基本不等式所有题型专题

基本不等式所有题型专题
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1. 求函数1

(3)3

y x x x =+>-的最小值

2.

练习02,()x f x <<=求函数

3. 28

(1)1

x x x +>-求函数y=

的最值

4.

练习:25

y x =+求函数

5.

2求函数

6. 1

y

+1已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值x

7. 求函数1

(2)2

y x x x =+>-的最小值

8. R +

∈(2x+3)(y+2)=16(x,y )求2x+y 的最小值

9. 239

(0)x x x x

++>y=

的最小值

10. 28

(1)-1

x x x +>y=

的最小值 11.

12. 21

49

x x x +++y=(x>-1)的最值

13. 22

1

1

x x x +++y=(x>0)的最大值

14. ()9R a a b c bc +∈+++=a,b,c 且求2a+b+c 的最小值

15. 22412R ab ac bc +

∈+++=2

a,b,c 且a 求a+b+c 的最小值

16. 22

34

24

x x x x ++++y=(x>0)

17. 41

7R x y x y

+

∈+=+x,y 且,最小值

18. 21

R x y

+

∈+x,y 且=2求x+2y 最小值

19. ≥1a

已知(x+y)(+)9恒成立,求正数a 的最小值x y

20. 1(0)m a b c m b c a c

+≥>>>--1恒成立求的最大值a-b 21. 1(15)5x x

+<<-1最小值x-1

22. y=x(x-9)(0

23. -9y=x(92x)(0

24.

2

2

1,,,2

n m m n R ++=∈求

25.

22

34

a b R +

∈+a,b 且

=1求

26.

2

2

2,,,3

n m m n R ++=∈求2

27. ,R xy +∈2x+y+6=xy,x,y 最小值

练习:

⒈.,R +

∈2

(x+y )

已知x,y 求

最小值xy

2.4x +9

求的取值范围x

3.x +4

知x>6求的最小值x-6

4. 222

+2a b c R ab bc

+

+∈+a,b ,c 求

最小值

5. 2234

a b R +

∈a,b ,c 且+=1求

6. 4,R x +

∈9

已知x,y +=1求x+2y 的最小值y

7. ,R ab a b +

∈=+5

a,b 且a+b+求的最小值4

8. 1,+R x +

∈≥1m 已知x,y +0恒成立,求m y x+y

9. 19(19,2),1

a x a a x -+≥<<>-a 求的最小值9-x

10. 41

t t

-+2t t>0,y=

的最小值

11. 22

929

k k

++4k y=的最小值

12.312

x ++2x-1

x>1求y=的最大值x

13. 21

1

x x ++++22

x x>0,求y=的最大值x

14. 33

1

x x ++≥+2x x 6,求y=

的最小值

15. 1-1

x +-11

16. 求11(0)()

a b ab a a b ++>>-2

a 的最小值

17. 1)a <<求的最大值

18. 11)b -<<求的范围

19. 222545,xy y x y -+=+24x 求最值

20. 3x x +12

x>0时,求的最小值及此时的值x

21. (1)3x +12

求的取值范围x

(2) 3x +12

求的最小值x

练习:

1. ,4,55x

y

x y R x y ∈+=+设且则的最小值是() A.9 B.25 C.50 D.162

2. 1

0,(13)3

x x x x <<

-已知则取最大值时的值是() A. 13 B. 16 C. 34 D. 23

31(lg lg ),lg(

),22

a b

a b R +=+=若则()

A. R

B. P

C. Q

D. P

1,R x y x y

+

∈+=+设x,y 且

则的最小值___________ 5. 若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围_______

6. 2

2

1,2

y R x +

∈+=设x 且求 7. 271y

++x 已知x+3y-2=0,求3的最小值

8. ≠a 函数y=log (x+3)-1(a>0,且a 1)的图像恒过定点A ,若点A 在直线上,其中mn>0,2n

+1则

m 的最小值是多少

9. 2,,,a y 1已知x>0,y>0且x,a 成等比数列,12

b b 2

12(a +a )

的取值范围

10.一种设备的价值a 元,设备维修和消耗的费用第一年为b 元,用t 表示使用设备的年数,且设备年平均维修、消耗费用与设备年平均价值费用之和为y 元,当a=450000,b=1000时,这种设被的最佳更新年限(使年平均费用最低的t)是多少?

基本不等式经典例题精讲

新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式) 典题精讲 例1(1)已知0<x <3 1,求函数y=x(1-3x)的最大值; (2)求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x >0,因而不能直接使用基本不等式,需分x >0与x <0讨论. (1)解法一:∵0<x <3 1,∴1-3x >0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1[ 2) 31(3x x -+]2= 12 1,当且仅当3x=1-3x ,即x= 6 1时,等号成 立.∴x= 6 1时,函数取得最大值 12 1 . 解法二:∵0<x <3 1,∴ 3 1-x >0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3[ 23 1x x -+ ]2= 12 1,当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时,等号成立. ∴x= 6 1时,函数取得最大值12 1. (2)解:当x >0时,由基本不等式,得y=x+x 1≥2x x 1? =2,当且仅当x=1时,等号成立. 当x <0时,y=x+ x 1=-[(-x)+ ) (1x -]. ∵-x >0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时,等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x >-1时,求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析:x >-1?x+1>0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数.

基本不等式知识点和基本题型

基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+(2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式(均值不等式)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明:以上不等式中,当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 (1)若0x >,则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”) (2)若0x <,则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”) (3)若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) (4)若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ (5)若*,R b a ∈,则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明:以上不等式中,当且仅当 b a =时取“=” (1)若,,,a b c d R ∈,则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ (2)若123123,,,,,a a a b b b R ∈,则有:22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ (3)设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数,则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一:利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数,证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数,求证:ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=,求证:2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈,且1a b c ++=,求证:1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5:不等式选讲

(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)

初一不等式难题,经典题训练(附答案) 1. 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1,2,3,则a 的取值范围是_______ 2. 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解,则a 的取值范围是_________ 3. 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2,则a 的值为( ) A 0 B 2 C 0或2 D -1 4. 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<,则2006()a b +=_________ 5. 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7. 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >,则m 的取值范围是( ) A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时,不等式ax+2<3x+b 的解集是,则b=______ 10.已知a,b 为常数,若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是( ) A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1,2,3,那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有( )对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==,设345x y z ω=++,求的ω最大值与最小值

不等式知识点与题型总结

不等式 一、知识点: 1. 实数的性质: 0>-?>b a b a ;0<-??<,a b b a . 传递性 a b >且b c a c >?>. 加法性质 a b a c b c >?+>+;a b >且c d a c b d >?+>+. 乘法性质 ,0a b c ac bc >>?>;0a b >>,且00c d ac bd >>?>>. 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈?>;0,n n a b n N a b *>>∈?>. 倒数性质 11,0a b ab a b >>? <. 3. 常用基本不等式: 条 件 结 论 等号成立的条件 a R ∈ 20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2 2 2a b ab +≥,2()2 a b ab +≤, 22 2()22a b a b ++≥ a b = 0,0>>b a 基本不等式: 2a b ab +≥ 常见变式: 2≥+b a a b ; 21 ≥+a a a b = 0,0>>b a 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ a b = 4.利用重要不等式求最值的两个命题: 命题1:已知a ,b 都是正数,若ab 是实值P ,则当a=b= 时,和a +b 有最小值2 . 命题2:已知a ,b 都是正数,若a +b 是实值S ,则当a=b=2 s 时,积ab 有最大值42s . 注意:运用重要不等式求值时,要注意三个条件:一“正”二“定”三“等”,即各项均为正数,和或积 为定值,取最值时等号能成立,以上三个条件缺一不可. 5.一元二次不等式的解法:设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根,且x 1≤x 2,则有

基本不等式练习题及标准答案

基本不等式练习题及答案

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双基自测 1.(人教A 版教材习题改编)函数y =x +1 x (x >0)的值域为( ). A .(-∞,-2]∪[2,+∞) B .(0,+∞) C .[2,+∞) D .(2,+∞) 2.下列不等式:①a 2+1>2a ;②a +b ab ≤2;③x 2+1 x 2+1≥1,其中正确的个数是 ( ). A .0 B .1 C .2 D .3 3.若a >0,b >0,且a +2b -2=0,则ab 的最大值为( ). A.1 2 B .1 C .2 D .4 4.(2011·重庆)若函数f (x )=x + 1 x -2 (x >2)在x =a 处取最小值,则a =( ). A .1+ 2 B .1+ 3 C .3 D .4 5.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1 t 的最小值为________. 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x >0,y >0,且2x +y =1,则1x +1 y 的最小值为________; (2)当x >0时,则f (x )= 2x x 2+1 的最大值为________. 【训练1】 (1)已知x >1,则f (x )=x + 1 x -1 的最小值为________. (2)已知0<x <2 5,则y =2x -5x 2的最大值为________. (3)若x ,y ∈(0,+∞)且2x +8y -xy =0,则x +y 的最小值为________. 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a >0,b >0,c >0,求证:bc a +ca b +ab c ≥a +b +c . .

基本不等式求最值的类型与方法,经典大全

专题:基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式: ①,、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②, 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③, 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链: b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab ; ②单调递增区间:(,-∞ ,)+∞ ;单调递减区间:(0, ,[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析:21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=, 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是52。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析:① 3 0,3202 x x <<->∴, ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=, 当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴,则0y >,欲求y 的最大值,可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立,故 评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ,求4 ()f x x x =+ )10(≤、图象及性质知,当(0,1]x ∈时,函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明:任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤,则

高考不等式经典例题

高考不等式经典例题 【例1】已知a >0,a ≠1,P =log a (a 3-a +1),Q =log a (a 2-a +1),试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3-a +1-(a 2-a +1)=a 2(a -1), 当a >1时,a 3-a +1>a 2-a +1,P >Q ; 当0<a <1时,a 3-a +1<a 2-a +1,P >Q ; 综上所述,a >0,a ≠1时,P >Q . 【变式训练1】已知m =a + 1a -2 (a >2),n =x - 2(x ≥12),则m ,n 之间的大小关系为( ) A.m <n B.m >n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题,解决的关键是找中间媒介传递. m =a + 1a -2=a -2+1a -2 +2≥2+2=4,而n =x - 2≤(12)-2=4. 【变式训练2】已知函数f (x )=ax 2-c ,且-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围. 【解析】由已知-4≤f (1)=a -c ≤-1,-1≤f (2)=4a -c ≤5. 令f (3)=9a -c =γ(a -c )+μ(4a -c ), 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)=-53(a -c )+8 3(4a -c )∈[-1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式:①ab >0;② c a >d b ;③b c >a d .以其中两个作条件,余下的一个作结论,则能组 成多少个正确命题? 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a >d b ?bc -ad ab >0. (1)由ab >0,bc >ad ?bc -ad ab >0,即①③?②; (2)由ab >0, bc -ad ab >0?bc -ad >0?bc >ad ,即①②?③; (3)由bc -ad >0, bc -ad ab >0?ab >0,即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2+(m -2)x -2>0 (m ∈R ). 【解析】当m =0时,原不等式可化为-2x -2>0,即x <-1; 当m ≠0时,可分为两种情况: (1)m >0 时,方程mx 2+(m -2)x -2=0有两个根,x 1=-1,x 2=2 m . 所以不等式的解集为{x |x <-1或x >2 m }; (2)m <0时,原不等式可化为-mx 2+(2-m )x +2<0,

《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解

? x + 1 ?? 2 3 《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 定义类 1.下列不等式中,是一元一次不等式的是( ) A. 1 x +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D. 1 2 (x -3)<0 2.若 (m - 2) x 2m +1 - 1 > 5 是关于 x 的一元一次不等式,则该不等式的解集为 . 用不等式表示 a 与 6 的和小于 5; x 与 2 的差小于-1; 数轴题 1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示:用“<”或“>”号填空: a __________ b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a -b __________0; a +b __________a -b ; ab __________a . 2.已知实数 a 、b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( ) A 、ab >0 B 、 a > b C 、a -b >0 D 、a +b >0 同等变换 1.与 2x <6 不同解的不等式是( ) A.2x +1<7 B.4x <12 C.-4x >-12 借助数轴解不等式(组): (这类试题在中考中很多见) ?1 - ≥ 0 1.(2010 湖北随州)解不等式组 ? 3 ??3 - 4( x - 1) < 1 D.-2x <-6 2.(2010 福建宁德)解不等式 2 x - 1 - 5x + 1 3 2 ?1 - 2( x -1) > 1, ? 3.(2006 年绵阳市) ? x 1 - ≥ x. 含参不等式: 此类试题易错知识辨析 ≤1,并把它的解集在数轴上表示出来.

(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式 一. 基本不等式 ①公式:(0,0)2 a b a b +≥≥≥,常用a b +≥ ②升级版:22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序:考试中,优先选择原公式,其次是升级版 二.考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则:一正 二定 三相等 一正: 指的是注意,a b 范围为正数。 二定: 指的是ab 是定值为常数 三相等:指的是取到最值时a b = 典型例题: 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析:x 范围为负,提负号(或使用对钩函数图像处理) 解:1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞

例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解:123 y x x =+- (“添项”,可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值) 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥, 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析:sin x 的范围是(0,1),不能用基本不等式,当y 取到最小值时,sin x 不在范围内 解:令sin (0,1)t x t =∈, 2y t t =+ 是对钩函数,利用图像可知: 在(0,1)上是单减函数,所以23t t + >,(注:3是将1t =代入得到) (3,)y ∴∈+∞ 注意:使用基本不等式时,注意y 取到最值,x 有没有在范围内, 如果不在,就不能用基本不等式,要借助对钩函数图像来求值域。

高中数学基本不等式题型总结

专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式:)0,0a b a b +≥>> (1)基本不等式成立的条件: ; (2)等号成立的条件:当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)()24a b ab +≤(),a b R ∈;(2))+0,0a b a b ≥>>; 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>,且34x y +=,则4x x y +的最小值为 . 【变式2】(2013年天津)设2,0a b b +=>, 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】(2012河西)已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=,则2a b ab ++的最小值为 .

【例3】已知0,0x y >>,且280x y xy +-=,则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=,则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>,若不等式 212m a b a b +≥+总能成立,则实数m 的最大值为 . 【例6】(2013年天津市第二次六校联考)()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点,O 为坐标原点,且△AOB 为直角三角形,则 2212a b +的最小值为 .

【例7】(2012年南开二模)若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长,则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足 120PF PF ?=,则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=,则11x y +的最小值是( ) A .6 B .5 C .3+. 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+,若120,0x x >>,且()()121f x f x +=,则()12f x x +的最小值为 .

不等式常见题型归纳和经典例题讲解

《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中,是一元一次不等式的是( ) A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x -3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式,则该不等式的解集为 . a 与6的和小于5; x 与2的差小于-1; 1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示:用“<”或“>”号填空: a __________ b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a - b __________0; a +b __________a -b ; ab __________a . 2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是( ) A 、ab >0 B 、a b > C 、a -b >0 D 、a +b > 0 1.与2x <6不同解的不等式是( ) A.2x +1<7 B.4x <12 C.-4x >-12 D.-2x <-6 ): (这类试题在中考中很多见) 1.(2010湖北随州)解不等式组110334(1)1 x x +?-???--???-≥?? : 此类试题易错知识辨析

(1)解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >(或ax b <)(0a ≠)的形式的解集: 当0a >时,b x a >(或b x a <) 当0a <时,b x a <(或b x a >) 当0a <时,b x a <(或b x a >) 4 若不等式(a +1)x >a +1的解集是x <1,则a 必满足( ). (A)a <0 (B)a >-1 (C)a <-1 (D)a <1 5 若m >5,试用m 表示出不等式(5-m )x >1-m 的解集______. 6.如果不等式(m -2)x >2-m 的解集是x <-1,则有( ) A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠2 7.如果不等式(a -3)x <b 的解集是x < 3-a b ,那么a 的取值范围是________. 1.不等式3(x -2)≤x +4的非负整数解有几个.( ) A.4 B.5 C.6 D.无数个 2.不等式4x - 41141+

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——(6例题) 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”.其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R + ,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”.其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法. 2.综合法:利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B. 3.分析法:是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法:有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新????

基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式 .基本不等式 ①公式: -_b ab (a 0,b 0),常用 a b 2. ab 2 2 ■ 2 2 ②升级版: a b a b ab a,b R 2 2 选择顺序:考试中,优先选择原公式,其次是升级版 二?考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则:一正 二定三相等 一正: 指的是注意a,b 范围为正数。 二定: 指的是ab 是定值为常数 三相等:指的是取到最值时 a b 典型例题: 1 例1?求 y x £;(x 0)的值域 分 x 范围为负,提负号(或使用对钩函数图像处 1 解:y (x ) Q x 0 2x 2x 1 x 2x 得到y ( , &]

1 分析:sinx 的范围是(0,1),不能用基本不等式,当 y 取到最小值时,sinx 的值是.2,但「2不 在范围内 解:令 t sinx , t (0,1) 是对钩函数,禾U 用图像可知: 2 在(0,1)上是单减函数,所以t 3,(注:3是将t 1代入得到) y (3,) 注意:使用基本不等式时,注意 y 取到最值,x 有没有在范围内, 如果不在,就不能用基本不等式 ,要借助对钩函数图像来求 值域。 例2 ?求y 2x (x 3)的值域 解:y 2x (“添项”,可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值 ) 2(x 3) 22 即 y 2.2 6, 例3?求 y sin x 2 sin x (0 x )的值域

y t f (p 为常数)型函数,要注意t 的取值范围; 【失误与防范】 1.使用基本不等式求最值,其失误的真正原因 是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视. 要利 用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可. 2 ?在运用重要不等式时, 要特别注意“拆” “拼” “凑” “正” “定” “等”的条件. 3.连续使用公式时取 等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 【题型2】条件是a b 或ab 为定值,求最值(值域)(简) x 2 2x 1 例 4.求 y (x 2)的值域 分析:先换元,令t x 2 ,t 0,其中x 解:y (t 2)2 2(t 2) 1 t 2 6t 1 t Qt 0 [8, 总之:形如y 2 CX ax b dx f (a 0,c 0)的函数,一般可通过换元法等价变形化为 等技巧,使其满足重要不等式中 例5. 0, y 0且x y 18,则xy 的最大值是 解析: 由于 x 0,y 0,则x y 2 xy ,所以2 xy 18,则xy 的最大值为81 例6. 已知 x,y 为正实数,且满足 4x 3y 12,则xy 的最大值为

列不等式经典练习题

祖π数学新人教七年级下册之高分速成 1 【题型1】列不等式用不等式表示: (1)x的2 3 与5的差小于1: ;(2)y的9倍与b的 1 3 的和是负数: . (3)x的1 7 与9的倒数的和大于y的15%:____________________________. (4)a的30%与a的和大于a的2倍与10的差:_____________________________. 【变式训练】 1.数学表达式:①-5<7;②3y-6>0;③a=6;④x-2x;⑤a≠2;⑥7y-6>5y+2中,是不等式的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.下面给出5个式子:①3x>5;②x+1;③1-2y≤0;④x-2≠0;⑤3x-2=0.其中是不等式的个数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.“数x不小于2”是指( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x<2 D.x>2 4.用不等式表示 (1)x的2倍与5的差不大于1 ; (2)x的1 3 与x的 1 2 的和是非负数; (3)a与3的和不小于5 ; (4)a的20%与a的和大于a的3倍 . 5.用不等式表示 (1)a比6小__________; (2)x与1的和大于2___________; (3)a的2倍小于b__________; (4)m的相反数是正数___________; (5)x的4倍与7的差大于3___________; (6)a、b两数的平方和大于4__________; (7) m不大于-5 ; (8) x的4倍大于3 . 6.设“●”、“▲”表示两种不同的物体,现用天平称(如图),若用x、?y分别表示“●”、“▲”的重量,写出符合题意的不等式是_________.

必修5--基本不等式几种解题技巧及典型例题

均值不等式应用(技巧)技巧一:凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 (x > 3)的最小值 2、已知x > 3 2 ,求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ,求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二:凑系数 4、当0 < x < 4时,求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时,求y = 4x(3 - 2x)的最大值,并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时,求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时,求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三:分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 (x > -1)的值域; 9、求y = x2 + 3x + 1 x (x > 0)

的值域 10、已知x > 2,求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c,求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1,求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四:应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2,则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2,求1 x + 1 y 的最小值,并求x、y的值。 技巧六:整体代换 16、已知x > 0,y > 0,且1 x + 9 y = 1,求x + y的最小值。

17、若x、y∈R+且2x + y = 1,求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a,b,x,y∈R+ 且a x + b y = 1,求x + y的最小值。 19、已知正实数x,y满足2x + y = 1,求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x,y,z满足x + y + z = 1,求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七:取平方 21、已知x,y为正实数,且x2 + y2 2 = 1,求x 1 + y2的最大值。 22、已知x,y为正实数,3x + 2y = 10,求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x(1 2 < x < 5 2 )的最大值。 技巧八:已知条件既有和又有积,放缩后解不等式 24、已知a,b为正实数,2b + ab + a = 30,求函数y = 1 ab 的最小值。

必修五基本不等式题型分类(绝对经典)

一对一个性化辅导教案课题基本不等式复习 教学 重点 基本不等式 教学 难点 基本不等式的应用 教学目标掌握利用基本不等式求函数的最值学会灵活运用不等式 教学步骤及教学内容一、教学衔接: 1、检查学生的作业,及时指点; 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容。 二、内容讲解: 1.如果那么当且仅当时取“=”号). 2.如果那么(当且仅当时取“=”号) 3、在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三相等。 ①一正:函数的解析式中,各项均为正数; ②二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值。 三、课堂总结与反思: 带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结 四、作业布置: 见讲义 管理人员签字:日期:年月日 作1、学生上次作业评价:○好○较好○一般○差 备注:

基本不等式复习

知识要点梳理 知识点:基本不等式 1.如果(当且仅当时取“=”号). 2.如果(当且仅当时取“=”号). 在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等。 ①一正:函数的解析式中,各项均为正数; ②二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值。 类型一:利用(配凑法)求最值 1.求下列函数的最大(或最小)值. (1)求的最小值; (2)若 (3)已知,,且. 求的最大值及相应的的值变式1:已知 类型二:含“1”的式子求最值

2.已知且,求的最小值. 变式1:若 变式2: 变式3:求函数 类型三:求分式的最值问题 3. 已知,求的最小值 变式1:求函数

最新基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)-(1)

基本不等式专题 知识点: 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当 b a =时取“=”) 2. (1)若* ,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”)若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 5.若R b a ∈,,则2 )2(222b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注意: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值, 当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+ 1 2x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2;

高中数学不等式经典题型(精)

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 不等式 一.不等式的性质: 1.同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>, 则a c b d +>+(若,a b c d ><,则a c b d ->-),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; 2.左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则a b c d >); 3.左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b >或 > 4.若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11 a b >。如 (1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题: ①22,bc ac b a >>则若; ②b a bc ac >>则若,22; ③22,0b ab a b a >><<则若; ④b a b a 1 1,0<<<则若; ⑤b a a b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0; ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0; ⑧11 ,a b a b >>若,则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ (答:②③⑥⑦⑧); (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______ (答:137x y ≤-≤); (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ (答:12,2? ?-- ?? ?) 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式); 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ; 8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如 (1)设0,10>≠>t a a 且,比较2 1 log log 21+t t a a 和的大小

柯西不等式(原始版)题型分类

柯西不等式(原始版)的习题分类 柯西不等式已经成为高考当中的新贵,去年全国卷II 的选修4-5不等式选讲,已经出现了柯西不等式命题,因此对柯西不等式几种典型习题加以分类,有助于知识的掌握。 一、柯西不等式(原始版) 1、()()()22211222 1222 1b a b a b b a a +≥++,当且仅当向量()21,a a a = ,()21,b b b = 同向时候成立,如果0,21≠b b 时,那么当且仅当2 211b a b a =时成立。 2、()() ()2 332211232221232221b a b a b a b b b a a a ++≥++++,当且仅当321321::::b b b a a a =时等号成立。 3、2 11212 ??? ??≥?∑∑∑===n k k k n k k n k k b a b a ,当且仅当n n b b b b a a a a :...::::...:::321321=时等号成立。 由以上柯西不等式(原始版)来看,柯西不等式是齐次,不等式左右两边的式子的次数相等,因此做题的时候可以抓住这个关键进行应用。 二、常见题型 1、()常数次次≥-?11。 例1、已知1=+b a ,且0,>b a ,求b a 11+的最小值。 解析:这道题的方法非常多,利用二元的均值定理可以求解,但是应用柯西不等式更加方便。考虑最后求解的形式一定是k b a ≥+11,k 为某个常数,那么不等式左边1-次,右边为0次,并不相等,所以左边要乘以 b a +,这样左边变成了()??? ? ?++b a b a 11,次数就成为了0,就可以应用柯西不等式。 ()41111112=??? ? ???+?≥+??? ??+=+b b a a b a b a b a ,当且仅当21==b a 时等号成立,所以b a 11+的最小值为4。 显然以上对例1的求解,柯西不等式比均值定理更为简单,有些优势,而且柯西不等式的应用范围更加广泛。 例2、若0,,>c b a ,求证()9111≥++??? ? ?++c b a c b a 。 解析:可以直接应用柯西不等式 ()91111112=??? ? ???+?+?≥++??? ??++c c b b a a c b a c b a ,当且仅当1===c b a 时等号成立。 练习: 1、已知0,,>c b a ,证明: c b a c b a ++≥++9111。 2、已知0,,>c b a ,证明:() c b a a c c b b a ++≥+++++29111。 提示:()()()()a c c b b a c b a +++++=++2。

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