直线的参数方程
课题：直线的参数方程
【学习目标】
1.通过实例了解直线的参数方程的建立过程,并会与普通方程进行互化.
2.掌握参数方程的不同表示形式,理解其中有几何意义的参数的含义.
3.能够运用参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关系,解答距离和弦长问题,运用运动变化的观点看待问题.根据实例说明某些直线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性.
【重点难点预测】
重点：直线的参数方程.
难点：直线的参数方程与普通方程互化
【学法指导】
小组合作、讨论交流
【导学流程】 一、创设情境
直线l 过点(2,3),倾斜角为60°的直线方程有哪些不同的表达形式?
二、课前预习导学
问题1:上述问题中的直线可以用 写方程,也可以由参数方程写出. 过点P(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程为 (t 为参数).
问题2:上述直线l 的参数方程中参数t 的几何意义
直线l 的参数方程中参数t 的几何意义:参数t 的绝对值等于直线上动点P 到定点P 0(x 0,y 0)的距离,即|t |=|P 0P|.
问题3:直线l 的参数方程形式一定吗?还可以写成什么形式?
直线的参数方程形式不是唯一的,直线的参数方程可以写成 ,这里的
,a b R ∈,其中当221a b +=时, t 有明确的几何意义,它表示|P 0P|.此时,我们可以认为cos ,sin a b αα==(α为倾斜角);当221a b +=时, t 没有明确的几何意义.
问题4:如何用直线l 的参数方程求弦长和求弦的中点坐标?
一般是先设出直线l 的参数方程为00,sin x x tcos y y t α
α=+??=+?(t 为参数),代入圆锥曲线的方程,得到关于t
的二次方程,由判别式Δ和韦达定理得到t 1+t 2, t 1t 2的值,再由弦长公式 计算.用弦的中点坐标计算时,先计算 ,再代入直线的参数方程得到中点坐标.
三、基础学法交流
1.下列可以作为直线2x-y+1=0的参数方程的是( ).
A. 13x t y t =+??=+? ( t 为参数)
B. 152x t y t =-??
=-?( t 为参数) C. 132x t y t =-??=-?
( t 为参数)
D. 25x y ?=+????=+??
( t 为参数) 2.直线231x t
y t
=+??=-+?(t 为参数)上对应t =0, t =1两点间的距离是( ).
A.1
C.10
3.设直线的参数方程为123x t
y t =-+??=-?
(t 为参数),则点(3,6)到直线的距离是 .
4.求直线l
:23x y ?=--??=+??(t 为参数)与抛物线C: 2
2x s y s =??=?(s 为参数)的交点坐标.
四、展示提升：
直线的参数方程
例一、直线1sin 302cos 60o
o
x t y t ?=--?=+?
(t 为参数)的倾斜角为( ). A.30° B.45° C.120°
D.135°
利用参数的几何意义求距离
例二、在直角坐标系xOy 中,直线l
的参数方程为32x y ?=????=??(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C
的方程为
ρθ=.
(1)求圆C 的直角坐标方程;
(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B,若点P 的坐标为(3,
求|PA|+|PB|.
直线的参数方程在圆锥曲线中的应用
例三、求直线11x t y t
=-??=+?被椭圆2
214x y +=所截得的弦长.
【当堂检测】
1.若直线的参数方程为1223x t
y t
=+??=-?(t 为参数),则直线的斜率为( ).
A.
23
B.-23
C. 3
2
D.-
3
2
2.
直线23x y ?=-??=??(t 为参数)上与点P(-2,3)
( ).
A.(-4,5)
B.(-3,4)
C.(-3,4)或(-1,2)
D.(-4,5)或(0,1)
3.已知以极点为原点,极轴为x 轴的非负半轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=6sinθ,直
线l
的参数方程为1212x t y ?=??
??=+??(t 为参数),直线l 被曲线C 截得的线段长度为 .
4.在直角坐标平面内,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标
方程是ρ=4cosθ,直线l
的参数方程是3212x y t ?=-+???
?=??(t 为参数). (1)过极点作直线l 的垂线,垂足为点P,求点P 的极坐标; (2)若点M,N 分别为曲线C 和直线l 上的动点,求|MN|的最小值.
【达标测评】
1、直线过点(3,-5),倾斜角为2
3
π,求直线的参数方程.
2、在平面直角坐标系xOy中,已知直线l
的参数方程为
1
2
x
y
?
=-
??
?
?=
??
(t为参数),直线l与抛物线
y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.
3、已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
14
,
24sin
x cos
y
θ
θ
=+
?
?
=+
?
(θ为参数),直线l经过定
点P(3,5),倾斜角为
3
π.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点,求|PA|·|PB|的值.
4、已知在平面直角坐标系xOy中.以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的
极坐标为)
6
π,曲线C
的极坐标方程为2sin1
ρθ
+=.
(1)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;
(2)若Q为曲线C上的动点,求PQ中点M到直线l:
32
2
x t
y t
=+
?
?
=-+
?
(t为参数)的距离的最小值.
【知识清单】
【自主反思】
高三数学一轮复习 专题 直线的参数方程导学案
第三课时 直线的参数方程 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。 圆222r y x =+参数方程? ? ?==θθ sin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：???+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? （二）、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是0 30 ，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程
?? ?+=+=α α sin cos 00t y y t x x （t 为参数） 【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM 数量来表示。带符号. （2）、经过两个定点Q 1 1 ( ,)y x ，P 2 2 (,)y x (其中12x x ≠)的直线的参数方程为 12112 1(1){ x X y y x y λλ λλλλ++++= =≠-为参数，。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里 参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QP 的 数量比QM MP 。当o λ >时，M 为内分点；当o λ<且1λ≠-时，M 为外分点；当o λ=时， 点M 与Q 重合。 例题演练： 例1、 已知直线l ：10x y +-=与抛物线2 y x =相交于A,B 两点，求线段AB 的长和点 M (1,2)-到A,B 两点的距离之积。 例2、 经过点M(2,1)作直线l ，交椭圆 22 1164 x y +=于A,B 两点，如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程。
直线参数方程t的几何意义44095
1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=α αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=221t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k = 的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P 同时改变符号 P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α α sin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ①当t>0时，点P 在点P 0的上方； x y ,) x
《直线的参数方程》教学案1
2.5《直线的参数方程》教学案 一、教学目标： 知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法：能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程及参数的意义 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 二重难点： 教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法： 启发、诱导发现教学. 四、教学过程 (一)、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程. 圆222r y x =+参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x (θ为参数) (2)圆2 2 02 0r y y x x =+-)-()(参数方程为：???+=+=θ θ sin cos r y y r x x 00 (θ 为参数) 2．写出椭圆参数方程. 3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角，如何表示直线的参数方程？ (二)、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是 30 ，并且经过点P(2，3)，如何描述直 线L 上任意点的位置呢？ 如果已知直线L 经过两个 定点Q(1，1)，P(4，3)， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？ 2、教师引导学生推导直线的参数方程： (1)过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的 参数方程 ???+=+=αα sin cos t y y t x x 00 (t 为参数【辨析直线的参数方程】：设M(x ，y)从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM (2)、经过两个定点Q 11(,)y x ，P 22(,)y x (其中12≠)的直线的参数方程为
直线参数方程-知识讲解
直线的参数方程 【学习目标】 1．能选择适当的参数写出直线的参数方程． 2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。 【要点梳理】 要点一、直线的参数方程的标准形式 1. 直线参数方程的标准形式： 经过定点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为： 00cos sin x x t y y t αα=+??=+? （t 为参数）； 我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。 2. 参数t 的几何意义： 参数t 表示直线l 上以定点0M 为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正 负号，也即0||||M M t = ，||t 表示直线上任一点M 到定点0M 的距离。 当点M 在0M 上方时，0t >； 当点M 在0M 下方时，0t <； 当点M 与0M 重合时，0t =； 要点注释：若直线l 的倾角0α=时，直线l 的参数方程为? ??=+=00y y t x x . 要点二、直线的参数方程的一般形式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=a b 的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00(t 为参数) 在一般式中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义。若a 2+b 2=1,则为标准式，此时，｜t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜. 要点三、化直线参数方程的一般式为标准式 一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程的一般式为，. ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数）， 斜率为a b tg k ==α (1) 当2 2b a +＝1时，则t 的几何意义是有向线段M M 0的数量. (2) 当22b a +≠1时，则t 不具有上述的几何意义 .
15 直线的参数方程(1)(教师版)
15. 直线的参数方程（1） 主备： 审核： 学习目标：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义； 2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程. 学习重点：直线参数方程的简单应用. 学习难点：直线参数方程中参数意义的理解. 学习过程： 一、课前准备： 阅读教材3536P P -的内容，了解直线参数方程的推导过程，并思考以下问题： 1.将参数方程122x t y t =-??=+? （t 为参数）化为普通方程是250x y +-=. 2.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 答：一个定点和倾斜角可惟一确定一条直线，方程为0 0tan ()y y x x α-=-. 3. 你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？ 答：当一条直线确定了之后，唯一变化的就是直线上的点，因此，可以以某一个定点为参照，定点到动点的向量作为参数. 二、新课导学： （一）新知： 直线参数方程的推导过程： 设e 是与直线l 平行且方向向上（l 的倾斜角不为0）或向右（l 的倾斜角为0）的单位方向.设直线l 的倾斜角为α，定点为0M 和动点M 的坐标分别为00(,)x y 、(,)x y . 思考以下问题： （1）如何利用倾斜角α写出直线l 的单位向量e ？ 答： (cos ,sin )e αα= （2）如何用e 和0M 的坐标表示直线l 任意一点M 的坐标？ 答：因为00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=-- 又0//M M e ，所以存在唯一实数t R ∈，使得0M M te = ， 所以00(,,)(cos ,sin )x x y y t αα--=， 所以00cos sin x x t y y t αα=+??=+? （t 为参数）. 这就是经过点000(,)M x y 且倾斜角为α的直线的参数方程. (3) 参数t 的几何意义是什么？ 答：t 表示参数t 对应的点M 到定点0M 的距离；当0M M 与e 同向时，t 取正数，当0M M 与e 反向时，t 取负数，当0M 与M 重合时，0t =. （4）练习：①直线003sin20cos20 x t y t ?=+?=?（t 为参数）的倾斜角为70 ； ②直线10x y +-= 的一个参数方程是2()1x t y ?=????=??为参数. (二)典型例题： 【例1】直线l ：30x y --=与抛物线24y x =交于两点A 、B ，求线段AB 的长和点
直线的参数方程练习题有答案
直线的参数方程 1.设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5 6π，则直线l 的参数方程是____________． 解析：直线l 的参数方程为? ?? x ＝2＋t cos 5 6 π， y ＝－4＋t sin 5 6 π (t 为参数)， 即???x ＝2－32t y ＝－4＋1 2t ，(t 为参数)． 答案：???x ＝2－32t y ＝－4＋1 2t ，(t 为参数) 2.设直线l 过点(1，－1)，倾斜角为5π 6 ，则直线l 的参数方程为____________． 解析：直线l 的参数方程为??? x ＝1＋t cos 5π 6 y ＝－1＋t sin 5π 6，(t 为参数)， 即???x ＝1－32t y ＝－1＋1 2t ，(t 为参数) 答案：???x ＝1－32t y ＝－1＋1 2t ，(t 为参数) 3.已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π 6 . 写出直线l 的参数方程； 解：①直线l 的参数方程为?????x ＝1＋3 2t y ＝1＋12t ，(t 是参数)． 4.已知直线l 经过点P ????12，1，倾斜角α＝π 6 ， 写出直线l 的参数方程. [解] (1)直线l 的参数方程为???x ＝12＋t cos π 6 y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即???x ＝12＋3 2 t y ＝1＋1 2t ，(t 为参 数).2分 5.已知直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，则直线l 的参数方程为____________． 解析：∵直线的斜率为－1， ∴直线的倾斜角α＝135°. ∴cos α＝－ 22，sin α＝2 2 . ∴直线l 的参数方程为???x ＝2－22t y ＝－1＋2 2t ，(t 为参数)． 答案：???x ＝2－22t y ＝－1＋2 2 t ，(t 为参数) 6.已知直线l ：???x ＝－3＋32t y ＝2＋1 2t ，(t 为参数) , 求直线l 的倾斜角； 解：(1)由于直线l ：? ??x ＝－3＋t cos π 6 ， y ＝2＋t sin π 6 (t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率
《直线的参数方程(第1课时)》教学设计
第二讲参数方程 2.3直线的参数方程（第一课时）(谷杨华) 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，了解直线参数方程的推导过程、掌握参数的几何意义，体会参数方程的优越性，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的特点． （二）学习目标 1．利用向量，推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系． 2．掌握并理解直线参数方程中参数的几何意义． 3．能初步利用直线参数方程解决一些几何问题，体会参数方程的优越性． （三）学习重点 1．直线参数方程的推导． 2．直线参数方程中参数的几何意义． 3．直线参数方程中参数的几何意义的初步应用． （四）学习难点 1．对直线参数方程的几何意义的理解． 2．对直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．
二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 读一读：阅读教材第35页至第36页，填空： 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)(sin cos 00为参数t t y y t x x ?? ?+=+=αα ，这种形式称为直线参数方程的标准形式． 其中参数t 的几何意义是：直线上的动点M 到定点M 0的距离等于参数t 绝对值，即|M 0M |＝|t |. 若_0>t ，则0M M 的方向向上； 若_0 直线的参数方程 广东信宜中学 杨凡军 一、知识的引入： 我们前面已经学习了直线的普通方程，还有直线的极坐标方程，现在大家来考虑直线是否还有其他形式的方程吗？ 二、练习 三、探究： (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少？ (2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t 的值是多少？ 四、例题讲解： 例1、已知直线l :x + y -1=0与抛物线y = x 2 交于A, B 两点,求线段AB 的长和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积 思考：①例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？②把“中点”改为“三等分点” 直线 l 的方程怎样求？③n 等分点呢 五、课堂训练： ① 已知直线l 过点P(3,2),且与x 轴和y 轴的正半 轴分别交于A,B 两点,求│PA │·│PB │的值 为最小时的直线l 的方程 ? ,0的几何意义吗参数你能得到由e t M M =t =的距离 到定点点对应的 表示参数即0M M t t 义 . ,,M ) ()(sin cos 2 1210 0t t ，M x f y t t y y t x x 对应的参数分别为两点交于与曲线为参数直线=???α+=α+=2 121t t M M -=22 1t t t += .,,,1416(2,1).22 2的方程求直线的中点为线段恰好 如果点两点于交椭圆作直线经过点例l AB M B A y x l M =+),MB 2AM ：(=例如 解:设过点M 的参数方程为: 所以直线的普通方程为:x+y-5=0 ② 直线l 过P （2，1），倾斜角为θ，它和曲线C ：4x 2＋9y 2＝36，交于A,B 两点，θ为何值时，|PA||PB|有最大值和最小 值？并求出相应的最值 六、直线参数方程（标准形式）： （常解决问题类型） (1)利用参数求弦长 (2)利用参数求直线方程(即求斜率) 直线参数方程（一般形式）： 一般形式与标准形式的互化： 七、例题与练习： 例3、当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成,并以40km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围, 那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?受到侵袭的时间有多久? 八、小结 九、作业布置 十、优点，不足及建议 这是卢耀才老师成功的一节课，虽然学生对直线的参数方程的知识感到有点难度，但是经过卢老师的详细分析，讲解细仔，让难点和重点突出，层层加深，突破难点，讲得通俗易懂，作到化难为易，非常成功。从教案的布置，知识点之间的联系和课堂气氛来看，都非常好，再加上学生的知识底子较好，达到因材施教，黑板书写条理清晰，把重点一一列出，难点反复练习，加深理解，对于容易出错的地方，肯定地提出并要学生记写和让学生做相应的一些练习。 参数方程是一个重点，直线的参数方程又是一大难点，它为我们学习过程中提供了另外的一种方法，在许多的情况下，使用参数方程去解决实际问题显得更加容易，所以让学生认真学习好参数方程。 { ) (sin 2cos 3为参数t t y t x α+=α+=)t (2 2 2223为参数??? ? ?+=-=t y t x 9 11 24110时有最小值 ＝，时有最大值＝当πθθ)(sin cos 0 0是参数t t y y t x x ?? ?α +=α +=)(t 0 为参数? ??+=+=bt y y at x x |||,|.,,,(y x (2 10212 10 00 00P P P P t t t P P P t bt y y at x x P 求，数值为分别为参是直线上的点，对应的是参数））的直线参数方程为，过???+=+=||||2 20 t b a P P +=||||2 12 221t t b a P P -+={ .41035.式化为参数方程的标准形把直线的参数方程 练习：t y t x -=+=)(5 410)53(5为参数t t y t x '?????'+=' -+= 直线的参数方程 教学目标： 1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用． 2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想． 3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度． 教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程． 教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程： 一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题： 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程． 2.直线的方向向量的概念． 0 / 13 3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程． 5.如何建立直线的参数方程？ 这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考． 【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备． 二、直线参数方程探究 1．回顾数轴，引出向量 数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么： ①OA 为数轴的单位方向向量，OA 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =；②当OM 与OA 方向一致时（即OM 的方向与数轴正方向一致时），0t >； 当OM 与OA 方向相反时（即OM 的方向与数轴正方向相反时），0t <； 当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =．教师用几何画板软件演示上述过程． 直线的参数方程及应用 问题1:(直线由点与方向确定) 求经过点P 0(00,y x ),倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)就是直线l 上任意一点,(方向为直线L 的正方向)过点P 作y 轴的平行线,P 0作x 轴的平行线,两条直线相交于Q 点、 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0与P 重合时, P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时,P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t,t 为参数, 又∵P 0Q ＝0x x -, 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 就是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t,t 为参数,t 的几何意义就是:有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量,且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时,点P 在点P 0的上方; ② 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ③ 当t<0时,点P 在点P 0的下方; 特别地,若直线l 的倾斜角α＝0时,直线l ?+=0t x x ④ 当t>0时,点P 在点P 0的右侧; ⑤ 当t ＝0时,点P 与点P 0重合; ⑥ 当t<0时,点P 在点P 0的左侧; 问题2:直线l 上的点与对应的参数t 对应关系？ 我们把直线l 瞧作就是实数轴, 以直线l 向上的方向为正方向,以定点P 0 为原点,以原坐标系的单位长为单位长, 这样参数t 便与这条实数轴上的点P 一一对应关系、 问题3:P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？,∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1,∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x 利用直线参数方程t 的几何意义 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点， （规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ①当t>0时，点P 在点P 0的上方； ②当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=00y t x x 直线的参数方程及应用 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=0t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是不是一 对应关系？ 我们把直线l 看作是实数轴， 以直线l 向上的方向为正方向，以定点 这样参数t 便和这条实数轴上的点P 一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ x x 利用直线参数方程t 的几何意义 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=α αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、 直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的 方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过 P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y -=t sin α 即???+=+=α αsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ①当t>0时，点P 在点P 0的上方； ②当t ＝0时，点P 与点P 0重合； x 直线的参数方程及应用 目标点击： 1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化； 3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 基础知识点击： 1、直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，方向为直线L 的正方向）过点P 作y P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α x 直线的参数方程及应用 基础知识： 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t P 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝ 22 1t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、 直线参数方程的一般式： 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k = 的直线的参数方程是 ? ??+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程. 设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，（规定向上的方向为直线L 的正方向）过点P 作y 轴的平行线，过P 0作x 轴的平行线，两条直线相交于Q 点. 1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时， P 0P ＝|P 0P| 则P 0Q ＝P 0Pcos α y ,) Q P ＝P 0Psin α 2)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P 同时改变符号 P 0P ＝－|P 0P| P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 仍成立 设P 0P ＝t ，t 为参数， 又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝tcos α Q P ＝0y y - ∴ 0y y - =t sin α 即? ??+=+=ααsin cos 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：有向直线l 上从已知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P|＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线l 的参数方程为?? =00y y ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1、t 2 ， 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1，∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ 问题3：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2的中点，P 1、P 2 参数分别为t 1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？ 根据直线l 参数方程t 的几何意义， x x x y ,) 直线的参数方程及应用 基础知识点击： 1、 直线参数方程的标准式 (1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) P 0P=t ∣P 0P ∣=t 为直线上任意一点. (2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应的参数分别为t 1、t 2， 则P 1P 2=t 2－t 1 ∣P 1P 2∣=∣t 2－t 1∣ (3) 若P 1、P 2、P 3是直线上的点，所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3 则P 1P 2中点P 3的参数为t 3＝221t t +,∣P 0P 3∣=2 21t t + (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、 直线参数方程的一般式 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） 点击直线参数方程： 一、直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线l ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x 是所求的直线l 的参数方程 ∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 的几何意义是：0y )到点 P(y x ,)的有向线段的数量，且|P 0P |＝|t| ① 当t>0时，点P 在点P 0的上方； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0的下方； 特别地，若直线l 的倾斜角α＝0时，直线?+=00y t x x ④ 当t>0时，点P 在点P 0的右侧； ⑤ 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ⑥ 当t<0时，点P 在点P 0的左侧； 问题2：直线l 上的点与对应的参数t 是一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 上两点所对应的参数分别为t 1 则P 1P 2＝？，∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t 1＋t 2＝t 2－t 1， ∣P 1P 2∣=∣ t 2－t 1∣ 问题4： 一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 上的点， 所对应的参数分别为t 1、t 2、t 3， P 3为P 1、P 2的中点 则t 3＝2 21t t + 基础知识点拨： 1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义. 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义. 例2：化直线2l 的参数方程? ??+=+-= t 313y t x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明∣t ∣的几何意义. 点拨：注意在例1、例2中，参数t 的几何意义是不同的，直线1l 的参数方程 你会区分直线参数方程的标准形式？ 例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为 3 π ，判断方程??? ? ???+=+=t y t x 2332 1 1（t 为参数）和方 程? ??+=+= t 331y t x （t 为参数）是否为直线l 的参数方程？如果是直线l 的参数方程，指出 方程中的参数t 是否具有标准形式中参数t 的几何意义. 点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题. x y ,) x x 极坐标与参数方程专题（1）——直线参数t几何意义的应用1．（2018?银川三模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已 知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l的参数方程为：（t为参数），两曲线相交 于M，N两点． （Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （Ⅱ）若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值． 解：（Ⅰ）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ，求得曲线C的直角坐标方程为y2=4x， 用代入法消去参数求得直线l的普通方程x﹣y﹣2=0． （Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数）， 代入y2=4x，得到，设M，N对应的参数分别为t1，t2， 则t1+t2=12，t1?t2=48，∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=． 2．（2018?乐山二模）已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）， 点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q两点． （1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|?|AQ|的值． 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心、半径等于1的圆． （2）∵点A的直角坐标为（，），∴点A在直线（t为参数）上． 把直线的参数方程代入曲线C的方程可得t2+t﹣=0． 由韦达定理可得t1?t2=﹣＜0，根据参数的几何意义可得|AP|?|AQ|=|t1?t2|=． 3．（2018?西宁模拟）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）． （I）求直线l和C的普通方程； （II）直线l与C有两个公共点A、B，定点P（2，﹣），求||PA|﹣|PB||的值． 解：（I）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣=0，所以：直线l的普通方程为：，因为圆C的极坐标方程为为ρ=4sin（θ﹣），所以圆C的普通方程：． （II）直线l：的参数方程为：（t为参数）， 代入圆C2的普通方程：消去x、y整理得：t2﹣9t+17=0，t1+t2=9，t1t2=17， 则：||PA|﹣|PB||=，=． 4．（2018?内江三模）在直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B 两点． （Ⅰ）求直线l的参数方程（设参数为t）和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求的值． 解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，﹣2），倾斜角为． ∴直线l以t为参数的参数方程为，（t为参数）…（3分） ∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+y2=4．…（5分） （Ⅱ）将直线l的参数方程，（t为参数）代入曲线C的普通方程（x﹣2）2+y2=4，得，…（6分）设A，B两点对应的参数为t1，t2， ∵点P在曲线C的左下方，∴|PA|=t1，|PB|=t2，…（8分） ∴===3．…（10分） 直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用 一. 教学内容： 直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。 ［基本知识点］ （1）直线的参数方程 <1>标准形式： <2>一般形式 （2）参数t 的几何意义及其应用 标准形式： <1>直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1,t 2，则弦长|AB|=|t 1-t 2| <2>定点M 0是弦M 1、M 2的中点?t 1+t 2=0 <3>设弦M 1，M 2中点为M ；则点M 相应的参数 （3）圆锥曲线的参数方程 <1> <2> 角）。 :),y ,x (M 000准形式为的直线的参数方程的标且倾角为过点α)t (sin t y y cos t x x 00为参数???+=+=αα)1b a 't ('bt y y 'at x x 2200≠+???+=+=为参数且)y ,x (M t ,)t (sin t y y cos t x x 00000的几何意义是表示定点中为参数???+=+=αα的数量的有向线段到直线上动点M M y)(x,M 0:t,M M 0故即=2t t t 2 1M +=)(sin r y cos r x r y x 222为参数的参数方程为圆ααα???===+轴正方向的旋转角的几何意义动半径对于 其中x α其几何意义为离心为参数的参数方程为椭圆,(sin b y cos a x 1b y a x 2222 ααα???===+ <3> <4>抛物线y 2=2px 的参数方程为 （4）极坐标系的基本概念。 在平面内任取一个定点O ，叫做极点，引一条射线O x ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角度，ρ叫做M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M 的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。 （5）极坐标与直角坐标的互化 <1>互化条件： 极点与直角坐标系原点重合； 极轴与直角坐标系O x 轴重合； 两坐标系中的长度单位统一。 <2>互化公式 （6）曲线的极坐标方程 <1>定义：在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变数的方程来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。 <2>直线与圆的极坐标方程。 过极点的直线方程θ=θ0（ρ∈R ） 过点A （a,0），倾角为α的直线方程 以极点为圆心，半径为r 的圆的方程ρ=r 圆心在C （a,0），半径为a 的圆的方程ρ=2acos θ 圆心在（ρ0，θ0），半径为r 的圆的方程 【例题选讲】 例1 ，M 是AB 的中点，求|MF|。 )(btg y asec x 为参数双曲线的参数方程为ααα???==)(t pt 2y pt 2x 2 为参数?????==?????≠==+???==)0x (x y tg y x )2(sin y cos x )1(222θρθρθραθαρsin )sin(a =-220002r )cos(2=+--ρθθρρρ两点与双曲线交于的直线作倾角为的右焦点过双曲线B ,A l 45F 116y 9x 2 2 =-直线的参数方程
直线的参数方程教案
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