2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(解三角形)

2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（解三角形）

姓名：沈金鹏

院、系：数学学院

专业: 数学与应用数学

2015年10月10日

解三角形

1.（15北京理科）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则

sin 2sin A

C

= ．

【答案】1 【解析】

试题分析：

222

sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc

+-==?2425361616256

?+-=

?=?? 考点：正弦定理、余弦定理

2.（15北京文科）在C ?AB 中，3a =

，b =23

π

∠A =

，则∠B = ． 【答案】

4

π 【解析】

试题分析：由正弦定理，得

sin sin a b A B =

，

=

所以sin B =所以4B π

∠=. 考点：正弦定理.

3.（15年广东理科）设的内角，，的对边分别为，，，若

，，则 【答案】．

【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题．

4.（15年广东文科）设

的内角

，，的对边分别为，，．若

，

，

ABC ?A B C a b c a =

1sin 2B =

6

C =π

b =1

，且，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】

试题分析：由余弦定理得：

，所以

，即

，解得：或，因为，

所以

，故选B ．

考点：余弦定理．

5.(15年安徽理科) 在ABC ?中，,6,

324

A A

B A

C π

===,点D 在BC 边上，AD BD =，

求

AD

的

长

。

6.（15年安徽文科）在中，，，，则

。

【答案】2 【解析】

试题分析：由正弦定理可知：

ABC ?6=

AB 75=∠A 45=∠B =AC

45sin )]4575(180sin[AC

AB =

+-

考点：正弦定理.

7.（15年福建理科）若锐角的面积为 ，且 ，则 等于________． 【答案】 【解析】

试题分析：由已知得的面积为

，所以，

，所以

．由余弦定理得

，．

考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理． 8.（15年福建文科）若中，，，，则_______．

【解析】

试题分析：由题意得．由正弦定理得

，则，

所以．

考点：正弦定理． 9.(15年新课标1理科

)

245sin 60sin 6

=?=?

AC AC

ABC ?5,8AB AC ==BC 7ABC ?1

sin 20sin 2AB AC A A ?==sin A =

(0,)

2

A π

∈3

A π

=

2222cos BC AB AC AB AC A =+-?=497BC =ABC ?AC =045A =075C =BC =00

18060B A C =--=sin sin AC BC

B A

=sin sin AC A

BC B

=

BC =

=

10.（15年新课标2理科）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC

面积的2倍。 (Ⅰ)求

C

B

∠∠sin sin ;

(Ⅱ) 若AD =1，DC =

2

2

求BD 和AC 的长.

11.（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分BAC ,BD =2DC . （I ）求

；

（II ）若,求. 【答案】（I ）

；.

考点：解三角形

12.(15年陕西理科) 的内角，，

所对的边分别为，，．向量 与平行． （I ）求； （II ）若

求的面积．

∠sin sin B

C

∠∠60BAC ∠=B ∠1

2

30C ?AB A B C a b c ()

,3m a b =()cos ,sin n =A B A a =

2b =C ?AB

【答案】（I ）

；（II ）．

试题解析：（I ）因为，所以，

由正弦定理，得

又，从而， 由于，所以

(II)解法一：由余弦定理，得

而

得，即

因为，所以. 故ABC 的面积为

. 3

π

2//m n sin 3cos 0a B b A -

=sinAsinB A 0-

=sin 0B

≠tan A =0A π<<3

A π

=

222

2cos a b c bc A =+

-2,a =3

π

A =

2742c c =+-2

230c c --=0c >3c =

?1bcsinA 22

=

考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 13.（15年陕西文科）的内角所对的边分别为，向量与

平行.

(I)求； (II)若求的面积.

【答案】(I) ；(II)

.

ABC ?,,A B C ,,a b

c ()m a =(cos ,sin )n A B =

A 2a b =

=ABC ?3

A π

=

试题解析：(I)因为，所以 由正弦定理，得， 又，从而，

由于 所以

(II)解法一：由余弦定理，得

，而，，

得，即

因为，所以， 故面积为

.

从而 又由知，所以 故

， 所以面积为

考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.

14.（15年天津理科）在ABC ? 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ?的

//m n sin cos 0a B A -=sin sin cos 0A B B A -=sin 0B ≠tan A =0A π<<3

A π

=

2222cos a b c bc A =+-2a b ==3

A π

=

2742c c =+-2

230c c --=0c >3c =ABC ?1sin 22

bc A =2

sin sin

3

B

=

sin B =

a b >A B >cos 7

B =

sin sin()sin()3

C A B B π

=+=+

sin cos

cos sin

3

3

14

B B π

π

=+=

ABC ?1sin 2ab C =

面积为 ，1

2,cos ,4

b c A -==- 则a 的值为 . 【答案】8 【解析】

试题分析：因为0A π<<，所以sin A ==

，

又1sin 242ABC S bc A bc ?=

===，解方程组224

b c bc -=??=?得6,4b c ==，由余弦定理得

2222212cos 64264644a b c bc A ??

=+-=+-???-= ???

，所以8a =.

考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.

15．（15年天津文科）△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为,

12,cos ,4

b c A -==-

（I ）求a 和sin C 的值； （II ）求cos 26A π??

+

??

?

的值.

【答案】（I ）a =8,sin 8C =；（II ）16

. 【解析】

考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.

专题五 平面向量

1.（15北京理科）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，

BN NC =．若M N x A B y A C =+，

则x =

；y =

．

【答案】

11

,26

- 【解析】

试题分析：特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥

==，利用坐标法，以A 为原点，

AB 为x 轴，AC 为y 轴，

建立直角坐标系，3

(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2

A M C

B N ，1

(2,),(4,0),2

MN AB =-=(0,3)AC =，则1(2,)(4,0)(0,3)2

x y -=+，

11142,3,,226

x y x y ==-

∴==-. 考点：平面向量

2.（15北京文科）设a ，b 是非零向量，“a b a b ?=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】

试题分析：||||cos ,a b a b a b ?=?<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b ?=-，故“a b a b ?=”是“//a b ”的充分而不必要条件.

考点：充分必要条件、向量共线.

3.（15年广东理科）在平面直角坐标系中，已知向量，，。

（1）若，求tan x 的值 （2）若与的夹角为

，求的值。 【答案】（1）；（2）．

【考点定位】本题考查向量数量积的坐标运算、两角和差公式的逆用、知角求值、值知求角等问题，属于中档题．

4.（15年广东文科）在平面直角坐标系

中，已知四边形是平行四边形，

，

，则

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】D

xoy 2m ?= ??()sin ,cos n x x =0,2x π??

∈ ???

m n

⊥m n 3

π

x 1512

x π

=

【解析】

试题分析：因为四边形

是平行四边形，所以

，所以

，故选D ．

考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．

5.（15年安徽文科）是边长为2的等边三角形，已知向量满足，

，则下列结论中正确的是 。（写出所有正确结论得序号）

①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤。

【答案】①④⑤ 【解析】

试题分析：∵等边三角形ABC 的边长为2,

＝

＝2

,故①正确；

∵ ∴，故②错误，④正确；由于

夹角为

，故③

错误；又∵

∴，故⑤正确 因此，正确的编号是①④⑤. 考点：1.平面向量的基本概念；2.平面向量的性质.

6.（15年福建理科）已知 ，若 点是 所在平面内一

点，且

，则 的最大值等于（ ）

A ．13

B ．15

C ．19

D ．21 【答案】A

ABC ?b a 、a AB

2=→b a AC

+=→

2a b b a ⊥→BC b // →⊥+BC b a )4(

a AB

2=1=?BC a BC AB AC +=+=22=?=b BC b

a b BC a AB 与?==,2

12004)2

1

(2144)4()4(=+-???=+?=?+=?+b a b b a BC b a BC b a ⊥+)4(1,,AB AC AB AC t t

⊥==P ABC ?4AB AC AP AB

AC

=

+

PB PC ?

考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．

7.（15年福建文科）设，，．若，则实数的值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A

考点：平面向量数量积．

8.（15年新课标1理科）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ： 上的一点，F 1

、

(1,2)a =(1,1)b =c a kb =+b c ⊥k 32-

53-5332

2

212

x y -=

F 2是C 上的两个焦点，若＜0，则y 0的取值范围是

（A ）（-，） （B ）（-

，） （C ）（，） （D ）（

）

【答案】

A

9.（15年新课标1理科）设D 为ABC 所在平面内一点

=3，则

（A ）=+ (B)=

（C ）=+ (D)=

【答案】A

【解析】由题知=，

故选A.

10.(15年新课标1文科)

11.（15年新课标2理科）设向量，不平行，向量与平行，则实数

_________．

1MF ?2MF 33

66

3-3

11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=14

33

AB AC -+

【答案】

【解析】因为向量与平行，所以，则所以．

12.（15年新课标2文科）已知,,则（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意可得 , 所以.故选

C.

考点：向量数量积.

13.（15年陕西理科）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】B

考点：1、向量的模；2、向量的数量积．

14.（15年陕西文科）对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】

()1,1=-a ()1,2=-b (2)+?=a b a 1-0122

2=a 3,?=-a b ()2

22431+?=+?=-=a b a a a b ,a b ||||||a b a b ?≤||||||||a b a b -≤-22

()||a b a b +=+22

()()a b a b a b +-=

-,a b ||||||a b a b ?≤||||||||a b a b -≤-22

()||a b a b +=+22

()()a b a b a b +-=-B

考点：1.向量的模；2.数量积.

15.（15年天津理科）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1

,,9BE BC DF DC λλ

== 则AE AF ?的最小值为 . 【答案】

2918

【解析】 试

题

分

析

：

因

为

1,

9D F D C λ

=12

D C

A B

=，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλ

λλλ

--=-=-==，

AE AB BE AB BC

λ=+=+，

19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλ

λλ

-+=++=++

=+， ()

221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++???

??=+?+=+++? ? ?????

19199421cos1201818λλ

λλλ

++=

?++???

?2117172992181818

λλ=

++≥= 当且仅当

2192λλ=即23λ=时AE AF ?的最小值为29

18

.

考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.

16.（15年天津文科）在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=

点

B

A

E 和点

F 分别在线段BC 和CD 上,且21

,,36

BE BC DF DC == 则AE AF ?的值为 ．

【答案】

29

18

【解析】

试题分析：在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得12

AD BC ?=

,1AB AD ?=,1

2

DC AB =

,所以()()

AE AF AB BE AD DF ?=+?+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ????

=+?+=?+?++?=++-=

? ?????

考点：平面向量的数量积.

17.（15年山东理科）已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ?=

(A)232a -

(B) 23

4

a - (C) 234a (D) 232a

解析：由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，

2223

()()cos1202

BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ?=-?-=-?+=-?+=，答案选(D)

18.（15年江苏）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), n m -的值为______. 【答案】3- 【解析】

试题分析：由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-?==-=- 考点：向量相等

19.（15年江苏）设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k π

ππ，

则11

10

()k k k a a +=?∑的值为

【答案】【解析】 试题分析：2011

1(1)(1)(1)(cos ,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k k k a a ππππππ

++++?=+?+

2(1)21(21)cos

sin

cos cos sin cos

6

666626

k k k k k π

πππππππ

++++=+++

因此11

10

33

12k k k a a +=?=

=∑