精选题库高一数学 课堂训练7-3北师大版

第7章第3节

时间：45分钟满分：100分

一、选择题(每小题7分，共42分)

1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()

A．平行B．平行和异面

C．平行和相交D．异面和相交

答案：B

解析：因为AB∥CD，AB 平面α，CD?平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面，故选B.

2. [原创题]已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()

A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β

B．若n⊥α，n⊥β，则α∥β

C．若m∥n，m∥α，则n∥α

D．若m∥n，m α，n β，则α∥β

答案：B

解析：A错，两平面也可相交；

B正确，垂直于同一条直线的两平面平行；

C错，直线n可能在平面α内；

D错，不符合面面平行的判定定理．

故选B.

3．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；

②若α∥β，l α，m β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为()

A．3B．2

C．1D．0

答案：C

解析：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m.

②中l与m也可能异面．

③中

?

???

?l ∥γ

l ββ∩γ＝m ?l ∥m ，同理l ∥n ，则m ∥n ，正确．

4. [2012·广东质检]如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线(

)

A. 不存在

B. 有1条

C. 有2条

D. 有无数条 答案：D

解析：由题设知平面ADD 1A 1与平面D 1EF 有公共点D 1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l ，在平面ADD 1A 1内与l 平行的线有无数条，且它们都不在平面D 1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D 1EF 平行，故选D.

5．如图边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是(

)

①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②BC ∥平面A ′DE ；

③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值． A ．① B ．①② C ．①③ D ．②③

答案：C

解析：①中由已知可得面A ′FG ⊥面ABC ， ∴点A ′在面ABC 上的射影在线段AF 上． ②当A ′点与F 点重合时不符题意．

③当面A ′DE ⊥面ABC 时，三棱锥A ′－FDE 的体积达到最大．

6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、Q 分别是棱D 1C 1、A 1D 1，BC 的中点．点P 在对角线BD 1上，且BP →＝2

3

BD 1→

，给出下列四个命题：

(1)MN ∥平面APC ；(2)C 1Q ∥平面APC ；(3)A ，P ，M 三点共线；(4)平面MNQ ∥平面APC .其中正确命题的序号为( )

A ．(1)(2)

B ．(1)(4)

C ．(2)(3)

D ．(3)(4)

答案：C

解析：设E 、F 分别为AC 、MN 的中点，G 为EF 与BD 1的交点，显然△D 1FG ∽△BEG ，故D 1G BG ＝D 1F BE ＝12，即BG ＝23BD 1，又BP →＝23BD 1→，即BP ＝23BD 1，故点G 与点P 重合，所以平面APC 和平面ACMN 重合 ，MN 平面APC ，故命题(1)不正确，命题(4)也不正确，结合选项可知选C.

二、填空题(每小题7分，共21分)

7．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是△ABC 的重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.

答案：2393

解析：BC ∥平面α，MN ∥BC ，D 为BC 中点，从而MN BC ＝AG AD ＝2

3，

∴MN ＝2

3

BC .

在△ABC 中，BC 2＝52＋72－2×5×7×cos60°＝39， ∴BC ＝39. ∴MN ＝2393

.

8. 在空间中，下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线互相平行；②平行于同一个平面的两条直线互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤垂直于同一个平面的两条直线互相平行，其中真命题有__________(写出所有真命题的序号)．

答案：③⑤

解析：①过一点必须强调“过直线外一点”，当点在直线上时，不存在直线与已知直线平行，故①为假命题；②平行于“同一条直线”的两条直线平行，而不是“同一个平面”，平行于同一个平面的两条直线的位置关系可能平行、相交或异面，故②为假命题；③平行公理4阐述的是直线平行关系的传递性，无论在平面内还是在空间中都成立，故③为真命题；④在平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线，不一定平行，故④为假命题；⑤为真命题．

9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.

答案：M ∈FH

解析：∵HN ∥DB ，FH ∥D 1D ，∴面FHN ∥面B 1BDD 1.故M ∈FH . 三、解答题(10、11题12分、12题13分)

10. [改编题]如图，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊1

2

AF ，G 、H 分别是F A 、FD 的中点．

(1)证明：CH ∥平面BEF A ；

(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)由题意，知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 綊12

AD .

又BC 綊1

2

AD ，故GH 綊BC ，

所以四边形BCHG 是平行四边形．

所以CH ∥BG ，又CH ?平面BEF A ，BG 平面BEF A ， 所以CH ∥平面BEF A .

(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下： 由BE 綊1

2AF ，G 是F A 的中点知，BE 綊GF ，

所以四边形BEFG 为平行四边形，所以EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC ，FH 共面． 又点D 在直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．

11. [2011·江苏]如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：

(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .

证明：(1)在△P AD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD . 又因为EF ?平面PCD ，PD 平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD .

(2)连结BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD .

因为平面P AD ⊥平面ABCD ，BF 平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以BF ⊥平面P AD .

又因为BF 平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面P AD .

12．一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、SC 的中点，P 是SD 上的一动点．

(1)求证：BP ⊥AC ；

(2)当点P 落在什么位置时，AP ∥平面SMC? (3)求三棱锥B －NMC 的体积．

分析：本题考查三视图与直观图，线面垂直与平行的判断、证明．

解： (1)连接BD ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，又SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥AC ，∵BD ∩SD ＝D ，∴AC ⊥平面SDB ，∵BP 平面SDB ，∴AC ⊥BP .

(2)取SD 的中点P ，连接PN ，AP ，MN ，则PN ∥DC 且 PN ＝1

2DC .

∵底面ABCD 为正方形，∴AM ∥DC 且AM ＝1

2DC ，

∴AM 綊PN ，∴四边形AMNP 为平行四边形，∴AP ∥MN . 又AP ?平面SMC ，MN 平面SMC ，∴AP ∥平面SMC .

(3)V B －NMC ＝V N －MBC ＝13S △MBC ·12SD ＝13·12·BC ·MB ·12SD ＝16×1×12×12×2＝1

12

.