线的倾斜角与斜率的关系 (1) 当直线与x轴不垂直时,直线的斜率k与倾斜角α之间满足关系式_________;当直线与x轴垂直时,直线的斜率________ 预习案 探究案

高中数学-《直线的倾斜角与斜率(1)》教案

《3.1.1 直线的倾斜角与斜率(1)》教案 一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》(人教版)第三 章直线方程第一节直线 的倾斜角与斜率的第一课时。 直线的倾斜角与斜率是高中数学重要内容之一,有着广泛的实际应用,而且起着承前启后的作用。一方面, 直线的倾斜角与斜率与一次函数密不可分;另一方面,学习直线的倾斜角与斜率也为进一步学习直线方程等内容做好准备。 二、学生学习情况分析 本节课学生很容易在以下两个地方产生错误或困惑: 1.由正切函数的单调性得到倾斜角与斜率的变化关系; 2. 斜率计算公式的运用. 三、教学目标 知识与技能 1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.理解直线的倾斜角的唯一性. 3.理解直线的斜率的存在性. 4.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 情感态度与价值观 1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. 2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形 结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生 形成严谨的科学态度和求简的数学精神

四、教学重点,难点 重点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 难点:斜率公式的应用。 五、教学过程 (一).复习旧知 问题1:正切函数的定义及定义域 问题2: 正切函数的图象与单调性 (二).问题情境 问题3:对于平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由哪些条件确定呢? 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可 以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定 的.这些直线有什么联系呢? (1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程 度’不同. 问题4:怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? (三).形成定义 定义1:直线倾斜角的概念:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。问题5:倾斜角的取值范围是什么呢?0°≤α<180°. 问题6:倾斜角的用处是什么? 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直

教案直线的倾斜角与斜率教案

直线的倾斜角与斜率的教学设计 进贤一中龚祝鹏 一、教学目标 1、探索确定直线位置的几何要素,感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。 2、通过教学,使学生从生活中的坡度,自然迁移到数学中直线的斜率,感受数学概念来源于生活实际,数学概念的形成是自然的,从而渗透辩证唯物主义思想。 3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面,刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实,渗透数形结合思想。 4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程,初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式,渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。二、教学重点与难点 重点:1、感悟并形成倾斜角与斜率两个概念; 2、推导并初步掌握过两点的直线斜率公式; 3、体会数形结合及分类讨论思想在概念形成及公式推导中的 作用。 难点:用代数方法推导斜率的过程。 三、教学方法 计算机辅助教学与发现法相结合。即在多媒体课件支持下,让学生在教师引导下,积极探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验

公式的推导过程,主动建构自己的认知结构。 四、教学过程 (一)创设情境,揭示课题 问题1、(出示幻灯片)给出的两点P、Q相同吗? 从形的角度看,它们有位置之分,但无大小与形状之分。 从数的角度看,如何区分两个点?(用坐标区分) 问题2、过这两点可作什么图形?唯一吗?只经过其中一点(如点P)可作多少条直线?若只想定出其中的一条直线,除了再用一点外,还有其他方法吗?可以增加一个什么样的几何量?(估计不少学生能意识到需要有一个角) 由此引导学生归纳,确定直线位置可有两种方式 (1)已知直线上两点 (2)已知直线上一点和直线的倾斜程度 问题3、角的形成还需一条线,也就是说要有刻画倾斜程度的角,就必须还有一条形成角的参照的直线。在平面直角坐标系下,以哪条轴线为基准形成刻画倾斜程度的角?(学生可能回答x轴或y轴)以x轴或y轴为基准都可以,习惯上我们用x轴。

全国高中数学 青年教师展评课 直线的倾斜角和斜率教学设计

直线的倾斜角和斜率教案 1 教学内容分析 1.1教学内容 本节课讲的是北师大版必修二第二章的第一节第一课时的内容,主要学习直线的倾斜角和斜率的概念以及过两点的斜率公式. 1.2教材所处地位及前后的联系 本节内容是高中解析几何内容的重点,涉及的直线倾斜角,斜率是解析几何中的重要概念。这些概念的学习初步渗透了解析几何的基本思想和基本研究方法。本节内容的学习,为进一步学习圆锥曲线方程、导数等知识做好了铺垫;为最终通过解决代数问题来解决几何问题打下基础。 2教学目标 2.1知识目标 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式。 2.2能力目标 通过学习直线的倾斜角和斜率有关的概念,培养学生的数学理解能力;通过对斜率公式的推导,增强学生运用坐标法解决几何问题的能力;通过练习增强学生分类讨论的意识。 2.3情感、态度与价值观 学生通过主动探究,合作学习,相互交流,增强学生的数学应用意识,提高学生数学思维的情趣,给学生成功的体验,强化学生参与意识与主体作用. 3学情分析 3.1认识结构 经过半年多时间的学习,学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高.但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距,尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上.在新课中,运用了生活中的实例,多媒体动画效果,引导学生思维的“上路”,让学生主动参与探究过程. 3.2情感结构 随着年龄的增大,阅历的丰富,高中学生自主意识的增强,有独立思考问题、发现问题的能力.在学生的探索活动中,主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段,帮助他们分析问题,激发学生的学习的兴趣. 4 教学重点、难点分析 4.1教学重点 直线的倾斜角和斜率的概念。 4.2教学难点 斜率概念的理解和过两点的直线斜率计算公式的推导。 5教学方法 本节课主要是教给学生“动手、动眼、动脑、动口”的研究式学习方法,增加学生自主参与,合作交流的机会,教给学生获取知识的途径,思考问题的方法,使学生真正成为教学的主体。 6 教学手段 多媒体教学 7 教学过程 7.1创设情境引入新课 带领学生欣赏李白《蜀道难》中的诗句“蜀道之难难于上青天”,“黄鹤之飞尚不得,猿

直线倾斜角教学设计

普通高中课程标准实验教科书(北师大版) 数学必修2第二章

给出生活中的实例识,点燃学生的思维火花,观察分析并抽象概括出直线位置如何确定 问题:怎样才能确定直线的问置? 一点+倾斜角(直线的方向)确定一条直线(两都缺一不可) 思考:在日常生活中,有没有表示倾斜程度的量? (让学生举例) 如图:在日常生活中,我们常用坡面的铅直高度与水平长度(升高量与前进量)的比,表示倾斜面的坡度(倾斜程度)。 坡面与地平面所成的角不变的情况下,升高量和前进量都在 变化,那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟 是怎样的关系?能不能用一个数学式子来表示它们之间的 关系? 前进量 升 高 量

坡度比=前进量 升高量 例如:进2升3与进2升2比较 2、 直线斜率的概念 一条直线倾斜角α的正切值叫这条直线的斜率(slope ),通常用小写字母k 表示。 () 090tan ≠=ααk 对α取不同的范围进行分析k 的取值情况。 3、 直线的倾斜角与斜率之间的关系 直线情况 平行于α情况 由左向右上升 垂直于x 轴 由右向左上升 α的大小 k 的情况 k 的增减性 4、 两点确定直线的斜率 已知两点),)(,(),,(21222111x x y x p y x p ≠则由这两点确定直线的线率?=k 课本上是用坐标法推导的,分两种情况: 确定直线位置几何要素转化为代数化 为有利于调动学生性,加深对两者关系理解,通过用几何画板演示倾斜角与斜率之间关系,给学生直观认识,降低学习的难度 课本中是用坐标法去推导两点直线的斜率前预习易掌握证明过程中用向量法来推导两点确定直线的斜率比较两种方法解题思路不同 0 x y

直线的倾斜角与斜率(教学案)

直线的倾斜角与斜率 教学目标: 1、了解确定直线位置的几何要素(两个定点、一个定点和斜率) . 2、对直线的倾斜角、斜率的概念要理解,能牢记过两点的斜率公式并掌握斜率公式的推导,了解直线的倾斜角的范围. 3、理解直线的斜率和倾斜角之间的关系,能根据直线的倾斜角求出直线的斜率. 1. 直线经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是________. 答案:45° 解析:tan α=k =1,∴α=45°. 2. (必修2P 115习题2改编)已知过两点A(-a,3),B(5,-a)的直线的斜率为1,则实数a =________. 答案:-4 解析:由k =-a -35+a =1,得a =-4. 3. 已知过两点A(m 2+2,m 2-3),B(3-m 2-m,2m)的直线l 的倾斜角为45°,则实数m =________. 答案:-2 解析: ∵m 2-3-2m m 2+2-(3-m 2-m ) =tan45°=1,∴m 2+3m +2=0,解得 m =-1或-2. 但当m =-1时,A 、B 重合,舍去. ∴m =-2. 4. 在直角坐标系中,直线y =- 33 x +1的倾斜角为________. 答案:5π6 解析:∵tanα=k =- 33,又α∈[0,π),∴α=5π6. 1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时,所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角,并规定: 与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0; 直线的倾斜角α的取值范围为[0,π). 2. 直线斜率的定义 倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示,即k =tanα.由正切函数的单调性可知,倾斜角不同的直线其斜率也不同. 3. 过两点的斜率公式 过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线,当x 1≠x 2时,斜率公式k =tanα=y 2-y 1x 2-x 1 ,该公式与两点的顺序无关;当x 1=x 2时,直线的斜率不存在,此时直线的倾斜角为90°.

..直线的倾斜角与斜率教学设计

第三章 直线与方程 3.1.1 倾斜角与斜率(2课时) 主备教师:李劲东 一、内容及其解析 “直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容,是高中解析几何内容的开始。这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法,理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X 轴正方向所成的角和角的正切值。之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线,这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示,是平面直角坐标系内以坐标法(解析法)的方式来研究直线及其几何性质(如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等)的基础。通过该内容的学习,帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程,渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程,还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用。 二、目标及其解析 目标定位:1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率 3、掌握过两点的直线的斜率公式。 目标解析: 1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以X 轴为基准,直线与X 轴相交时,X 轴正方向与直线向上的方向的角;理解斜率概念是指直线的斜率就是直线倾斜角的正切值。 2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角,会求直线斜率是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。 3、掌握过 两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)两点的直线的斜率公式k = (x 1≠x 2) 三、问题诊断与分析 在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范围理解时会不糊不清 和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难,产生这两个问题的原因是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上认真正理解和对新公式tan(180)tan αα-=-。的运用还不灵活。要解决这一困难,就要让学生从开始就认真的从定义上理解倾斜角的概念和多用公式tan(180)tan αα-=-。。其中理解倾斜角的关键是理解当直线与X 职轴相交时倾斜角的概念是怎么定义的当直线不与X 轴相交时又是怎么定义的。理解公式的tan(180)tan αα-=-。的关键是多用该阶段只要求学生会用就行。 四、教学支持条件分析

2021年高中数学《3.1 直线的倾斜角与斜率》学案 新人教A版必修

2021年高中数学《3.1 直线的倾斜角与斜率》学案新人教A版必修2 学习目标 1.理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率; 2.掌握过两点的直线斜率的计算公式; 3.能用公式和概念解决问题. 学习过程 一、课前准备 (预习教材P90~ P91,找出疑惑之处) 复习1:在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢? 复习2:在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢? 二、新课导学 ※学习探究 新知1:当直线与轴相交时,取轴作为基准,轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角(angle of inclination). 关键:①直线向上方向;②轴的正方向;③小于平角的正角. 注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.. 试试:请描出下列各直线的倾斜角.

反思:直线倾斜角的范围? 探究任务二:在日常生活中,我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”,则坡度的公式是怎样的? 新知2:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为. 试试:已知各直线倾斜角,则其斜率的值为 ⑴当时,则; ⑵当时,则; ⑶当时,则; ⑷当时,则 . 新知3:已知直线上两点的直线的斜率公式:. 探究任务三: 1.已知直线上两点运用上述公式计算直线的斜率时,与两点坐标的顺序有关吗? 2.当直线平行于轴时,或与轴重合时,上述公式还需要适用吗?为什么?

※典型例题 例1 已知直线的倾斜角,求直线的斜率: ⑴; ⑵; ⑶; ⑷ 变式:已知直线的斜率,求其倾斜角. ⑴; ⑵; ⑶; ⑷不存在. 例2 求经过两点的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角. ※动手试试 练1. 求经过下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴;

《倾斜角与斜率》教学设计(优质课)

倾斜角与斜率 (一)教学目标 1.知识与技能 (1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)理解直线倾斜角的唯一性. (3)理解直线斜率的存在性. (4)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 2.过程与方法 引导帮助学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题,进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决,使学生不断体会“数形结合”的思想方法. 3.情感、态度与价值观 (1)通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. (2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合的思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. (二)教学重点与难点 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. (三)教学方法

备选例题 例1 求下列两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角. (1)(1,1),(2,4); (2)(–3,5),(0,2); (3)(2,3),(2,5); (4)(3,–2),(6,–2) 【解析】(1)41 3021 k -==>-,所以倾斜角是锐角; (2)25 100(3) k -= =-<--,所以倾斜角是钝角;

(3)由x 1 = x 2 = 2得:k 不存在,倾斜角是90° (4)2(2) 063 k ---= =-,所以倾斜角为0° 例2 已知点P (点Q 在y 轴上,直线PQ 的倾斜角为120°,则Q 点的坐标为 . 【解析】因为点Q 在y 轴上,则可设其坐标为(0,6) 直线PQ 的斜率k = tan120°= ∴ k == ∴b = –2,即Q 点坐标为(0,

高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案

课题:直线的倾斜角和斜率 教材:普通高中课程标准实验教科书(人教版)数学第3章第1节 一、教学目标: 1、知识与能力: (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)掌握过两点的直线的斜率公式,会求直线的斜率和倾斜角. (3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系. 2、过程与方法: (1)经历直线倾斜角概念的形成过程,理解直线倾斜角和斜率之间的关系. (2)从数与形两方面让学生明白,倾斜角和斜率都是刻画直线相对于x轴的倾斜程度.渗透数形结合思想. (3)通过问题,层层设疑,提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路. 3、情感态度与价值观: 1.从生活中的坡度,自然迁移到数学中直线的斜率,让学生感受数学来源于生活,渗透辩证唯物主义世界观. 2.帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想,在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系,体现数、形的统一,激发学生学习数学的兴趣,培养学生勇于探索、勇于创新的精神. 二、教学重点: 直线的倾斜角和斜率的概念,直线的斜率公式推导和应用. 三、教学难点: 倾斜角概念的形成,斜率公式的推导 四、教学方法与手段: 计算机辅助教学与发现法相结合.即在多媒体课件支持下,创设情境问题,层层设疑,制造认知冲突,引发争论,让学生在教师引导下,积极探索,亲身经历概念的发现与形成过程,体验公式的推导过程,主动建构自己的认知结构. 【教学过程】 一、知识导入 在初中,我们学过了函数的图象,知道在直角坐标系中,点可以用有 序实数对) x来表示和确定.那么直线呢?在平面直角坐标系中, (y , 问题:经过一点P的直线L的位置能确定吗? 预案:不能.如图, 过一点P就可以作无数多条直线.那么, 问题:这些直线之间又有什么联系和区别呢? 短暂思考和讨论后,学生可以回答 预案:(1)它们都经过点P.(2)它们的“倾斜程度”不同. 那么,我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢? 〖设计意图〗学生刚刚学完立体几何,对解析几何已经有些陌生.所以从简单问题入手,便于 激发学生学习热情,同时又能引入倾斜角的概念,起到承上启下的作用. 二、知识探索

直线的倾斜角与斜率教学设计)

3.1.1倾斜角和斜率 一、教学目标: ⒈知识与技能目标: (1)正确理解直线的倾斜角的概念与它的取值范围及直线的倾斜角的唯一性; (2)理解直线的斜率的概念与倾斜角与斜率的关系; (3)理解直线的斜率的存在性; ⒉过程与能力目标: ⑴经历倾斜角与斜率的形成过程,感受分类讨论的思想; ⑵经历代数的方法刻画直线斜率的过程,感受解析几何的基本方法; ⑶初步体验坐标法,感受数形结合的思想。 通过直线倾斜角概念的引入和直线的倾斜角与斜率的关系的揭示,培养学生的观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力。 ⒊情感、态度与价值观目标: (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生 观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力; (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想, 培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精 神. 二、教学重难点: 教学重点:直线的倾斜角与斜率的概念; 教学难点:斜率概念的学习。 三、教学用具:多媒体教学设备、黑板. 四、教学方法:启发、引导、讨论.教学过程中,在教师的引导与组织下,鼓励学生自主探索与合作交流,通过教师创设适当的问题情境,使学生发现教学的规律和问题解决的途径,让他们经历知识形成的过程。 五、教学过程: (一)导入新课: 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线.那么, 经过一点P作直线能作出多少条直线? 如图, 过一点P可以作无数多条直线,显而易见,答案是否定的.这些直线区别 在哪呢? x (二)讲授新课: 引导学生观察得到它们的“倾斜程度”不同.那么怎样描述这种“倾斜程度”的不同?从而引入直线的倾斜角的概念. ⒈直线的倾斜角: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的 角α叫做直线l的倾斜角 ....特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定 = 0°.

直线的倾斜角与斜率学案

直线的倾斜角与斜率学案 学考目标: 1.正确理解直线的倾斜角和斜率的槪念. 2.理解直线的倾斜角的唯一性. 3.理解直线的斜率的存在性. 4.掌握过两点的直线的斜率公式. 重点: 1.直线的倾斜角、斜率的槪念和公式. 2.Y 能用槪念和公式解决有关问题. 知识要点: 1.直线的倾斜角: 当直线/与x轴相交时,x轴的____________ 与直线/ _______ 的方向之间所成的叫 a叫做直线/的倾斜角;当直线/与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ________________ . [感悟] (1)直线/的倾斜角a可以表示直线/的 ___________________ ,它的的范围是 (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的儿何要素是直线上的一个 ______ 以及它的 ___________ ,二者缺一不可. (3)______________________________________________________________ 直线的 倾斜角是直线向上的方向与x轴正向所成的 _____________________________ 正角. & 2.直线的斜率: 一条直线的倾斜角a的—叫做这条直线的斜率,常用小写字母R表示,即■ 【感悟】 (1)_________________________________________________________________ 由于 当tz = 90°时,tana无意义,故此时直线的斜率 __________________________ . (2)__________________________________ 当0°

【K12学习】《直线的倾斜角与斜率》导学案

《直线的倾斜角与斜率》导学案 一、教学内容分析 “直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课,担负着开启全章的重任,因此在本课时的教学中不但要落实显性知识,更重要的是要揭示隐性知识:研究解析几何的基本方法——坐标法。 本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度,而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。二者联系的桥梁是正切函数值,进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。 倾斜角是一个桥梁,利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。而在建立直线方程,研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。因此,坐标法和斜率是本课时的核心概念。据此确定本课时的教学重点是: 使学生经历几何问题代数化的过程,并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法,体会坐标法。 理解斜率的定义,掌握过两点的直线的斜率公式。 二、教学目标分析 .理解倾斜角的概念,体会在直角坐标系下,以坐标轴为“参照系”,用统一的标准刻画几何元素的思想方法。

2.理解斜率的定义和斜率公式,经历几何问题代数化的过程,了解解析法的基本步骤,感受解析几何的思想方法。 3.通过解析几何发展史的简单介绍,渗透数学文化教育。 三、教学问题诊断分析 平面几何中,“两点确定一条直线”是没有“参照系”的,如何使学生在这一知识的基础上,顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线,是比较困难的。事实上,已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向,因此已知“两个点可以确定直线的方向”,这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。在教学中应注意引导学生认识到这种联系。 函数是以图助数,利用图形使代数问题直观化,解析几何则是以数助形,用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想,但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线,这里研究的是直线的方程,学生容易将二者混淆,误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。 基于上述分析,确定本课时的教学难点为: 直角坐标系下对刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成;用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。

最新直线的倾斜角和斜率教案

直线的倾斜角和斜率(3.1.1) 教学目标: 知识与技能 (1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)理解直线的倾斜角的唯一性. (3)理解直线的斜率的存在性. (4)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 情感态度与价值观 (1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭 示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流 与评价能力. (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形 结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科 学态度和求简的数学精神. 重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具:计算机 教学方法:启发、引导、讨论. 教学过程: (一)直线的倾斜角的概念 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? (1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’ 的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 ....特别地,当直线l与x轴平行或重合时,

规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0 °≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 如图, 直线a∥b∥c, 那么它们Y X c b a O 的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 ...P.和一个倾斜 ..... 角α ... (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°-45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三)直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式:

教案直线的倾斜角

《直线的倾斜角与斜率》教学设计及教案 本节课选自高中数学《必修2》(普通高中课程标准实验教科书)第三章第一节第一节课。 一、内容和内容解析 内容:解析几何介绍,直线的倾斜角和斜率。 每一章的第一节课非常重要,所讲内容要体现出“大问题”,“显著问题”,要从全章的角度来看问题。因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念,还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。 直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度,倾斜角用几何位置关系刻画,斜率从数量关系刻画,二者的联系桥梁是正切函数值,并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程,体现了坐标法的基本思想:把几何问题代数化,通过代数运算研究几何图形的性质。 本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念,它主要起过渡作用,是联系新旧知识的纽带,研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念;斜率概念,不仅其建立过程很好地体现了解析法,而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用,这是因为在直角坐标系下,确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率,其他形式都可以化归到这两个条件上来。 教学重点: 1、使学生经历几何问题代数化的过程,初步了解解析几何研究问题的基本思想方法,体会坐标法; 2、理解斜率的定义,掌握过两点的直线的斜率公式。 二、目标和目标解析 1.理解倾斜角的概念,体会在直角坐标系下,以坐标轴为“参照系”,用统一的标准刻画几何元素的思想方法。 2.理解斜率的定义和斜率公式,经历几何问题代数化的过程,了解解析法的基本步骤,感受解析几何的思想方法。 3.通过解析几何发展史的简单介绍,渗透数学文化教育。 三、教学问题诊断分析 平面几何中,“两点确定一条直线”是没有“参照系”的,如何使学生在这一知识的基础上,顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线,是比较困难的。事实上,已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向,因此已知“两个点可以确定直线的方向,这与‘一个点和直线的方向确定一条直线’是一致的”。在教学中应注意引导学生建立这种联系。

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