物体平衡问题的解题方略
物体平衡问题的解题方略
忻传森（浙江省天台平桥中学 317203）
（——本文已全文发表于《物理通报》2004年第6期）
物体平衡是一种重要的物理模型，其实质是力的平衡。研究对象的确定与变换、力的等效处理、平衡力之间的制约关系是我们在解决物体平衡问题时进行解题决策的三个基本着眼点。
一、研究对象的选取和变换
1、整体法、隔离法的应用和研究对象的转换
整体法和隔离法是重要的思想方法。在不涉及系统内力时应优先考虑运用整体法，其优点是研究对象少，求解过程往往简单而巧妙。而隔离法的运用则可把系统的内力转化为某一个体所受的外力。实际应用时，
要求灵活转换研究对象，交替使用整体法和隔离法，以取得
最简洁的解题思路。
例1、有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙；
OB 竖直放置，表面光滑。AO 上套有小环P ，OB 上套有小
环Q ，质量均为m ，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细
绳相连，并在某一位置平衡（如图1）。现将P 环向左移一
小段距离，当两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态
和原来的平衡状态比较，AO 杆对P 环的支持力和细绳上的拉力T 的大小变化
情况如何？
解析 首先通过整体分析法可知，支持力mg N 2= 始终不变。再转换研究对象，隔离环Q 进行分析，在竖直方向有mg T =θcos ，其中环P 左移后，绳与竖直方向的夹角θ变小，因此T 将变小。
2、刚体平衡转化为质点平衡
根据三力汇交原理，物体在共面的三个力作用下处于平衡状态时，这三个力若不平行则必共点。因此物体受到三个非平行力作用的平衡问题（包含力矩平衡），可将其转化为简单的质点平衡（即共点力平衡）来处理。当物体在四个力作用下平衡时，可先将其中的两个力合成，然后再按三力平衡时的处理方法转化为质点平衡处理。
例2、如图2所示匀质杆AB 重为G ，一端靠在光滑竖直墙上，另一端放在粗糙的水平地面上，静止的杆与地面成θ角，求地面对杆的作用力和墙对杆的作用力。 粗糙 光滑 （图1） O A P Q θ B
解析 题中杆的实际受力如图2甲。本题通常要用力平衡和力矩平衡结合解题，现在我们可以把它转化为质点平衡来处理。
首先若不考虑杆的转动而只考虑杆的平动平衡，则杆的受力可看作如图2乙的情况，即转化为了共点力平衡问题，由平衡条件得，G N N f ==21，。
地面对杆的作用力f 和N 2 的合力记为F ，物体又可等效为受F 、G 、N 1 三个力作用，三力汇交于O ′点，这样就将非共点力平衡转化为了共点力平衡问题 （如图2丙）。由平衡条件得，G F N F ==ααsin cos 1，。
又由图甲中的的几何关系易
得，θαtg tg ?=2。
由此三式即可解得，
因此地面和墙的对杆的作用
力分别为，
二、力的等效处理
在解平衡问题时，为使问题变得更为简单化有序化以便于把握、表达式更为简洁有效、解题过程更为简捷，经常要利用矢量运算法则（平行四边形定则）对力进行合成和分解的等效处理，再列式计算。
1、合成法和分解法
合成法通常是指将物体所受的多个外力通过合成的方法简化成更少的力，并使在合成方向上受力平衡。
分解法则是将一个力根据作用
效果来分解，并使在分解的方
向上受力平衡。
例3、如图3所示，重物的
质量m ，轻绳AO 与BO 的A
端、B 端是固定的，平衡时AO
水平、BO 与水平面夹角为θ，则绳AO 的拉力F 1和绳BO 的拉力F 2分别是多大？
解析 （1）、用合成法解本题。结点O 受三个力F 1、F 2和mg T =的作用。F 1、F 2的合力与mg 是平衡力，再由图中的三角关系可知， 甲
（图3） A B O θ T 2
（图2） G 乙 N 1 G f N 2 G N ctg G f N ===21,2
θθctg G N 21=
θctg mg F ?=1， （2）、用分解法来解。将T 沿F 1、F 2的反方向分解得到G 1、G 2，然后再
由平衡条件F 1=G 1和F 2=G 2即可求得F 1和F 2 。
2、正交分解法
正交分解法是指将各力分解为相互垂直的两组，并使每一组都满足平衡关系，形式为∑F x = 0，∑F y = 0。正交分解方向的选取可不必考虑力的作用效果，但为简明分解过程和简化解题步骤，建立坐标系的原则是使不在坐标轴上的力尽可能的少。
如例3中可沿水平方向和竖直方向建立坐标系，将不在轴上的OB 绳的张力F 2向坐标轴上分解，然后由平衡关系即可求得F 1和F 2。
3、力系的简化
有时要通过对力的合成和分解处理，使物体的受力情况变得更为有序化和简单化，使问题更便于解决，如以上的例2和例3，此处再举一例。
例4、在竖直墙等高处的A 、B 两点分别固定两等长轻绳AO 、BO 的一端，然后用轻杆CO 把AOB 支成水平面，C 支在AB 中点D 的正下方墙上且可自由转动，如图甲所。现在O 点悬挂重为G 的物体，已知0060,120=∠=∠COD AOB ，则AO 绳的拉力T 为多大？
解析 本题涉及三维空间，要求有一
定的空间想象能力，要在审题时，把问题
转化为两个相关的平面进行受力分析。由
AO 、BO 等长的关系可知两绳拉力相等，
再由0120=∠AOB 可知两绳拉力的合力
沿OD 方向且大小等于T 。这样就相当于
在OD 处有一根轻绳来取代AO 、BO 两
根绳，只需求出OD 绳拉力即可。COD
在同一竖直平面内，这样就转化为了平面
力系的平衡问题，如图4乙所示，不难解得060ctg G T ?=。
三、平衡力的几何特征及其应用
平衡物体所受力的几何特征也是我们解决平衡物体的重要依据。对于受三个共点力作用而处于平衡状态的物体来说，这三个力（用有向线段来表示）可构成一个封闭的三角形——对于多力平衡则是封闭的多边形。这种“封闭性”在几何上反映了力平衡的特征，与力的平衡方程是互为充要的。利用这种表示（图4） 甲
A B C O D θsin 2mg
F =
平衡关系的矢量三角形，我们可以启动所有解三角形的有关数学知识来求解平衡问题。例如对直角三角形可利用三角函数或勾股定理，对任意三角形可利用正弦定理或余弦定理，还可利用三角形的相似关系，有些问题还需要利用这种矢量三角形及其动态变化（即图解法）来定性或定量地分析各力的变化规律。
例5、如图5甲所示，质量为m 的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO 与斜面的倾角β多大时，挡板AO 所受压力最小，为多大？
解析 以球为研究对象，球受到的重力mg 、斜面对它的支持力N 1和挡板对它支持力N 2构成一个封闭的三
角形，如图5乙所示。当β变化时，
mg 大小方向都不变，N 1方向不变而
大小变化，而N 2的大小方向均变化。
由图可以看出，N 2与N 1垂直，即090=β时，N 2有最小值 αsin min 2?=mg N ，
此即挡板AO 所受压力的最小值。
四、寻找约束关系和几何关系 在力学体系中，常存在着一些限制各质点自由运动的条件，我们称之为约束。因此各质点的受力关系和空间位置关系，并不是相互独立的，而是通过一些约束关系把它们联系着。在力学解题中必须充分分析和利用这些约束关系和几何关系提供的辅助方程，如果不能正确地运用这些关系，往往不能顺利地解题。对于一个平衡问题，如果力学定理（平衡方程）正确用上后还不能解出，必然是约束关系没有充分运用的缘故。
例6、有一只甲壳虫在一半径为R 的半球形碗中向
上爬，已知动摩擦因数为μ（并设最大静摩擦力等于
滑动摩擦力）。求它能爬到的最大高度。
解析 甲壳虫爬到最大高度时，恰能处于静止状
态，所受的摩擦力为最大静摩擦力， f m =μN 。
由平衡条件有，f m = mg sin θ，N = mg cos θ
又由图中的几何关系可得，h = R （1－cos θ）
由以上关系可解得最大高度为：
）
2111(μ+-=R h
本题在求解时，除了要运用平衡力之间的基本制约关系——平衡方程外，还要充分分析和利用力之间的其它约束关系——方向的约束关系、大小的制约关系（f =μN ）及空间位置的几何关系。
另外，在有些问题中，约束关系和几何关系具有一种对称性，充分利用这一关系，经常可使解题变得更为简洁和巧妙。
例7、如图7所示，4个相同的物块A 、B 、C 、D
质量均为m ，现用两块相同的木板将它们紧压在一起，
处于静止状态，接触面竖直。试分析两木板与A 、D
间及中央两物块B 、C 间的摩擦力。
解析 根据题中研究对象在性质和构造上的对称
性，左板与A 之间、右板与D 之间具有相同的摩擦力，
然后通过分析整体的平衡关系易知该摩擦力大小为
f = 2m
g ，方向竖直向上。而B 、C 之间不应存在摩擦力，因为根据对称性，B 、C 的受力情况应完全相同，如果B 、C 间存在摩擦力，那么B 对C 的摩擦力和C 对B 的摩擦力方向相反，这样就会破坏这种对称性。
对平衡问题的研究是物理学的一个重要内容，解决平衡问题的研究方法和解题策略贯穿于几乎整个高中物理阶段，掌握好这些内容将有利于其它各部分内容的学习，同时通过学习和领会这些研究方法和处理方法，有利于提高物理素养、形成良好的物理思维品质。
（图7）
中考物理综合计算题力热电.pdf
初中物理中考压轴题训练 一力学综合题 1.如图所示，一个质量为60 kg，底面积为0.1m2的物体，通过滑轮组在25N拉力作用下做匀速直线运动，已知物体受到的滑动摩擦力为物重的0.1倍求： （1）在图上作出物体对水平地面的压力的示意图 （2）物体所受的重力是多少？ （3）物体静止时对水平地面的压强是多少？ （4）该滑轮组的机械效率是多少？ 2.底面积为0.4m2的大木箱原放在水平地面上，现某人用小车将它从斜面底端匀速推上斜 面顶端，整个过程用时10s，已知木箱重400N，人重600N，人对木箱的推力为75N，斜面长为4m，斜面高为0.5m，求： （1）木箱对水平地面的压力（2）木箱沿斜面向上的速度 （3）人对木箱做的有用功（4）这种情况下的机械效率
3.某公寓楼高40m，完成此建筑需要浇注钢筋混凝土10 4m3,还需要其它建筑材料 3.5× 104t，（已知混凝土的密度为 2.5×103kg/m3） （1）要从地面向楼顶提供自来水，加压设备至少需要给水施加多大的压强？ （2）若每天把120m3的水从地面送到楼顶，每天至少对水做多少功？ （3）测量表明，该楼的地基所承受的压强不得超过 1.2×106pa，若房基与地面的接触面 积为1×103m2，则此大楼另外添加的装饰材料，各种设备等物质及进出大楼的人员 总质量不得超过多少？ 4.有一 圆柱体浸入深度h(cm) 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 4.8 6 个弹簧 测力计示数F（N） 3 2.85 2.70 2.55 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 测力计 挂着一个实心圆柱体，当圆柱体逐渐浸入装有水的圆柱形烧杯过程中（如图所示），观 察弹簧测力计的示数变化如下表所示试根据表中所给条件求： （1）当圆柱体浸入深度为0.3m时其底部所受的压强 （2）圆柱体的质量 （3）圆柱体的密度
函数不等式恒成立问题经典总结
函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导 常见不等式恒成立问题的几种求解策略 不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略。 1 变量转换策略 例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围. 解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x 的取值范围。因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则? ? ?>>-0)1(0 )1(g g ，得 133133+-<<--x . 点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。 2 零点分布策略 例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左 侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或?????????≥≥--≤->?0)2(0)2(220f f a 或?????????≥≥-≥->?0 )2(0)2(2 20f f a ，即a 的取值范围为 [-7，2]. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 3 函数最值策略 例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立 ?2)(],2,2[m in ≥-∈?x f x ??????≥-=-=-≤-2 37)2()(2 2 m in a f x f a 或??? ???? ≥--=-=≤-≤-243)2()(2222 m in a a a f x f a 或?????≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ， 即a 的取值范围为]222,5[+--. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >?m in )(；m x f <)(恒成立m x f 力电综合练习题 1.汽车中有如图所示的电路。电路中上端带金属细杆的金属滑块M与两侧金 属弹簧相连并接入电路中，M与弹簧套在光滑绝缘的水平细杆上，汽车静止时，M上的金属细杆与红、绿灯下端的触头都不接触，当汽车向前启动时（） A、红、绿灯都亮 B、红、绿灯都不亮 C、红灯亮，绿灯不亮 D、红灯不亮，绿灯亮 2.如图所示的是握力计的原理图，其中弹簧上端和滑动变阻器滑片固定在一 起，AB间有可收缩的导线，R0为保护电阻，电压表可显示压力的大小，则当握力F增加时电压表的示数将（） A、变大 B、变小 C、不变 D、无法确定 3.如图是大型电子地磅秤的电路图 （电源电压恒定），当称物体的物 重时，滑动变阻器R的滑片P会 向下端滑动。当被称物体的物重 为G1时，电流表的示数为I1。被 称物体的物重为G2时，电流表的 示数为I2。若I1 学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。 5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'． 法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ， 取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2. 恒成立问题的求解策略 辽宁锦州义县高级中学高二数学组王双双 高考数学复习中的恒成立问题，把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想 方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③分离变量型； ④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤数形结合。 一?一次函数型 给定一次函数y=f（x）=ax+b（a丰0）,若y=f（x）在［m,n］内恒有f（x）＞0 ,则根据函数的图象 （直线）可得上述结论等价于 a＜0 J/（加）＞0 弘）＞0亦可合并定成1/何＞0 严)€0 同理，若在［m,n］内恒有f(x)＜0 ,则有I.- L'--'.. ■"-- 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 2 例i ?对任意兀［一1」］，不等式x +（—4）X+4-2Q0恒成立，求x的取值范围。 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把丿看成主元，则问题可转化 为一次不等式在：］_ L」上恒成立的问题。 解：令：- ■,则原问题转化为恒成立 （一丄） 当汁工、时，可得他二0 ，不合题意。 a＞0 ；「-或ii 当二：］时，应有1/(-1) > 0 解之得-■''■ ' O 故」的取值范围为「二..-O 二.二次函数型 (1)判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函 2 T 数/(X)二处+加+血# R),有 tj > 0 1)>。对x E R恒成立上v ° ； a <0 2)J D■=：(〕对X E R 恒成立［△ < o 例1.已知函数y = ^+(a-l)x + df2］的定义域为R求实数必的取值范围。 2 2 解：由题设可将问题转化为不等式八：■■ 对「丄匸恒成立，即有A = (H八0解得“—I或呜。 (-0J,-1) U (；,+°°) 所以实数“的取值范围为-■ O 若二次不等式中:.的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2 .设'■.：「「.：，当—一」⑴时，了萬聖泾恒成立，求实数匸的 取值范围。 解：设:二'丄J则当■- |［J,时，恒成立 当- :- 门―.- “ .1 时，『I.;汕显然成立; 当丄二H时，如图，小二J恒成立的充要条件为: 专题4.1 初中力电综合计算题 解决力电综合计算题一般涉及到的物理公式包括速度公式、密度公式、重力公式、压强公式、浮力公式、机械功和功率、机械效率公式、电功公式、做功公式等；涉及到的物理规律有二力平衡条件、液体压强规律、阿基米德原理、杠杆平衡条件、欧姆定律、焦耳定律等。 【例题1】（2018?泰安）某物理兴趣小组设计了一个压力报警装置，工作原理如图所示。ABO为一水平杠杆，OA长120cm，O为支点，AB：OB=5：1；已知报警器R0的阻值恒为10Ω，压力传感器R固定放置，R的阻值随所受压力F变化的关系如表所示。闭合开关S，水平踏板空载时，电压表的示数为2V；当水平踏板所受压力增大，电压表示数达到5V时，报警器R0开始发出报警信号。踏板、压杆和杠杆的质量均忽略不计。求： F/N 0510********… R/Ω45342418141210… （1）电源电压为多少？ （2）当报警器开始报警时，踏板设定的最大压力值为多少？ （3）若电源电压变为14V，为保证报警器仍在踏板原设定的最大压力值时报警，应在杠杆上水平调节踏板触点B的位置。试计算说明触点B应向哪个方向移动多少厘米？ 【例题2】（2019贵州黔东南）某同学设计了一个利用如图1所示的电路来测量海水的深度，其中R1＝2Ω是一个定值电阻，R2是一个压敏电阻，它的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示，电源电压保持6V不变，将此压敏电阻用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入海水中保持受力面水平，且只知识回顾 典例突破 有一个面积为0.02m 2的面承受海水压力。（设海水的密度ρ水＝1.0×103kg/m 3，g 取10N/kg ） （1）当电流表示数为0.2A 时，求压敏电阻R 2的阻值； （2）如图2所示，当压敏电阻R 2的阻值为20Ω时，求此时压敏电阻R 2所在深度处的海水压强； （3）若电流的最大测量值为0.6A ，则使用此方法能测出海水的最大深度是多少？ 1．（2019江苏南京）在综合实践活动中，科技小组设计了一个由压敏电阻控制的报警电路如图所示，电源电压恒为18V ，电阻箱最大阻值为999.9Ω．报警器（电阻不计）通过的电流达到或超过10mA 会报警，超过20mA 会损坏。压敏电阻Rx 在压力不超过800N 的前提下，其阻值随压力F 的变化规律如下表所示。 压力F/N 0 50 100 150 200 250 300 … 电阻Rx/Ω 580 560 540 520 500 480 460 … （1）为不损坏元件，报警电路允许消耗的最大功率是多少？ （2）在压敏电阻Rx 所受压力不超过800N 的前提下，报警电路所选滑动变阻器的最大阻值不得小于多少？ （3）现要求压敏电阻受到的压力达到或超过200N 时，电路报警按照下列步骤调试此报警电路： ①电路接通前，滑动变阻器滑片P 置于b 端；根据实验要求，应将电阻箱调到一定的阻值， 这一阻值为 Ω； ②将开关向 端（填数字）闭合，调节 ，直至 ； ③保持 ，将开关向另一端闭合，报警电路即可正常使用。 （4）对（3）中已调试好的报警电路，现要求压敏电阻受到的压力达到或超过700N 时，电路报警，若电源 中考达标训练题 中考数学综合题解题思路分析 黄浦区教师进修学院李建国 纵观近五年的上海市数学中考试题，我们不难发现，数学综合题的重点都放在高中继续学习必须的函数问题上。此类题在中考中往往有起点不高、但要求较全面的特点。常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角比相结合的综合性试题。同时考查学生初中数学中最重要的数学思想方法如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。此类题融入了动态几何的变和不变，对给定的图形（或其一部分）施行平移、翻折和旋转的位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。其特点是：注重考查学生的实验、猜想、证明的探索能力。解题灵活多变，能够考查学生分析问题和解决问题的能力，有一定难度，但上手还是容易的。此类题还常常会以几个小问题出现，相当于几个台阶，这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口，有利于考生正常水平的发挥。而通过层层设问，拾级而上，逐步深入，能够使一部分优秀学生数学水平得到体现。数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题 这通常是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的 解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 几何型综合题 这通常是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式（即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么）和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，探索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④探究线段之间的位置关系等；⑤探索面积之间满足一定关系求x的值等；⑥直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三 不等式中恒成立问题的解法 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00 a ; 2）0)( 关于不等式恒成立问题的几种求解方法 不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。 不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。 下面我们一起来探讨其中一些典型的问题 一、一次函数型——利用单调性求解 例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。 若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。 解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立, 设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有： 此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于 ⅰ），或ⅱ） 可合并成 同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3; 处理有关“恒成立”的思路方法 乐山市井研县马踏中学廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高考的热点。 一．恒成立问题的基本类型 按区间分类可分为：①在给定区间某关系的恒成立问题；②在全体实数集上某关系的恒成立问题。 二．处理恒成立问题的基本思路 处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法 ①变量分离思路处理； ②利用函数的性质，图象思路处理。 若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。 在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。 ≥∈--∈∴≥=-- =+∴≥-21 例2：若不等式x2+ax+10对一切x (0,]成立,则a 的取值范围为（ ） 2 5 A. 0 B. -2 C. - D.-3 2 111 解析：由于x (0,],a 21115 ()在(0,]上单调递增，在x=取得最小值 2225 ,故选2 方法2：利用函数的性质，图象 其主要体现在： 1，利用一次函数的图象性质 x x x x f x x x a C ≠≥≤≥≥∈?≥≤≤∈?≤若原题可化 为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b (a 0).若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0(或f(x)0)，则 根据函数的图象可得： f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0 2，利用二次函数的图象性质： >≠??<≤∈220 若 f(x)=ax +bx+c (a 0)大于0恒成立{ 若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达 定理求解。 例1： 函数f(x)是奇函数，且在[-1,1]单调递增，又f(-1)=-1，若 f(x)t -2at+1对所有的a [-1,1]都成立，求t 的取值范围 解析： 不等式中有三个变元，通过逐步消元a ≤∈?≥∈≥∈?≥22max 22法处理。首先选 定主元x ，()在[-1,1]递增 f(x)t -2at+1 a [-1,1]恒成立t -2at+1（x ）[-1,1] 即t -2at+11，a [-1,1]上恒成立t -2at 0 f x f x 高考地理综合题答题技巧总结 一、前提：熟悉区域地理，掌握双基和主干知识。 二、基础：明确高考地理常见简答题的答题思路。 三、关键：熟悉近几年地理考题常见的答题模式 ◇近几年地理考题常见答案的组织模式之归纳： 1) 原因（自然、人为）2) 条件（有利、不利）3) 影响（正面、负面）4) 区位（自然、社会、经济） 5) 效益（经济、社会、环境）6) 措施（生物、工程、技术） 7) 重大工程意义（两端、中间）或(政治、经济、民族、国防) 8) 要素（总量、结构）9) 评价( 积极、消积) ◇近几年考题常见的地理特征描述答案组织模式之归纳： 1) 自然地理特征（地形、气候、土壤、水源、生物、矿产或其它资源） 2) 位置特征（经纬度位置、海陆位置、半球位置、相邻位置） 3) 水系特征（支流、流程、流域、流向） 4) 水文特征（流量、水位变化、流速、含沙量、结冰期） 5) 降水特征（降水总量、雨季长短、季节变化） 6) 气候特征（气温、降水、季节组合） 7) 地形特征（地形类型、地势起伏、主要地形区、海拔状况） 8) 农业生产特征（主要从农业地域类型、农作物种类、种植历史经验和单位面积产量、农业各部门结构(所占比重)、农业机械化水平、农业生产经营方式和专门化水平等方面概括） 9) 工业生产特征（主要从工业的发达程度、工业部门结构、工业技术水平、工业产品的销售和工业原料能源对国际市场的依赖程度等方面概括） 10)地理事物的分布特征和分布规律（主要从空间分布（是否均匀、空间变化规律）和时间分配（季节和年际变化的大小）两方面概括） ◇分布规律问题： 从总体上看是把握"点""线""面"是哪种分布趋势 1) "点"状分布一般有"沿某个方向区域较稀或较密"；或该地理事物在某地理事物的分布方位。 2) "线"状分布应说明其沿哪个方向的走势及其稀密特点。 3) "面"状分布应说明该地理事物的分布范围，即东南西北的界限；或该地理事物在某地理事物的分布方位及大致的面积。 4) "点、线、面"综合考虑解答。 四、提升：明确题中常见行为动词的答题要领 简述--简单扼要叙述，须把握要点； 简析--简单分析，提出论点即可； 描述--对事物的外部特征予以描述； 综述--对事物的总体特征予以概括叙述； 说明--对原理、成因、规律进行说明； 写出--对图像或事实的主要内容予以呈现； 分析--对地理事物或现象予以剖析、分解，分析原因、分析局部事物在全局中的地位或作用，如分析区域发展的优势与不足，分析事物间的联系等； 对比（比较）--列表比较相同、相异、相反、相似的地理事物，可先后对比或并列对比；分析相同事物间的差别、不同事物间的联系； 评价--对地理环境、措施、对策、布局进行实施可行性评价或优势与不足评价，这需要平时树立科学的观点，具备正确的地理思想； 概括--对文字材料或图像内容予以概括要点等。 数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略【摘要】不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注 意地问题. 【关键词】不等式恒成立问题；数列；参数范围问题 不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注意地问 题. 1 最值法是解数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题地一种 非常重要地方法,其解题原理是f(n>>m恒成立f(n> min>m,f(n>0. ∵an>0,∴只需lga［n(a-1>+a］>0. <1）当a>1时,lga>0,只要n(a-1>+a>0,n>a1-a. <2）当0a1-a. 为了使b n+1>b n对任何正整数n都成立,只需a1-a小于n 地最小值1,令a1-a1或0 评析以上两例是综合性极强地好题,是数列不等式恒成立求参数地取值范围,转化为解不等式或求函数 地最值,这是高中数学中有关确定参数范围题目地涅槃. 2 数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题,对于某些最值不容易求出地问题,我们可以考虑先实行变量分离,再求其最值.所谓变量分离,是指在含有参数地数列不等式中,通过恒等变形,使参数与主元分离于不等式两端,则所蕴涵地数列关系便由隐变显,从而问 题转化为求主元函数地值域或上,下限(上限为最大值地临界值、 下限为最小值地临界值>,进而求出参数范围.这种方法由于思路清晰、规律明显、操作性强,因而应是一种较好地求参方法. 例3 <2003年新教材高考题改编题）设a0为常数,数列{a n}地通项公式a n=15［3n+(-1>n-12n］+(-1>n2na0(n∈n*>,若对任意n≥1不等式a n＞a n-1恒成立,求a0地取值范 围. 解 a n-a n-1=2×3n-1+(-1>n-13×2n-15+ (-1>n3×2n- 1a0, 故a n＞a n-1等价于(-1>n-1(5a0-1>-15×322k-2+15. 此式对k=1,2,…恒成立,有 a0>-15×322×1-3+15=0. 综上所述,①式对任意n∈n+成立,有0 故a0地取值范 1. 2.如图甲是某型号电子秤，其原理结构如图乙所示．R 0为定值电阻，R 是压敏电阻，其电阻值随所受压力F 变化的关系如图丙所示，改写电压表（量程为0～3V ）的表盘数值后可直接读出所称物体的质量．设踏板的质量为5kg ，电源电压保持9V 不变（g 取1ON/kg ）． （1）空载时电压表的示数为1V ，求踏板对压敏电阻的压力F 的大小和R 0的阻值？ （2）该电子秤的量程多大？ （3）如果保持电子秤的结构不变，想要增大该电子秤的量程．写出一种改进方法：______． 3.图甲为某型号电子秤，其原理结构如图乙所示，R 0为定值电阻；R 是压敏电阻，其阻值随所受压力F 变化的关系如图丙所示．改写电压表（量程为3V ）的表盘数值后可直接读出所称量物体的质量，设踏板的质量为5kg ，电源电压保持9V 不变，g 取10N/Kg ． （1）空载时，电压表的示数为1V ，求R 0的阻值． （2）该电子秤的量程是多大？ （3）如果保持电子秤结构和电压表量程不变，只在电路中增加一个电阻，使电子秤的量程变为110kg ，计算说明应使用多大的电阻？如何连接？ 4.如图甲为某小汽车测定油箱内油量的电路原理图．其中：Rx 为压力传感器，它的电阻值随受 到压力的变化而变化，阻值随压力变化的关系如图乙所示；表A 为油量表，它实质是一只电流表，油箱内油量的变化通过电流表示数的变化显示出来． R 0是阻值为5Ω的定值电阻，电源电压恒为15V ，油箱位于压力传感器Rx 上，空油箱重50N ．若电流表的量程为0～0.6A ，该油箱加满油时，指针恰好指示最大刻度，求： （1）加满油时R 0两端的电压是多少？Rx 的阻值是多少？ （2）油箱最多能储油多少升？（取g=10N/kg 、ρ汽油=0.7×103kg/m 3）? 专题七二次函数综合题的解题思路 一、方法简述 二次函数综合题通常作为压轴题, 意图通过压轴题考查学生的综合素质，尤其是分析问题、解决问题的能力，发现挖掘学生继续升学的潜力。压轴题设置常见有探究型问题、开放型问题、运动变化型问题、操作型问题、应用型问题等。压轴题常以支撑整个初中数学的核心知识与重要思想方法为载体, 突出能力考查，对学生的阅读能力、计算能力、理解能力、思维能力有较高的要求；主要的形式上是以函数为载体考查函数或几何,其中函数的载体以二次函数为重点。函数考查的内容有求函数的解析式、求相关点的坐标、求函数的最值、研究函数的图象、函数的性质等。代数方面涉及的知识主要有方程、函数、不等式、坐标、和解直角三角形（三角函数的应用）等。 函数不仅与数学其它知识有着密切的联系，而且还有着极为广泛的应用．因此，它是联系数学知识间或数学与实际问题间的纽带和桥梁，是中考数学试卷中不可或缺的重要内容．其呈现方式灵活多变，特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用．二次函数是初中学习的重点与难点，也是高中进一步学习的重要内容。以二次函数为背景的试题常受命题者的青睐，能够全面考查用数析形的技能与计算能力，这也是学生将来学习高中数学知识所必备的。但受所学知识限制，命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来. 在实际问题或综合问题中，一般首先是函数思想指导下确定或选择运用函数，然后建立函数，最后根据函数性质解决相应的问题,突出考查了函数思想在动态几何中的运用.随着对《课程标准》基本理念被更为广泛和更为深入地认识，对“合情推理”与“数学活动过程”的考查也呈增强之势．因此培养并提高学生的合情推理能力，让学生经历数学活动过程，并从中体会及感悟积极的态度与科学的思想方法所蕴涵的意义和作用，都是促进学生创新精神的养成及学习能力提高的有效方式和途径． 二、解题策略 二次函数综合题，综合了初中代数、几何中相当多的知识点，如方程、不等式、函数、三角形、四边形、圆等内容，有些又与生产、生活的实际相结合，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。 不等式有解和恒成立问题 Prepared on 24 November 2020 不等式有解和恒成立问题 知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好） ? 知识点一：不等式恒成立问题 ? 知识点二：不等式有解问题 分析该知识点在中高考中的体现，包含但不仅限于：考察分值、考察题型（单选、填空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题) 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一起考察，需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。 注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的) 一、不等式有解问题 例题：当m 为何值时，2211223 x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立 解法1：二次函数法： 移项、通分得： 又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。 所以：2(2)160m ?=+-<，得到62m -<< 解法2：分离参数法： 注意到2(2)40x m x -++>恒成立，从而有：224mx x x <-+恒成立，那么： 注意到，在上式中我们用到了这样一个性质： 总结：解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法 变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目） 【试题来源】（上海2016杨浦二模卷） 【题目】设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，若b x g a x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】：因为b x g a x g x f +++= )()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a . )1 321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 高中数学恒成立问题的解题策略 论文摘要：在高中数学教学中，我们经常会碰到某些恒成立的问题。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质;二是变量分离。本文对此进行了分析。 关键词：恒成立问题;函数图像;数学 在高中教学中，我们经常会碰到在给定条件下某些结论恒成立的问题，我们怎样来解决呢? 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：(在给定区间上某关系恒成立;(某函数的定义域为全体实数R;(某不等式的解为一切实数;(某表达式的值恒大于等等…… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质，例如，一次函数、二次函数等;二是变量分离。恒成立问题还要注意与存在性问题的区别和联系。 一、利用函数图像与性质 例1：对任意恒成立，求的取值范围。 解：令， 本题关于的二次函数，若二次函数大于0在R上恒成立且(即图像恒在轴上方)。 若二次函数小于0在R上恒成立且(即图像恒在轴下方)。 我们也会经常碰到二次函数在某一给定区间上的恒成立问题，碰到这样的情况，如果我们仍旧可以利用函数图像来解决的话，会更得心应手。 变式1：对任意恒成立，求的取值范围。 解：若对任意恒成立，令，利用其函数图像， ，得 变式2：若时，恒成立，求的取值范围。 分析：可以看成关于的二次函数，也可以看成关于的一次函数，所以在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然，可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数小于0的恒成立问题。 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷。给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于;同理，若在内恒有，则有， 利用的函数图像可知， 变式3：对任意及时，恒成立，求的取值 范围。 分析：不等式中出现了三个字母：，及，关键在于先把哪个字母看成是变量，另外两个作为常数。 方法一：若先把看成关于的二次函数，且在上恒大于等于0，则，即，恒成立与存在性问题的基本解题策略
不等式恒成立问题的几种求解策略(老师用)
力电综合练习题
导数在处理不等式的恒成立问题(一轮复习教案)
恒成立问题的求解策略
专题4.1 中考力电综合计算题(原卷版)
中考数学综合题解题思路分析
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关于不等式恒成立问题的几种求解方法
处理恒成立问题基本方法汇总
高考地理综合题答题技巧总结-精华整理版
数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略
力电综合压轴题
2018中考二次函数综合题的解题思路
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