新课标Ⅱ第一辑2016届高三上学期第二次月考 数学(理) Word版含答案

高2016级高三第二次月考数学理试题

第Ⅰ卷（12题：共60分）

一、 选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合{|lg(2)},{|M x y x N y y ==-==，则 （ ） A ．M N ? B ．N M ? C ．M N = D ．N M ∈

2．下列说法正确的是 （ ） A ．命题“若2

1x =，则1x =”的否命题为“若2

1x =，则1x ≠” B ．“1x =-”是“2

560x x --=”的必要不充分条件

C ．命题“2,10x R x x ?∈++<”的否定是“2,10x R x x ?∈++<”

D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 3．若复数2014

1(

)1i z i

+=-，则l n ||z = （ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．不存在

4．在等差数列{}n a 中，3923a a +=，则数列{}n a 的前9项和等于 （ ） A ．9 B ．6 C ．3 D ．12 5．已知3

cos 5

α=，则2

c o s2s i n αα+的值为 （ ）

A ．

925 B ．1825 C ．2325 D ．34

25

6．

1

()x

e

x dx +?的值为 （ ）

A ．e

B ．1e +

C ．12e -

D ．1

2

e + 7．已知()

f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2

()2f x x x =+，则满足

2(2)()f x f x -<

的实数x 的取值范围为 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(,2)-∞- C ．(,2)(1,)-∞-+∞U D ．(2,1)- 8．设函数()|sin(2)|3

f x x π

=+

，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是 （ ）

A ．()f x 是偶函数

B ．()f x 的最小正周期为π

C ．()f x 在区间7[

,

]312ππ

上是增函数 D ．()f x 的图象关于点(,0)6

π

-

对称

9．已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PA PB ?uu r uu r 的

最小值为 （ ） A

．4- B

．3- C

．4-+ D

．3-+ 10．已知函数()ln 1(0)a

f x x a x

=

+->在定义域内有零点，则实数a 的取值范围 是 （ ） A ．1a ≤ B ．01a <≤ C ．1a ≥ D ．1a >

11．已知正实数,x y 满足24x y xy ++=，若对任意满足条件的,x y 都有

2

()1()0x y m x y ++-+≥恒成立，则实数m 的取值范围为 （ ）

A ．5

(,]2-∞ B ．5[,)2+∞ C ．3(,]2-∞ D ．3[,)2

+∞ 12．对于函数(),()f x g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使得00|()()|1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“互相接近点”。现给出两个函数： ①2(),()22f x x g x x ==-；

②()()2f x g x x =+； ③()ln ,()f x x g x x ==；

④()1,x

f x e

-=+1

()g x x

=-。

则在区间(0,)+∞上存在唯一“相互接近点”的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③

第Ⅱ卷（10题：共90分）

二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）

13． 已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u r u u u r u u u r

，且,,A B C 三点共线，则k = 。

14． 数列{}n a 满足111,,*21

n

n n a a a n N a +==

∈+，则通项n a = 。

15．已知集合0{(,)|}4312x x y y x

x y ≥??

≥??+≤?表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点(,)P x y ，若23

1

x y u x ++=

+，则u 的取值范围是 。

16．若函数()y f x =为定义在R 上的减函数，函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，

,x y 满足不等式22(2)(2)0,(1,2),(,),f x x f y y M N x y O -+-≤为坐标原点，则当

14x ≤≤时，OM ON ?u u u r u u u r

的取值范围为 。

三、解答题（包括6小题，共70分） 17． （本题10分）

已知集合2

4

{|4},{|1}3

A x x

B x x =<=<+。 （1）求集合B A ；

（2）若不等式2

20x ax b ++<的解集为B ，求,a b 的值。

18． （本题12分）

已知函数()4sin cos()3

f x x x π

=+

（1）求()f x 的最小正周期T ； （2）求()f x 在区间[,]46

ππ

-上的最大值和最小值及取得最值时x 的值。

19． （本题12分）

已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且1052a a =。 （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中不大于27m

的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项

和m S 。

20．（本题12分）

已知向量2,cos2),(cos2,cos2)a x x b x x ==-r r

（1）若7513

(

,),241225

x a b ππ∈?+=-r r ，求cos 4x 的值； （2）设ABC V 的三边,,a b c 满足2

b a

c =，且边b 所对应的角为x ，若关于x 的方程

1

2

a b m ?+=r r 有且仅有一个实数根，求m 的值。

21． （本题12分）

已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，1015a =，且347,,a a a 成等比数列。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2n n n

a b =，数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：7

1(*)4

n T n N -≤<-∈。

22． （本题12分）

已知函数2

()(21)ln f x ax a x x =-++。 （1）当1a =时，求()f x 的极值；

（2）设()1x

g x e x =--，若对于任意的12(0,),x x R ∈+∞∈，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

参考答案

一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分）

二、 填空题（包括4小题，每小题5分，共20分） 13．23k =-

； 14．121

n -； 15．[3,7]； 16．[0,12]。 三、 解答题

17．（1）(2,2),(3,1);(2,1)A B A B =-=-=-I ； （2）4,6a b ==-． 18．（1）()2sin(2),3

f x x T π

π=+=；

（2）当4

x π

=-

时，min ()1f x =-；当12

x π

=

时，max ()2f x =。

19．（1）7n a n =；（2）2121

77

7

;48

m m m m b S +--==。

20．（1）3sin(4)65x π

-=-；cos 4x =。 （2）1cos (0,]23x x π≥

∴∈，1sin(4)[,1]62x π-∈-1m ∴=或12

-。 21．（1）25n a n =-；

（2）2112n n n T -=--。

21

012n n n T ->∴<-Q 11123

(2)2n n n n n n T T T T n +++--=∴>≥

又1237,24T T =-=-122,T T T >∴Q 最小，即27

4n T T ≥=-。

综上：7

1(*)4

n T n N -≤<-∈

22．（1）(21)(1)

()x x f x x

--'=

当12x =

时，()f x 有极大值，且()f x 极大值=5

ln 24

--； 当1x =时，()f x 有极小值，且()f x 极小值=2-。

（2）()1,x g x e '=-其在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，所以min ()(0)0g x g == 对于任意的12(0,),x x R ∈+∞∈，不等式12()()f x g x ≤恒成立，则有1()(0)f x g ≤即可。 即不等式()0f x ≤对于任意的(0,)x ∈+∞恒成立。

22(21)1()ax a x f x x

-++'=

①当0a =时，1()ln ,()x

f x x x f x x

-'=-=

，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >，所以()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，max ()(1)10f x f ==-<，

所以0a =符合题意。 ②当0a <时，(21)(1)

()ax x f x x

--'=

，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >，

所以()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，max ()(1)10f x f a ==--≤，所以

10a -≤<符合题意。

③当0a >时，(21)(1)()ax x f x x --'=

，由()0f x '=得121,12x x a =

=；当1

2

a >时，101x <<，由()0f x '>得102x a <<

或1x >；由()0f x '<得1

12x a

<<，所以()f x 在(1,)+∞上是增函数，易知()f x 可取到正值，这与对于任意的(0,)x ∈+∞时()0f x ≤矛盾。

同理当1

02

a <≤

时也不成立。 综上，a 的取值范围为[1,0]-。