2010A卷-数学物理方法参考答案

《 数学物理方法 》课程试卷 A 参考答案及评分标准 第 1 页 共 5 页

中国计量学院200 9 ~ 20 10 学年第 1 学期

《 数学物理方法 》课程

试卷（ A ）参考答案及评分标准

开课二级学院： 理学院 ，学生班级： 08应物1 ，教师： 吴太权

一、选择题 (共10分，每题2分)

1. B

解：（A ）正确的表达式是2121Z Z Z Z +≤+；（C ）)(x δ广义函数是偶函数；（D ）

?=l

dz z I 2与积分路径l 无关。故选（B ）。 2. A 解：1/2()z f z ze z =有一奇点，0=z 为本性奇点。故选（A ）。

3. C

解：泛定方程02=-xx t u a u 和边界条件00==x u ，0==l x u 构成本征值问题，本征值为22

2l

n π，（n 为正整数），本征函数为l x n πsin 。故选（C ）。 4. D

解：因为行波法只适用于波动方程，不适用于导热问题。故选（D ）。

5. C

解：)(z f 在0z 及其邻域上处处可导，则)(z f 在0z 上解析。故选（C ）。

二、填空题 (共39分，每空3分)

1. 1e e --

解：把i z =代入公式sin ()2iz iz z e e i -=-即可得结果。

2. 00==x u ，0==l x x u

解：一端是第一类边界条件，另一端是第二类边界条件。

3. _____2_____

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解：根据二阶极点的公式，可得22lim )]([lim

)0(Re 20

20===→→z z z e z f z dz d sf 。 4. k ke -- 解：因为()f x '的像函数为()ikf

k ，即可得结果。 5. 22π-

解：根据公式)()()(00x f dx x x x f ?∞

∞-=-δ，即可得结果。 6. 48

解：根据公式?∞

-==+Γ0!)1(n dt t e n n t 即可得结果。 7. 2103

231P P P ++ 解：已知x x x f x f f f P f P f P f x f +=++-

=++=22212022110023)21()(， 所以可得02120=-

f f ，11=f ，1232=f ，即可得结果。 8. π2i 解：ππ220)1(2121

i i dz z z I z =+=+=?= 9. 0(,)0;(,)100x x l u x t u x t ====；0(,)100(0)t u x t x l

x l ==≤≤ 解：系统的边界条件，一端为第一类，另一端为第二类；初始条件为

1210

(,)()t u x t u x u u l ==+-，此时01=u ，1002=u 。 10. 1/3 解：级数收敛半径3

131lim 1lim

2121===∞→∞→k k k k k k a R ， 11. 4[]0d xy y dx x '-= 12. 1140 解：根据公式10!!(1)(1)!

m n m n t t dt m n -=++?即可得结果。

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三、解：已知22222cos sin cos ρ?ρ?

?=-=u 。由柯西－黎曼条件，可得

32sin 21ρ??ρρ=??-=??u v ，22cos 2ρ

?ρρ?-=??=??u v 。 （4分） 322222sin 22cos 211sin 2sin 2()(sin 2)()v v dv d d d d d d d ???ρ?ρ???ρ?ρρρρρ

??--=+=+=--=??所以C v +-=22sin

ρ?。 （3分） 即iC z

iC i y x iv y x u z f +=+-

=+=2212sin 2cos ),(),()(ρ??。 （1分）

四、解：已知2111()3212

f z z z z z ==--+--。 （1分） 可得当212

z z

k k z z z ∞==-=---∑。 （3分） 当111z z

>?<，011111()111()k k z z z z z

∞===--∑。 （3分） 即可得00111()()()22k k k k z f z z z

∞∞===--∑∑。 （1分） 五、解：令2cos 1

-+=z z x ，iz dz dx =，则121241()8142

F z z z iz i z z -==++++（2分） 可知()F z 在1=z

的奇点为4b =。 （1分）

所以441

Re ()28b sf b i z ==+ （2分）

即2Re ()I i sf b π=?=

（3分）

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六、解：由于()()I t I p ?，则()()I t pI p '?，

0()()t

I p I d p

ττ??，11p ?， （3分） 代入可得1()()A pI p I p p p +

=，即2()1A I p p =+。 （2分） 由于21sin 1

t p ?+， （2分） 所以()sin I t A t = （1分） 七、解：化解219"'0y y y x x +-=，1()p x x =，29()q x x -=。 则00=x 是方程正则奇点。

由指标方程：(1)90s s s -+-=，可解得13s =，23s =-。 （2分） 故令310()k k k y x a x ∞

+==∑（00≠a ），

则21

0()(3)k k k y x k a x ∞+='=+∑，110()(3)(2)k k k y x k k ka x ∞

+=''=++∑， 代入方程，可得3k x +的系数为(6)0k k k a +=。

当1k ≥时，0=k a 。即310()y x a x = （3分） 再令3200()k k y x b x ∞

-==∑（00≠b ），

则42

0()(3)k k k y x k b x ∞-='=-∑，520()(4)(3)k k k y x k k b x ∞

-=''=--∑ 代入方程，可得3k x -+的系数为(6)0k k k b -=。

当6k ≠，0=k b ，当6k =，k b 为任意值。即33206()y x b x b x -=+ （3分） 所以331122()()()y x C y x C y x Cx Dx -=+=+ （1分）

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八、解：泛定方程： 02=-xx tt u a u （ρT a =2） 边界条件： 00==x u ，0==l x u

初始条件： 00t u ==， 0()2

t t I

l

u x δρ==-（l x ≤≤0） （3分） 由泛定方程和边界条件可得方程通解：

∑∞=+=1sin )sin cos

(),(n n n l

x n l at n B l at n A t x u πππ。 （2分） 因为 00t u ==，所以0n A = （1分） 则02

()sin l n n x B x dx n a l πψπ=?02()sin 2l I l n x x dx n a l πδπρ=-?2sin 2

I n n a ππρ= （3分） 即121(,)sin sin sin 2n I n n at n x u x t a n l l

ππππρ∞==∑。 （1分）