概率论论文

概率论论文

【摘要】概率论是研究随机现象规律性的一个数学分支，它来源于实际生活，也解决了实际生活中的许多问题。小概率事件是概率论中的一个具有实用意义的原理，在我们的日常生活中已经有广泛的应用。本文重点讨论的内容有：小概率事件的含义、小概率原理以及用彩票阐述小概率事件在日常生活中的实际应用，给出几点彩票玩法建议，并使人们对生活中的小概率事件树立正确的认识。【关键词】小概率事件彩票二项分布泊松分布

1 引言

随着彩票在全国乃至全球的火热发行，对有些人来说，博彩已成为生活的一部分，影响之大不言而喻。由“一夜暴富”心理导致的盲目购买彩票已经成了社会的一个大问题，因此，虽然现在买彩票的人越来越多，但其中真正理智买彩票的却不多。大家都想把彩票当钞票，要知道即开彩大奖是属于小概率事件。社会上各种彩票的方式，玩法不尽相同，但是万变不离其宗，都包含了共同的规律。在这样的背景下我研究“小概率事件在彩票中的应用”是大有意义的。

概率学是专门研究随机事件规律的科学，它在彩票的购买中起着重要的作用，是概率论中一个简单但又极其有用的原理，是统计学存在、发展的基础。小概率事件作为在统计推断的理论及应用中有着重要作用的一个基本原理——实际推断原理，即小概率事件在一次试验中实际上是几乎不发生的，我们可以把它看成是不可能事件，这是概率论应用中的一条最基本的原理。对于自然界中的随机现象，虽然无法确切地判断其状态的变化，但是依据人们在长期生产实践中所积累的经验，能够自然地把那些概率接近于1的事件在一次试验中，看成是必然事件，而把那些概率很小的事件，在一次实验中，看成是不可能事件。因此又把实际推断原理叫做小概率事件的不可能事件原理。

随着社会的发展，小概率事件问题在我们的日常生活中有着越来越广泛的应用，它不仅在经济、统计学中发挥着重要作用，而且它常常就发生在我们身边并对我们的生活产生影响。

本文先是阐述了小概率事件的含义、小概率原理、小概率事件大于0和小概率事件和不可能事件的区别，接着介绍了中国的各种彩票的起源、发展及类型，并写出了小概率事件在彩票中的实际应用，之前已有人用了二项分布算法解析过彩票在概率中的应用，而本文则是用泊松分布法算出购

买彩票的注数和中奖概率的关系，用相对变化率越来越小等同于小概率随着注数越来越多的情况想下变化弧度一直下降，并且想得出并不是购买的注数越多就越划算。本文先用二项分布证明成泊松分布，在概率足够小，独立实验次数多的情况下，二项分布概型就类似成伯努利概型；也用实例重点阐述了买彩票中从30选7的购买注数和中奖概率的变化关系，简单地描述了福彩15选5的购买注数和中奖概率的变化关系。

综上，如何对待小概率事件是人们处理工作和生活问题的必备科学素养，如果长期忽略小概率事件将会严重影响人们的生活和社会的生产。

2 小概率事件

2.1 小概率事件的认识

小概率事件源于概率论，概率论是研究随机现象统计规律的科学。概率是刻画随机事件发生的可能性大小的数量指标，我们使得事件A 的概率以)(A P 表示，并且规定1)(0≤≤A P .对于概率值很接近于1的事件，其对立事件的概率也就很接近于0.

在我们已学过的概率论中，我们把概率很接近于0（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件。

具体概率小到何种程度才算小概率。在概率论中没有做出具体的规定，而是指出不同的场合有不同的标准。在正常的情况下，一般多采用0.01、0.05两个值，即事件发生的概率在0.01以下或0.05以下的事件皆称为小概率事件，而01.0和05.0这两个值就称为小概率标准。在一些比较重要的试验中，当事件的发生会产生严重后果(如雪崩、山洪、沉船等)时，应选得更小一些的概率标准如0.0001，甚至再更小一些；否则可以适当大一些。

如根据某地近百年的水文资料查明，发生极大洪峰仅一、二次，因而在考虑建造普通人行便桥时，出现“极大洪峰”的事件就是小概率事件，此时概率值不超过0.02[1] .

如果是发射宇宙飞船，100次有一、二次失败，则发射失败就不是小概率事件了，虽然其概率也不超过0.02。而在彩票中当中奖的概率小于0.01时就被称为小概率事件。

2.2 小概率事件的原理

小概率事件作为在统计推断的理论及应用中有着重要作用的一个基本原理——实际推断原理，即小概率事件在一次试验中实际上是几乎不发生的，可以把它看成是不可能事件。这是概率论应用中的一条最基本的原理，对于自然界中的随机现象，虽然无法确切地判断其状态的变化，但是依据人们在长期生产实践中所积累的经验，能够自然地把那些概率接于1的事件在一次试验中，看成是必然事件，而把那些概率很小的事件，在一次试验中，看成是不可能事件。因此又把实际推断原理叫做小概率事件的实际不可能性原理[1].

定理1 (贝努利大数定律)：在n 次独立重复试验中，记事件A 发生的次数A n ，p 是A 发生的

概率，则对于任意正数ε，有

1}{lim =<-∞→εp n

n P A n 或

0}{lim =≥-∞→εp n

n P A n 根据贝努利大数定律，事件A 发生的频率n n A /依概率收敛于事件A 发生的概率P 。就是说，当n 很大时，事件A 发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。假如某事件A 发生的概率很小，由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件A 的频率来代替概率。倘若某事件A 发生的概率很小，例如若等于0.001，则大体上在1000次试验中A 才出现一次，因此概率很小的事件在一次试验中几乎不可能发生。在概率论的应用中，称这样的事件为实际不可能事件。实际不可能事件在一次事件中是几乎不可能发生的，这就是小概率原理，也称为小概率的实际不可能性原理。

它是统计假设检验决定推翻还是接受假设的依据，也是人们在长期实践中总结出的一条实用性很强的原理。小概率原理的推断方法是概率性质的反证法，指的是首先提出假设，其次根据一次试验的结果来进行计算，最后按照一定的概率标准作出判断。若导致不合理现象出现，即小概率事件发生，则拒绝假设；若未导致不合理现象出现，即小概率事件未发生，则不拒绝假设[2] .

2.3 小概率事件发生的概率大于零

小概率事件在一次试验中实际不会发生，并不代表它永远都不会发生，小概率事件迟早会发生。小概率事件迟早都会发生是指只要独立的试验次数无限增多，那么小概率事件将会发生。

证明如下：设在一次试验中A 出现的概率为a >0，K A ={A 在第k 次试验中出现}，则那么前n 次试验中事件A 至少出现一次的概率为n

n a A A A P A P )1(1)(1)(321--=-= ，无论a 多么小，当∞→n 时有1)(→A P n ，即A 趋向于必然事件。这说明实际工作中不能忽视小概率事件。

一件看起来可能性很小的事情，在大量重复之下发生的可能性会很大，这也说明加强防范有危害的小概率事件的重要性与迫切性。如长期从事某种具有危险性工作的人，无论其技能多么熟练，时间长了都有可能出事故。“天有不测风云，人有旦夕祸福”、“常在河边走，哪有不湿鞋”、“天网恢恢，疏而不漏”等谚语说明的就是这个道理。

2.4 小概率事件和不可能事件之间的区别

小概率事件因其概率小而常常会与不可能事件混淆。但两者从本质上来讲，是有区别的。所谓小概率事件是指发生的可能性小，但有发生机会的事件，而不可能事件是指完全不可能发生，概率为零的事件。比如，某人在某时刻既在甲地又在乙地，这属于自相矛盾的事件，所以这是一个不可

能事件。有人能长生不老是对自然规律的否定，也即对必然事件的否定，其概率自然为零。

不管小概率事件A的概率如何小，如果将试验不断独立的重复下去，那么事件A迟早必然会出现一次，继续重复下去，于是也必然会出现任意多次；而不可能事件是指无论将试验做多少次，事件A都不会发生，这就表明了小概率事件与不可能事件之间的差别。但是随着社会的发展和科学技术的进步，某些被认为是不可能事件可能成为小概率事件，而某些被认为是小概率事件也可能成为不可能事件[3] .

3 彩票的起源、发展和中国彩票类型

3.1 彩票的起源、发展

彩票最早出现在二千年前的古罗马。我国南宋时期也有类似彩票形式的博彩。彩票在亚洲的历史较短。泰国最早于1936年成立政府彩票办公室，日本在1945年成立住友银行彩票部，开始了现代彩票的发行。而韩国、马来西亚、新加坡等国家的彩票是从60年代末期才开始发展起来的。香港官方的彩票发行历史更短，负责发行和管理彩票的香港奖券管理局成立于1975年。

新中国成立后，由于对彩票有不同的认识，彩票被禁绝了40多年。随着改革开放的深入，政府认识到，就彩票本身来讲，只不过是一种筹集资金的形式而已，它可以为资本主义服务，也可以为社会主义服务，关键在于彩票掌握在什么人的手里，以及筹集资金的目的何在。为了弥补国家财力不足，通过发行彩票筹集资金发展社会福利和社会公益事业，不仅符合国际潮流，而且是我国社会主义市场经济发展的要求，有着坚实的社会经济基础。

1987年7月27日，新中国诞生后的第一批8000万“中国社会福利有奖募捐奖”（面值1元），在河北、江苏、浙江、上海等10个省市试点发行，从而掀开了中国当代彩票史的第一页[4] .

中国彩票已经走过了将近20年的历史，目前，福利彩票和体育彩票已经成为我国最重要的两大彩票。当代中国彩票的发展按照历史的时间顺序可以划分为三个阶段，即起步阶段、成长阶段和调整与突破阶段。

中国彩票的起步阶段一直持续到1993年。从初期的1700万销量到1993年的18.43亿元，增幅达到了100多倍。中国彩票之所以有上世纪90年代初期的第一次飞跃式发展，是缘于即开票销售方式的改进。1989年，一些省市推出了实物奖品、灵活设奖的小奖组，开始探索集中的大批量销售彩票的方法。1992年，部分省市开始尝试百万元大奖组销售方式，当年福利彩票销量达13.76亿元，比上年增长56%. 1987—1993年这个时期的体育彩票还没形成统一规模，1988年至1990年发行的“第十一届亚运会基金奖券”（传统即开结合型）是体育彩票发展的初始阶段。此后，体育彩票也推出了即开型彩票。

1994年到1999年，电脑彩票开始进入，中国彩票进入稳定发展时期。这一阶段，国家加强了对彩票市场的规范管理。1994年4月国家体育彩票管理中心正式成立，形成了福利彩票与体育彩票竞争发展的局面。2000年至今，现代技术设备全面应用，新型玩法层出不穷，中国彩票进入高速发

展时期。财政部全面接管彩票的管理工作，确定了现行的彩票管理体制，建立和完善了彩票的管理制度。两大彩票发行机构全面应用现代彩票技术设备，不断改进发行销售方式，全力丰富彩票品种。

中国彩票事业的发展还不到20年，但彩票在中国经济和社会发展中发挥的作用越来越大。经过近20年的艰苦努力，中国彩票已开始走向成熟，中国彩票已经具有强大的影响力[5] .

3.2中国彩票的类型

3.2.1即开型彩票

即开型彩票，全称应该是“即开即兑型彩票”，就是购票者在一个销售点上一次完成购票和兑奖全过程的一种彩票。当你买到彩票后，刮开、撕开或揭开兑奖区后，马上就可以知道是否中奖，节奏快，趣味性强，设奖灵活，方法简便，易于操作[6].

3.2.2 传统型彩票

传统型彩票就是就是以数字排列方式为竞猜对象的彩票，要求所选号码与中奖号码相同且排列顺序相同。数字型彩票一般是从0—9中选择号码，再由所选号码构成一个自然数。玩法不同，所选自然数的位数不同，中奖概率也随之不同。

以传统型“10选6+1”为例，每组彩票有000000—999999中任意六位数加上0—4中的任意一个数作为特别号。特等奖：6位数字相同且排列一致，且特别号也相同；一等奖：6位数字相同且排列一致；二等奖：5位数字相同且排列一致；三等奖：4位数字相同且排列一致。四等奖：3位数字相同且排列一致；五等奖：2位数字相同且排列一致[7] .

3.2.3乐透型彩票

乐透型彩票——当今彩票业的主流，它就是以序数方式为竞猜对象的彩票。投注者在一组数域中选出若干个号码，号码不需要有先后之分，只要所选的号码与中奖号码相同就可以。是一种组合式游戏。乐透型彩票属于中盘或大盘游戏，可以复式投注和倍投。大奖累积可以达到上千万元甚至上亿元的额度，这是任何其它形式的彩票所无法比拟的。

乐透型彩票有多种不同的形式，一般有N 选M 和N 选1 M 两种形式。例如以22选5，投注者从01—22中选取5个号码组合为一组彩票。彩票还分为单注彩票和复式彩票。所选组合为5个号码的为单注彩票，选6个或6个以上自然数的多注彩票为复式票。并且复式组合的选择个数不能超过16个。奖项级别分为特等奖：选中全部5个中奖号码；一等奖：选中4个中奖号码；二等奖：选中3个中奖号码。

4 小概率事件在彩票中的投注分析

4.1理论分析

由于人们在购买彩票时，购买的注数和期数是不固定的，所以我们有必要对购买注数与期数对中奖概率的影响进行讨论。讨论之前，我们必须理解以下概念：

定义1 一般把只有两个对立结果A 及A 的试验称为伯努利试验

定义2 n 重伯努利试验把伯努利试验在相同的条件下重复进行n 次，若每次试验A （或A ）发生欲与否与其他各次试验A （或A ）发生与否互不影响（称各次试验是独立的），则称这次n 次独立试验为n 重伯努利试验。

对于n 重伯努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率问题，有下述定理。

定理 1 设在每次试验中，事件A 发生的概率均为)10(<

)()1()(k n k k n n p p C k P --=，),,2,1,0(n k =

称为二项分布概率的公式[8]。

在二项分布的概率计算中，当实验次数n 很大，而在每次实验中事件A 发送的概率p 很小时，可以证明，有如下泊松近似公式成立：

λλ--≈-e k p p C k k n k k n !)

1()(，),,2,1,0(n k =

证明如下：

已知np =λ =--∞→k n k k n n p p C )1(lim k n k n n

n k k n n n n -∞→-+---)1()(!)1()2)(1(lim λλ =)(])1[(!)1()2)(1(lim k n n n k k n n n k k n n n n ----∞→-?+---λ

λλλ =)(!

)1()2)(1(lim k n n k k n e n k k n n n n ---∞→+---λλ =)]11()21)(11(1[!lim n

k n n e k k n +---?-∞→ λλ =λλ-e k k

!),,2,1,0(n k =

众所周知，对于彩民来说，最具吸引力的是高等奖奖金额，因此以下是我用泊松分布对中头等奖的概率进行讨论。

第一，先对固定量进行假设，事件A ={至少有一次中头等奖}，并且单注中奖概率为p ，购买的期数为a )1(>a .

第二，我们对变量进行假设，每期购买的注数为x ，则单期购买x 注的中奖概率为px 。而我们重点讨论的是中奖概率)(x f 与单期购买注数x 的关系。

因为，至少有一次中头奖的概率为：

)(1)(A P A P -=

购买a 期，每期购买x 注，就总共购买了ax 注，则在ax 次伯努利实验中，中了的k 次奖。则当k 等于0时，就是没有中奖。

所以，购买a 期，每期购买x 注时，中头奖的概率：

apx e e k P x f ---=-==-=11)0(1)(λ(np =λ=apx )

对)(x f 进行求导，得出)(x f 的变化率：

apx ape x f -=')(

再对)(x f '进行求导，得出)(x f '的变化率：

apx e p a x f --=''22)(

讨论：

我们知道，当0)(<''x f 时，)(x f '是递减函数，即)(x f 的变化率递减。显然，中奖概率)(x f 的变化率递减，会导致虽然购买注数x 的增加了，中奖概率)(x f 的递增量却减少了。由此可以得出，购买彩票的性价比在0)(<''x f 时，呈递减趋势。

4.2 对福彩30选7进行分析

传统型的电脑体育彩票的抽样只要不换摇奖机，就完全符合贝努里试验的要求。我们可以用伯松分布对福彩30选7进行详细解析。

玩法及规则：单式投注是从01—30个数字号码中选择7个号码，组合为一注投注号码的投注。每注为2元人民币。特别奖：单注投注号码与当期7个开奖号码全部相同，且至少包含6个连续自然数号码(中奖号码顺序不论，下同)。一等奖：单注投注号码与当期7个开奖号码全部相同，若有以上特别奖情形，视为兼中；二等奖：单注投注号码与当期开奖号码中的任意4个号码相同，不得与以上奖兼中。30选7每天开奖一次。30选7彩票的单注奖金最高额度为500万元。 单注中一等奖的概率：7730

104.9121-?==C p . 设购买a 期，每期购买x 注，则中一等奖的概率：

apx e x f --=1)(

令365=a ，则

x e

e x

f ?-?--=7912.43651)( 由于λ值太小，在泊松分布表里面找不出来，可用相关软件编程算出答案，同时还可算出买n 注和买1+n 注的相对变化率

)

()()1(n f n f n f -+.

在彩票中，在注数一直增加的情况下，当相对率变化越来越小甚至小到210-、310-的时候彩票的中奖率就没有多大的变化。

通过相对变化率数据我们可以算出在买2注和3注的时候中奖概率的相对变化率会相差了0.49995518，买3注和买4注的中奖概率相对变化率相差了0.16665172，买4注和买5注的中奖概率相对变化率相差了0.08332586。并且从这三个数据可以看出在买2注和3注的相对变化率落差明显最大，而且后面的相对变化率越来越小。由此可以得出买2注是一个性价比最好的点。

我们可以继续寻找下一个性价比相对较好的点，从数据可以看出，在买11注和12注时中奖的相对变化率都还接近110-，而到13注、14注后就都到了210-了，所以我认为买12注也是一个性价比比较不错的点。而在接下去的购买注数越多的情况下，其性价比增长的已不再明显。

接着用同样的方法对彩票15选5进行分析，玩法及规则：单式投注是从01—15个数字号码中选择5个号码，组合为一注投注号码的投注。每注为2元人民币。特别奖：单注投注号码与当期5个开奖号码全部相同，且至少包含4个连续自然数号码(中奖号码顺序不论，下同)。一等奖：单注投注号码与当期5个开奖号码全部相同，若有以上特别奖情形，视为兼中；二等奖：单注投注号码与当期开奖号码中的任意4个号码相同，不得与以上奖兼中。15选5每天开奖一次。15选5彩票的单注奖金最高额度为500万元。 则买票的单注中奖概率是===3003

11515C p 3.33410-?. 用同样的方法，我们可以从数据相对变化率中得出，买2注和买3注的相对变化率有一个很明显的降低，所以买2注是一个性价比很好的点，仔细继续观察下去，相对变化率相差越来越小一直到买7注和买8注是相对变化率从110-到2

10-，所以买7注也是一个性价比相对后面比较好的点，当然在投资金额的宽限下，我们还可以再寻找下一个性价比比较突出的点，购买21注和22注的相对变化率也相差比较多，从210-到310-之间的变化。所以我认为购买21注也是一个性价比相对比较突出的点。

综上所述：

1. 由30选7数据代入的计算结我们可以得出，中奖概率)(x f 是关于x 的曾函数。如果每期购买的注数越多，那么其中奖概率越大。

2. 在购买期数a 的情况下，中奖概率)(x f 的递增量随x 的增加而减少。

3. 虽然购买注数越多，中奖概率越大。但是中奖概率的递增量却是减少的。所以并不是购买的注数越多就越划算。由30选7数据代入的计算结果我们可以看出，中奖概率)(x f 是关于x 的增函数。每期购买的注数越多，中奖概率越大。但是从购买注数和中奖概率的数据中，我们可以看出，在购买2注的情况下，它的性价比是最好的，购买11或者12注的性价比也是相当不错的，购买接下去更多的注数性价比都越来越低了，所以买多了意义也不大。在15选5的福彩中，得出的结论也是在购买2注的情况下性价比也是最好的，购买7注的性价比也是相对不错的，而在资金宽限的情

况下购买21注也是相对比较突出的点。在接下去购买更多的注数，其性价比增长的就不再明显，所以买多了意义也不大。

5结论

概率论是一个全面、全过程、全员的理论，是一项不确定因素非常之多的工作，是依各方面应用的不同而各异的。小概率事件占据生活中的方方面面，虽然不是解决所有问题的万能钥匙，但根据应用问题的实践，确实是解决很多棘手实际问题的有益思路和指导思想，可以把复杂的问题简单化，有助于抓住问题的关键，具有很强的操作性。概率统计及其相关学科在彩票中的应用越来越被人所认识和重视。彩票运用概率进行分析，是有一定道理的，这是因为彩票号码是数字的任意组合，因此，运用数字中的概率分析来研究彩票号码也就理所当然了。

文中的不同小节介绍了小概率事件在不同彩票中的应用。比如第三节介绍了小概率事件在传统型与乐透型中的应用，分析了两种彩票的单注中奖概率及期望并通过理论分析了投注策略，利用泊松分布等同于二项分布的原理，来测算出彩票类型30选7和15选5的中头奖概率，并进行合理性分析，提出合理方案。

从本文的讨论中，我们不难发现，彩民们中大奖的概率非常之小，付出与期望的收益并不相等。因此彩民们还是应该保持良好的心态，在为我国教育、体育事业做出贡献的同时，要把握好尺度，理智投注。