有关斐波那契数列及性质的研究

有关Fibonacci数列及性质的研究

摘要:本文由Fibonacci数列的模型展开讨论,推导出{}n F数列的通项公式;进而利用{}

F数列的递推公式、数学归纳等多种方法,探讨了{}n F数列各项之间的联系,归纳总结了n

{}

F数列所具有的14条基本性质,在其基础上,又给出了Fibonacci数列与黄金分割数之间n

的密切联系,得到了三条重要性质,这些性质无一不体现了{}n F数列的变化规律。最后,作为性质的应用,结合例题我们阐述了{}n F数列在中学数学教育和社会其他领域的一些应用。

关键词:Fibonacci数列;通项公式;性质;黄金分割

在现实生活中,我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题,Fibonacci数列出现在我们生活中的方方面面,一些问题不仅可以用Fibonacci 数列表示,而且本质上就是Fibonacci数列,可见Fibonacci数列在很多数学分支都有很广泛的应用,因此研究Fibonacci数列非常必要。

本文通过探讨Fibonacci数列的性质,进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律,继而给出一系列与Fibonacci数列相关问题的解决方案,特别是对中学数学教育中,如何让学生巧妙解题具有启发作用。

1. Fibonacci数列的由来

斐波那契,公元13世纪意大利数学家,在他的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”:假定有一对大兔子,每一个月可生下一对小兔子,并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡,那么,从一对小兔子开始,一年后共有多少对兔子?

问题的解答思路:将每个月的兔子总对数列出来即可(需考虑到每个月具有生殖能力的兔子的对数),如下:

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 小兔子数(对) 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

大兔子数(对)0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 兔子总数(对) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

所以一年后(即第13个月初),繁殖的兔子共有233对。

仔细观察,可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律:即从第3个月起,每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和,把这些数字按照相同的规律推算到无穷多项,就构成了一列数列{}n F :1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……,人们就把它称为Fibonacci 数列,而将这个数列中的每一项称为“Fibonacci 数”。

2. 生活中常见的Fibonacci 数列数学模型:

假如我们把{}n F 设为Fibonacci 数列,不难发现数列{}n F 是由递推关系式:

21F F =,213F F F +=,……,21--+=n n n F F F ()3≥n ()* 所给出的一个数列。从而,

我们就可以轻而易举地算出两年,三年……以后的兔子数。为了便于探讨该数列具有的若干性质和变化规律,我们首先给出几个与Fibonacci 数列相关的数学模型,然后对Fibonacci 数列展开讨论。

2.1 覆盖问题

例1 用21?的骨牌覆盖n ?2的棋盘,问有多少种不同的覆盖方法? 解 设有n a 种不同的覆盖方法,将棋盘水平放置,考虑最后一个骨牌的放法:若垂直放置,则有1-n a 种不同的覆盖方法;若水平放置,则必须与它并排放置另一块骨牌,有2-n a 种不同的覆盖方法。于是,由加法原理得:21--+=n n n a a a ,其初值为11=a ,,22=a 因此,1+=n n F a ()2>n 。

例2 用11?和21?两种骨牌覆盖n ?1的棋盘,问有多少种不同的覆盖方法? 解 设覆盖方法有n b 种,考虑最后一块骨牌:若是11?的,则有1-n b 种覆盖方法;若是21?的,则有2-n b 种覆盖方法。所以,21--+=n n n b b b ,其初值为11=b ,

22=b ,于是,1+=n n F b ()2>n 。

2.2 爬楼梯问题

例3 某人爬有n 个台阶的楼梯,一步可以迈一个或两个台阶,问这个人有多少种不同的爬楼方法?

解 设爬n 个台阶有n c 种方法。考虑最后一步:若最后一步迈一个台阶,则前1-n 个台阶有1-n c 种方法;若最后一步迈两个台阶,则前2-n 个台阶有2-n c 种不同的方法。于是,由加法原理得:21--+=n n n c c c ,易知其初值11=c ,22=c ,从而1+=n n F c ()2>n 。

2.3 0-1序列问题

例4 由0和1组成的序列称为0-1序列,序列中数的个数称为这个0-1序列的长度,若果010*******是一个长度为10的0-1序列,求长为n 的0-1序列中任何两个1不相邻的序列的个数。

解 设这样的序列有n e 个,考虑最后一个数,如果最后一位是0,则只要前

1-n 位任何两个1不相邻即可,因此,满足要求的序列有1-n e 个。若最后一位是

1,则倒数第二位是0,于是只要前2-n 位任何两个1不相邻即可,因此满足要求

的序列有2-n e 个,由加法原理得:21--+=n n n e e e ,由初值3,221==e e 得

2+=n n F e ,当然也可以写成1-+=n n n F F e ()2>n 。

例5 求长为n 的0-1序列中既不含有010也不含有101的0-1序列的个数。 解 设这样的序列有n g 个,以0和1结尾的这样的序列的个数分别用0,n g 和

1,n g 表示。则1,0,n n n g g g +=。

以0结尾的序列有如下两种:(1) (00)

(2) (110)

第一类中只要前1-n 位既无010也无101即可,注意到前1-n 位是以0结尾的,所以有0,1-n g 个这样的序列;

第二类中只要前2-n 位无010和101即可,因为前2-n 位是以1结尾的,故有1,2-n g 个这样的序列;

于是有: 1,20,10,--+=n n n g g g ------① 同样,以1结尾的序列有如下两种:(1) (11)

(2) (001)

于是有: 0,21,11,--+=n n n g g g ------② 由①+②得: 211,0,--+=+=n n n n n g g g g g 再由初值11=g ,42=g ,得:12+=n n F g ()2>n

2.4 一个几何上的例子

例6 半径为1的两个圆⊙1O , ⊙2O 外切,l 是它们的一条外公切线,依次作⊙3O 和⊙1O 、⊙2O 、l 均相切,作⊙4O 和⊙2O 、 ⊙3O 、l 均相切……,作⊙1+n O 与⊙1-n O 、⊙n O 、l 均相切,求⊙n O 的半径的表达式。

解 作R O n 1-、l S O n ⊥,过1+n O 作l 的平行线分别交R O n 1-、S O n 于P 、Q ,作

R O M O n n 1-⊥于M ,则由Q O P O M O n n n 11+++=,

可得 r

r r

r r

r n n

n n n n

1

1

1

1

++--+

=

.

r

a

n

n

1

=

,则11-++=n n n a a a 且121==a a ,故n n F a =,从而21

n

n F r =

. 3.Fibonacci 数列的性质 3.1 基本性质 为了方便讨论Fibonacci 数列具有的若干性质和变化规律,本文首先从{}n F 的通项公式入手,对Fibonacci 数列展开讨论.

设() +++++=n n x F x F x F x F x g 33221 ------① 由Fibonacci 数列的递推公式()*, 可得:()x x x g --2 +++=n n x F x F 33

= +++++++--n n n x F F x F F x F F )()()(21432321

)()(2433214231 +++++++++=--n n n n x F x F x F x F x F x F ()()[]x x g x x g x -+=2 ()22)(x x g x x -+= 从而 ()???

?

??--???? ??+-=--=

x x x x x x x g 2511251112

再设()x B x A x g 2

5112511--++-=,则有()?????=-=+1250

B A B A 从而得 5

1,5

1-==B A

所以 ()??

??

?

?

??---+-=--=x x x x x x g 25111251115112 ——-② 再利用

(111)

32++++++=-n x x x x x

,并将②式展开得到: ()()[]

+-++-+-=

n n n x x x x g )()(5

1222

βαβα

βα -——③

其中2

515

12;2

515

12-=+-=+=--=βα

将①和③比较可得数列{}n F 的通公式,也就是我们所要探讨的Fibonaccia 数列的通项公式:

性质1 Fibonacci 数列{}n F 的通项公式:

???

??

???????

-=???? ??-???

?

?

?+25125151n

n

n F (n ≥1)

通过观察,我们知道Fibonacci 数列中的每一项都是整数,但其通项却含有有理数,因此可见Fibonacci 数列的与众不同之处。 利用Fibonacci 数列的递推公式可以得到:

性质2 Fibonacci 数列的前n 项和:221F F F n n

k k -=-=∑

证明 由231F F F -=,342F F F -=,……,n n n F F F -=+-11,12++-=n n n F F F .

可得:22321F F F F F F n n -=+++++

性质3 Fibonacci 数列的奇数项和:n n

k k F F 21

12=∑=-

证明 由21F F =,243F F F -=,465F F F -=,……,22212---=n n n F F F

可得:n n F F F F 21231=+++-

性质4 Fibonacci 数列的前n 项平方和: F F F

n n n

k k

112

+==∑

证明 由 1221F F F =,

123213222)(F F F F F F F F -=-=,

324324326)(F F F F F F F F -=-=,

……,

n n n n n n n n F F F F F F F F 11112)(-+-+-=-=

可得:12

2221+=+++n n n F F F F F

利用数学归纳法还可以证明:

性质5 Fibonacci 数列的相邻项乘积之和:??? ??

--+=++=∑

12211211

F F F F F n n k n

k k n 证明 对n 用数学归纳法证明,当1=n 时,等式显然成立。

假设1-n 时结论成立,即??? ??

--+=-+-=∑

11211211

1

F F F F F n n k n k k n . 现证n 时结论成立. F F k n

k k

1

1

+=∑

=F F F

F n n k n k k

11

11

++-=+∑

=F F F F F

n n n n n 1

12

1121+-+??? ??--+

=??

? ??+--++-F F F F F

n n n n n 11221121 =????????? ??+--???

?

?++-++F F F F F F F n n n n n n n 21212

12121 ??? ??--+=+122

1

12F F F n n n 所以,对任意自然数n 结论都成立 。

性质6 若连分数 个n ]

1,1...,1,1,1[1

11111111

1=+

++

++, 那么 个

n n

n F F ]1,1...,1,1,1[1

=+

证明 由11=F ,12=F ,11-++=n n n F F F 有:

1111-+?+?=n n n F F F ()n n F F <<-10

2111--?+?=n n n F F F ()120--<

32111---?+?=n n n F F F ()230--<

……

1231F F F +?= ()121==F F

121F F ?=

所以, 个

n n

n F F ]1,1...,1,1,1[1

=+

利用{

}

n F 的通项公式 ?

?? ?

?-=

?

?????

?????

?

-=???? ??-???

?

??+

βαn n

n

n

n F 5151251251可以证明下面的一些性质: 性质7 ())

2(11

112

≥-+=++-n n n n n F F F

证明 设2≥n ,则 F F n n 1

1

+- =

????

??-???????-++--βαβα11

115151n n n n =??

??

??

?-?-+-++-β

α

β

α

β

α1

1

1

1

2251n n n n n

n

=()??

??

???-+--1122351n n n βα

=()?????

?

?-+-+n n n n

n

15

25122βαβα

=()n n n 1][5

12-+-βα

=()12

-+

n

F

n

所以:()

)2.(11

112

≥+

=-++-n n n n n F F F

性质8 )

1(222

2

≥>=--+n m n m n m F F F F

n m

证明 F F

n

m n m --+2

2

=()()??

??

??+--????

??+----+++--βαβα)(2)(2)(2)(211251251n m n m n m n m n m n m

=??

??

??+-+--++βαβα)(2)(2)(2)(251n m n m n m n m

而 F F n m 22=??

????-????

??

-βαβ

αn n m

m

222251

=??

????

--+++βα

β

α

β

αm

n

n

m

n m n m 2222)

(2)

(251 =()

()????

??--+--++αββ

αβα

β

αn

n m n

n m n m n m 2)

(22)

(2)

(2)

(251

=??

??

??-+--++βαβα)(2)(2)(2)(251n m n m n m n m

综上所述:F F F F n

m n m n m 222

2

=--+ )1(≥>n m 性质9 ())2(1121≥=--++-n n n n n n F F F F

证明 F F F F n n n n 121++--

=??

????-??????--??????-??????

-++++--βαβαβαβ

α11221

1

5151n n n n n n n n =??

????--+-????

??

--+++++-++-++βαβαβαβ

α

β

α

β

αn n n n n n n n n n n n 1112121

2

2

1

1

21

25151 =??

??

??

--+-++-++β

α

β

α

β

α

β

α1

2

2

1

1

1

1

51n n n n n n n n

=()()()

()??

??

??-

-+------βα

αβ3

1

3

1

111151n n n

n

=()()

?

???

????????

++--βα3

3

1151n

n =()()??

??

???+--11451n n

=()1-n

所以:())2(1121≥=--++-n n n n n n F F F F 性质10 若1≥n ,2≥r ,

则 ()

??

? ??++??? ?

?+=+--+-+-+-++-+-βαβα221

12122

115

521r r n r n r n r n n r n n F F F F 证明 F F F F r n n r n n 211-++-++

=??

? ??-??? ??-+??? ??-??? ??--+-+++-+-+βαβαβαβα2211115151r n r n n n r n r n n n

=??

?

??+--++---++-+-++-+-+-+-+-+ββαβααββαβαα1212211212111251r n n r n r n n r n r n n r n r n n r n =??

???

???? ?

?+-??? ??++??? ?

?+--++---+-+-βαβαβαβαβα33111112125152r r n n r r n n r n r n

=()??

? ??--++

??

? ?

?+----+-+-+-βαβαβα

33111

1

2125

521r r r r n r n r n =()()

??

??????? ??-+-+

??? ?

?+--+-+-+-ββααβα3

23

2

1

1212115

521r r n r n r n

=()

??

? ??-+

??? ??+--+-+-+-βαβα221

12125

5

21r r n r n r n 所以,()

()2,15

5

2221

12122111≥≥??

? ??-+

??? ??+=+--+-+-+-++-+-r n r r n r n r n r n n r n n F F F F βαβα

用同样的方法证明得到:

性质11 若2,1≥≥r n ,则()212111-+-++-+-=-r n r n n r n n F F F F F 性质12 若1>>r n ,则n r n r r n r F F F F F =+---+11 性质13 若1>>r

n , 则()

??? ??++??? ??+=--------+-βαβα12121

15

2511r n r n r

n n r n r r n r F F F F 性质14 若1,≥r n ,则()

F F

F F r r n n n r n 2

1

2

21-++=

+-

3.2 Fibonacci 数列与黄金分割数

通过以上性质的证明推导,我们可以发现Fibonacci 数列{}n F 的一些基本性质变化。那么,如果我们对Fibonacci 数列{}n F 的前后两项进行比较,而得到的新数列又有什么性质呢?因此,我们对Fibonacci 数列进行延伸,在深层次探讨

数列??

????????+F F n n 1

的极限存在性及其具有的性质。这个问题的解决,可以为人们进一步讨

论该数列的规律提供一个重要依据。

通过观察数据:1,......,2113

,138,85,53,32,21我们发现数列??

????????+F

F n n

1不是单调函数,但随

着n 的增大,Fibonacci 数列的前两项n F 与1+n F 之比1

+n n F F 趋近于黄金数0.618。众所周知,黄金数在自然界是一个奇妙的数字,比如人的肚脐是人体总长的黄金数

分割点;某植物的叶子在茎上的排列也存在黄金分割问题;在艺术和建筑上,黄金数很有用,正因为如此,Fibonacci 数列的这个性质显然格外重要。 性质15 618.021

5lim

1

≈-=+∞→n n n F F

证明 利用Fibonacci 数列的通项公式,可知数列前后项之比的极限为

618.02

1

5≈-。 由上面的性质可知,Fibonacci 数列相邻两项之比所形成的数列恰恰收敛于“黄金分割数ω”。这一命题揭示了Fibonacci 数列与黄金分割ω的奇妙关系。

但如果把性质15中的n 改为n 2后,数列又有什么变化规律呢?通过推导,我们得到了:

性质16 设{}n F 为Fibonacci 数列,则

⑴数列??????????+F n n 122为严格单调数列且有上界; ⑵数列??

????????++F F n n 2212为严格单调递减数列且有下界. 证明 ⑴(

)

(

)F F F

F n n n n

1

12121

22+--+-

=

F

F F F n n n n 1

222122--+- =F F F F F F n n n n n n

1

21

21

22

21

22-++---

=F

F F F F F

n n n n n n 1

21

21

)12(122)12(1)12(-++---+----

利用性质9,上式

故数列??

????????+F F n n 122为严格单调数列.

显然,数列{}n F 是一个单调数列,即

10,......,2,1,1

221

<<

=≤

++F

F

F

F

n n

n n

n 故

所以,数列??

??

??????+F F n n

1

22为严格单调数列且有上界. 同理可证,数列??

????????++F F n n 2

21

2为严格单调递减数列且有下界. 性质17 数列??

????????+F n n 122有极限且等于黄金分割点率215-

证明 我么只需证明数列????

??????

+F F n n 122与??

????????++F F n n 2212有极限且相等就可以了.事实上,????

??????+F F n n 122有极限,设为a ; ??

????????

++F F n n 221

2单调也有极限设为b 。则有:

b F F F F F F F a n

n n n n n

n n n n +=

+

=+==-∞

→-∞→+∞→11

11lim

lim lim

2121

222122; a F F F F F F F b n n

n n

n n n n n n +=+=+==+∞→++∞→++∞→1111lim

lim lim

1

222121

22212。

显然()11=+b a 且()11=+a b ,从而可得618.02

15≈-==b a ,

()0

1

1

2121

212221>==-+-+--F F F F n n n n n

所以我们可得:618.0215lim lim 2212122≈-====++∞→+∞→b a F F F F n n n n n n ,即数列??????????+F F n n 122有极限且等

于618.0。

4 斐波那契数列在中学数学中的应用 4.1 求解一元二次方程

利用Fibonacci 数列能快速求解一类特殊的一元二次方程根的代数式的值。 例1 设α,β 是方程012=--x x 的两实数根,不解方程,求n n n S βα+=

)21,,3,2( =n 的值。

解 考虑利用根的定义降次,得 :

12+=αα,

12123+=)++=(+=αααααα,

231)12(234+)=+(+==αααααα++, 35)12()23(345+=++=αααααα++=,

676510946192021+=

αααα+=。 通过这些计算,不难发现规律:1-n n n

F F +=αα )2(≥n

同理,有 1-n n n F F +=ββ )2(≥n

所以,1122)(--+=+++=n n n n n n n F F F F S βαβα= )2(≥n

那么 3212122=+=+=F F S 4222233=+=+=F F S

7432344=+=+=F F S

2447613530109462202121=+=+=F F S

例2 设α,β 是方程012

=-+x x 的两实数根,且βα>,不解方程,求

89βα+-的值。

解 利用根的定义升次和降次

11+=-αα ①

12+=-ββ ②

考虑到②中右边系数为负数,给计算带来不便,而由1=-αβ, 得: 1-=-αβ,8

818--=)=(-ααβ,

再由①,得:2)1(1112

+=++αααα=+=--,

32213+αααα==---,

34218+αα=-

故 ()()[]892558955)3421()5534(8

9+-++=+=+++=+βαβααααβα- 又

()()54142

2=+=-+=-αββαβα且βα>, 则 5=-βα。 所以 2

5

5512389)51(25589+=++-==

+βα-。 4.2 几类具有代表性的问题求解 4.2.1比较数的大小 例3 已知:

1

1

251251251251--?

??

?

??--???? ??--?

??? ??++???? ??+=n n n n

a ,

1

1251251++?

??

? ??--?

??

?

??+=n n b ,N n ∈,

那么a 与b 的大小关系是:

b a A >)( b a B =)( b a C <)( )(D 不能确定

解 ()()

()11115551515+---=+=??

????-+-?=n n n n n n n F F F a βαβα ()

111

55

15+++=-?

=n n n F b βα

∴ b a = 4.2.2 化简根式 例4 化简1010

2

5

551232555123-++ 解 设251+=

α,2

51-=β, 则 ()(

)

1232522

5552

551010=-=

+-=+F βαβαβα,

5555101010==-F βα,

所以

=10

α2

555123+,=10β25

55123-,

55

349+αα=-

因而 251255512310

+==+α,2

5

1255512310-=

=-β 故 12

5

5512325551231010

=-++ 4.2.3 求值

例5 求5

18sin 51236cos 5125

5318sin 409636cos 4096991212++-- 的值。

解 4

5

118sin -=

∴ 4

5

1453118sin 2136cos 2+=--

=-= 那么 5

18sin 51236cos 5125

5318sin 409636cos 4096991212++--

=

()()()()5

18sin 236cos 255318sin 236cos 29

9

12

12

+--- =52512515

532512519

912

12+??

?

? ??--???? ??+-???? ??--???? ??+ =5

55

535912+-F F

=

18953

233+- =2

4.2.4 证明等式

例6 若n 为非负整数,那么

1220

121225+++=∑n n n

k k n k

F c

证明 令∑++=

n

k k n k n c

a 0

121

25=,∑+=

n k k

n k n c b 0

212551=, 则 n n b a +

=∑∑++++n k k n k n

k k n k c c

2120

121

25515== =∑∑+++++n

k k n k n k k n k c c 0

21220121212551551== =

(

)

1

21

55

1++n

又=

-

=

-∑∑++++n

k k

n k

n

k k n k n n c

c b a 0

21

220

1

21

21255

1

5

5

1

==(

)

1

21

55

1+-n ,

则有 ()(

)

??

????

-++=

++1

2121

5155

12n n n a =???

????????? ??+--????

??++++1

2121

221

5215512n n n =12122++n F n

所以 1222+=n n n F a

4.2.5 Fibonacci 数生成勾股数 由性质10,11,当5=r 时有:

()()()

331424231451152βαβα+++++++++-+=

n n n n n n n F F F F =()

()2222

215

4])()([52++--n n n βα

++ =2

22+n F ①

()1

31412-+++-=-n n n n n F F F F ②

① ×② 得:()()()

()221

2

312

421++++-n n n n n n F F F F F -=-

对任意给定的N n ∈,由上式可导出勾股公式,

当n 为奇数时有 ()()2

42

22

312++++n n n n n F F F F F =)+(; 当n 为偶数时有 ()()2312

2242++++n n n n n F F F F F =)+(。

由此我们的得出五个连续的斐氏数生成的勾股数组公式,我们还可利用性质16得出五个非连续的斐氏数生成的勾股数组。

事实上,在11---+-r n r r n r n F F F F F =中令12+=m n ,()N m m r ∈=,得:

2

2112m m m F F F +=++

()()2

2

11121m m m m m m m m F F F F F F F F -=+-=++++-

∴ (

)

2

214412

22

12212)(m m m m m

m m m F F F F F F F F ++++--+=-=

∴ ()

2

2

2121221)2()(m m m m m m F F F F F F +=++++-

(

)2

21

221221)2()(+++-=+m m m m m F F F F F ()2≥m

此式非连续的斐氏数生成的勾股数组公式。

4.2.6 巧证竞赛题

例7 求证n 是正整数时,大于(

)

n

253+的最小整数能被n

22整除(1987年苏州

高中竞赛题)。

证明 设()()

n

n

n a 222535

3-+=+,

则有 n

n

n

a 22225322532???

? ??-?

+???? ???

=+ =??

?

??

?-++n n n 442)2

51()2

51(2

=[]

n n n n n 2222222)(2βαβα+- =()

252222+n

n

F

N F n ∈2

∴ N F n ∈+2522 故n a 2是含有n 22的整数。 又由(

)

1530<-<,有()

15

302<-

∴ (

)

n

n a 225

3+>

故n a 2是大于(

)

n

25

3+的最小整数而又能被n 22整除。

例8 数列{}n a ,10=a ,()

364572

12

1-+=+n

n n a a a ,N n ∈,求证: ⑴ {}n a 中任意一项都是正整数;

⑵ 11-+n n a a ?为完全平方数。

(2005年全国高中数学联赛题) 分析:初看该数列,颇有些奇特,但易知10=a ,51=a ,342=a ,2333=a , ,这些数字似曾相识,但仔细想想,正是Fibonaccia 数列中的一些项,就是所谓的斐

氏数,进一步我们知道00a F =,14a F =,28a F =,312a F =,

,由此猜测n n F a 4=。下面将证明这个关系式。

证明 1 当0=n 时,显然有100==F a ; 2 假设当k n =时,有k k F a 4=,

下证当1+=k n 时,也有)+(+141k k F a =:

由 ()

n n n F βα-=

5

1

)1(≥n , 知:()

(

)

k k k

k k k k

F 442

442

44244451545βαβαβα+-=-???

???-=-

∴ ()2442445k k

k F βα+=-

从而 ()

453721

241-+k k k F a a =

+ =()[]

k k k a 44372

1

βα++ =()(

)??

????++-k k k k 444435

721βαβα

=

??

?

?

??--+k k 442537253751βα =??

?

???--+k k 4242)253()253(51βα =??

????--+k k 4444)251()251(

51βα =

[]

)1(4)

1(45

1++-k k βα =)1(4+k F

综上所述,n n F a 4=对一切N n ∈都成立,由此可知{}n a 中任意一项均为正整数。 对于第⑵问,由()

364572

12

1-+n n n a a a =

+, 得 3645)72(2

21--n n n a a a =+,

进一步有:()()136412

1-=+n n n n a a a a ++,所以:()2

11311??

?

???+=-n n n n a a a a ++

而又因

()n n a a +131

+ =()n n F F 4)1(43

1

++ ()()(

)

45372

14537213645721242

21-+=-+=-+k k k k k k k F a a a a a a =

=

()n n n F F F 4243431

++++ =()n n n F F F 4142423

1

++++ =24+n F

因此2

2411+=-n n n F a a +为完全平方数。

例9 设

n m

=

+

++

+

1

11111111

,其中 m 和n 时互质的自然数,而等式左

边含有1988条分数线,试计算22n mn m -+的值(第14届全俄数学竞赛)。

解 由性质6,我们有n

n F F 1

1

1

1111111+=

+

++

++

, 知

n

n n n F F

F F 1111

11111111-+=-=

+

++

+ , 设上述含有k 条分数线的繁分数的值为k

k

n m ,()1,=k k n m , 显然k k F m =,1+=k k F n ,

于是 22n mn m -+

=2

1989

1989198821988F F F F -+ =()()

219871987198821988198719881988219882F F F F F F F F ++-++ =21987

19871988219882198819871988219882F F F F F F F F ---++ =219871987198821988F F F F -- )(219881987198821987F F F F -+-= =21987

1987198621986F F F F -+

……

=233222F F F F -+ =222211-?+ =1-

例10 确定22n m + 的最大值,其中m ,n 为整数,且m ,{}1981,,2,1 ∈n ,()

12

2

2

=--m mn n

(第22届IMO )

。 解 若(

)

12

2

2=--m mn n 的一组解(){

}1981,,2,1, ∈n m ,那么122±=--m mn n 从而2221m m mn n ≥±+=,即m n ≥,其中当且仅当1==n m 时等号成立。 因此,在()()1,1,≠n m 时,0>-m n 。 由于()()()[]()()

[]2

22

2

2

2

2

22m n m n m m

m m n m m n m mn n ----=--+-=--,

如果()n m ,是满足上述条件的一组解,并且()()1,1,≠n m ,那么()m m n ,-也是满足上述条件的一组解,等等。

由于满足上述条件的解有限,因此进行有限步后一定可得到()1,1;

反过来,由解()1,1可逐步得到满足上述条件的全部解(其操作过程为由),(m n m -得出()n m ,)。

不难看出,这些n m ,组成的斐波那契数(每相邻两个是一组解):

1597

,987,610,77,233,144,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1,1 因此22n m +的最大值为3524578987159722=+。

例11 现有长为cm 150的铁丝,要截成()1>n 段,每段的长为不小于cm 1的整数,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,试求n 的最大值,此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段(第17届江苏省初三数学竞赛题)。

解 欲使n 尽可能的大,则每段长应该尽可能的小,又由每段的长不小于cm 1,所以应从1开始分截,假定含有1的起始三段长为c b ,,1,且c b ≤≤1,为了使这三段都不能构成三角形,则c b ≤+1,又c b ,尽可能的小,故取2,1==c b ,于是这

n 段可分截如下:

,13,8,5,3,2,1,1,这就是Fibonacci 数列,

又因为 15055342113853211<+++++++++,

而 1508955342113853211>++++++++++,

故n 的最大值为10,将长为cm 150的铁丝分成满足条件的10段共有如下7种方式:

⑴ 1、1、2、3、5、8、13、21、35、61 ⑵ 1、1、2、3、5、8、13、21、36、60 ⑶ 1、1、2、3、5、8、13、21、37、59 ⑷ 1、1、2、3、5、8、13、21、34、62

⑸ 1、1、2、3、5、8、13、22、35、60 ⑹ 1、1、2、3、5、8、13、22、36、59 ⑺ 1、1、2、3、5、8、14、22、36、58

例12 在元旦春节期间,某超市准备利用超大屏幕,反复播放一个广告节目,这个广告节目每次播放的时间是10秒钟,如果开始只有一段10秒的录像带母带,若用两盘空白录像带在一台录音机上相互转录,问应如何操作才能用最少的录制编数录制一盘可以播放一小时的广告节目?(2002年湖北省四通杯数学竞赛题)

解 1小时=3600秒,360103600=÷(遍) 第一步:将母带上的节目录入第一盘空白带; 第二步:将母带上的节目录入第二盘空白带; 第三步:将第一盘的节目录入第二盘录像带; 第四步:将第二盘的节目录入第一盘录像带; ……

在第一、二盘录像带中反复录制,直到录入所需的时间长度为止。

我们用i a 来表示第i 步录入节目的遍数,则 ,2,1,1321===a a a ,很显然,i a 构

成了Fibonacci 数列377,233

,144,89,55,34,21,13,8,5,3,2,1,1,由360377>,可知连续操作14次,即可录制一盘播放一小时的录像带。

结 束 语

本文通过对Fibonacci 数列通项公式推导、展开及归纳总结,探讨了该数列所具有的若干性质和规律。随着数学理论研究的不断发展,人们对该数列的探讨也将越来越深入,相信会有更多的奇特性质被发现。

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The Research on the Fibonacci series and its A pplication

HU Qing-qing

(Department of Mathematics ,Xi'an University of Arts and Science, Xi'an, 710065) Abstract: This paper discusses the model of the Fibonacci series, and then derives from {}n F series of formulas. Using of series {}n F recursive formula, mathematical induction and other methods, the links of the {}n F series is explored, and fourteen basic natures of {}n F series is summarized .On these bases, the paper also gives the close link between the Fibonacci series and the golden section number, and then we get three important properties. These properties all reflect the role of change in the {}n F series. Finally, as the application of these properties, combined with sample questions, we discusses the {}n F series of mathematical education in secondary schools and social applications in other areas.

Keywords: Fibonacci sequence; formula; property; Golden Section

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