求数列通项公式的十种方法

海壁：求数列通项公式常用方法

1． 观察法（求出a 1、a 2、a 3，然后找规律）

即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。 例1.设11=a ，)(222

1*+∈++-=

N n b a a a n n n ，若1=b ，求32,a a 及数列}{n a 的通项公式．

解：由题意可知：11111+-==a ，

112212212

12+-==++-=a a a ，

1131212222

23+-=+=++-=a a a .

因此猜想11+-=

n a n .

下面用数学归纳法证明上式． （1）当n ＝1时，结论显然成立． （2）假设当n ＝k 时结论成立，即11+-=k a k .

(3)则11)1(11)1(11)1(12222

1+-+=++-=++-=++-=

+k k a a a a k k k k ，

即当n ＝k ＋1时结论也成立．

由（1）、（2）可知，对于一切正整数n ，都有)(11*∈+-=N n n a n ．（最后一句总结很重要）

2． 定义法（已知数列为等差或者等比）

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。 例2.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=，求{}n a 的通项公式。 解：设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =.

又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =L .

3．公式法

若已知数列的前n 项和与的关系，求数列的通项可用公式

求解。

（一定要讨论n=1，n ≥2）

例3.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23 3.n n S =+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式。

解：（Ⅰ）由 233n

n S =+

可得：当1=n 时， 111

(33)32a S ==+=， 当2≥n 时，11

111(33)(33)3(2)22

n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥

而 11133a -=≠，

所以 1

3,1,3, 1.n n n a n -=?=?>?

n s n a {}n a n a

4．累加法

当递推公式为)(1n f a a n n +=+时，通常解法是把原递推公式转化为。

例4.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列{a n }的前10项和为 解：由题意得：

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ 12)1(+++-+=Λn n 2

)1(+=

n n

5．累乘法

当递推公式为)(1n f a a n n =+时，通常解法是把原递推公式转化为)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例5.已知数列满足，求的通项公式。 解：由条件知 ，

在上式中分别令)1(,,3,2,1-=n n Λ，得1-n 个等式累乘之，

即 n

n a a a a a a a a n n 1

4332211342312-?

???=????-ΛΛ， 即 n a a n 11= 又 321=a Θ n a n 32

=

∴

6.构造法（拼凑法）-共5种题型，第2、3种方法不必掌握

当递推公式为q pa a n n +=+1（其中q p ,均为常数，且0)1(≠-p pq ）时，通常解法是把原递推公式转化为

)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=

1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例题：已知数列}{n a 满足13,111+==+n n a a a ，求}{n a 的通项公式。

解：由 131+=+n n a a 得 )2

1

(3211+=++n n a a

又 23211=+a 所以}2

1

{+n a 是首项为23，公比为3的等比数列

所以 23323211n n n a =?=+- 因此数列}{n a 的通项公式为2

1

3-=n n a .

2、当递推公式为)0,,(1≠++=+pk b k p b kn pa a n n 均为常数，且其中时，通常解法是把原递推公式转化为

)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，其中y x ,的值由方程??

?=--=-b

y x py k

x px 给出。（了解即可，不必掌握） 例题：在数列}{n a 中，=2，=，

求数列}{n a 的通项。

解：由 1341+-=+n a a n n

得 )(4)1(1n a n a n n -=+-+

又 111=-a 所以数列}{n a n -是首项为1，公比为4的等比数列 所以 14-=-n n n a ，即 n a n n +=-14.

1()n n a a f n +-={}n a 112,31n n n a a a n +=

=+n a 11

n n a n

a n +=+1a 1n a +431

n a n -+n a

3、当递推公式为n

n n c pa a +=+1（其中c p ,均为常数，且0≠pc ）时，通常解法是把原递推公式转化为

c c a c p c a n n n n 111+?=++。①若c

p =，则c

c a c a n n n n 111=-++，此时数列}{n n c a 是以c a 1为首项，以c 1

为公差的等差数列，则c

n c a c a n

n 1)1(1?-+=，即11)1(--+=n n c a n a 。②若c p ≠，则可化为)1)((11p c t t c a c p t c a n n n n -=-=-++其中形式求解。（了解即可，不必掌握）

例题：已知数列{}中，=1，=，求数列的通项公式。 解：由 n

n n a a 321+=+

得 )3(2311n n n n a a -=-++

所以数列是首项为=，2=q 的等比数列

所以 = ， 即 =

4、当递推公式为（s q p ,,为常数，且0≠pqs ）时，通常两边同时取倒数，把原递推公式转化为

p q pa s a n n +=+11。①若s p =，则}1{n a 是以11a 为首项，以p

q 为公差的等差数列，则p q

n a a n ?-+=)1(111，即

11)1(pa n q a p a n -+=。②若s p ≠，则可转化为)1

(11t a p s t a n n -=-+（其中s

p q t -=

）形式求解。 例10.已知数列{}满足，且（），求数列{}的通项公式。

解：原式可变形为

两边同除以3得

构造新数列，使其成为公比=q 的等比数列

即

整理得

满足⑴式使 ∴ ∴数列是首项为，q= 的等比数 ∴ ∴。

5、当递推公式为=p q +（q p ,均为常数）

（又称二阶递归）时，将原递推公式=p q +转化为-＝（-）.其中、由解出，由此可得到数列｛-｝是等比

数列。

例题：设数列

的前

项和为

，

．已知，

，

，且当

时，

．证明：

为等比数列；

证明：因为 )

2(854112≥+=+-++n S S S S n n n n

所以 )2(44441112≥-=-+-+-++n S S S S S S n n n n n n 即 )2(4412≥=+++n a a a n n n 因为 21344a a a =+ 所以 1

244++=+n n n a a a

因为

21)2(22242424242121

1111111211

2=--=---=--=--+++++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a 所以数列}21{1n n a a -+是以1

2

112=-a a 为首项，以21为公比的等比数列。

n a 1a 1n a +23n

n a +{3}n

n a -1

13a -2-3n n a -1

22n --?n a 32n n -1n

n n pa a qa s

+=

+n a 132a =11321

n n n na a a n --=+-2n ≥n N *

∈n a 112(1)3n n n n a a n a na --+-=1n n a a +111233n n n n a a --=+{}n

n

a λ+13111()3n n n n a a λλ--+=+112

33

n n n n a a λ--=-2233λ-=1λ=-{1}n n a -11113a -=-1311111()()333n n n n a --=-=-331n

n n n a ?=-2n a +1n a +n a 2n a +1n a +n a 2n a +α1n a +β1n a +αn a αβp

q αβαβ+=??=-?1n a +αn a