混沌论文
对混沌的一些粗浅认识
摘要：Edward Lorenz说：“：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国德克萨斯州产生一个龙卷风。”经历各界科学人才的不断努力，混沌理论逐渐完善，为人类创造了财富，使得人类有了新的认识，推进了社会发展。
关键词：混沌蝴蝶效应Edward Lorenz 前沿科学非线性
在《现代汉语词典》里混沌有这样的解释：1.中国传说中指宇宙形成以前模糊一团的景象。2.形容无知无识的样子。3.糊里糊涂，无知无识的样子。在古代就对混沌有很多的解释，在中国，混沌一词并非像其他民族文化那样常常只有贬义。相反，中国人常把混沌作为褒义词使用，用以表达令人神往的美学境界或体道致知的精神状态。汉代的班固在《白虎通·天地》中写到：“混沌相连，视之不见，听之不闻，然后剖判。”[1]唐代的孙思邈在《四言诗》中写到：“一体混沌，两精感激。”[2]鲁迅也曾在《两地书·致许广平一二六》中写到：“但我也不来做教员，也不想说明别的原因之所在。于是就在混沌中完结了。”[3]以上都是“混沌”在中国的不同意义，在国外，人们也有对混沌的认识，在希腊神话中，《圣经》中，埃及神话中，都能看到“混沌”的影子。然而，前人对混沌的理解与现代是有很大差别的，在当代科学技术中，混沌有了它特有的定义，这些都与那些科学巨人，孜孜不倦的研究与不断的探索创新是分不开的。
人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家Henry Poincare那里得到的启示。Poincare提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想。Poincaer之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。然而，在20世纪60—70年间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。一个名叫Stephen Smale的数学家用差分拓扑学发展了一系列的理论模型。气象学家Edward Lorenz设计了一个简单的方程组用来模拟气候，这个气候对于初始条件当中的变化极其敏感。生物学家RobertMay 使用逻辑的差分方程在连续的时间过程中对人口水平建模。从此，数学家们发展了一个非线性和混沌系统的理论，在其他许多领域(如物理、生物、气象)的科学家已经陆续揭示了混沌的现象。在一个时期内，大家都意识到数学家和科学家都在做同样一件事。这便是混沌学的发展历史，也正因为有这些勇于探索的科学巨人和现代计算机的飞速发展才会使混沌学发展成为一门影响深远的前沿科学。
正因为混沌不是偶然的、个别的事件，而是存在与宇宙间各种各样宏观及微观的系统中，混沌学才得以引起人们的重视，混沌学的发展给人们带来是实在意义的收益，并且，混沌并非独立的科学，他与其他各门科学相互促进，相互依靠，共同发展。
现代科学中的混沌，其基本含义可概括为：聚散有法，周行而不怠，回复而不闭。意思是说，混沌轨道的运动完全受规律支配，但相空间中轨道运动不会中止，在有限空间中永远运动着，不相交也不闭合。
然而在非线性科学中，混沌一词虽与本意相似，但并非完全一致，非线性科
学中的混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。
混沌理论有其自己的几个特性：
(1)随机性．体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为，常称之为内随机性．例如，在一维非线性映射中，即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项，即使控制参数、韧始值都是确定的，而系统在混吨区的行为仍表现为随机性。这种随机性自发地产生于系统内部，与外随机性有完全不同的来源与机制，显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用。体系内的局部不稳定是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原因所在。
(2)敏感性．系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的。时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性．这种敏感性，一方面反映出在非线性动力学系统内，随机性系统运动趋势的强烈影响；另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性。气象学家Edward Lorenz提出的所谓“蝴蝶效应”[4]就是对这种敏感性的突出而形象的说明。
(3)分维性．混沌具有分维性质，是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述。例如Koch雪花曲线的分维数是1.26；描述大气混沌的洛伦兹模型的分维数是2.06体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次的自相似结构。
(4)普适性．当系统趋于混沌时，所表现出来的特征具有普适意义。其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。这类系统都与费根鲍姆常数[5]相联系。这是一个重要的普适常数δ＝4．669201609l0299097…
(5)标度律．混沌现象是一种无周期性的有序态，具有无穷层次的自相似结构，存在无标度区域．只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高，则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样，所以具有标度律性质。例如，在倍周期分叉过程中，混沌吸引子的无穷嵌套自相似结构，从层次关系上看，具有结构的自相似，具备标度变换下的结构不变性，从而表现出有序性。
由于混沌理论不是一门独立的学科，而是与其他学科相互促进相互依靠的，所以混沌理论有很广泛的应用。在天文学、气象学、生理学、国际政治学、运输、艺术等方面，混沌理论都起到了不可磨灭的作用。
参考文献：
[1] 班昭《东征赋》公元前113年
[2] 孙思邈《全唐诗》卷806—1
[3] 鲁迅《鲁迅全集》人们文学出版社1981
[4] 洛仑兹 1963
[5] 吴振奎混沌平话 1999
浅谈“蝴蝶效应”在网络传播中的应用及其对策
浅谈“蝴蝶效应”在网络传播中的应用及其对策 蝴蝶效应，即上世纪六十年代，“气象学家洛仑兹（E.N.Lorenz）在他的计算机上计算一个热力场中热对流问题的简化模型。”结果发现，初始条件的微小变化使“系统自任意初始状态出发的相轨线成蝴蝶形态，既不重复也无规律。”为了形象地说明这种现象，洛仑兹打了个比方：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀,可能在两周后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。这就是广为人知的“蝴蝶效应”比喻。而后它作为混沌理论的一个核心概念被引入经济学，构成了行为金融学的重要分支，并广泛应用于各个领域。 本文借助混沌理论分析了网络传播中的“蝴蝶效应”，认为网络是一个混沌系统，网络传播是由有序到无序、再到新的有序的循环过程，其结局具有不可预测性，而网络环境恰恰都具备了混沌理论的性质：即有界性、非周期性、非线性、敏感初条件。 一、比比皆是的“蝴蝶效应”事件 “蝴蝶效应”反应在网络传播中通常呈现为公共性群体事件。近年来，随着互联网的发展，网络成为影响社会的一个重要力量。尤其以微博、SNS网站、BBS论坛等网络新兴媒体的崛起，为新闻媒体提供了一个丰厚的新闻来源集中地。细心观察，我们发现这两年出现的很多公共性事件、贪官落马、揭黑揭丑的新闻爆发地都来源于网络，而这些事件都以非线性地爆炸方式传播开来，有的引来民愤导致群体事件的爆发，有的引来看客们的围观和指点，有的在舆论的压迫中亟需解决。“蝴蝶效应”呈现出它的优势，同时暴露了某些弊端。 1.“虐婴门” 2012年6月，实习护士微博@小考拉avi 发布多张虐待婴儿照片，还称“2B孩纸”“小孩装死”，让脖子脆弱的新生儿处于危险姿势，极易折伤颈椎，甚至窒息。捉弄婴儿，在刚出生没多久的宝宝鼻子上贴猪鼻子。甚至还用手玩新生儿眼睛。为逃避责任已删了微博，但网友保留了截图。而后当事人在微博道歉。据了解，首先曝光它的是一位网名为“若馨守护神”的年轻母亲，自称在一名为“@小考拉avi”的微博上发现了多批含有虐待初生婴儿的自爆博文，言语轻佻，行为恶劣，使身为母亲的自己无法忍受，便“冒着被报复”的可能将之公之于众。而没想到的是，这条微博在短短时间内转发量达上万，引起网络的轩然大波。大多数网友表现得很激进和愤怒，公然指责当事人肖诗雨和浙江中医药大学的行为。而很多极端的网友开始“人肉搜索”，翻出当事人的所有资料和照片，并且放入各大论坛网站，设置头版头条来博取看客和哄客们的围观。一时事件失去控制，当事人和校方也随即发表道歉的声明。 而后，某些网友利用近几年紧张的医患关系现状做文章，通过不断地放大虐婴门事件，招来更多“同伴”，引得大家的同感。这在一定程度上激化社会矛盾，破坏社会的稳定秩序，有可能招致更大的社会动荡行为。 2.“房叔”事件、“表哥”事件 2012年10月8日，天涯社区的一个网帖曝出蔡彬及妻子、儿子名下共有21套房产，消息一出，即引起疯狂转发，网民纷纷要求纪检部门介入调查，各路媒体也跟进追问。事件发生2天后，即2012年10月10日，广州市纪委就迅速反应。当天上午9时许，市纪委即通过官方微博作出回应，“有关部门正在核查”。随后不久，番禺区政府新闻办公室官方微博发布也表示，“已关注到相关内容，目前，已成立了调查组，正在展开调查。”当天晚上，@廉洁广州发布微博称，网帖反映情况基本属实。10月11日，番禺区委已决定对其停职，并作进一步调查。2012年10月22日，蔡彬因涉嫌受贿被宣布“双规”。@廉洁广州也同时发布了这一最新消息。 又比如，因在特大交通事故中走红的的“微笑局长”杨达才，被网民人肉搜索出在五个不同的场合，杨达才佩戴了五款不同的名牌手表。随后，杨达才年公开称自己收入17、8万元，这些表都是自己合法收入买的，不过网友并不买账，又有人称杨达才有11块表，眼镜和腰带都是名牌，随后网友要求公开杨达才的工资收入。评论称，“表哥”一事经公共关
分岔与混沌理论与应用作业
分岔与混沌理论与应用 学院： 专业： 姓名： 学号：
我对混沌理论的认识 1、混沌理论概述 混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性－－不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓“差之毫厘，失之千里”正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为简单，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。 混沌理论，是近三十年才兴起的科学革命，它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作。混沌的发现揭示了我们对规律与由此产生的行为之间－－即原因与结果之间－－关系的一个基本性的错误认识。我们过去认为，确定性的原因必定产生规则的结果，但它们可以产生易被误解为随机性的极不规则的结果。我们过去认为，简单的原因必定产生简单的结果(这意昧着复杂的结果必然有复杂的原因)，但简单的原因可以产生复杂的结果。我们认识到，知道这些规律不等于能够预言未来的行为。这一思想已被一群数学家和物理学家，其中包括威廉·迪托(William Ditto)、艾伦·加芬科(Alan Garfinkel)和吉姆·约克(Jim Yorke)，变成了一项非常有用的实用技术，他们称之为混沌控制。实质上，这一思想就是蝴蝶效应。初始条件的小变化产生随后行为的大变化，这可以是一个优点；你必须做的一切，是确保得到你想要的大变化。对混沌动力学如何运作的认识，使我们有可能设计出能完全实现这一要求的控制方案。这个方法已取得若干成功。 2、分叉的概述 分叉理论研究动力系统由于参数的改变而引起解的拓扑结构和稳定性变化的过程。在科学技术领域中，许多系统往往都含有一个或多个参数。当参数连续改变时，系统解的拓扑结构或定性性质在参数取某值时发生突然变化，这时即产
混沌理论开题报告
理学院 学士学位论文开题报告 《混沌理论初步及其数值求解》 专业：信息与计算科学 姓名：王淼 班级： 0901112 学号： 09 时间： 2013年05月 指导教师：周林华
混沌理论初步及其数值求解 一、本课题的研究目的和意义 19世纪末，20世纪初，在天体力学的研究中，法国数学家J.H. Poincaré发现三体间的引力作用与两体间的不同，三体间的相互作用能产生出惊人的复杂行为，其动力学方程的解具有不可预测性，是无法求出精确解的。其实，这是保守系统中的一种混沌，从而使J.H.Poincaré成为最早了解混沌可能存在的第一人。混沌是指发生在确定性系统中的随机过程。一个确定性的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。大自然中混沌的现象无处不在：河流的漩涡；烟囱发出的滚滚浓烟；天气的变化；虫口的增长；心脏搏动的不规则性等等这些都是混沌现象。在混沌理论的研究中，各种混沌现象不断被发现，它几乎存在于一切科学领域，尤其是在物理学、数学、天体力学、流体力学、生物学等方面。如今，混沌理论在信息科学、医学、生物、工程等领域具有非常广泛的应用价值。因此，在科学研究领域中，混沌理论被认为是20世纪人类在认识世界和改造世界中富有创造性的一次大革命。 二、国内外研究现状 混沌是在确定的系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象，在非线性动力学系统中属于一种特有的运动形式。混沌学是近几十年发展起来的一门十分活跃的前沿学科，它是非线性科学的一个重要分支，与量子物理和相对论一起被称为二十世纪三项重要科学发现
[2]。如果说“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想，量子力学消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦。”那么“混沌就是消除了拉普拉斯关于决定论式可预测性的幻想。”1963年，美国气象学家E.N.Lorenz的“蝴蝶效应”问世以来，混沌的研究得到了广泛的关注。混沌系统对初始条件和混沌参数的微小变化非常的敏感，是一种高度复杂的非线性动态系统，正是混沌运动的这些奇异特性，在很长的一段时间内，人们的头脑中形成了这样一种错误的观念，即混沌是不可控制的、不可靠的，同样重构完全相同的混沌系统也是不切实际的。直到1988年，A.Hubler发表了控制混沌的第一篇文章[3]，开创了研究混沌控制的先驱。中国学者郝柏林、郑伟谋在莫斯科国立大学将符号动力学应用于混沌研究的基础上，开始将符号动力学从一维系统推广到二维系统的研究。 近年来，混沌理论的应用得到了迅速发展，在许多方面都取得了一定的成果。如通信技术方面，混沌信号的类随机性以及产生方式简单等特点，使其在保密通信方面显示出得天独厚的优越性。混沌遮掩利用混沌波作为载波，对信号源进行加密和混沌同步实现掩盖通信，但是这种方法要求混沌信号的带宽要能够掩盖信息信号，如果不能满足这个条件，被加密的信息信号很容易通过线性滤波被提取出来。混沌理论在医学方面也得到应用，现有研究表明，心动周期信号具有混沌特征，研究发现对估计某些疾病的严重性来说，混沌特征参数是现有的功率谱参数更敏感的指标。国内外将混沌理论用于医学研究的报导主要限于脑电、心电方面的研究，以及在心脑血管学流动力学方面的应用。我国学者近年的一些在医学上研究成果指出人们大脑处于积极状况时，脑电图的波形是混沌的，当人们睡眠或不思考问题时，脑电图显示周期性波形，由此进一步研究可以构成了神经元动作的模型。在模式识别方面，可利用混沌轨迹对初始条件的敏感依赖性这一特点，通过混沌动力学系统构成模式识别系统。在图象数据压缩方面，把复杂的模式作为简单的混沌动力学系统的吸引子再现出来。把复杂的图象数据用一组能产生混沌吸引子的简单动力学方程代替。此时只需要记忆存贮这组动力学方程组的参数，相对于原始图象数据，数据量大大地减少了，从而实现了图象数据压缩。近年来关于混沌应用的报道大量涌现表明人们已从单纯研究混沌现象转向开发和驾驭混沌的种种特性以解决一些实际工程技术问题。 三、主要研究内容及要求 混沌理论是目前非线性科研的前沿问题。利用映射、导数、稠密性等基本数学理论，学习混沌的定义和等价判据，并进一步研究混沌
混沌理论及其应用
混沌理论及其应用 摘要：随着科学的发展及人们对世界认识的深入，混沌理论越来越被人们看作是复杂系统的一个重要理论，它在各个行业的广泛应用也逐渐受到人们的青睐。本文给出了混沌的定义及其相关概念，论述了混沌应用的巨大潜力，并指明混沌在电力系统中的可能应用方向。对前人将其运用到电力系统方面所得出的研究成果进行了归纳。 关键词：混沌理论；混沌应用；电力系统 Abstract: With the development of science and the people of the world know the depth, chaos theory is increasingly being seen as an important theory of complex systems, it also gradually by people of all ages in a wide range of applications in various industries. In this paper, the definition of chaos and its related concepts, discusses the enormous application potential chaos, and chaos indicate the direction of possible applications in the power system. Predecessors applying it to respect the results of power system studies summarized. Keywords：Chaos theory;Application of ChaosElectric ;power systems 1 前言 混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。混沌理论是对确定性非线性动力系统中的不稳定非周期性行为的定性研究（Kellert，1993）。混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式,其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。近二三十年来,近似方法、非线性微分方程的数值积分法,特别是计算机技术的飞速发展, 为人们对混沌的深入研究提供了可能,混沌理论研究取得的可喜成果也使人们能够更加全面透彻地认识、理解和应用混沌。 2 混沌理论概念 混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，中国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。所谓“差之毫厘，失之千里”正是此一现象的最佳批注。具体而言，混沌现象发生于易变动的物体或系统，该物体在行动之初极为单纯，但经过一定规则的连续变动之后，却产生始料所未及的后果，也就是混沌状态。但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况，此一混沌现象经过长期及完整分析之后，可以从中理出某种规则出来。混沌现象虽然最先用于解释自然界，但是在人文及社会领域中因为事物之间相互牵引，混沌现象尤为多见。如股票市场的起伏、人生的平坦曲折、教育的复杂过程。 2.1 混沌理论的发展 混沌运动的早期研究可以追溯到1963年美国气象学家Lorenz对两无限平面间的大气湍流的模拟。在用计算机求解的过程中, Lorenz发现当方程中的参数取适当值时解是非周期的且具有随机性,即由确定性方程可得出随机性的结果,这与几百年来统治人们思想的拉普拉斯确定论相违背(确定性方程得出确定性结果)。随后, Henon和Rossler等也得到类似结论Ruelle,May, Feigenbaum 等对这类随机运动的特性进行了进一步研究,从而开创了混沌这一新的研究方向。 混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。在没
混沌原理与应用
课程论文课程系统科学概论 学生姓名 学号 院系 专业 二Ｏ一五年月日
混沌理论与应用 摘要：本文首先介绍了混沌理论的产生与背景。接着由混沌理论的产生引出了理解混沌系统需要注意的几个基本概念，并就两个容易混淆的概念进行了区分。然后本文对混沌系统的几个基本特征进行了阐述，而且详细解释了每个具体特征含义。在结尾部分本文简要叙述了混沌理论的应用前景。 关键词：混沌理论；混沌系统；基本特征；应用 1混沌理论的产生与背景 混沌一词很早就出现在人类的历史中，在世界的几个较为发达的古代文明中基本上都用自己的方式对混沌进行过描述，混沌基本就等同于未知。同时这些文明有一个对混沌有一个共同的观点，那就是：宇宙起源于混沌[1]，这种观点可以说在某些方面与现代的理论不谋而合。虽然古人的这些观点大部分是基于自己的想象而且其含义也局限于哲学方面，但是可以说这是人类早期对混沌状态的一种探索。 在此后的上千年中，一代又一代的研究者们探索了无数未知的领域。以至于在混沌理论之前，没有人怀疑过精确预测的能力是可以实现的，一般认为只要收集够足够的信息就可以实现。十八世纪法国数学家拉普拉斯甚至宣称，如果已知宇宙中每一个粒子的位置与速度，他就能预测宇宙在整个未来的状态。然而混沌现象的发现彻底打破了这一假设。混沌系统对初始条件的敏感性使得系统在其运动轨迹上几乎处处不稳定，初始条件的极小误差都会随着系统的演化而呈现指数形式的增长，迅速达到系统所在空间的大小，使得预测能力完全消失[2]。例如，著名的蝴蝶效应：上个世纪70年代，美国一个名叫洛伦兹的气象学家在解释空气系统理论时说，亚马逊雨林一只蝴蝶翅膀偶尔振动，也许两周后就会引起美国得克萨斯州的一场龙卷风[3]，可以说对天气的精准预测一直是人类未曾解决的问题。面对这样的问题，科学家们又用到了混沌这个词，看似又回到了起点，实际上今天的混沌理论与过去的说法已经有了天壤之别。 1903年，美国数学家J.H.Poincare在《科学与方法》一书中提到Poincare猜想，他把动力系统和拓扑学两大领域结合起来指出了混沌存在的可能性[4]。1963年美国气象学家爱德华·诺顿·洛伦茨提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果[5]。混沌也被认为是继量子力学和相对论之后，20世纪物理学界第三次重大革命，混沌也一样冲破了牛顿力学的教规。从此，混沌系统理论开始飞速发展，气象学、生理学、经济学中都发现了一种关于混沌的有序性。混沌理论正式诞生。
浅谈混沌理论的意义
浅谈混沌理论的哲学意义 姓名：文小刀
浅谈混沌理论的哲学意义 文小刀 摘要：本文首先介绍了混沌理论的内含和产生，在此基础上介绍了它对自然科学和哲学思维的影响，最后提出了混沌理论的几种应用，以期探寻混沌理论的哲学意义。 关键字：混沌理论影响应用哲学意义 混沌理论被认为是与相对论和量子力学齐名的震惊世界的第三大理论，是系统科学的重要组成部分。混沌理论这个迷人的“奇异吸引子”，吸引着人们去探索混沌奥秘的科学前沿，而且像极具生命力的种子，撒遍自然科学和社会科学各个领域的沃土。它将简单与复杂、有序与无序、确定与随机、必然与偶然的矛盾统一在一幅美丽的自然图景之中，推动了人类自然观与科学观的发展；也通过一系列崭新的范畴、语言和思维方式，充实了科学方法内容并促进了方法论的进步，对科学的发展和人类社会的发展必将产生深远的影响。 一、混沌理论的含义及其产生 混沌学是当代系统科学的重要组成部分，与相对论和量子力学的产生一样，混沌理论的出现对现代科学产生了深远的影响。混沌运动的本质特征是系统长期行为对初值的敏感依赖性，所谓混沌的内在随机性就是系统行为敏感地依赖于初始条件所必然导致的结果。我们可把混沌理解为：在一个非线性动力学系统中，随着非线性的增强，系统所出现的不规则的有序现象。这些现象可以通过对初值的敏感依赖性、奇异吸引子、费根鲍姆常数、分数维、遍历性等来表征。 混沌有如下的本质特征： 1.混沌产生于非线性系统的时间演化，作为系统基础的动力学是决定论的，无须引进任何外加噪声。因而混沌是非线性确定系统的内禀行为。 2.混沌行为对初始条件极具敏感，导致长期行为具有不可预测性，也即我们所说的确定系统产生的不确定性或随机性。这一特征不同于概率论中的随机过程，随机过程中的随机性是指演化的下一次结果无法准确预知，短期内无法预测，但长期演化的总体行为却呈确定的统计规律，混沌行为刚好相反，短期行为可确知，长期行为不确定。
浅谈湍流的认识与发展
浅谈湍流的认识与发展 摘要：本文结合流体力学课程的学习以及对湍流相关书籍的阅读，阐述个人对湍流运动的发展、特点、性质的理解。湍流作为“经典物理学最后的疑团”，人们不断地进行探索，建立湍流模型对其进行研究理论分析。近年来，对于湍流这一不规则运动，人们提出了并且倾向于应用混沌理论进行分析，并取得了一些成果。对湍流的认识在不断深入。 关键字：湍流概念湍流性质湍流强度模型建立混沌理论 在流体力学的学习过程中, 湍流一度被称为“经典物理学最后的疑团”，我对湍流这一流体的状态极其相关的力学性质进行了更深入的了解与学习，结合课堂上老师的讲解以及课后对相关参考文献的阅读理解，在此我想浅谈一下这一阶段我对湍流的学习与认识。 从湍流的定义出发，初识湍流，湍流是流体的一种流动状态。对于流体，大家都知道，当流速很小时，流体分层流动，互不混合，称为层流，也称为稳流或片流；逐渐增加流速，流体的流线开始出现波浪状的摆动，摆动的频率及振幅随流速的增加而增加，此种流况称为过渡流；当流速增加到很大时，流线不再清楚可辨，流场中有许多小漩涡，层流被破坏。这时的流体作不规则运动，有垂直于流管轴线方向的分速度产生，这种运动称为湍流。流体作湍流时，阻力大流量小，能量耗损增加。能量耗损E与速度的关系为△ E= kv2（k是比例系数，它与管道的形状、大小以及管道的材料有关。v是平均流速）。所有流体都存在湍流现象。 我们可以用雷诺数的范围量化湍流。在直径为d的直管中，若流体的平均流速为v，由流体运动粘度v组成的雷诺数有一个临界值（大约为2300～2800），若Re小于该范围则流动是层流，在这种情况下，一旦发生小的随机扰动，随着时间的增长这扰动会逐渐衰减下去；若Re大于该范围，层流就不可能存在了，一旦有小扰动，扰动会增长而转变成湍流。雷诺在1883年用玻璃管做试验，区别出发生层流或湍流的条件。把试验的流体染色，可以看到染上颜色的质点在层流时都走直线。当雷诺数超过临界值时，可以看到质点有随机性的混合，在对时间和空间来说都有脉动时，这便是湍流。不用统计、概率论的方法引进某种量的平均值就难于描述这一流动。除直管中湍流外还有多种多样各具特点的湍流，虽经大量实验和理论研究，但至今对湍流尚未建立起一套统一而完整的理论。在流
浅谈分形科学及其哲学意义
在当今地世界科学界，分形理论与混沌理论、孤子理论被公认为是三大非线性科学地前沿.从上个世纪年代以来，分形地新概念成为全球科学界热议地话题之一，并形成了分形理论地研究和探索热潮.加入这个热潮地有各种门类地科学家，包括自然科学家、社会科学家、哲学家，甚至包括各类艺术家和电影制片工作者. 一、分形科学地产生及其基本特征[] 分形理论地创立者是当代美籍数学家曼德布罗特，他在欧式几何整数维度地基础上提出了分数维度地概念——分维，进而对大自然林林总总地各类粗糙地、貌似支离破碎地地不规则形状进行描述并研究，年冬天，曼德布罗特为这一门更加接近自然地新学科进行了命名——分形科学.自此，“分形”一词成为一种新方法，可以用来描绘、计算和思考那些不规则地、凹凸不平地、零散分布地、支离破碎地图形，例如从雪花晶体地曲线到散落在星系中地繁星点点.而分数维曲线，则代表一种隐藏在这些令人望而生畏地复杂图形中地有序结构.个人收集整理勿做商业用途 于是，分形地理论和方法被广泛采用.在那些最实用地水平上，它提供了一套工具，被研究人员广泛接纳，公认地非线性动力学提供良方地那些结构都证明是分形地.由于开辟了一条不寻常地学术成功之路，曼德布罗特被科学史家伯纳德·科恩列在与爱因斯坦、康托尔齐名地少数科学家地名单上，因为这些科学家地工作在科学史上具有革命地意义.个人收集整理勿做商业用途 分形理论告诉我们，那些外表极不规则与支离破碎地几何形体，有着自己内在地规律和特性：这就是自相似性、层次性、递归性和仿射变换不变性.个人收集整理勿做商业用途 自相似性就是局部地形态和整体地形态相似，或者说从整体中割裂出来地部分仍能体现整体地基本精神与主要特征.在曼德布罗特那里，无论是对自然过程中不规则结构地研究，还是对无限次重复形状地探讨，都贯穿着自相似性.例如，一个立于两面镜子之间地无穷反射，这是制作动画地最好方法.自相似性作为制作曲线地一种方法，同样地变换在越来越小地尺度上重复进行，就可以构造出美丽无比地科克雪花、谢宾斯基衬垫和地毯等图形.自相似性是分形理论地核心，是所有特性中地基本特性.个人收集整理勿做商业用途 层次性就是分形整体中存在地等级不同、规模不等地次级系统，可以说整体中地任何部分又是一个自身地整体，依次重复，直至无限.埃菲尔铁塔就是它地类似物，它地小梁、构架和大梁不断分叉成构件更细地格式，层次性地网络结构浑然一体.个人收集整理勿做商业用途递归性就是结构之中存在着结构.由于自相似性是不同尺度地对称，这就意味着递归.对于分形地成长历史来说，递归性犹如情节戏剧编制而成地一样.个人收集整理勿做商业用途 仿射变换不变性就是分形地局部与整体虽然不同，但经过拉伸、压缩等操作后，不仅相似，而且可以重叠. 曼德布罗特自己称为“一份宣言和一本手册”地《自然界地分形几何》一书，标志着分形思想地成熟.如今，它已成为额人们用来描述不规则形态地几何特征地一个有力工具.伽利略曾把宇宙比喻为一本大书，这本大叔是用数学地语言写成地.他说：“哲学是写在这部永远摆在我们眼前地大书中地——我这里指地是宇宙.但是，我们如果不首先学习用来写它地语言和掌握其中地符号，我们是不能了解它地.这部著作是用数学语言写成地，其中地符号就是三角形、圆和其他几何图形.没有这些数学语和数学符号地帮助，人们就会在黑暗地迷宫中徒劳地徘徊.[]”个人收集整理勿做商业用途 正因为有了分形这一描述宇宙不规则形态地数学语言，进一步帮助人们去读懂宇宙这本大书.正如曼德布罗特自己指出地那样，“这是一个美妙而极富生命力地领域”，深深吸引着各种专业地科学家去展翅翱翔.个人收集整理勿做商业用途 二、分形理论地分类和科学意义 按照分形理论，分形体内任何一个相对独立地部分（分形元或生成元），在一定程度上都是
智能控制技术现状与发展
摘要：在此我综述智能控制技术的现状及发展,首先简述智能控制的性能特点及主要方法;然后介绍智能控制在各行各业中的应用现状;接着论述智能控制的发展。智能控制技术的主要方法，介绍了智能控制在各行各业中的应用。随着信息技术的发展，许多新方法和技术进入工程化、产品化阶段，这对自动控制技术提出犷新的挑战，促进了智能理论在控制技术中的应用，以解决用传统的方法难以解决的复杂系统的控制问题。 关键词：智能控制应用自动化
浅谈智能控制技术现状及发展 在无人干预的情况下能自主地驱动智能机器实现控制目标的自动控制技术。对许多复杂的系统，难以建立有效的数学模型和用常规的控制理论去进行定量计算和分析，而必须采用定量方法与定性方法相结合的控制方式。定量方法与定性方法相结合的目的是，要由机器用类似于人的智慧和经验来引导求解过程。因此，在研究和设计智能系统时，主要注意力不放在数学公式的表达、计算和处理方面，而是放在对任务和现实模型的描述、符号和环境的识别以及知识库和推理机的开发上，即智能控制的关键问题不是设计常规控制器，而是研制智能机器的模型。此外，智能控制的核心在高层控制，即组织控制。高层控制是对实际环境或过程进行组织、决策和规划，以实现问题求解。为了完成这些任务，需要采用符号信息处理、启发式程序设计、知识表示、自动推理和决策等有关技术。这些问题求解过程与人脑的思维过程有一定的相似性，即具有一定程度的“智能”。 一、智能控制的性能特点及主要方法 1.1根据智能控制的基本控制对象的开放性，复杂性，不确定性的特点， 一个理想的智能控制系统具有如下性能： （1）系统对一个未知环境提供的信息进行识别、记忆、学习，并利用 积累的经验进一步改善自身性能的能力，即在经历某种变化后，变化后的 系统性能应优于变化前的系统性能。 （2）适应功能：系统应具有适应受控对象动力学特性变化、环境变化 和运行条件变化的能力。这种智能行为是不依赖模型的自适应估计，较传 统的自适应控制有更广泛的意义。 （3）组织功能：对于复杂任务和分散的传感信息具有自组织和协调功
混沌理论及其在密码学的应用
混沌理论及其在密码学的应用 摘要：由于混沌系统对初始条件和混沌参数非常敏感以及生成的混沌序列具有非周期性和伪随机性的特性，近年来混沌系统在密码学领域中得到了较多的 研究。介绍了混沌学理论和现代密码学的具体内客，通过对混沌和密码学 之间关系的分析。提出了把混沌用于密码学之中的具体方法和混沌密码系 统的框架结构，给出了数字加密中选择混沌系统的原则。 关键词：密码学；混沌；混沌加密 正文： 计算机从出现到现在，已经从用于计算机转到主要用于信息处理。Internet 每天为用户提供大量的信息服务。由于Internet的基础协议不是完全安全的协议。未经特别加密的信息在网络上传送时，会直接暴露在整个网络上。现代高性能的计算机、自动分析和截获程序每秒可以搜索数百万个底码，对传统的加密算法构成严重的压力。信息领域急切希望拥有更安全、方便、有效的信息保护手段。在过去的十年中，随着对混沌理论研究的不断深入，混沌理论的应用范围也不断扩展。混沌在密码学中的应用成了热门的研究领域，并提出了大量的混沌加密算法。大多数模拟混沌的密码使用混沌同步技术通过有噪信道实现秘密通信。许多研究者都已提出混沌和密码学的密切联系。混沌的许多基本特征，例如：混频(nlixi 峭)和对初始条件的敏感性都与好的密码的属性——混乱和扩散相联系。由于混沌理论近几十年得到了极大发展，无数混沌系统都可应用在密码学中，所阻混沌应当成为密码学中的新的丰富资源。 1、现代密码学 密码学包含两个互相对立的分支，即密码编码学和密码分析学.前者寻求保证消息保密性或真实性的方法，而后者则研究加密消息的破译或消息的伪造。一个保密系统由下述几个部分组成：明文消息空间M，密文消息空间C，密钥空间K1和K2，在单钥体制下KI=K2=K．此时密钥K需经安全的密钥信道由发方传给收方；加密变换Ek1∈E，M—C，其中kl∈K1，由加密器完成；解密变换Dk2∈D，C∈M，其中k2∈K2，由解密器实现。称总体(M，C，K1,K2，Ekl，Dk2)为一保密系统。对于给定明文消息m∈M，密钥kl∈Kl，加密变换把明文m变换为密文c，即 c=f(m，k1)=Ekl(m) (1)
浅谈混沌理论
2015 --2016 学年第 2 学期 物电 学院期末考试卷《 浅谈混沌理论 》 （课程论文等试卷样式） 学号: 2 姓名: 付鹏鹏 班级: 物理一班 成绩： 评语： （考试题目及要求） 装 订 线
浅谈混沌理论 姓名：指导老师：张爱霞 级别： 2013级专业：物理学 班级：物理（1）班学号：2013 摘要 混沌、分形和孤子理论，是物理界非线性理论的前沿科学，这些理论的诞生让神秘复杂的大自然变得越来越清晰化、简单化。Henry Adams曾说：“混沌是自然的法则，秩序是人类的梦想”。这句话充分体现了混沌现象的普遍性。本文从定性角度肤浅的探讨了混沌理论在社会、经济、艺术等研究中的进展情况及自己对这些研究领域的一些体会，但愿能给读者带来一些启发 关键词：混沌理论；蝴蝶效应；混沌的应用；混沌与艺术
目录 摘要 (2) 目录 0 引言 (1) 一、混沌理论的提出——由线性科学到非线性科学 (2) 1.1线性科学的成就 (2) 1.2线性科学的局限 (2) 1.3线性科学和非线性科学的差异 (2) 二、混沌理论——无序中的有序 (3) 2.1蝴蝶效应 (3) 2.2蝴蝶效应与混沌学 (4) 2.3什么是混沌呢 (4) 2.4混沌的特征 (5) 2.4.1对初始条件的敏感依赖性 (5) 2.4.2极为有限的可预测性 (5) 2.4.3混沌的内部存在着超载的有序 (5) 2.5混沌学的意义 (6) 2.6身边的混沌现象 (6) 三、混沌的应用 (6) 3.1混沌与经济学 (6) 3.2混沌与艺术 (8) 四、总结 (10) 参考文献 (10)
引言 说起“混沌”这个词，我们中国人首先想到的是我国古代传说中宇宙形成以前模糊一团的景象，即古哲学中认为盘古开天辟地之前，天地处于混沌状态。“太易者，未见气也；太初者，气之始也；太始者，形之似也；太素者，质之始也。气似质具而未相离，谓之混沌。”！！！（出自《庄子》）这里的混沌是指元气已具有物质的性质还没有进一步分化的状态。在国外，“混沌”这个词同样渊流悠久，《圣经》《创世纪》甚至埃及的神话故事中都有关于“混沌”的不同解释，这里我们不一一赘述。而在当代，混沌正在成为一种具有严格定义的科学概念，成为一门新科学的名字，它正在促使整个现代知识体系成为新科学。 不断的去探索大自然的规律是科学家的天职，无数的科学家在探索着这些规律，也终他们一生在挑战着人类未知的领域。物理学家要弄清楚物质的基本粒子，化学家则研究物质的构成、探索新的化学元素，天文学家探索宇宙的奥秘，生物学家则研究生物的演变与进化……他们的努力解决了一个个人类所遇到的难题，也创造出了人类发展史上的一个又一个奇迹。然而，还是会有很多复杂的问题在困扰着人们。人们总是思考，为什么天气变化存在着不可预测性，气体和流体在从平稳向湍流变化的过程中存在着哪些中间步骤等等各种所有在确定性系统中出现的貌似随机的不规则运动的问题，也慢慢的有人预感到，这些深奥的问题极可能揭示了大自然更深一层的规律。 早在公元前560年，我国的老子提出了宇宙起源于混沌的哲学思想；公元前450年左右，中国的古哲学家庄子也说过这样一句话：南海之地为倏，北海之帝为忽，中央天帝为浑沌。这里庄子最早把混沌理论引入到政治学的研究中。他的“中央之帝为混沌”则是对人类行为的混沌性态最早的哲学观点；1903年，美国数学家J.H.Poincare在《科学与方法》一书中提到Poincare猜想，他把动力系统和拓扑学两大领域结合起来指出了混沌存在的可能性。又从上世纪60年代开始，人们开始探索科学上的各种未解之谜，使混沌科学得到了飞速的发展，气象学、生理学、经济学中都发现了一种关于混沌的有序性。到了70年代，混沌科学发展到了一个光辉灿烂的年代。1977年，第一次国际混沌会议在意大利召开，混沌科学正式诞生！！！！ 下面就让我们一起走进这个当代前沿科学“混沌”的世界。
浅谈混沌理论及其在生活中的应用
浅谈混沌理论及其在生活中的应用 摘要：随着科学技术的不断发展以及科学研究的不断加深，最近几十年混沌学开始兴起。在非线性科学上，混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微扰也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。本文将简单讨论一下混沌理论及其在生活中的应用。 关键词：混沌理论生活中的应用 1、混沌理论的提出 美国麻省理工学院气象学家爱德华·罗伦兹（Edward N.Lorentz）为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式，意图是利用计算机的高速运算来提高长期天气预报的准确性。1963年的一次试验中，为了更细致地考察结果，在科学计算时，洛伦兹对初始输入数据的小数点后第四位进行了四舍五入。他把一个中间解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。而当他喝了杯咖啡以后，回来再看时大吃一惊：本来很小的差异，前后计算结果却偏离了十万八千里!前后结果的两条曲线相似性完全消失了。再次验算发现计算机并没有毛病，洛伦兹发现，由于误差会以指数形式增长，在这种情况下，一个微小的误差随着不断推移造成了巨大的后果。后来，洛伦兹在一次演讲中提出了这一问题。他认为，在大气运动过程中，即使各种误差和不确定性很小，也有可能在过程中将结果积累起来，经过逐级放大，形成巨大的大气运动。于是，洛伦兹认定，他发现了新的现象：事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性。 1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。 从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。 经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为对初始条件是不敏感的，即初
混沌学及其应用
混沌学及其应用 混沌是20世纪最重要的科学发现之一, 被誉为继相对论和量子力学后的第三次物理革命；我们模拟的混沌电路因具有丰富的非线性动力学特性, 它打破了确定性与随机性之间不可逾 越的分界线。生活中的非线性系统混沌现象有很多，随着对其和混沌应用的研究深入,电子、通讯、信息处理、气象学、生态学、经济学等领域的混沌学的知识应用已经有了广泛的应用。 1、混沌学在通讯里发挥着重要的作用 电子商务的兴起,对保密通信提出了更高的要求。利用混沌进行保密,通信是现在十分热门的研究课题。混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感,并导致了混沌信号的类随机特性。用它作为载调制出来的信号当然也具有类随机特性。因而,调制混沌信号即使被敌方截获, 也很难被破译,这就为混沌应用于保密通信提供了有利条件。 2、在气象学中的应用 在近年的气象研究中,利用混沌进行中期预报的研究。由于气候系统是线性系统,其初值问题的数值解是不确定的,研究气候状态的特征就要研究混沌态的特征,研究气候系统的演变机制就要研究混沌态的变化。在这些研究中使用的数学工具主要是分形理论,如分数维、李亚普诺夫指数、标度指数和功率谱指数等。利用这些数学方法分别考察、分析气候状态特征量随控制变量的变化。在数学上把天气预报问题提成初值问题,即用动力学的方法进行预报,从认识论上讲就是把大气看成是确定论的系统,这在较短的时间尺度内是行得通的,而在时间较长的时候却是有问题的,主要是大气运动是非线性、强迫和耗散的。 3、混沌学在医学中的应用（作为一个生物学生不得不讲的点） 单从生物医学角度来看,某一特定的机体可以看作一个确定性系统,其存在大量复杂、貌似随机而似有规律可循的现象。因此,混沌理论可用于指导对复杂性、系统性疾病的研究（某些复杂的免疫疾病，我查到有IgG4相关性疾病这些复杂的疾病）,也可以用于对一个整体身体状况的评估：比如我们仔细测量一段时间内的心电图, 会发现健康的心脏几乎没有两处P-P 间期完全相等的, 应该说是“绝对不齐”才是健康的。将这些健康的节律动态曲线按混沌学方法重构吸引子, 结果是奇异吸引子, 是混沌的。假如等时节律越来越多, 即目前人们多称之为“心率变异性”的改变, 表明心功能在恶化, 而“钟摆律”是不再混沌了, 是临终前的表现。系统的复杂性越好, 应变能力就越强, 出现的可能性就越多, 必然就会处于混沌状态。如果一个病人动脉壁开始硬化, 弹性丧失, 其脉压差会变得比原来小, 复杂性也会表现出减退, 其吸引子中的轨迹线可能就会出现重叠, 可以认为混沌状态在减弱。 如果用混沌理论及测量生理学复杂性动力学的新方法用来测定正常的衰老过程, 则有定量 作用。也可用来测定预防疾病和改善其进程的各种手段的效果及加以改进。例如, 可测定健康老化与痴呆在认识事物上脑电图反应的复杂性, 以便鉴定到底属于哪一种状态, 以及特定的药物对认识功能和行为的作用如何。如果将心率和血压动力学的复杂性作为衰老的观测指标, 运动和营养对心血管的衰老效应就更容易定量。还可测某人由于衰老或是疾病所引起的适应能力降低的程度, 也可用来预测药物、手术或另一些压力因素的反效应。窦节律心跳间隔的间期变化在生理复杂性方面的丧失, 可用以分辨晕厥病人猝死的危险性。确定间歇性心律不齐的严重性,预测心肌梗死死亡率以及评估充血性心力衰竭的严重程度。
大学物理读书报告——混沌理论及其应用
蝴蝶的力量 ——浅谈混沌科学及其应用清华大学 水利水电工程系 水工01班 陈龙 2010010224 前言:众所周知，300多年前，牛顿的万有引力定律和他的三大力学定律将天体 的运动和地球上物体的运动统一起来了。人们开始认为：在物体受力已知的情况下，给定了初始条件，物体以后的运动情况（包括各时刻的位置和速度）就完全决定了，并且可以预测了。这就是所谓的“决定论的可预见性”（在一些书中也叫做“线性系统的可预见性”）。牛顿力学于是被奉为近代科学的典范。然而，随着科学的发展，人们进一步认识到，牛顿力学的真理性收到了一定能够范围的限制。 其主要有三大限制性: (1)19世纪末20世纪初，由于爱因斯坦的相对论方程的出现，人们知道了 牛顿力学不能反映高速运动的规律，于是，光速c成为牛顿力学应用 的第一个限制。 （2）20世纪，人们又发现微观粒子的运动也不遵循牛顿力学的规律，随着量子力学中的薛定谔方程的出现，普朗克常量h成为了牛顿力学的第 二个限制。 （3）早在20世纪初，人们就发现，牛顿力学在研究复杂系统时遇到了困难。美国数学家庞加莱（Poincare H）发现，精确处理“三体问题” 的过程中，牛顿力学遇到了困难。于是，复杂非线性系统的运动的不 可预见性成为了牛顿力学的第三大限制，即接下来我们将进一步探究 的“混沌科学”这一新兴交叉学科。 混沌的出现，让我们了解到现实的世界是一个有序与无序相伴、确定性和随机性统一、简单与复杂一致的世界。以往那些追求有序、精确、简单的观点是不全面的。我们面临的是一个复杂纷纭的运动的世界，应该用一门“关于过程和演化的科学”来描绘一个客观的真实的世界。 关键字：不可预测性初值敏感性决定论非周期流耗散系统
《分岔与混沌理论及应用》阅读
总览 1运动稳定性理论 在实际应用中，微分方程所描述的是物质系统。从实际问题中提出的微分方程，人们分为两部分：主要因素、次要因素（干扰因素）。从数学角度来看，主要因素引起初值的变化，而次要因素引起微分方程本身的变化。这里所研究的问题是：初始条件或微分方程本身的微小变化是否只引起对应解的微小变化，或者是否会由于初始条件或微分方程微小变化使得对应的解发生很大的变化。 对于一些运动，微小的干扰带来的影响并不显著，受干扰的运动与不受干扰的运动超别很小，这类运动为稳定的运动；对于令一下运动，无论干扰有多小，随着时间的发展，受干扰的运动与不受干扰的运动相差很大，这类运动为不稳定运动。 稳定性定义：如果对于任意小的正数ε，总存在正数()ηε，使得对于所有受干扰的运动()(1,2, ,)i i y y t i n ==，当其在初始时刻0t t =时满足不等式 00()()()(1,2,3,,)i i y t y t i n ηε=≤= 而在所有0t t ≥时，满足不等式 ()()(1,2,3,,)i i y t y t i n ε-<= 则未受干扰的运动就称为对变量是稳定的。 ()i i y y t =为初始运动；()i i y y t =为受n 维扰动向量η干扰的运动。 2分岔的基本概念 分岔理论研究非线性常微分系统由于参数的变化而引起的解的不稳定性从而导致解的数目的变化的行为。如果一个动力系统是结构不稳定的，则任意小的适当的扰动都会使系统的拓扑发生突然的质的变化，这种值的变化称为分岔。 处理局部分岔的一般步骤为：对于一个高维系统，通常先用L-S 方法或中心流形定理将其降维，再用范式理论将其简化，从而得到最简形式的约化方程，之后用奇异性理论处理静态的分岔。 全局分岔：除了依靠竖直计算外，主要依靠根据相空间里各平衡点/闭轨的局部分岔性得出轨线的局部流向，并进行行综合以推测出相空间全局的轨线性态。 3混沌理论 对于一个确定性动力系统施加确定性的输入，则该系统的输出一定是确定的。但对于非线性系统，则可能出现一种无法精确重复、貌似随机的运动，人们称之为混沌。 混动运动是一种不稳定的有限定常运动，局限于有限区域但轨道永不重复，也被描述为具有无穷大周期的周期运动。混动运动时确定性非线性动力系统所特有的复杂运动状态，但对于这样的系统也只有当系统参数处于某一范围时才表现为混沌运动，在其他情况下仍然表现为通常的确定性运动。 由于混沌遇到弄的不确定性，多数情况下人们希望避免混沌运动的发生，因此混沌控制主要集中于消除和抑制混沌现象。