大跨预应力混凝土框架结构的静力弹塑性pushover分析

收稿日期:2003-11-20;　修回日期:2004-02-05

作者简介:熊学玉(1962-),副教授,博士,现从事混凝土及预应力混凝土结构设计理论、结构抗震性能和结构补强与加固检测理论及工程

应用研究.

文章编号:100021301(2004)0120068208

大跨预应力混凝土框架结构的静力

弹塑性(pushover )分析

熊学玉1,李春祥2,耿耀明1,黄鼎业1

(1.同济大学土木工程学院,上海200092;2.上海交通大学建筑工程与力学学院,上海200030)

摘要:基于美国规范AT C -40和N2方法,建立了大跨预应力混凝土框架结构竖向地震反应的静力弹塑性(pushover )分析方法。编制了预应力混凝土构件截面弯矩-曲率的计算程序。这些为评价大跨预应力混凝土框架结构的竖向抗震能力提供了有益的参考。结合具体工程实例进一步说明了该方法的实施步骤。

关键词:预应力混凝土;竖向地震反应;静力弹塑性分析;能力谱方法中图分类号:T U311;P315.96 文献标识码:A

N onlinear static procedure (pushover analysis)of

large 2span prestressed concrete structures

XI ONG Xue 2yu 1,LI Chun 2xiang 2,GE NG Y ao 2ming 1,H UANG Ding 2ye 1

(1.School of Civil Engineering ,T ongji University ,Shanghai 200092,China ;2.School of Civil Engineering

and M echanics ,Shanghai Jiaotong University ,Shanghai 200092,China )

Abstract :Based on ATC 240and N2method ,the nonlinear static procedure (pushover analysis )was developed for coping with the vertical seismic response of large 2span prestressed concrete frame structures.A com putational program was devel 2oped to deal with the relationship between the section 2m oment and the curvature in the prestressed beams.These render a beneficial reference to evaluate the anti 2earthquake performance of large 2span prestressed concrete frame structures.Further ,a practical engineering is used to dem onstrate the application of proposed nonlinear static procedure.K ey w ords :prestressed concrete ;vertical seismic response ;nonlinear static procedure ;capacity spectrum method

1　前言

由于强烈地震具有较长的重现周期,要使所设计的结构在未来可能遭遇的强烈地震下不发生损坏是不

实际的。因此,地震研究工作者在大量调查研究基础上提出了“小震不坏、中震可修、大震不倒”的设防思想。在结构抗震设计中,特别重视“大震不倒”这一设计原则。因此,需对结构进行弹塑性地震反应分析。地震反应时程分析法被认为是结构弹塑性分析的最可靠方法,许多国家已将其纳入规范。但是,时程分析方法应用于规范仍然有许多没有解决的问题。近年来,国外学者提出了在结构抗震设计中采用静力弹塑性(pushover )的分析方法。该方法是基于结构在预先假定的一种侧向力分布作用下,考虑结构中的各种非线性因素,逐步

第24卷第1期2004年2月

地　震　工　程　与　工　程　振　动

E ARTH QUAKE E NGI NEERI NG AND E NGI NEERI NG VI BRATI ON

V ol.24,N o.1

Feb.2004

增加结构的受力,直到结构达到预定的破坏(成为机构或位移超限),在这个分析过程中,得到结构的力与变形的全过程曲线。尽管侧向分布力是一种静力荷载,但在整个分析过程中可以近似反映结构在地震作用下某一瞬间的动力响应[1～3]。目前,有关pushover 分析方法的研究均是求解结构在水平地震作用下的弹塑性反应,本文基于pushover 分析方法的基本思想,将其应用于预应力井式梁框架结构的竖向弹塑性地震反应分析。

2　预应力的考虑

同普通钢筋混凝土受弯构件相比,预应力混凝土受弯构件的受力特性:(1)未受外荷载时,预应力混凝土受弯构件中已有应力,而普通钢筋混凝土受弯构件未受荷载时应力则为零。(2)预应力混凝土受弯构件中一般采用高强钢材,其特点是无明显屈服台阶,钢材进入塑性后,其应力随变形增长而提高是未知量,需要给定钢材应力应变曲线后才能进行截面分析。而在普通钢筋混凝土受弯构件中,一般均采用有明显屈服台阶的软钢,钢材应力可以由平截面假定和理想弹塑性材料应力应变假定确定。从上述受力特性,求解预应力混凝土构件的弯矩-曲率关系基本思想可描述为:将预应力的作用分成两阶段:第一阶段是由张拉到有效预应力σpe 的建立,这一阶段运用等效荷载的思想,将预应力作用等效为外荷载施加到结构上;第二阶段是将预应力筋当作相同位置处、相同面积的受拉屈服应力为f py -σpe 的非预应力钢筋,连同额外配置的普通钢筋一起为构件提供抗力,此时按压弯构件计算截面的弯矩-曲率关系[4,5]。

3　预应力作用的等效荷载法

等效荷载法的原理,是将预应力筋和锚具与结构脱离。而把他们的作用替换为等效荷载,并把这些等效荷载如同外加荷载一样施加到结构上,用以计算结构在预应力作用下的内力。等效荷载由两部分组成,其一是通过预应力锚具作用于锚固点的荷载,一般称其为节点等效荷载;其二是由于预应力筋线形改变在构件上产生竖向、水平及扭转的集中和分布荷载,一般称其为线形等效荷载或等效荷载。在预应力作用下,预应力筋和相应的混凝土构件(包括非预应力筋)组成了一个受力自平衡的体系,或者说在等效荷载反力作用下的预应力筋自身是平衡的,因此其等效荷载属于一种自平衡力系。下面以曲线预应力筋为例说明等效荷载的基本原理。曲线预应力筋在预应力结构中是最常用的线形,一般常用圆弧线或二次抛物线。图1为一简支梁,配置了抛物线形筋,跨中垂度(矢高)为f ,预应力筋的抛物线方程为:

y p (x )=

4f

L

2

x 2-

4f -e B +e A

L

x +e A (1)

根据材料力学原理知弯矩和分布荷载(设向下为正)的关系为:

q e (x )=-d 2M p

d x 2

(2)

显然,预应力的作用可等效地化为外荷载:

q e (x )=-d 2M p d x 2=-d 2

d x 2

N p (x )y p (x )+ax +b

=-d 2

d x 2

N p (x )y p (x )(3)

式中:M p 为预应力引起的变矩;a 和b 为弯矩M p 的待定参数。由图1,当沿预应力筋的预加力为定值N p 时,则将式(10)代入式(20)即可得:

q e (x )=-N p d 2d x 24f L 2x 2-4f -e B +e A

L x +e A

=-8N p f L 2

(4)

式(4)中右边的负号表明,当二次曲线向上凹时,等效线荷载的方向也向上,反之亦然。结点等效荷载计算起

来比较直观,如图2所示。

N p x =N p cos α;N p y =-N p sin α;M p =N p x e A =N p e A cos α

(5,6,7)

式中;N p 、e A 和α分别为锚固点处预应力筋的有效预应力、预应力筋在节点处的偏心值和该点处预应力筋曲

9

61期 熊学玉等:大跨预应力混凝土框架结构的静力弹塑性(pushover )分析

线切线与构件轴线(x 轴方向)的夹角

。

图1　二次抛物线形布置预应力筋图2　锚固点处的节点等效荷载

4　弯矩-曲率关系

图3混凝土单轴受压的应力-应变曲线

4.1　材料本构关系

混凝土单轴受压应力-应变曲线方程可表示为(参见图3):

y =αa x +(3-2αa )x 2+(αa -2)x 3

　(x Φ1)

(8)y =

x

αd (x -1)2

+x

(x >1)

(9)

式中:x =εεc

;y =σ

f 3c ;αa 和αd 为混凝土单轴受压应力-应变曲线

上升段和下降段的参数(表1);f 3c 为混凝土单轴抗压强度(f ck 、f c 或

f cm );εc 为与f 3c 相应的混凝土峰值压应变(表1)。

表1

混凝土单轴受压应力-应变曲线的参数值

f 3c /(N ?mm -2)

15202530354045505560εc (×

10-6)1370147015601640172017901850192019802030αa 2.212.152.092.031.961.901.841.781.711.65αd 0.410.741.061.361.651.942.212.482.743.00εu /εc

4.2

3.0

2.6

2.3

2.1

2.0

1.9

1.9

1.8

1.8

注:εu 为应力-应变曲线下降段上应力等于0.5f 3

c 时的混凝土压应变。

普通钢筋的本构关系(参见图4)为:

σs =E s ?εs

|εs |<εsy

f y

εsy Φεs Φεsh f y +γ?E s ?(εs -εsh )

εsh Φεs <εsu 0

εsu Φ|εs |

-f y

-εsu Φεs <-εsy

(10)

式中:γ-普通钢筋的硬化系数。

预应力筋的本构关系(参见图5)为:

σp =

E p ?εp

εpy -εpe >εp

f py -σpe +

f pu -f py

εpy -εpu

?(εp +εpe -εpy )εpy -εpe Φεp <εpu -εpe

E p ?εp

-0.002Φεp Φ0

f py

εp <-0.002

(11)

式中:σpe 为预应力钢筋的有效预应力,εpe 为与有效预应力相应的预应力钢筋应变。

值得指出的是,由于在计算构件的弯矩-曲率关系时,已考虑了构件“反向”弯曲产生的预应力筋的应变变化,因而,与通常的有效预应力的计算方法不同,在计算有效预应力σpe 时,预应力总损失中不包含混凝土弹性压缩产生的预应力损失。

07 地　震　工　程　与　工　程　振　动 24卷

图4　普通钢筋的本构关系 图5　预应力筋的本构关系

4.2　计算假定

计算假定:(1)受力前后,截面变形服从平截面假定。(2)钢筋与混凝土的粘结良好,一方面两者在受力后的应变变化相同,另一方面,钢筋不会发生粘结滑移。(3)结构各杆件具有足够的抗剪强度,即:梁截面发生弯曲破坏,柱则因压弯而破坏。对于按“强剪弱弯”原则设计的结构,这一假定是合理的。(4)不考虑剪切变形的影响。(5)应力、内力、变形等均以拉为正,压为负。曲率、弯矩、转角等则以顺时针为正、逆时针为负。4.3　截面分层

图6所示为矩形钢筋混凝土构件在正截面受力作用下截面的应变、应力分布。为了能进行数值计算,将混凝土的截面分成有限条带,并假定每一条带上的应力σc ,i 均匀分布,混凝土和钢筋的应力均以压力为负,拉力为正。在条带划分时,为了能使计算模型中截面上应力分布接近实际情况,一般采用多条带划分。根据平截面假定可得截面曲率为:

φ=(ε′

c +εs )/h 0

(12)

式中:ε′

c 为截面受压区边缘混凝土应变;εs 为受拉钢筋应变;h 0为截面有效高度;φ为截面曲率

。

图6　预应力矩形截面梁应变和应力图

截面上任意一条条带的应变为:εc ,i

εc ,i =φ

y i -ε(13)

式中,y i 为任意一条带的高度距截面中心轴处的距离(截面中心轴以上为正,以下为负)。按前述的混凝土、

普通钢筋和预应力钢筋的应力-应变关系,可得截面上任一条带的混凝土和钢筋的应力σc ,i ,σ′s ,σs 及σp 。

则每一条带上作用的力为:

N i =bd i σc ,i =ΔA σc ,i ;N ′s =A ′s σ′

s ,N s =A s σs ;N p =A p σp

(14,15,16)

每一条带上混凝土及钢筋对截面高度h/2处的力矩为:

M i =N i y i ,M s =N s y s ,M ′

s =N ′s y ′

s ,M p =N p y p

(17)

根据力的平衡条件可以得到:

1

71期 熊学玉等:大跨预应力混凝土框架结构的静力弹塑性(pushover )分析

N =

∑

n

i

σc ,i

ΔA i

+σ′s A ′

s -σs A s -σp A p

(18)

根据力矩的平衡条件可以得到:

M =

∑n

i

σc ,i ΔA i y i +σ′s A ′s (h 2-a ′

)+σs A s (h 2-a )+σp A p (h 2-a p )(19)

4.4　弯矩-曲率计算

弯矩-曲率求解,主要是求得弯矩和曲率的对应关系,因此首先从弯矩或曲率两者之间选定一个作为已

知,来确定另一个。由于弯矩-曲率存在着下降段,某些区段的弯矩值对应两个曲率,为了方便起见,可先假

定曲率为已知,然后求相应的内力,具体求解步骤如下:(1)取曲率φ:=φ+Δ

φ;(2)假定梁截面受压区边缘的混凝土应变ε′

c ;(3)求各混凝土条带和钢筋的应变;(4)按混凝土和钢筋的应力-应变关系求与应变相对

应的应力值;(5)按式(18)求内力总和,判别是否满足平衡条件;(6)若不满足平衡条件,则需调整应变值ε′c ,重复步骤(3)～(5);(7)满足平衡条件后,按式(17)求内力弯矩,从而得出φ所对应的弯矩M ;(8)循环步骤(1)～(7),直至得出整个的M -φ关系。

5　预应力梁临界截面的极限塑性角

对结构进行pushover 分析时,假定构件塑性铰处的转角集中在塑性铰长度范围内弯矩最大的截面处,此截面称为临界截面。塑性铰处的极限塑性转角可以表示为:

θp =(φu -φy )l p

(20)

式中:φu 为临界截面的极限曲率,φy 为临界截面的屈服曲率,l p 为塑性铰区长度。

本文采用文献[6]中钢筋混凝土压弯构件塑性铰区长度的计算公式求解预应力混凝土梁塑性铰区长度。

l p =21-0.5μs f y -μ′s f ′

y +

N bh

f c h 0

(21)

式中:μs 为受拉钢筋配筋率,f y 为受拉钢筋屈服强度,μ′s 为受压钢筋配筋率,f ′

y 为受压钢筋屈服强度,N 为预应力筋产生的等效轴向荷载,b 为预应力梁宽度,h 为预应力梁高度,f c 为混凝土轴心受压强度,h 0为梁截面

有效高度。

6　算例分析

某单层大跨预应力混凝土井式梁框架结构(如图7),跨度为36m ×36m ,主梁为后张有粘结预应力梁,截面尺寸均为550mm ×1800mm ,周边框架柱的截面尺寸均为1000mm ×1000mm ,预应力梁与框架柱的连接为整浇刚接节点。为减小板跨,预应力梁之间设非预应力次梁,截面均为250mm ×600mm ,井式梁框架的边梁尺寸均为250mm ×700mm 。结构层高10.0m ,板厚100mm 。混凝土强度等级均为C40。恒荷载除考虑结构自重外,还包含100mm 厚细石混凝土面层;活荷载为2000N/m 2。分析结构在Ⅳ类场地、9度罕遇地震作用下的竖向弹塑性地震反应。预应力筋采用

力筋张拉控制应力σcon =0.75f ptk =1395N/mm 2

,经计算,预应力损失值为张拉控制应力的30%,则有效预应力σp =977N/mm 2。通过静力计算,确定预应力主梁、边梁、柱的配筋见表2,预应力筋线形及相应等效荷载见图8。

在pushover 分析中,随着荷载的增大,预应力梁各截面依次形成塑性铰。根据预应力梁的截面尺寸、配

筋及材料强度值,可计算出各临界截面的弯矩-曲率关系及相应的极限塑性转角。图9为其中有代表性的支座和跨中截面的弯矩-曲率关系曲线,因结构的pushover 分析主要针对罕遇地震作用,故计算时材料强度取标准值。由式(21)可计算出预应力梁塑性铰区长度l p =3.210m ,跨中和支座的极限塑性转角分别为:0.012和0.0066。

27 地　震　工　程　与　工　程　振　动 24卷

表236m 跨预应力井式梁结构构件配筋

非预应力筋

上部纵筋

下部纵筋

预应力筋

箍 筋主梁10Φ2510Φ2530Φs 15.2

Φ/2@100/200(4)边梁3Φ25

3Φ22

———Φ10@100/200(2)柱

60Φ25

———

Φ/2@100/200(6

)

图736m

跨预应力井式梁框架结构平面图

图8预应力筋线形及等效荷载图

选定预应力井式梁框架结构的中点D (参见图7)作为特征点,在pushover 分析的加载过程中,当特征点达到给定位移限值或结构出现足够多的塑性铰使结构整体或局部形成机构时结束分析,具体的判别有两个准则:(1)某一轮在给定的竖向分布力作用下,计算出的特征点的竖向位移有非常大的数值,说明结构已形成

机构,无法继续承载。

(2)考察已有的研究结果,取位移限值为L/50(L 为预应力井式梁的跨度),当某一轮中3

71期 熊学玉等:大跨预应力混凝土框架结构的静力弹塑性(pushover )分析

图9　36m 跨预应力井式梁临界截面弯矩-曲率关系

图1036m 跨预应力井式梁竖向

pushover 分析曲线结构的特征点位移达到位移限值时,结束分析。大跨预应力井

式梁框架结构的竖向pushover 分析的关键之一就是选择一种合适的竖向力分布模式,使pushover 分析的结果能够最大限度地体现结构在实际地震作用下的内力和变形的分布。一般所选择的荷载模式要能够体现和包络设计地震作用下结构上惯性力的分布。当结构处于弹性反应阶段时,地震惯性力的分布主要受地震频谱特性和结构动力特性的影响,而当结构进入非线性阶段以后,惯性力的分布形式还将随着非线性变形的程度和地震的时间过程而发生变化。对于受高振型影响较弱,且在不变荷载形式作用下可产生唯一屈服机制的结构,一般可以假定结构的竖向力分布模式在地震反应过程中保持不变。对大跨预应力

混凝土井式梁框架结构,其竖向地震反应以一阶振型为主,因而

在本算例的pushover 分析中,取竖向一阶振型作为竖向力的分

布模式。结构的竖向pushover 分析曲线参见图10。图中等效双线型pushover 分析曲线基于以下条件获得:(1)两条曲线在60%屈服强度点处相交;(2)双线型结构屈服后的刚度为其弹性刚度的10%;(3)双线型曲线

所包围的面积与多折线包围的面积相等。双线型pushover 分析曲线的屈服强度F y =7323kN ,屈服位移D y =

100.1mm 。由结构的竖向一阶振型及质量矩阵求得能力谱转换系数α1=773936kg ,α2=1.768,则根据文献[7

\〗将pushover 分析曲线转化为能力谱曲线。按照纵坐标为加速度谱(S a )、横坐标为位移谱(S d )的格式将双线型能力谱和弹性需求反应谱绘在一起(参见图11)。双线型的能力谱曲线屈服点的谱强度S ay =0.96551g ,谱位移S dy =0.05661m ,则等效单自由度体系的弹性周期T =2

πS dy

S ay

=0.486s ,其弹性地震反应(图11中能力谱虚线延长线与需求谱的交点)S ae =1.28219g ,S de =0.07518m 。强度缩减系数R μ=S ae

S ay

=1.328。由式(5.20)得:μ=1+(R μ-1)

T 0T =1+(1.328-1)0.650.486=1.44,则S d =μR μS de =1.441.328

×0.07518m =0.0815m ,相应的竖向地震反应在预应力井式梁跨中点D 产生的位移D =0.0815×1.768=0.144m ,总位移D =0.122+

0.144=0.266m 。预应力井式梁框架结构的竖向弹塑性地震反应过程中的出铰过程(参见图12)。具体描述为:(1)在静荷载和预应力等效荷载作用下,D 点的竖向位移为0.122m ;(2)施加竖向地震力,框架中柱柱头出现第一批塑性铰,此时D 点的竖向位移为0.159m ;(3)增大竖向地震力,第二批塑性铰出现,此时D 点的竖向位移为0.217m ;(4)继续增大竖向地震力,第三批塑性铰出现,此时D 点的竖向位移为0.258m ;(5)继续增大竖向地震力,未产生新的塑性铰,但第一批塑性铰的转角有较大的增加,柱头处的临界截面破坏严重,此时D 点的竖向位移为0.358m ;(6)竖向地震力继续增大,此后变形集中在井式梁跨中局部区域,直至中点

D 处的临界截面完全破坏,此时D 点的竖向位移为0.363m 。从以上各位移值可以看出,结构的竖向弹塑性

地震反应处于第4阶段末、第5阶段的起始处。

47 地　震　工　程　与　工　程　振　动 24卷

图11　

需求与能力谱曲线图1236m 跨预应力井式梁结构出铰过程

7　结论

预应力作用可分成两阶段:第一阶段运用等效荷载的思想,将张拉到的有效预应力σpe 等效为外荷载施加到结构上;第二阶段是将预应力筋当作相同位置处、相同面积的受拉屈服应力为f py -σpe 的非预应力钢筋,连同额外配置的普通钢筋一起视为构件提供抗力,此时按压弯构件计算截面的弯矩-曲率关系。因而在结构的pushover 分析中可以处理预应力的作用,将pushover 分析推广应用到预应力混凝土结构的弹塑性地震反应分析中。算例表明,pushover 分析方法可用以计算大跨预应力混凝土井式梁结构的竖向弹塑性地震反应,了解构件塑性铰的出现顺序,掌握结构的破坏形态和破坏时各构件所处的状态。

参考文献:

[1]　H K rawinkler and G DPK Seneviratna.Pros and cons of a pushover analysis of seismic performance evaluation[J ].Engineering S tructure.1998;20(4-6):

452-464.

[2]　ATC -40.Seismic evaluation and retrofit of concrete buildings[R].Applied T echnology C ouncil.Red W ood City ,California ,1996.

[3]　FE M A274.NEHRP commentary on the guidelines for the rehabilitation of buildings[S].Federal Emergency M anagement Agency ,W ashington ,D.C.Oc 2

tober ,1997.

[4]　李国平,主编.预应力混凝土结构设计原理[M].人民交通出版社,2000,10.

[5]　王淑波.大型桥梁抗震反应谱分析理论及应用研究[M].同济大学博士学位论文,1997,3.[6]　朱伯龙,董振祥.钢筋混凝土非线性分析[M].同济大学出版社,1985.

[7]　耿耀明.大跨预应力混凝土井式梁空间框架结构的竖向弹塑性地震反应分析[M].同济大学博士学位论文,2002,12.

[8]　P Fajfar and M Fischinger.N2-a method for non -linear seismic analysis of regular structures[A].Proceedings of the Ninth W orld C on ference on Earth 2

quake engineering[C].T oky o -K y oto ,Japan ,1988.

5

71期 熊学玉等:大跨预应力混凝土框架结构的静力弹塑性(pushover )分析