悬索桥的几何非线性分析方法

悬索桥的几何非线性分析方法

摘要：针对悬索桥的几何非线性特点,阐述了几何非线性的影响因素以及分析计算方法、基本原理和基本步骤。采用更改的拉格朗日列式法及new ton-rapshon 迭代法解非线性方程计算结果可靠稳定，精度满足要求。

关键词：悬索桥几何非线性有限元

悬索桥通常由承重缆索、支承缆索的索塔，锚固缆索的锚碇、直接承受交通荷载的加劲梁以及将加劲梁与缆索连接在一起的吊杆组成。因悬索桥的跨度一般很大，加劲梁的刚度在全桥刚度中所占比例很小，它在外荷载作用下将产生相当大的变形，故因考虑悬索桥的几何分线性影响。

1、悬索桥的几何非线性影响因素

悬索桥主要靠其自重及恒载产生的初始拉力及改变几何形状来获得结构刚度，以抵抗荷载产生的变形，缆索受力呈明显的几何非线性性质，对于大跨悬索桥，通用的计算方法是以有限位移理论为基础的几何非线性有限元法[4]。

引起悬索桥结构几何非线性的因素[2]主要有3个：

第一,缆索在初始恒载作用下具有较大的初张力，使索桥维持一定的几何形状。当作用外荷载时，索梁发生变形，初张力对后续状态的变形存在抗力，这种来自恒载自重的刚度称为重力刚度。

第二,由于悬索桥主梁和缆索相对纤细，引起整个结构在外荷载作用下产生较大变形。在进行结构分析时，力的平衡方程应根据变形

后结构的实际几何位置来建立，力与位移的关系是非线性的。

第三，缆索在自重作用下具有一定垂度，垂度大小与张力成反比。若用两力杆模拟缆索单元时，应计入垂度的非线性影响。

在结构分析时,任何微小的应变都可能会引起索单元较大的内力

和位移，大变形的发生改变了单元的形状,最终导致了单元刚度的改变，但这种特性是有利于结构受力的，因为发生的几何大变位可使结构自动调整内力分布,从而改善结构的受力状态，提高结构的承载能力。同时,结构的面外刚度可能受到结构中面内应力状态的严重影响。

2、几何非线性分析的基本方法

1) 增量法。增量法是指荷载以增量的形式逐级加上去，在每个荷载增量作用过程中假定结构的刚度是不变的，在任一荷载增量区间内结点位移和杆端力都由区间起点处的结构刚度算出，然后利用求得的结点位移和杆端力求出相对于增量区间终点变形后位置上的

结构刚度，作为下一个荷载增量的起点刚度。

2) 迭代法。迭代法是将整个外荷载一次性加到结构上，结点位移用结构变形前的切线刚度求得，然后根据变形后的结构计算结构刚度求得杆端力。由于变形前后的结构刚度不同，产生结点不平衡荷载，为了满足结点平衡，将这些不平衡荷载作为结点荷载作用在结点上，计算出相对于变形后的结点位移量，反复这一迭代过程，直至不平衡荷载小于准许值为止。

[k]i·{△δ}i+1={△p}。

{△δ}i+1={△δ}i+{△δ}i-1。

其中，[k]i为结构的单元刚度矩阵；{△δ}i+1为第i级迭代时由结点不平衡荷载引起的位移增量；{△p}为第i级迭代时的结点不平衡荷载；{△δ}i-1，{△δ}i分别为第i级荷载加载始、末的结点位移。

3)混合法。混合法结合了荷载增量法和迭代法的优点,混合法中初始荷载和每次循环后的不平衡荷载都是以增量的形式施加,在每个荷载增量后对刚度作一次调整,这样可以加快收敛速度,对于斜拉桥这种迭代次数要求较高的结构是很适宜的。

3、几何非线性分析的基本原理

应用虚功原理建立非线性方程时的拉格朗日列式法分为全拉格朗日式法与更改的拉格朗日列式法两种.全拉格朗日列式法推导的几何非线性方程为

([k0]+[kζ]+[kδ]){δ}=[kt]{δ}={r} (1)

式中,[kt]，[k0]，[kζ]及[ kδ]分别为切线刚度矩阵、弹性刚度矩阵、几何刚度矩阵及大位移刚度矩阵.

更改的拉格朗日列式法导出的几何非线性方程为

([k0]t+[kζ]t{δ}=[kt]{ζ}={r} (2)

式中[k0]t及[kζ]t分别为t 时刻的弹性刚度矩阵及几何刚度矩阵.

更改的拉格朗日列式法与全格拉朗日列式法相似,重要区别在于没有大位移矩阵,并且[k0]及[kζ]是在t时刻物体域中进行积分,

而全拉格朗日列式法[k0]、[kζ]及[kδ]是在未变形前,即t=0时刻物体域上进行积分,因此,更改的拉格朗日式法在每一增量结束时,必须计算结构变形后新的坐标,弹性刚度矩阵[k0]及几何刚度

矩阵[kζ]建立在已变形的t时刻结构初始状态.工程界俗称的非线性刚度矩阵法属于全格拉朗日列式法,而拖动坐标法则属于更改的拉格朗日列式法.悬索桥主要是靠主缆的初始拉力来获得结构刚度,更改的拉格朗日列式法更适合于悬索桥的结构计算.

4、基本步骤

采用更改的拉格朗日列式法及new ton-rapshon 迭代法解非线性方程的基本步骤：

1)以t 时刻的初始状态,形成t 时刻的初始切线刚度矩阵[kt].荷载矩阵{r}；解线性方程[kt]0{δ}={r},得位移{δ1}及内力{f1},即为位移及内力的第一次近似值；

2)依据{δ1}计算结构各节点的新的整体坐标, 在新的坐标下形

成弹性总刚[k0] 1及几何刚度矩阵[kζ] 1;

3)计算新的结点力向量{f(δ1)}=[kt]1{δ1};

4)计算不平衡力列阵{△p1}={r}-{f(δ1)};

5)解方程[kt] 1 {△δ1}={△p}1,求出位移增量{△δ1},得到位移的第2次近似值{δ2}={δ1}+{△δ1};

6)检查收敛性,若不满足,返回步骤2),直至△δi/δi≤ε为止.

5、结论

本文以有限位移理论为基础,建立并求解结构有限元的方法。针

对悬索桥的几何非线性特点,阐述了几何非线性的影响因素以及分析计算方法、基本原理和基本步骤。

参考文献：

[1]石磊，刘春城，张哲，等.大跨悬索桥非线性随机静力分析[j].大连理工大学学报，2004（3）：421.

[2]傅强.悬索桥几何非线性影响因素分析[j].上海公路，1997（2）：35-37.

[3]何君毅, 林祥都. 工程结构非线性问题的数值解法. 北京: 国防工业出版社, 1994

[4]华孝良，徐光辉．桥梁结构非线性分析[m]．北京：人民交通出版社．1997．