lbm波尔兹曼算法

波尔兹曼方法基本原理

格子Boltzmann 方法是使用简单的微观模型来模拟流体的宏观行为的一种新的方法。格子Boltzmann 方法是建立在微观粒子运动论基础上的数值计算方法。其求解过程一般需要通过编程来实现！

一般来说研究流体的行为有两种方法：一种是从宏观的角度出发，假设流体连续分布于整个流场，注入密度、速度、压力等物理量均是时间可空间的足够光滑的函数。另一种是从微观的角度，从非平衡统计力学的观点出发，假设流体是由大量的微观的例子组成，这些例子遵守力学定律，同时服从统计定律，运用统计的方法来讨论流体的宏观性质。

然而流体是由大量的粒子组成的，当我们从宏观的角度研究流体行为的时候，并没有涉及到单个粒子的行为。通常我们所感兴趣的事代表某个点的宏观量，例如密度、速度、压力。根据连续性假设我们可以推导出N-S 方程，并且利用数学上的微积分知识来求解，然而由于N-S 方程是高度非线性化的偏微分方程，仅仅一些具有简单变界或者比较严格物理闲着的现象才能够得到理论分析界，如果从微观的角度了研究单个粒子的真是行为，对于一个包含大量例子的系统来说粒子的运动方程往往是得不到解的。统计学可以考虑整个系统所有的状态以及处理这个状态的概率来解决这些困难，对于稀薄气体所得到的就是Boltzmann 方程，但是得到的方程还不够，我们还要借助于统计方法得到流体的宏观性质，这就要求解Boltzmann 方程，然而Boltzmann 方程是一非线性微分方程，一般情况下严格求解也是非常困难的。

格子气方法是近年来发展起来的模拟流体力学以及其他系统的比较新的方法，格子气自动机模拟流场，就是将流体及其存在的时间和空间完全离散，给出离散的流体粒子之间相互作用以及迁移的规则。流体只存在于空间网格上，用一系列布尔变量,.....,2,1)(,(b i t x n i =来描述在时刻t 位于x 处节点的每一个速度方向是否有粒子存在，其中b 表示每一个节点的速度方向的数目，粒子在每一个时间步长的演化包括两部分：()a 迁移，粒子沿它的速度方向向距离最近的节点运动；()b 碰撞，当不同的粒子同时到达某个节点时，按照一定的碰撞规则发生碰撞并改变运动的方向，格子气模型具有两重

意义：

()a 尽可能建立一个简单的模型是指能够用来模拟一个有大量粒子组成的系统；()b 反映粒子真实碰撞的本质，这样经过长时间我们可以获得流体的宏观特性。

粒子的演化过程能够用来模拟宏观的流体过程是基于下列事实，即流体的宏观特性是系统内大量粒子整体行为的结果。分子之间的相互作用可以改变流体的传输特性，比如粘度，但是并不改变宏观方程的基本形式。

格子气的HPP 模型与FPH 模型

HPP 模型将流体存在的空间划分为间距为单位长度的正方形网格，将流体想象成许多有质量没有体积的微小粒子组成，在同一时刻同一网格节点上，每一个速度方向最多允许存在一个粒子，每个粒子可以向四个方向的其中之一运动，并且遵守以下碰撞准则：当且仅当只有两个粒子沿相反方向达到某节点时（对头碰撞），它们沿另外的两个方向离开该节点，其他情形则直接穿透，PHP 模型则是将流场划分为间距为单位长度的正三角网格，并且增加了相应的碰撞准则。

格子气的微观方程

为简单起见，以HPP 模型为例，用()x ,t n i 代表在时刻t 位置x 处的节点上第i 个方向的粒子数，则整个布尔场的更新可以写成

()()()()231312,1++++++-Λ-ΛΛ-Λ-ΛΛ-Λ=++i i i i i i i i i i i n n n n n n n n n e x t n ν

写成代数式即：

()()i i i x t n e x t Ω+=++,,1n i

i Ω碰撞因子从微观方程出发利用多尺度分析以及Chapmen_Enskog 展开可以得到N-S 方程。

格子波尔兹曼模型

由于格子气方法的节点用一系列的0或者1来表征每个速度方向上是否存在粒子所以对于格子气的运算只涉及个速度方向上是否存在粒子，对于格子气的运算只涉及衡分布为Fermi-Dirac 分布，从而导致非伽利略不变性，既N-S 方程对流项前面有一个依赖于密度的系数(应该为1)，压力依赖于宏观速度(通常的压力只依赖于密度和温度,既p=p(ρ,T))，随即统计噪声比较大(因为变量为整形)等。为了克服上述缺陷，McNamara 与Zanetti 提出直接由Boltz-mann 方程去替换格子气自动机，简单的用单粒子分布函数f 去代替布尔变量n ，他们求Ωi(f)的方法是根据碰撞规则表求出Ωi(n),然后用f 代替n,这样波尔兹曼方程就变为：

()()()f x t f e x t i i Ω+=++,,1f i

把原来的整数运算变成了实数运算(f 是一个0~1之间的实数),解决了随机噪声问题。后来,Higuera 、Jimenez 和Succi 引用线性碰撞算子。两者的平衡分布仍然是Fermi_Di-rac 分布，没有解决其他两个问题。后来在1991~1992年间陈十一以及钱跃宏提出了基于单一松驰时间模型来简化碰撞函数，提出了各向同性，满足伽利略不变性和使压力与速度无关的平衡分布，使问题得到解决，通常将这个模型称为LB-BGK 模型。即将()f i Ω用()eq i i f f -τ1代替，其中eq

i f 局部平衡分布函数，τ称为驰豫时间，反映非平衡态趋向平衡

态的快慢。于是LB-BGK 模型为：

()()()

eq i i i i f f x t f e x t -+=++τ

1,,1f i 对于两维的情况一般的采取九点格子模型，其中每个节点上允许一个静止粒子存在，加上与其相邻得有8个节点记为D2Q9型。

平衡分布函数采取钱跃宏提出的： ??

? ??-=223194u f eq i ρ ()()??

????-*+*+=-225291913191u u e u e f i i eq ρ ()()??????-*+*+=

-2296919131361u u e u e f i i eq ρ 宏观参数为：

∑=i f ρ

i i e f m ∑=ρ

()23u e f RT i i

i -=∑ρ

边界条件的处理

边界问题是流体力学数值计算当中相当复杂的问题，传统的数值计算方法对于边界的处理非常的困难。格子波尔兹曼方法的边界条件处理则相对简单的多。下面给出几种比较典型的边界问题的处理方法：

刚体固壁边界条件在粘性流体力学中，边界速度为零，即切向速度和法向速度都零，

因此我们可以采取下面得处理方式：在t=n-时刻以速度u 入射进来的粒子度u 入射进来的粒子度u 入射进来的粒子

自由滑移边界条件

流体力学中常见的一种边界条件是开口边界，如矩形空腔流等等。在这类边界情况下，切向速度为常数，而法向速度为零。对于这样的边界条件一般采取下面的处理方式：即把边界看成一个镜面，将入射进来的粒子沿和入射方向相对称的方向折回

这样的话，假设速度为()v s u u u ,=)的粒子入射进来，以()v s u u u -=,反射出去,则平均起来看,恰好有s s u n u =*以及0=*v n u 其中v s v s n n u u 分别为粒子切向速度。 粒子法向速度,边界的单位切向速度，边界的单位法向速度

边界处理方法

1反弹格式

反弹格式主要用于无滑移壁面。所谓反弹格式，是指如果一个流体节点上的

粒子沿粒子运动方向流动一步达到边界节点，则该粒子沿原方向反弹回原流体节点。LBM 方程可以演化为碰撞和流动两个过程。

2插值外推格式

插值外推格式是根据Taylor 展开，利用内部流体点的分布函数，根据阶数

似方法得到边界上的分布函数。

非平衡态外推方法

非平衡态外推方法是根据宏观物理量与分布函数确定未知量的方法。包括压力边界和速度边界。

格子波尔兹曼方法在各个领域的应用

1用于障碍绕流尾流模拟

2 Benard 热对流现象的模拟

3 空腔流的模拟

4 在两相流方面的应用

5 激波模拟

综上所述，我们可以知道格子波尔兹曼算法是一种数值计算方法，它可以利用matlab

编程来解决相关的数学方程的求解问题。

Ansys Flotran CFD分析简介

Ansys10.0程序中的FLOTRAN CFD分析模块的功能，是一个分析二维记三维流体流体场的工具，，使用ansys1.0中用于FLOTRAN CFD分析的FLUID 141及142单元可以解决如下问题：

作用于气动翼型上的升力和阻力。

超声速喷管中的流场。

弯管中流体的复杂的流体三维流动。

FLOTRAN CFD分析的种类

层流活湍流。

传热或者绝热。

可压缩或不可压缩。

牛顿流体或非牛顿流体。

多组分析传输。

FLOTRAN CFD分析的主要步骤：

1.确定问题的区域

必须确定所分析问题的明确范围，将问题的边界设置摘田间已知的地方，如果不能知道精确的边界条件而必须假设是，不要将分析的边界条件设在靠近感兴趣的地方，也不要将边界条件设在求解变量变化梯度较大的地方。

2.确定流体的状态

用户需要估计流体的特征，流体的特征是流体性质、几何边界以及流场速度幅值的函数。FLOTRAN 能求解的流体包括气体和流体，其性质可随温度而发生显著的变化。FLOTRAN 中的气体只能是理想气体。再大多数的情况下，近似认为流体性质是常数，既不随温度而变化，都可以得到精确的解。

通常用雷诺数来判断流体是层流还是湍流。

通常用马赫数来判断流体是否可压缩。流场中任意一点的马赫数是该点的速度与该点的声速的比值。当马赫数大于0.3是考虑用可压缩算法求解。

3.生成有限元网格

用户必须事确定流场中哪个地方流体的梯度变化较大，在这些地方网格必须做适当的调整。

4.施加边界条件

可在网格划分之前或之后对模型施加边界条件，此时要将模型所有的边界条件都考虑进去，如果有某个相关变量的条件没有加上去，则改变量沿边界法相值得梯度将被假设为0。

5.设置FLOTRAN CFD分析参数

流体性质等项目的设置，是与所求解的流体问题的类型是相关的。

6求解

通过在观察求解过程中的相关变量的改变率，可以建树求解的收敛性以及稳定性。这些变量包括速度、压力、温度、动能（ENKE自由度）和动能耗散率（ENDS自由度）等等湍流量以及有效粘性（EVIS）.

7检查结果以及后处理

综上所述我们可以知道，ansys是可以用来解决流体运动的及其相关参数的软件，通过建模设置单元类型，模型相关的流体和热的相关特征参数，合理划分网格设置求解参数，可以得到相应的结果！