正多面体的顶点坐标

正多面体的顶点坐标
正多面体的顶点坐标

正多面體的頂點坐標

國立台灣師範大數學系 陳創義

要利用GSP 來作多面體,先要從立體的基本正多面體下手,在正多面體中有許多的對稱,包括旋轉對稱、面對稱、線對稱、點對稱等,因此下列舉出旋轉對稱中的旋轉軸置於z 軸時,某些較簡單形式的頂點坐標標出來,其中旋轉軸在四面體選取的有點到底面中心的連線及兩稜中點連線兩種,另外,正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體選取的有面中心到面中心的連線、稜中點到稜中點的連線、頂點到頂點的連線三種。若一線段長度為a ,正射影到xy 平面的長度為b ,該線段正投影到z 軸的長度為c ,利用畢氏定理知道它們的關係是a 2=b 2+c 2。

正四面體頂點坐標

令表繞旋轉角度O R O a b a b a b O ==-+(,),(,)(,)(cos s i n ,s i n cos ).00θθθθθθ (一)

v v v R O v R O 1001283013312083013424083013

==-=?-=?-(,,);(

,,);((,)(,),);((,)(,),).

(二)

v v v v 12301322301330231340231

3

==-=-=--(

,,);(,,);(,,);(,,).

正六面體頂點坐標

(一

)

12(3(453;64;71;8 2.v v v v v v v v v v v v =====-=-=-=- (二

)

12(34(53;64;72;8 1.v v v v v v v v v v v v =====-=-=-=- (三

)

1111(0,0,1);2(

);3(((,120)();4(((,240)();33333354;62;73;8 1.v v v R O v R O v v v v v v v v ===?=?=-=-=-=-

正八面體頂點坐標

(一

)

12((,1203((,24043;51;6 2.v v R O v R O v v v v v v ==?=?=-=-=- (二

)

12(3(0,1,0);

43;52;6 1.v v v v v v v v v ====-=-=- (三)

1(1,0,0);2(0,1,0);3(0,0,1);43;52;6 1.v v v v v v v v v ====-=-=-

正十二面體的坐標

(一

)

(0,0),(,)(,)(cos sin ,sin cos ).1(0,0,1);

2222(3((,120)(4((,240)(33311

5();6();

33317((,120)();8663O R O a b a b a b O v v v R O v R O v v v R O v θθθθθθ==-+===?=?==+=?-令表繞旋轉

角度31

((,120)();

66311

9((,240)();10((,240)();

33

118;129;1310;145;156;167;174;182;193;20 1.

R O v R O v R O v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v =?-=?=?=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

(二)

1234(5(67(0,

8(0,6666910119;1210;138;v v v v v v v v v v v v v v v v ========-===-=-=-147;155;166;173;184;192;20 1.

v v v v v v v v v v v v v v =-=-=-=-=-=-=-

(三

)

1122111111111122221(,0,);2((,72)(,0),);3((,144)(,0),);4((,216)(,0),);5((,288)(,0),);

6(,0,);7((,72)(,0),);8((,144)(r c r c v r c v R O r c v R O r c v R O r c v R O r c v r c v R O r c v R O =

=====?=?=?=?==?=?令222222,0),);9((,216)(,0),);10((,288)(,0),);119;1210;136;147;158;164;175;181;192;20 3.

r c v R O r c v R O r c v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v =?=?=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

正二十面體頂點坐標

(一

)

11221111112222221(,0,);2((,120)(,0),);3((,240)(,0),);4((,60)(,0),);5((,180)(,0),);6((,300)(,0),);75;86;94;10r c r c v r c v R O r c v R O r c v R O r c v R O r c v R O r c v v v v v v v =

=====?=?=?=?=?=-=-=-=-令3;111;12 2.v v v v v =-=-

(二

)

12(34(0,56(75;86;94;103;112;12 1.v v v v v v v v v v v v v v v v v v =======-=-=-=-=-=-

(三

)

1(0,0,1);23((,724((,1445((,2166((,28875;86;92;103;114;12 1.v v v R O v R O v R O v R O v v v v v v v v v v v v ===?=?=?=?=-=-=-=-=-=-

初二数学二次函数顶点坐标公式

初二数学二次函数顶点坐标公式初二数学二次函数顶点坐标公式 一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数,a0). (3)交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2) (4)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a0. 二次函数顶点坐标公式 说明: 观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:

乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨,我问:“雨下得怎样?”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编的一首儿歌:“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后气象变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。我还在观察的基础上,引导幼儿联想,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的,尖尖的,硬硬的,像医生用的手术刀―样,给大树开刀治病。通过联想,幼儿能够生动形象地描述观察对象。(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点. 要练说,得练听。听是说的前提,听得准确,才有条件正确模仿,才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中,注意听说结合,训练幼儿听的能力,课堂上,我特别重视教师的语言,我对幼儿说话,注意声音清楚,高低起伏,抑扬有致,富有吸引力,这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼

二次函数的顶点坐标公式教学设

二次函数的顶点坐标公式教学设计 教学目标: 1.知识:(1)自主探索y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标公式、对称轴方程、最值公式.(2)体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性. 2.能力:(1)会应用配方法把二次函数的一般式化为顶点式. (2)会熟练运用配方法和公式法解决有关二次函数的实际问题. 3.情感与价值观:(1)进一步体会从简单到复杂,从一般到特殊的数学思想方法.(2)体会数学与生活的密切联系,激发学生学习的兴趣,发展学以致用的精神. 教学重点: 运用二次函数的顶点坐标公式和对称轴方程解决有关实际问题. 教学难点: 把实际问题转化为数学问题的过程 教学方法:引导探索发现法 教学过程: 一、创设情境,引入新课

2 2 2 在前几节课,我们学习了二次函数 y=a (x-h )2+k (a≠0)的图象及性 质,而我们第 4 节的课题是:y= ax 2+bx+c (a≠0),(北师大版九年级数 学下册),它们之间又是什么关系?你能解决下列问题吗? 1.你能把 y=a (x-h ) + k (a≠0)化成 y= ax 2+bx+c (a≠0)的形式吗? (去括号,合并同类项)反之你能把 y= ax 2+bx+c (a≠0)化成 y=a (x-h ) 2 +k (a≠0)的形式吗? 2.一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?是如何得到 的?(复习配方法) 二、引导探索,学习新课 1.用配方法把 y= ax 2+bx+c 化成 y=a (x-h )2+k (a≠0)的形式. y= ax 2+bx+c =a (x 2+ x )+c (化二次项系数为 1,最好不要把常数项括到括号里) = a[x 2+ x+( )2-( )2]+c.(配方) =a (x+ )2- +c=a (x+ )2+ .(合并同类项) 2.顶点坐标公式 比较 y=a (x+ ) + 与 y=a (x-h )+k 发现,此时 h=- ,k= ;故 y= ax 2+bx+c (a≠0)的顶点坐标公式是(- , ),对称轴方程:x=- ,最值公式: y= ;当且仅当 x=- 时,函数有最大或最小值 y= .

二次函数公式(精华)

★二次函数知识点汇总★ 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =) (0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0a 时,开口向上;当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ③0c ,与y 轴交于正半轴;③0

抛物线顶点坐标的求法(公式法)

抛物线顶点坐标的求法(公式法) 1、二次函数表达式的“一般形式”为 ; 李丹与王涓(2019届bobo ) 2、二次函数表达式的“配方形式”为 ; 一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标 1、先把“一般形式”的二次函数 c bx ax y 2++=( a ≠)转化成“配方形式” 为 ,再依据由“配方式”看顶点坐标的方法,可知其顶点坐标 为 ,我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”; ①、求二次函数35x 2x y 2+=-的顶点坐标以及最值? 解:由顶点坐标公式得:==2a b x - 顶横 ; ==4a b 4a c y 2-顶纵 ; ∴ 顶点坐标为 ; 又∵ 抛物线开口向 ,有最 点,∴ y 有最 值; 即:当=x 时, = ; ②、求二次函数3112x 2x y 2--+=的顶点坐标,并对函数的增减性作出描述? 解:由顶点坐标公式得:==2a b x - 顶横 ; 把=顶横 x 代入函数表达式得:=顶纵y = ; ∴ 顶点坐标为 ; 又∵ 抛物线开口向 ,所以, 在对称轴的左侧,即当自变量x 时,y 的值随x 的增大而 ; 在对称轴的右侧,即当自变量x 时,y 的值随x 的增大而 ; ③、求二次函数3112x 2x y 2--+=的顶点坐标、并在当4<5x ≤时,求函数y 的最值? 解:由顶点坐标公式得:==2a b x - 顶横 ; ∴ 可设抛物线的表达式为:( )()k x y 2+=,易求=k ; ∴ 原表达式化为配方式为 ,则顶点坐标为 ; 又=顶横 x ,不在“4<5x ≤”的范围内,∴ 函数y 的最值“不在”顶点处取, 由图形可知,当=x 时,=min y ;

二次函数顶点坐标

二次函数y=x 2练习(认识抛物线顶点坐标开口方向最值部分) 1.函数y =622--a a ax 是二次函数,当a =_____时,其图象开口向上;当a =_____时,其图象开口向下. 2.填右表并填空: (1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y 随着x 的增大而增大;在 侧,y 随着x 的增大而减小,当x= 时,函 数y 的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x 轴的 方(除顶点外). (2)抛物线y =-1/3x 2在x 轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y 随着x 的 ;在对称轴的右侧,y 随着x 的 ,当x=0时,函数y 的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0。 3.已知正方形的边长为a ,面积为S 。 (1)你能列出面积S 与边长a 的函数关系式吗? (2)S 是a 的 次函数; (3)a 能否小于零? (4)你能作出面积S 随边长a 变化而变化的函数图象吗? 4.二次函数y=x 2,若y >0,则自变量x 的取值范围是( ) A .可取一切实数 B .x ≠0 C .x >0 D .x <0 5.抛物线y =-x 2不具有的性质是( ) A .开口向下 B .对称轴是Y 轴 C .与Y 轴不相交 D .最高点是原点 6.抛物线y=2x 2,y=-2x 2,y=2 1x 2共有的性质是( ) A .开口向上 B .对称轴是Y 轴 C .都有最低点 D .y 随x 的增大而减小 7.二次函数y=3x 2 的图象是关于 对称的曲线,这条曲线叫做 ,它的开口 ,与x 轴交点坐标是 。当x >0,y 的值随x 的值增大而 。当x <0,y 的值随着x 值的增大而 ,当x= 时,y 有最小值,最小值是 8.点A (3,m )是抛物线y =-x 2上一点,则m = ,点A 关于y 轴对称点B 的坐标是 点A 关于原点对称点C 的坐标是 ;点B 、C 关于 对称。 9.(2006,武汉)已知二次函数的图象开口向下,且经过原点。请写出一个符合条件的二次函数的解析式

二次函数一般式与顶点坐标公式练习

已知函数 ()4 12- + =x y. (1)该抛物线经过怎样的平移能经过原点. (2)画出该函数图象,并根据图象回答:当x取何值时,函数值大于0;当x取何值时,函数值小于0. 1、二次函数 k h x a y+ - =2) ( 的图像和 2 ax y= 的图 像之间的关系。 2.二次函数y=a(x-h)2+k的性质: 问题一:将一般式转化为顶点式 试将下列函数转化为顶点式,并说出其对称轴,顶点坐标。 (1) 262 y x x =-- (2) 2 1 2 4 y x x =--+

(3) 2 961y x x =-+ 问题二:顶点坐标公式 将 2 y ax bx c =++转化为顶点式: 2222 22 22222424y ax bx c b c a x x a a b b b c a x a a a a b ac b a x a a =++? ?=++ ? ? ???????=+?+-+?? ? ?????????-? ?=++ ?? ? 22,24,24y ax bx c b x a b a c b a a =++=-?? -- ? ?? 因此,二次函数的图像是 一条抛物线,它的对称轴是直线顶点是 利用顶点坐标公式填写下列表格:

问题三: y=a (x-2)(x+3)与x 轴的交点坐标是 , 二次函数图象的顶点坐标 ,对称轴 ,开口方向 。 例1当x= 时,二次函数y=x 2 +2x-2有最小值. 例2、若抛物线y=-x 2 +4x+k 的最大值为3,则k= 试一试: 1、函数2 1 262y x x =+-的顶点坐标为 ,当x= 时,y 取最 值为 .与坐标轴的交点坐标,分析增减性,用5点作图法完成作图。 2、当x 为实数时,代数式x 2 -2x-3的最小值是 ,此时x= . 3、求二次函数62 +--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标

用顶点式求二次函数解析式

一、 用顶点式求二次函数解析式。 例题:已知抛物线的顶点为(1,3)经过点(3,0) 解:设抛物线的解析式为k h x a y +-=2 )( 把顶点(1,3)代入得:3)1(2+-=x a y 把点(3,0)代入得:03)13(2 =+-a 解得:43 - =a ∴抛物线解析式为:3)1(4 32 +--=x y 练习1:已知抛物线的顶点为(-1,4)经过点(2,-5) 2.已知抛物线y =ax 2 经过点A (1,1).(1)求这个函数的解析式; 3.已知二次函数的图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,0),求此二次函数的解析式. 4.抛物线y =ax 2 +bx +c 的顶点坐标为(2,4),且过原点,求抛 物线的解析式. 5.已知二次函数为x =4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1,求此二次函数解析式. 6.抛物线y =ax 2 +bx +c 经过(0,0),(12,0)两点,其顶点的纵坐标是3,求这个抛物线的解析式. 7.把抛物线y =(x -1)2 沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3,0),求平移后的抛物线的解析式. 8.已知二次函数m x x y +-=62 的最小值为1,求m 的值. 9.已知抛物线经过A (0,3),B (4,6)两点,对称轴为x=5 3 , 求这条抛物线的解析式; 10. 若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8,且顶点坐标为(1, 5),则它们的解析式为 。 二、 用三个点求二次函数解析式 例题:二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7) 解:设二次函数的解析式为:c bx ax y ++=2 把点(-1,10),(1,4),(2,7)代入得: ???? ?=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得:??? ??=-==5 32c b a ∴抛物线解析式为:5322 +-=x x y 练习11:二次函数的图象经过(0,0),(-1,-1),(1,9) 12.已知二次函数y=ax 2 +bx +c ,当 x=0时,y=0;x=1时,y=2;x=-1时,y=1.求a 、b 、c ,并写出函数解析式

顶点坐标公式_公式总结

顶点坐标公式_公式总结 二次函数抛物线顶点式&顶点坐标 顶点式:y=a(x-h)^2+k (a≠0,k为常数,x≠h) 顶点坐标:(-b/2a),(4ac-b^2)/4a) 二次函数y=ax2;,y=a(x-h)2;,y=a(x-h)2;+k,y=ax2;+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 顶点坐标 [0,0] [h,0] [h,k] [-b/2a,(4ac-b2)/4a ] 对称轴 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到, 当h当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h>0,k当h0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象; 当h因此,研究抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上"当a3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); (2)当△=b2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1|=. 当△=0.图象与x轴只有一个交点; 当△0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a 5.抛物线y=ax2+bx+c的最值:如果a>0(a顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值. 6.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

二次函数顶点对称轴,解析式

《二次函数的图象》教案 一、教学目标 (一)知识目标 1.使学生会用描点法画出二次函数的图象; 2.使学生会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴(对于不升学的学生,只要求会用公式确定抛物线的顶点和对称轴); 3.使学生进一步理解二次函数与抛物线的有关概念; 4.使学生会用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式. (二)能力目标 1.培养学生分析问题、解决问题的能力; 2.向学生进行配方法和待定系数法的渗透,使学生能初步掌握; (三)情感目标 1.向学生进行事物间是互相联系及互相转化的辩证唯物主义观点教育.2.通过二次函数的进一步研究,让学生认识到二次函数的对称轴、顶点坐标与二次项系数、一次项系数及常数项之间的内在联系的数学美及和谐的数学美. 二、教学方法 教师采用比较法、观察法、归纳总结法 本节重点是求二次函数解析式及将二次函数的解析式配方,确定抛物线的顶点、对称轴等特征,进而画出这条抛物线,在学习中,学生不要死记硬背,要运用数形结合思想,熟练画出抛物线草图,结合图像研究函数的性质以及不同图像之间的相互关系. 三、重点·难点·疑点及解决办法 1.教学重点:用配方法确定抛物线的顶点坐标求对称轴及用待定系数法由已知图像上三点的坐标求二次函数的解析式.因为它们是画出二次函数的图像的基础. 2.教学难点:配方法的推导过程,因为虽然这种方法在前面学习一元二次方程时介绍过,但是在配方的过程中需要考虑加、减的数,对学生有一定的难度. 3.教学疑点:顶点式与一般式如何转化 四、教学媒体 三角板小黑板 五、教学设计思路 1.出示一组练习,导入新课. 2.“如何画的图像?”教师提问,让学生去讨论、发现:要写成的形式,找出对称轴,引入由一般式化成顶点式,推导出顶点坐标公式. 3.学生练习,为了强化巩固. 六、教学步骤 提问:说出下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标: (1) (2) (3) (4) (5)(出示幻灯) 通过这些练习题,使学生对以前的知识加以复习巩固,以便这节课的应用.这几个问题可找层次较低的学生回答,由其他同学给予评价. 我们已画过二次函数的图像,画它的图象的第一步是干什么?(列表)列表时我们是怎样取值的呢?(先确定中心值)若我们要画二次函数的图象应怎么办呢? 学生讨论得到:把二次函数转化成的形式再加以研究. 提问:怎样能把二次函数转化成的形式呢?我们先来看几个练习题:(出示幻灯)

几种正多面体的相互呼应

几种正多面体的相互呼应 南师附中江宁分校 韦恩培 近年来,在高考中常考查以某一正多面体为背景的立体几何题,此类问题运用不同的方法解决效果是显然不同的。 1、 常用的三种正多面体的呼应 众所周知,正多面体只有五种:正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正 二十面体。 正四面体,正六面体,正八面体之间可以相互呼应。 在正方体中可以产生正四面体;(正方体对面的一对异面对角线的顶点是正四面体的顶点)如图(1) 在正方体中可以产生正八面体;(正方体六个面的中心是正八面体的顶点)如图(2) 在正八面体中可以产生正方体;(正八面体的八个面的中心是正方体的顶点)如图(3) 在正八面体中可以产生正四面体;(正八面体的两对对面的中心,连线异面的四个面的中心是正四面体的顶点)如图(4) 在正四面体中可以产生正八面体;(正四面体六条棱的中点是正八面面体的顶点)如图(5) 在图(5)的基础上,结合图(4)就能在正四面体中产生正方体。 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 图(6) 相互转化的目的。 2、应用呼应解题

在高考的考查中经常会利用它们之间的相互转化而达到巧解的目的。 例1、一个四面体的所有棱长都为2,四个项点在同一球面上,则此球的表面积为( ) A .3π B .4π C .3π3 D .6π 提示:利用图(1)正方体产生正四面体具有共同的外接球,即求棱长为1的正方体的外接球的表面积,易求得为π3,选A 。 例2、有一棱长为a 的正四面体骨架(架的粗细忽略不计),其内放置一气球,对其充气,使其尽可能地膨胀(成为一个球)则气球表面积的最大值为 ( ) A .2 a π B . 22 2a π C .2 2 1a π D . 24 1a π 提示:利用图(2)正方体可以产生正八面体,正八面体可以产生正四面体知,符合条件的球即为棱长为 a 2 2 的正方体的内切球,易求得其表面积为221a π,故选C 。 例3、如图(6)棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -,过11BC A 的平面截去正方体一角(三棱锥111BC A B -),象这样依次截去正方体所有角,则剩下的几何体的体积为 。 提示:根据图(2)在正方体中可以产生正八面体得,所剩下几何体为 正方体的六个面中心作为顶点的正八面体,易求得其体积为 3 6 1a 。 例4、在甲烷的分子式4CH 中,四个H 位于一个正四面体的四个顶点上,C 位于该正四面体的中心,现已知H 与H 之间的距离为a ,则C 与H 之间的距离为 。 提示:由图(1)易知:该问题等价于已知正方体的面对角线长为a ,求正方体对角线长的一半。易求得结果为 a 4 6 。 例5、正三棱锥S —ABC 的侧棱与底面边长相等,如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点,那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 ( ) A . 90 B . 60 C . 45 D . 30 提示:根据图(1)易知答案为C 。

二次函数一般式与顶点坐标公式

一般式y =ax 2+bx +c 与顶点式y=a(x-h)2+k 导学案 一、学习目标: 1、会利用配方法将一般式y =ax 2+bx +c 转化为顶点式y=a(x-h)2 +k 2、用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 二、知识回顾: 1、二次函数k h x a y +-=2)(的图像和2ax y =的图像之间的关系。 2.二次函数y=a(x-h)2+k 的性质: 三、沙场点兵: 问题一:如何将一般式转化为顶点式 1、填空: 例:2 283x x --+ 22222(4)32(444)32(2)832(2)11x x x x x x =-++=-++-+=--++=--+ (1)2 2 245 ( ) x x x ++=-+ (2) 2 2 443 ( ) x x x -+-=-+ (3)22121 ( ) 2x x x -+=-+ (4)22 224 ( ) 3 x x x --+=-+ 2、你能根据上述经验回答下列问题吗?已知函数2 21213y x x =-+: (1)请把这个函数解析式转化为顶点式 (2)根据顶点式,说出该函数图像的开口方向,对称轴,顶点坐标和增减性 随堂练习: 试将下列函数转化为顶点式,并说出其对称轴,顶点坐标。 (1)262y x x =-- (2)2 124 y x x =--+ (3)2961y x x =-+ 问题二:顶点坐标公式 将2y ax bx c =++转化为顶点式: 2222 2222222424y ax bx c b c a x x a a b b b c a x a a a a b ac b a x a a =++? ?=++ ? ? ???????=+?+-+?? ? ?????????-??=++ ?? ? 22,24,24y ax bx c b x a b a c b a a =++=-?? -- ???因此,二次函数的图像是 一条抛物线,它的对称轴是直线顶点是 随堂练习:

正多面体的顶点坐标

正多面體的頂點坐標 國立台灣師範大數學系 陳創義 要利用GSP 來作多面體,先要從立體的基本正多面體下手,在正多面體中有許多的對稱,包括旋轉對稱、面對稱、線對稱、點對稱等,因此下列舉出旋轉對稱中的旋轉軸置於z 軸時,某些較簡單形式的頂點坐標標出來,其中旋轉軸在四面體選取的有點到底面中心的連線及兩稜中點連線兩種,另外,正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體選取的有面中心到面中心的連線、稜中點到稜中點的連線、頂點到頂點的連線三種。若一線段長度為a ,正射影到xy 平面的長度為b ,該線段正投影到z 軸的長度為c ,利用畢氏定理知道它們的關係是a 2=b 2+c 2。 正四面體頂點坐標 令表繞旋轉角度O R O a b a b a b O ==-+(,),(,)(,)(cos s i n ,s i n cos ).00θθθθθθ (一) v v v R O v R O 1001283013312083013424083013 ==-=?-=?-(,,);( ,,);((,)(,),);((,)(,),). (二) v v v v 12301322301330231340231 3 ==-=-=--( ,,);(,,);(,,);(,,). 正六面體頂點坐標

(一 ) 12(3(453;64;71;8 2.v v v v v v v v v v v v =====-=-=-=- (二 ) 12(34(53;64;72;8 1.v v v v v v v v v v v v =====-=-=-=- (三 ) 1111(0,0,1);2( );3(((,120)();4(((,240)();33333354;62;73;8 1.v v v R O v R O v v v v v v v v ===?=?=-=-=-=- 正八面體頂點坐標 (一 ) 12((,1203((,24043;51;6 2.v v R O v R O v v v v v v ==?=?=-=-=- (二 ) 12(3(0,1,0); 43;52;6 1.v v v v v v v v v ====-=-=- (三) 1(1,0,0);2(0,1,0);3(0,0,1);43;52;6 1.v v v v v v v v v ====-=-=-

配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标

配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标 提取二次项系数 加上再减去一次项系数一半的平方 例1、试用配方法把二次函数①y =-2x 2+4x -4 ②5632+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式并完成下表: 练习;一、填空题: 1.抛物线y=2x 2+4x+m 2-m 经过坐标原点,则m 的值为 。 2.抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为(1,3),则b = ,c = . 3.抛物线y =x 2+3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线y =ax 2-6x 经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) c bx ax y ++=2??? ? ?++=a c x a b x a 2??? ? ??+??? ??-??? ??++=a c a b a b x a b x a 22222????????-+??? ??+=222442a b ac a b x a .44222a b ac a b x a -+??? ??+=.2:a b x -=它的对称轴是直线.44,22???? ? ?--a b ac a b 它的顶点是

5.已知抛物线y =x 2+(m -1)x -14 的顶点的横坐标是2,则m 的值是_ . 6.抛物线y=x 2+2x -3的对称轴是 。 7.若二次函数y=3x 2+mx -3的对称轴是直线x =1,则m = 。 8.当n =______,m =______时,函数y =(m +n)x n +(m -n)x 的图象是抛物线, 且其顶点在原点,此抛物线的开口________. 9.已知二次函数y=x 2-2ax+2a+3,当a= 时,该函数y 的最小值为0. 10.已知二次函数y=mx 2+(m -1)x+m -1有最小值为0,则m = ______ 。 11.已知二次函数y=x 2-4x+m -3的最小值为3,则m = 。 二、用配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标 1、y=x 2-x-2 2、y=12 1212++-x 3、y=12 1212+--x x 4、y=22++-x x

二次函数顶点坐标公式

函数在数学中占有很大的比例,但是函数的学习却很复杂。其考察的内容有很多方面,开口方向、对称轴及坐标公式都是考察的重点。下面为大家整理了二次函数顶点坐标的相关公式,希望能帮到大家。 一、基本简介 一般地,我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数,其中a称为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。x为自变量,y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。 主要特点 变量不同于未知数,不能说二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。未知数只是一个数(具体值未知,但是只取一个值),变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用未知数的概念(函数方程、微分方程中是未知函数,但不论是未知数还是未知函数,一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况),但是函数中的字母表示的是变量,意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。 二次函数图像与X轴交点的情况 当△=b²-4ac;0时,函数图像与x轴有两个交点。 当△=b²-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点。 当△=b²-4ac0时,函数图像与x轴没有交点。 二、二次函数图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误,那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 轴对称 二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 特别地,当b=0时,二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。 a,b同号,对称轴在y轴左侧. a,b异号,对称轴在y轴右侧. 顶点 二次函数图像有一个顶点P,坐标为P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b²/4a).当 h=0时,P在y轴上;当k=0时,P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x- h)²+k。 h=-b/2a,k=(4ac-b²)/4a。 开口方向和大小 二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 当a;0时,抛物线向上开口;当a0时,抛物线向下开口。 |a|越大,则二次函数图像的开口越小。 决定对称轴位置的因素折叠 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a;0,与b同号时(即ab;0),对称轴在y轴左;因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号 当a;0,与b异号时(即ab0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a;0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号 可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab;0),对称轴在y轴左;当a 与b异号时(即ab0 ),对称轴在y轴右。 事实上,b有其自身的几何意义:

正多面体

正多面体 有一次一个平常的英国孩子詹姆斯,在醉心于制作多面体模型时,写信给父亲:“……我做了四面体、十二面体以及两个不知道名称的多面体.”他当时还是一个毫无名气的孩子.这些话意味着伟大物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦尔诞生了.想象一下,你们自己和你们亲人醉心于制作几何物体模型的情形. 本书的这几页是家庭作业.新年临近,这是最欢乐和美丽的节日.除了传统的枫树装饰(炮仗和小挂灯)外,你们可以制作几何玩具.这是用彩色纸做成的正多面体模型.考察下图,在这图上画着四面体、正方体、八面体、十二面体和二十面体.它们的形状是完美的典型! 你们能觉察到一系列有趣的特点,也正是这些性质使它们得到了相应的名称.每一个正多面体的所有面都是相同的正多边形,在每一个顶点集聚着同样数量的棱,而相邻的面在相等角下毗连. 数一下每一个多面体具有的顶点数(V)、棱数(E)和面数(F),并且把结果记入表中. 在最后一栏,这些多面体得到的是同一个结果:V+F-E=2.最令人惊奇的是它不仅对正多面体,而且对所有多面体都正确! 若有兴趣你们可以对某些胡乱取得的多面体进行验证.最伟大的数学家之一列昂纳德·欧拉(1707-1783)证明了这一令人惊叹的关系式,因此公式以他命名:欧拉公式.这位出生于瑞士的天才学者几乎整个一生居住在俄罗斯,我们完全有理由和自傲地将他引为自己的同胞. 正多面体还有一个特点.我们发现:正四面体有一性质:如果把它的每个面的中心作为新的多面体的顶点,那么我们重新得到一个正四面体.余下的4个正多面体恰可分成两对.正方体各面的中心组成一个正八面体,而正八面体各面的中心则组成正方体.同样,可以发生的另一对类似联系是正十二面体和正二十面体. 正多面体所具有的完美的形状和漂亮的数学规律使这五种几何物体具有某种神秘色彩,以致于很久以前它们就是神术者和占星家的必要伴侣.如果你们致力于正多面体的研究和制作,那么肯定会使你们感到欢乐和满意,甚至有可能在新的一年里给你带来好运气! 在下图中给出这些枞树上玩具的展开图.在制作模型时不要忘记在需要的地方留一片瓣膜为粘接用.

二次函数顶点坐标问题

二次函数顶点坐标问题 例4. 已知抛物线的解析式是。求: (1)该抛物线绕x轴翻转180°所得图象的函数解析式。 (2)该抛物线绕顶点旋转180°所得图象的函数解析式。 (3)该抛物线向右平移2个单位,再向上平移3个单位所得图象的函数解析式。 解析:(1)绕x轴翻转180°后的抛物线和原抛物线的形状相同,开口方向相反,顶点关于x轴对称。 原抛物线可变形为,顶点(1,5)关于x轴的对称点是(1,)所以新抛物线的解析式为,即 (2)绕顶点旋转180°后的函数图象,开口方向与原抛物线相反,顶点不变。参照(1)得新抛物线解析式为,即 (3)抛物线的平移用一般式来解比较麻烦,而用顶点式则简单多了。依题意得 ,即 五、求抛物线与x轴的两交点和顶点所围成三角形的面积 例5. 已知抛物线的解析式为,其图象与x轴的两交点为A,B,顶点为C。 (1)求△ABC的面积。 (2)抛物线上是否存在点P,使得△ABP的面积为1?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。 解析:(1)易知抛物线与x轴两交点的坐标分别为(1,0),(3,0) 所以AB=2

由,得,可知 故 (2)由(1)知点C为满足条件的一个点P,在x轴的上方肯定还有另外两个点满足要求。 因△ABP面积为1,所以,即 当时,,解得 所以点P的坐标为或(2,) 六、求函数最大值,设计出最佳方案 例6. 心理学家发现,学生对概念的接受能力y与接受概念所用时间x(单位:min)之间满足。y值越大,表示接受能力越强。 (1)x在什么范围内时,学生的接受能力逐渐增强?x在什么范围内时,学生的接受能力逐渐降低? (2)第10 min时,学生的接受能力是多少? (3)第几分钟时,学生的接受能力最强? 解析:抛物线是轴对称图形,找出抛物线的对称轴,就很容易确定其增减性。由条件知 (1)当时,学生的接受能力逐渐增强;当时,学生的接受能力逐渐降低。 (2)当时,,即学生的接受能力为59。(3)当时,y取得最大值为59.9。

2.4二次函数公式法求顶点坐标

2.4公式法求顶点坐标 教学目标:熟记二次函数c bx ax y+ + =2的顶点坐标公式,熟练运用公式法求二次函数的顶点坐标。 知识回顾: 1、y=a(x-h)2+k的形式称为顶点式,顶点坐标是_________________.它的对称轴是 ______________,最值是________________________. 新知探究: 2、用配方法推导二次函数y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标及最值。 对称轴:;顶点坐标:;最值。 小结:将一般形式化为顶点形式是:y=ax2+bx+c=_________________ 结论:二次函数y=ax2+bx+c的图像是_______________,顶点坐标是____________.其中, h=____________,k=____________.它的对称轴是直线______________,最值。3、练习,用公式法求下列函数的顶点坐标、对称轴、最值 (1)y=x2-2x+4;(2). y=-2x2-7x+1 (3)y=1-2x-3x2;(4) y=2(1-x)(x+2) (5)y=1 7 2 72+ -x x;(6)y=4x2+5x 4. 画出函数y=-x2+4x的图像 解:先将y=-x2+4x配方为顶点式得:

课后反馈 一. 公式法求下列函数的顶点坐标. 1 y =3x 2-2x +4; 2. y =-2x 2-7x+3 二. 公式法求下列函数的对称轴 3. y =2 3 5252 + -x x ; 4. y =5+7x -5x 2; 三 公式法求下列函数的最大值或最小值: 5. y =- 2 3x 2 -5x +1. 6. y =3x 2-5x +6 三 公式法求下列函数的顶点坐标、对称轴、最值: 7 y =-4x 2+5x -3 8. y =7x 2+5x 四.用配方法求下列函数的顶点坐标、对称轴、最值 9. y =-3(x-2)(x+3); 10. y =4 1x 2 -x +2. 五.画出函数y =x 2-4x 的图像 解:将y =x 2-4x 配方为顶点式得: 列表 新|课|标|第|一|网

多面体简介

MTS2007第一屆全國高中數學教學研討會論文集市立高雄女中林義強 第九場次 第177頁至第192頁 多面體簡介{P o l y h e d r o n} kghs_john@https://www.360docs.net/doc/6c12363386.html, 高雄市立高雄女中 林義強 編授 [ Contents ] : {1}.從柏拉圖多面體談起( Platonic Solids ) {2}.阿基米得多面體( Archimedean Solids ) {3}.加泰朗多面體( Catalan Solids ) {4}.喀卜勒-龐索多面體( Kepler-Poinsot Solids ) {5}.自製多面體模型玩具 {6}.參考資料 『Geometry is a skill of the eyes and the hands as well as of the mind.』 『幾何 是 眼、手 及 心靈 的 技能。』 J e a n J.P e d e r s o n 177

多面體簡介 { Polyhedron } 178 {1}. 從柏拉圖多面體談起( P l a t o n i c S o l i d s ) [1]. Construct Platonic Solids [2]. Important facts about Platonic Solids 柏拉圖多面體每面均由全等的正多邊形所組成,且要求每個頂點的組態一致;為"凸"的正多面體,共有正四面體( T e t r a h e d r o n ) , 正六面體( H e x a h e d r o n 或C u b e ) , 正八面體( O c t a h e d r o n ) , 正12面體( D o d e c a h e d r o n ) , 正20面體( I c o s a h e d r o n )等五個。 古希臘人已經知道有上述五個正多面體,柏拉圖( P l a t o , B C 427-B C 347 )在其著作 ( T i m a e u s )中已有描述;時約公元前350年。 歐基里得( E u c l i d o f A l e x a n d r i a , a b o u t B C 325-B C 265 ) 在其"幾何原本( E l e m e n t s )"最後一個命題也已完成証明 "凸正多面體恰有如上述五個"。 (P01). 正四面體: 4{3} (由 4 個正三角形構成) (P02). 正六面體: 6{4} (由 6 個正方形構成) (P03). 正八面體: 8{3} (由 8 個正三角形構成) (P04). 正十二面體: 12{5} (由 12 個正五邊形構成) (P05). 正二十面體: 20{3} (由 20 個正三角形構成)

初二数学公式归纳:顶点坐标公式

初二数学公式归纳:顶点坐标公式怎样掌握好每门课程这个问题被很多学生频繁的问起,小编特地为大家整理了初二数学公式归纳:顶点坐标公式,希望对大家学习公式有所帮助。 二次函数抛物线顶点式顶点坐标 顶点式:y=a(x-h)^2+k (a≠0,k为常数,x≠h) 顶点坐标公式顶点坐标:(-b/2a),(4ac-b^2)/4a) 二次函数y=ax2;,y=a(x-h)2;,y=a(x-h)2;+k, y=ax2;+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 顶点坐标 [0,0] [h,0] [h,k] [-b/2a,(4ac-b2)/4a ] 对称轴 x=0

x=h x=h x=-b/2a 当h0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到, 当h0时,则向左平行移动|h|个单位得到. 当h0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k 个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 因此,研究抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便. 2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象:当a0时,开口向上当a0时,开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是 [ -b/2a,(4ac-b2)/4a] 3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),若a0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a0,

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