构造黑白棋模型巧解排列组合题

排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面对较难问题一筹莫展，无计可施.下面就构造围棋的“黑白子”模型解题作一些探讨（本文例题仅谈此解法，其他方法不再赘述）.

例1.从1，2，3，…，100这100个自然数中，挑出20个互不相邻的自然数，有多少种方法？

有位学生告诉笔者，这道题他思考了几天仍没寻求到解决的办法，一天偶然地看到别人下围棋时，思路突然开朗，他一下跳了起来，宣布自己找到了答案.在他的脑海中，这100个数字突然变成了棋子，这不就是在一排80个黑棋中放进20个互不相邻的白棋子吗？答案

也出来了：C.20

例2. （1988年全国高中数学联赛试题）甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全部被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？

如果滞留在棋赛的各种胜负情况的考查上，那么思路就无法展开.如果能直觉到一个数学模型：甲方获胜，则必胜7场，用7个“黑棋”表示，该方最多只能负6场，用6个“白棋”表示，这就成了排列组合中，一排13个空格内摆上7个黑棋的方法有多少种的问题了，

得C7

13种.再加上乙方取胜的C7

种，因而可能出现的比赛过程为2C7

种.这种直觉的构想表

现在从题设条件特点到构造数学模型的飞跃上.

例3.某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班级至少1人，名额分配方案共有种.

简析：构造一个“黑白子”模型

○●○○●○○○●○●○○○●○○●○●○○●○●○○

如上图（这是其中的一种插法），取出18枚白棋子排成一列，在相邻的每两枚白棋子形成的17个间隙中选取9个插入黑棋，将18枚白棋子分隔成10个区间，第i(1≤i≤10)个区间的白棋子数对应第i个班级学生的名额.因此名额分配方案的种数与黑棋插入数相等.因

黑棋插入数为C9

17，故名额分配方案共有C9

=24310种.

例4. 20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（）

A.560

B.364

C.120

D.91

简析：构造一个“黑白子”模型.如图，取出20枚白棋子排成一列，在相邻的每两枚白棋子形成的19个间隙中选取两个间隙插入黑棋，将20枚白棋子分隔成3个区间，第i(1≤i ≤3)个区间的白棋子数对应第i个盒子的小球的个数.

○●○○●○4○5○6○7○8○9○10○11○12○13○14○15○16○17○○○

第一枚黑棋插在第1个间隙时，第二枚黑棋可插在第3～17个间隙中的任意一个，共15种插法.第一枚黑棋插在第2个间隙时，第二枚黑棋可插在第4～17个间隙中的任意一个，共14种插法，…，依此类推，第一枚黑棋插在第15个间隙时，第二枚黑棋只能插在第17个间隙，共1种插法.故共有15+14+…+3+2+1=120种方法.

例5.求方程x1+x2+x3+x4=9的正整数解的组数.

简析：由方程的结构特征及x1,x2,x3,x4是正整数，可想象问题的一个背景情形：把9看

成9枚白棋子，问题就是把9枚白棋子分成4部分，每部分至少1枚，有多少种分法？

○○○●○●○○○●○○

=56种.故方程有如上图，只须用3枚黑棋子插入到9枚白棋子形成的8个间隙中，共有C3

56组解.

高中数学100个热点问题(三)：排列组合中的常见模型

第80炼排列组合的常见模型一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是0，所以先处理首位，共有4种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。例如：在10件产品中，有7件合格品，3件次品。从这10件产品中任意抽出3件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少1件次品”包含1件，2件，3件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。3310785N C C =-=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2143C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：33A 。所以共有213433108C C A =种方案（二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法

初中排列组合公式例题.

复习排列与组合考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。难点：不重不漏。知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。” 因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=125（种）。 2．排列数与组合数的两个公式排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。连乘积的形式阶乘形式 Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = Cnm= 例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m 证明：左边= ∴等式成立。评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变形

排列组合的21种例题

高考数学复习解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 A 、44412 8 4 C C C 种 B 、44412 8 4 3C C C 种 C 、44312 8 3 C C A 种 D 、4441284 3 3 C C C A 种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

排列组合问题的常见模型(详解)

排列组合问题的常见模型一、相异元素不许重复的排列组合问题这类问题有两个条件限制，一是给出的元素是不同的，即不允许有相同的元素；二是取出的元素也是不同的，即不允许重复使用元素。这类问题有如下一些常见的模型。模型１：从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都包含在内，则：组合数：1m k n k N C --= 排列数：2m m k m n k N A C --= 例１．全组有12个同学，其中有３个女同学，现要选出５个，如果３个女同学都必须当选，试问在下列情形中，各有多种不同的选法？（１）组成一个文娱小组；（２）分别担任不同的工作．解：（１）由于要选出的５人中，３个女同学都必须当选，因此还需要选２人．这可从９个男同学中选出，故不同的选法有：53112336(N C --==种) （２）在上述组合的基础上，因为还需要考虑选出５人的顺序关系，故不同的选法有： 553522512359120364320(N A C A C --===?=种) 模型２．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定某k 个元素都不包含在内，则：组合数：1m n k N C -= 排列数：2m m m m n k n k N A C A --== 例２．某青年突击队有15名成员，其中有５名女队员，现在选出７人，如果５名女队员都不当选，试问下列情形中，各有多少种不同的选法？ (1)组成一个抢修小组；（２）分别但任不同的抢修工作．解：（１）由于５名女队员都不当选，因此只能从10名男同学选出，故不同的选法有： 77311551010120N C C C -====（种）（２）由于还需考虑选出的７个人的顺序问题，故不同的选法有： 7721551010987654604800N A A -===??????=（种）模型３．从n 个不同的元素中每次取出m 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包含某k 个元素中的某s 个元素。则组合数：1m s n k N C --= 排列数：2m m s m n k N A C --= 例3．全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出5人，如果3个女同学中，只有甲当选，试问在下列情形中，各有多少种不同的选法？（１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．解：（１）由于女同学中只有甲当选，所以还需４人，这４人要从男同学中选，因此不同选法有： 514 11239126()N C C --===种（２）由于选出的人要分别担任不同的工作，所以不同的选法有：55154251235915120()N A C A C --===种．模型４．从n 个不同的元素中每次取出k 个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包含某r 个元素中的s 个元素。则：组合数：1s k s r n r N C C --= 排列数：2k s k s k r n r N A C C --= 例４．全组12个同学，其中有3个女同学，现要选出5人，如果3个女同学中，只有１人当选，试问在下列情形中，各有多少种不同的选法？（１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．

排列组合公式

排列组合公式 1．分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 2．分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =??? . 3．排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)．注:规定1!0=. 4．排列恒等式 (1)1 (1)m m n n A n m A -=-+; (2) 1 m m n n n A A n m -= -; (3) 1 1m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5)11m m m n n n A A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+- . 5．组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 6．组合数的两个性质 (1)m n C =m n n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定 10 =n C . 7．组合恒等式 (1) 1 1m m n n n m C C m --+= ;

(2) 1 m m n n n C C n m -= -; (3) 1 1m m n n n C C m --= ; (4)∑=n r r n C =n 2; (5) 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9) r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 8．排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 9．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种； ②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1 111---=m n n A A （着眼位置）1 1111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种. ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 1 1+-+-种. 注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h A A 1+种. （3）两组元素各相同的插空

排列组合21种方法

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在 1 第2类办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同 2 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做 1 第2步有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素

总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4 A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4 舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6 A 443

排列组合公式和各类例题

基本计数原理 ⑴加法原理和分类计数法 ⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。 ⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。 ⒊分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。 ⑵乘法原理和分步计数法 ⒈乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。 ⒉合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。 3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。 4例题【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴2b=a+c，可知b由a,c决定，又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。【例2】某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入：（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。 ∴本题答案为：C（8,3）=56。分析

巧解排列组合的21种模型

巧解排列组合的21种模型排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列， 4424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有2 6A 种，不同的排法种数是52 563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即 5 51602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，

排列组合的基本理论和公式

排列组合的基本理论和公式排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个

排列组合常见21种解题方法

排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m种不同的方法，在第2类 1 办法中有 m种不同的方法，…，在第n类办法中有n m种不同的方法，那么2 完成这件事共有：种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有 m种不同的方法，做第2步 1 有 m种不同的方法，…，做第n步有n m种不同的方法，那么完成这件事共2 有：种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

排列组合计算公式

1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m

排列组合题以及公式

排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别．【例题】判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数．（1）高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？【思考与分析】（1）①由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．解：（1）①是排列问题，共通了=110（封）；②是组合问题，共需握手==55（次）（2）①是排列问题，共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共=45（种）不同的选法；（3）①是排列问题，共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有=28（个）不同的积；（4）①是排列问题，共有=56（种）不同的选法；②是组合问题，共有=28（种）不同的选法．【反思】区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”. 排列与组合的概念与计算公式 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式

排列组合典型模型及解法

排列组合安徽省马鞍山二中刘向兵加法原理：如果完成一件事情有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，......，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++= 21种不同的方法。乘法原理：如果完成一件事情需要n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，......，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N 21?=种不同的方法。从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个排列从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示 )1()2)(1(+---=m n n n n P m n 排列数公式 123)2)(1(??--= n n n P n n 全排列加法法则乘法法则排列

)! (! m n n P m n -= 排列数公式从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素组成一组，叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的一个组合从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数叫做从n 个不同的元素中取出 m 个元素的组合数，用符号m n C 表示组合数公式 ! ) 1()2)(1(m m n n n n P P C m m m n m n +---= = )! (!! m n m n C m n -= 一、特殊元素和特殊位置优先策略 T ：排列组合的题型组合特殊元素和特殊位置优先策略

排列组合基础知识及习题分析

排列组合基础知识及习题分析在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！ C53＝（5×4×3）/（3×2×1） C62＝（6×5）/（2×1）通过这2个例子看出 n C m n公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。以取值N的阶层作为分母 p53＝5×4×3 p66＝6×5×4×3×2×1 通过这2个例子 p m n＝从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N＝M时即M的阶层排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”. 解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”. 分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法. 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成. 两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理. 在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点： 1．有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻” 在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法： ⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法. ⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”. ⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置. ⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果. 2．有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”. 3．在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法。. ***************************************************************************** 提供10道习题供大家练习

高中数学100个热点问题(三)：-排列组合中的常见模型

3310785N C C =-=（种） 3、先取再排（先分组再排列）：排列数m n A 是指从 n 个元素中取出m 个元素，再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。例如：从4名男生和3名女生中选3人，分别从事3项不同的工作，若这3人中只有一名女生，则选派方案有多少种。解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生，共有2 143 C C 种可能，然后将选出的三个人进行排列：3 3A 。所以共有213433108C C A =种方案（二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。例如：5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余3个元素排列，则共有4 4 A 种位置，第二步考虑甲乙

排列组合解题策略大全(十九种模型)

排列组合解题策略大全一、合理分类与分步 1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？四位上，则有1 31333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344 =+A A A A （种）解法二(排除法)：甲在排头：44A ,乙在排尾： 44A ,甲在排头且乙在排尾： 3 3A ,故符合题意的不同的排法为： 5443544378A A A A --+=.注：甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来. 2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有3 8A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有3 83A ④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数4332 88883374088A A A A +++=（种）二、特殊元素和特殊位置优先法 1、0，1，2，3，4，5能够组成多少个没有重复数字的五位奇数？分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 3 4A =288 2、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440 三、排列组合混合问题先选后排法 1、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。

排列组合公式详解公务员

排列组合公式大全（1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。（2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。例 1 ．书架上放有 3 本不同的数学书， 5 本不同的语文书， 6 本不同的英语书。（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有 3 种书，则分为3 类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各 1 本，需要分成 3 个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3X 5X 6=90 （种）。（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1 本，语英各 1 本）而在每一类情况中又需分 2 个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3X 5+3X 6+5 X 6=63（种）。例2?已知两个集合A={1, 2, 3}, B={a,b,c,d , e}，从A到B建立映射, 问可建立多少个不同的映射

分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射即对 A 中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。” 因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5X 5X 5=125(种)。 2．排列数与组合数的两个公式排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。连乘积的形式阶乘形式 Anm=n(n-1)(n-2) ....... (n-m+1)= Cnm= 例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m 证明：左边= ??? 等式成立。评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)! 可使变形过程得以简化。例 4 ．解方程. 解：原方程可化为：解得x=3。评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。 3．排列与组合的应用题

学而思高中题库完整版排列与组合.版块五.排列组合问题的常见模型1.学生版

1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =???L 种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2．排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)! C !!()! m n n n n n m n m m n m ---+= =-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤．知识内容排列组合问题的常见模型1