知识讲解_《函数》全章复习与巩固_ 提高

《函数》全章复习与巩固

编稿：丁会敏审稿：王静伟

【学习目标】

1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；

2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；

4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；

5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；

6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：关于函数的概念

1．两个函数相等的条件

用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．

2．函数的常用表示方法

函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．

3．映射

设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原

f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()

合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域

函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其

题型主要有以下几种类型：

（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域；

（2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ?的定义域，其实质是由()x ?的取值范围，求出x 的取值范围；

（3）已知[]()f x ?的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ?的取值范围． 5．函数的值域

由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域．函数值域的求法：

（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；

（2）形如y ax b =+t =域（注意0t ≥）；

（3）形如(0)ax b

y c cx d +=

≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ??≠

???

；（4）形如22

ax bx c

y mx nx p

++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式

函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．

求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．

要点二：函数的单调性

（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．

（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．

（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．

与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．

要点三：函数的奇偶性

（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．

（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．

（3）奇、偶性图象的特点

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．

要点四：图象的作法与平移

（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象．要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数

(0)y kx b k =+≠，其中y k x

?． 2．二次函数

二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2

(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．

对于二次函数2

24()()24b ac b f x ax bx c a x a a

-=++=++．当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b a a ??-- ???

；对称轴为2b

x a =-；()f x 在,2b a ??-∞- ???上是单调递减的，在,2b a ??

-+∞????

上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值2

44ac b a

-．当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b a

a ??-- ???；对称轴为2b

x a =-

；()f x 在

,2b a ??-∞- ???上是单调递增的，在,2b a ??

-+∞????

上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值2

44ac b a

-．要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）

（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；

（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；

（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：

要点七：函数与方程

（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点．（2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．

（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0

f a f b ?<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．

（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．

判断函数在某区间有零点的依据：

对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．

对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于

0．

（5）在实数范围内，二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．

①0?>，方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0?=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0?<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点．【典型例题】

类型一：映射

例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--．（1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象；（2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；

（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．

【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b 2－4a ≥0；（3）b 2=4a 【解析】

（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象，

于是34xy x y -=??-=-?，解得13x y =-??=?或31x y =-??=?

，

∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）．（2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ），应满足 xy a x y b -=??

-=?①②

由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．

∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．

（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象．【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．

举一反三：

【变式1】已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2

{4,1}M a a =--，2

{41,2}N b b =-+-，

:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】 D

【解析】由已知可得M=N ，故222242420

411420a a a a b b b b ??-=--+=?????-+=--+=???

?，a 、b 是方程x 2－4x+2=0

的两根，故a+b=4．

类型二：函数的概念及性质

【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )

A ．12(||)(||)f x f x <

B ．21()()f x f x ->-

C ．12()()f x f x <-

D ．12()()f x f x -> 【答案】D

【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．

【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．

举一反三：

【变式1】（1）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（）

A ．(25)(11)(80)f f f -<<

B ．(80)(11)(25)f f f <<-

C ．(11)(80)(25)f f f <<-

D ．(25)(80)(11)f f f -<< （2）定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有

2121

()()

0f x f x x x -<-，则（）

A ．(3)(2)(1)f f f <-<

B ．(1)(2)(3)f f f <-<

C ．(2)(1)(3)f f f -<<

D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】（1）D （2）A

【解析】（1）由函数()f x 是奇函数且()f x 在[0，2]上是增函数可以推知()f x 在[－2，2]上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-?-=--=，故函数()f x 以8为周期，(25)(1)f f -=-，

(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．故选D ．

（2）由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．

例3

．设函数()0)f x a =

<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个

正方形区域，则a 的值为（）

A ．－2

B ．－4

C ．－8

D ．不能确定【答案】 B

【解析】依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且

12()()0f x f x ==

，2

2140)x x b ac a

->-

，()f x =的最大值

是=s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t

取遍????中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此

有

0a =>-

，

a -=a ＜0，因此a=－4，选B 项．

举一反三：

【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)

()1

f x

g x x =

-的定义域是（） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1）【答案】 B

【解析】要使()g x 有意义，则22

x x x ≤≤??

-≠?，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．

例4．设函数()|24|1f x x =-+．（1）画出函数()y f x =的图象；

（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围．【答案】（1）右图；（2）1

(,2)[,)2

-∞-+∞ ．

【解析】（1）由于25, 2

()23, 3x x f x x x -+

，则函数()y f x =的图象如图所示．

（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当1

a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1

(,2)[,)2

-∞-+∞ ．

举一反三：

【变式1】对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ?-?=??-?a b

a b

≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,

且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.

【答案】

116

（）【解析】由定义运算“*”可知 22

2112()0(21)(21)(1),21148

()=11(1)(21)(1),211()024x x x x x x x f x x x x x x x x ?--≤??-----≤-??=??------???--+??，＞＞,画出

该函数图象可知满足条件的取值范围是

）. 【变式2】设函数21

(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x

=+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（） A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+> B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+< C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+< D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+> 【答案】B

【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当0

条件,则有如图,做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --,由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ,同理当0>a 时,则有0,02121>+<+y y x x ,故答案选B. 例5．已知函数2

()a

f x x x

（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．

【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．

【答案】（1）当a=0时，为偶函数；当a ≠0时，既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）（－∞，16]．

【解析】（1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22

()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．

当a ≠0时，2()a