数理统计第三章3

§3.3 区间估计Interval Estimation

一、正态总体均值的区间估计

Interval estimation of the mean of normal population

（）ξ+c

(

)

2

,σ

μN ξ

～

?

=μ2

σ1.

已知采样

{

}1 ? : (, )

1i

ξξn

μ

ξμξμξC ξC P ξC μξC

α

=

=≈-+-<<+=-∑平均无偏估计，造区间去套 使 使P 12,,n

ξξξ ξ-c

μ

？

（

）μ

ξ+c

μ

ξ-c

ξ

ξ

2

22

2

2

1/21/22 ~,, ~(0,1)11,

n N U N n n C

P n

n C P U n C u C u n

αασξμ

ξμσξμασσ

ασσ

σ--??-= ?????-??

<

=-??????

????

<=-??????

==C=? 需量化。指定套住的成功率，也就是置信度，造方程：

P { ξ –C ＜μ < ξ +C } = P {|ξ –μ| ＜C }=1－α

2

α

1α

-u 1-α/ 2

–u 1–α/ 2

α/ 2

1/21/21/2 , (confidence degree) 1, ()

ααασσσ

ξu ξu ξu n n n αμ---????-+=± ? ?

????-置信区间置信度：

置信区间能套住真值的概率与点估计的比较

点区间置信度误差

那个好呢，具体场合具体分析（项目资金数）

未指明1–α已指明

无确定范围

有确定范围, C C ξξ??-+??

◎◎◎

2.

未知2

σμ

（

）

μ

ξ

(){} 22

2

22

2

2*** ,11:(-1C C P C C P n n S C P S

n

S n ξξμξμα

ξμασσσσξμ

α-+-<=-??-??

<

=-?????

?

=?

?

??

<=-?????

?

造区间：去套使因未知无偏估计）(σ2 ≈S *)

()

2

2

2

**1/2*~(1)

11t t n S

n

C P t S n C t n S

n

αξμ

α--=-????<=-??????=-其中，2

α

1α

-u 1-α/2–u 1–α/2α/2

－t 1－α/2

t 1－α/2

()()()2

2

2

2

*1/21/2**

1/2*2

*2*

1 1(Confidence interval): (1)Confidence degree : 11,,11

Confidence interval may be also denoted as:

C S

t n C t n n

S

n

s

t n n n n n S nS S S S S

n n αααξα---=-=

?-??±- ?

??

--===-- 置信区间置信度（）()1/2 11196p11622,23,25

S

t n n p αξ-?

?

±

- ?-?

?

---小大◎◎◎

Example 2.某厂生产的一种塑料口杯的重量ξ被认

为服从正态分布，今随机抽取9个，测得其重量(g)为：

21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6.试用95％的置信度估计全部口杯的平均重量.

Solution.依题意ξ～N （μ，σ2），μ待估计，σ2未知.

容易算得, S =0.17 ,

因置信度1－α=0.95 故α= 0.05，21.4

x =使用公式1/2(1)1S t n n αξ-??

±

- ?-??

即95％的可靠程度认为全部口杯的平均重量在21.261ｇ至21.539ｇ之间.

()1/2121.41

S x t n n α-+

-=+

-0.17

2.3121.539

8

?=()1/20.17121.4 2.3121.261

1

8

S x t n n α--

-=-

?=-故95％的置信区间为；（21.261，21.539）

～()(){}2

2

2222

2

2

2

121222

*2

*****2

122221~,, ?(,1?, ,1, , ,ξN μσ

σ

μc c P c σc ασσ

S σS S S S S b b σb b σσ=<<=-=≈??≈<<<< ? ??

?未知）

造区间使的无偏估计：努力方向：（

）

1c 2

c 2

σ

()2

2

*122*2

1.,

1S P b b αb σn S ????

<<=-??????-使为了量化计算()

12

-n χ二、正态总体方差的区间估计

()()()()()2

2

2

2

2

*122

**2

21

**1:

111 111 , n S P k k n S

n S

P k k n S n S α

σσα??-??

<<=-?????

?

??--??

<<

=-?

????

?

??

-- ?即()()(){}()()2

*122

2

122

1/22

21/2

1: 111 1 1,

1,

n S P n b n b P k k k n k n ααα

σχαχχ-??-?

?

-<<-=-?????

?

<<=-=-=-改记2

α

2

α

1k 2

k 置信区间:

Example 3.设某种灯泡的寿命ξ服从正态分布N （μ，σ2），μ，σ2都未知，现从中任取5个灯泡进行寿命试验，得（单位：1000小时）：

10.5, 1.0，11.2，12.5，12.8.给定1－α= 0.90，求σ2的区间估计.Solution.μ未知，σ2的置信区间用刚才推出的公式.其中

因为1－α=0.90所以α=0.10，又n =5，

查χ2分布表，得

()()5

2

2

111.6, 1* 3.980.

i i x n S x x ==-=-=∑()()()()488

.9412

205

.02

12

/2

1==---χχχχ

αn

于是有

即置信度为0.90时，σ2的区间估计为（0.419，5.598）. ◎顺便指出，取置信度1－α=0.90时，标准差σ的置信区间为

()

()()

()

5

2

12

12

5

2

1

2

2 3.9800.419;

19.488

3.980 5.598.10.711

i

i i

i x

x n x

x n ααχ

χ=---==--==-∑∑(

)

()

0.419,

5.5980.647, 2.366=

三、两个证态总体的均值差的区间估计

Interval estimation of difference between means of two normal populations

η

(

)

2

2

2,σμN ?

21=-μμ()

2

1

1,σμN ξ～

～

造区间去套数值（μ1－μ2）

μ1－μ2

（

）

()(){}

111

2

22

222

121212121221. , , Unbaised estimator

,) ()()1 , ()()

N n n C C P C C P σσσσξημμμμξηξη

ξηξηξημμαξημμσ??--+ ? ??

?-=-=----+---<=----都为已知

造区间（使为量化计算出值两边同除以1

2

2222

1C

ασ

σσ

?

??

???

<

=-????++

～︿

(无偏估计)：

1

1

1

1

122

22

1

2

2

22

1

2

2

22

1/21/2

2

21

2

2

1

2

()()

1,

U

n n C

P U n n C

u C u n n n n ααξημμσ

σασ

σ

σσ

σσ

-----=+

?????

?

<

=-????+

???

?

==+

+

即～()

1,0N

1222

1/212 1u n n ασσξηα-?? ?-±+

- ???

置信区间，置信度，，

Example 4.甲、乙两台机床加工同种零件，分别从甲、乙机床处取9个和7个零件量其长度，得样本均值分别为=19.8（mm ）,=(23.5mm)；又知甲机床加工的零件长度～N （，0,34），乙床加工的零件长度～N (,0.36).求μ1－μ2的99%的置信区间Solution.两正态总体均值差的区间估计，两方差

已知。使用刚建立的公式：其中1－α=0.99，得

α=0.01，查标准正态分布表得μ1-α/2=μ0.995=2.58

x y ξη1μ2μ1222

12

12 u n n ασσξη-?? ?-±+ ???

即-的99%的置信区间为（-4.47，-2.93）.

故（

）±μ1－α/2

=(19.8－23.5)±2.58

=－3.7±2.58×0.298=(-4.47,-2.93).y x -2

22

1

21

n n σ

σ

+

7

36

.0934.0+2μ1μAssignments:小p196大p116--22, 23, 25, 26, 29, 30

Prep: 小p170~171;199~225；大p107~108;119~133

1 1

, , ,222*2*112

2221

*2

*1

12221*2

*1*2

*122

21*222

*121

2

2

2

22

2

2

2

2

2

ασσσ

σσσσσσσ-=??

?

???????<<<<

≈≈≈≈k S S k P k S S k S S S S S S 使造区间：()2

1

1,σμN ξ～,

η～()2

2

2,σμN ,

?

22

21=σ

σ四、两个正态总体方差比的区间估计

Interval estimation of the ratio between variances of two normal populations

22**12221

2

S

S

F σσ

=其中：

～2

α

2

α

α

-11k 2

k ()

121,1F n n --()()

1/21121/2111,1,1,1k F n n k F n n αα-=--=--()()2222**2

**1

2

11

2

21/2122

/21211,11,1S S S S P F n n F n n αασασ-????<<=-??----????

()()???? ??-----1,1

1,1 212

*2*11221*2*12

2

2

2

n n F S S n n F S S αα，置信区间（confidence interval ）:

Assignments:小p196大p116--22, 23, 25, 26, 29, 30,31 ()

()()

()

/211'221/212542350) :

1

,(81;48)

,1

1,1,1,1F p p F m n p p F n m F n n F n n αααααα--=∴=----小时，表（小；大中无，用公式转换小大