专题08：二元一次方程组

专题8：二元一次方程组

08—1：核心概念

C1级突破

【实例分析】

谁的包裹多

一头小马遇到一头老牛，小马说：“累死我了”。老牛说：“哼，你还累，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍”。小马说：“你有什么了不起的？我从你背上拿来1个，我的包裹数就等于你的包裹数”。到底谁的包裹多？

设老牛驮了x 个包裹，小马驮了y 个包裹。

老牛的包裹数比小马的多2个，由此你能得到怎样的方程？

若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时它们各有几个包裹？由此你能得到怎样的方程？ 可以得到方程x-y=2和x+1=2(y-1) 想一想：

上面所列的方程含有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 议一议：

在上面的方程x+y=8和5x+3y=34中，x 的含义相同吗？y 呢？

方程x+y=8和5x+3y=34中，x ，y 的含义分别相同。因而x ，y 必须同时满足x+y=8和5x+3y=34。把它们联立起来，得

8

5334

x y x y ?+=?

+=?

像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。如

212

(1)x y x y ?-=?+=-?，27

312x y y ?+=?

+=?等都是二元一次方程组。

做一做：

（1）x=6，y=2适合方程x+y=8吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你还能找到其它x，y值适合方程x+y=8吗？

（2）x=5，y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2，y=8呢？

（3）你能找到一组x，y值，同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。如x=6,y=2是方程x+y=8

的一个解，记作

6

2

x

y

?=

?

=

?

，同样，

5

3

x

y

?=

?

=

?

也是方程x+y=8的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。例如

5

3 x

y

?=?

=?

就是二元一次方程组

8

5334

x y

x y

?+=

?

+=

?

的解。

【随堂练习】

题1. 根据题意，列方程组：

小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元，小明买了两种邮票各多少枚？题2. 下面4组数值中，哪些是二元一次方程2x+y=10的解？

（1）

2

6

x

y

?=-

?

=

?

，（2）

3

4

x

y

?=

?

=

?

，（3）

4

3

x

y

?=

?

=

?

，（4）

6

2

x

y

?=

?

=-

?

C2级突破

题1. 二元一次方程组

210

2

x y

y x

?+=

?

=

?

的解是。

（1）

4

3

x

y

?=

?

=

?

，（2）

3

6

x

y

?=

?

=

?

，（3）

2

4

x

y

?=

?

=

?

，（4）

4

2

x

y

?=

?

=

?

题2. 甲种物品每个4千克，乙种物品每个7千克。现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76千克。（1）列出关于x，y的二元一次方程；

（2）若x=12，则y= ；

（3）若有乙种物品8个，则甲种物品有个。

题3. （1）找几组适合方程x+y=0的x，y值；

（2）找几组适合方程x-y=2的x，y值；

（3）找出一组x，y值，使它们同时适合方程x+y=0和x-y=2；

（4）根据上面的结论，你能直接写出二元一次方程组

2

x y

x y

?+=

?

-=

?

的解吗？

题4. 小明和小丽两人同时到一家水果店买水果。小明买了1千克苹果和2千克梨，共花了13元；小丽买了2千克苹果和1千克梨，共花了14元。苹果和梨的价格各为多少？

根据题意，小明列出方程组： 213

214

x y x y ?+=?+=?

而小丽列出的是： 213

214

x y x y ?+=?

+=?

交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的。他们列的方程组正确吗？你认为他们产生分歧的原因是什么？

08—2：加减法

C1级突破

【实例分析】

怎样解下面的二元一次方程组呢？

3521

2511

x y x y ?+=?

-=-? 小彬：把○2变形得x=

2

11

5-y ，代入○1，不就消去x 了。 小明：把○2变形得5y=2x ＋11，可以直接代入○1呀。 小丽：5y 和－5y 互为相反数…… 按小丽的思路，你能消去一个未知数吗？ 两方程相加，5x=10 x=2

将x ＝2代入○1，得 6＋5y ＝21 y=3 所以方程组3521x y ?+=?的解是2

x ?=?

【典型例题】

题1. 解方程组 257231

x y x y ?-=?

+=-?

○

2－○1，得 8y ＝－8, y ＝－1 将y ＝－1代入○1，得 2x ＋5＝7 x=1 所以原方程组的解是11

x y ?=?=-?

题2. 解方程组 23123417

x y x y ?+=?

+=? （能否使两个方程中x(或y)的系数相等（或相反）呢？）

解： ○1×3，得 6x ＋9y ＝36 ○3 ○

2×2，得 6x ＋9y ＝34 ○4 ○

3－○4，得 y ＝2 将y ＝2代入○1，得 x ＝3 所以原方程组的解是32

x y ?=?=?

议一议

上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？

上面解方程组的基本思路仍然是“消元”。主要步骤是通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。

C2级突破

1、用加减消元法解下列方程组：

（1）???-=+=-1929327y x y x （2）?

??-=+=-156356y x y x

（3）???-=-=+52534t s t s （4）?

??-=-=-547965y x y x

（5）???+=-+=-）（）（

）（

5315513x y y x

08—3：代入法

C1级突破

【实例分析】

老牛和小马到底各驼了几个包裹呢？这就需要解方程组

??

?-=+=-）

（）

（2)

1(2112y x y x 由（1），得y=x －2 （3）

由于方程组中相同的字母表示同一个未知数，所以方程（2）中的y 也等于x －2，可以用x －2代替方程○2中的y 这样有

x ＋1=2（x －2－1）. （4） 解所得的一元一次方程（4），得x=7 再把x=7代入（3）， 得y=5 这样，我们得到二元一次方程组???-=+=-)

1(212

y x y x 的解???==57y x ，因此，老牛驮了7个包裹，小马驮了

5个包裹。

【典型例题】

题1. 解方程组

3214

3

x y x y ?+=?

=+? 解：将○2代入○1，得3(y ＋3)＋2y ＝14 3y ＋9＋2y ＝14 5y ＝5 y ＝1 将y ＝1代入○2，得 x ＝4 所以原方程组的解是4

1

x y ?=?

=?

注：把求出的解代入原方程组，可以得到你解得对不对。

题2. 解方程组

2316

413

x y x y ?+=?

+=? 解：由○2，得 x ＝13－4y ○3 将○3代入○1，得2(13x －4y)＋3y ＝16 26－8y ＋3y ＝16 －5y ＝－10 y ＝2 将y ＝2代入○3，得 x ＝5 所以原方程组的解是5

2

x y ?=?=?

议一议

上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？

上面解方程组的基本思路是“消元”—把“二元”变为“一元”。主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

C2级突破

1、用代入消元法解下列方程组：

（1）???=+=122y x x y （2）?????

=+-=65

342

5y x y x

（3）???=-=+711y x y x （4）???=+=-3

29

23y x y x

08—4：列方程

C1级突破

题1. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。

分析：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y 。

在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，所写的数可表示为 ； 在较大的两位数的左边写上较小的两位数，所写的数可表示为 ； 解：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，则

68

(100)(100)2178

x y x y y x ?+=?

+-+=? 化简，得

68

99992178

x y x y ?+=?

-=? 即68

22

x y x y ?+=?

-=?

解该方程组，得45

23

x y ?=?

=?

所以这两个两位数分别是45和23.

题2. 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？

题3. 某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨，实际生产了17吨，其中水稻超产15%，小麦超产10%，该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？

题4．〈〈一千零一夜〉〉中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上

觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的1

3

，

若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？

题5. A，B两地相距80千米，一艘船从A出发，顺水航行4时到B，而从B出发逆水航行5时到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别为船在静水中速度与水流速度的和与差，求船在静水中的速度和水流速度。

C2级突破

题1. 将一摞笔记本分给若干同学每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本。共有多少本笔记本，多少个同学？

题2. 用一根绳子环绕一棵大树。若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？

题3. 安排28人去车间生产某种螺栓和螺母，已知每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，为了合理分配劳动力，使生产的产品配套（一个螺栓套两个螺母），应该怎样分配？

螺母：x人 2×12（28－x）＝18x 112－4x＝3x x＝16

16人生产螺母，12人生产螺栓

题4. 小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路。她跑步去学校共用了16分，已知小颖在上坡路上的平均速度是4.8千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时。小颖上坡、下坡各用了多长时间？

B 级突破

题1.（吉林省）如图所示，矩形ABCD 的周长为14cm ，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AD 于点F ．以C 为圆心，CB 长为半径画弧交CD 于点G ．设AB ＝xcm ，BC ＝ycm ，当DF ＝DG 时，求x ，y 的值．

D G

C

F

A

E B

y

x

x ＋y ＝7 y －

2

x

＝x －y 4y ＝3x x ＝4㎝ y ＝3㎝

题2. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 在AB 上，CE ∥AD ，且BE ＝CE ，∠B －∠A ＝300，求∠A ，∠B 的度数。

A B

D

C

E

∠B －∠A ＝300，2∠B ＋∠A ＝1800，∠B ＝700，∠A ＝400，

题3. 一个长方形，它的长减少1厘米,宽增加3厘米，所得的正方形比原长方形的面积大21平方厘米．求原来长方形的长与宽．

x －1＝y ＋3 x －y ＝4 （x －1）（y ＋3）＝xy ＋21 3x －y ＝24 x ＝10 y ＝6

题4. （台湾）如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm2、100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的。若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，求甲的容积为何？（ C ）80h＝100（h－8） 20h＝800 h＝40

A) 1280cm3 (B) 2560cm3 (C) 3200cm3 (D) 4000cm3。

甲乙

题5. 如图，8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？

60cm

题6. (泰州课改)扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4cm，求这种药品包装盒的体积．

13cm 14cm

高

长

宽

答案：解：设这种药品包装盒的宽为x㎝，高为y㎝，则长为（x＋4）㎝，

根据题意得，

2214

4213

x y

x y

+=

?

?

++=

?

　

解这个方程组得

5

2

x

y

=

?

?

=

?

故长为9cm，宽为5cm，高为2cm．体积V=9×5×2=90（㎝3）

答：这种药品包装盒的体积为90㎝3．

题7. 有三把楼梯，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的。每把楼梯的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图所示，并把横档与扶杆榫合处称作联结点（如点A）。

（1）通过计算，补充填写下表：

楼梯种类两扶杆总长（米）横档总长（米）联结点数（个）

五步梯 4 2．0 10

七步梯

九步梯

（2）一把楼梯的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个个联结点1元计算，而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等（材料损耗及其它因素忽略不计）。现已知一把五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一把九步梯的成本。

2m

30cm

50cm A 2.5m

40cm

60cm 70cm

3m

50cm

解：（1）七步梯、九步梯的扶杆长分别是5米、6米；横档总长分别是3.5米、3.5米（各1分）；联结点个数分别是14个、18个.

（2）设扶杆单价为x元/米，横档单价为y元/米。

依题意得：

4211026(1) 5 3.511436(2)

++?=???????????

?

++?=??????

?

x y

x y

即

28

5 3.522

x y

x y

+=

?

?

+=

?

，解得

3

2

x

y

=

?

?

=

?

。

故九步梯的成本为6×3＋5.4×2＋1×18＝46.8(元) (9/). 答:一把九步梯的成本为46.8元。

A 级突破

题1. (河北)《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图－1，图－2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x y ，的系数与相应的常数项．把图－1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219423.

x y x y +=??+=?，

类似地，图－2所示的算筹图我

们可以表述为（ A ）

图－1图－2

（A ）2114327.x y x y +=??+=?， （B ）2114322.x y x y +=??+=?， （C ）3219423.x y x y +=??+=?， （D ）264327.x y x y +=??+=?

，

题2．对于任意有理数x ，y ，定义一种运算*，规定x*y=ax ＋by －cxy ，其中的a ，b ，c 表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4又等式x ★m=x （m ≠0）对任意有理数x 成立，则常数m 的数值是多少？

点拔：因为 x cmx mb ax m x =-+=*，得mb x a cm =-+)1(，对于任意的有理数x 都成立，且0≠m ，所

以???=-+=.01,0a cm b 把0=b 代入?

??=-+==-+=,46323*2,

3222*1c b a c b a 得???==.1,5c a 求得1=m 答案：1

题3. (山东省中考题)已知（2x ＋3y －4）2

＋∣4x ＋5y －6∣=0，则x y = 1 。

题4. 若3x 3m

＋5n ＋9

＋4y 4m

－2n －7

＝2是关于x 、y 的二元一次方程，则

n

m

的值等于 －73 。

题5. 若x ＝21

时，关于x ，y 的二元一次方程组???=-=-2

12by x y ax 的解互为倒数，则a －2b ＝ 223 。

y ＝2

a ＝（2y ＋1）÷x ＝10 2

b ＝x －2＝－23 a －2b ＝2

23

题6. 满足方程组?

??=++=+5321

53y x k y x 的x 、y 值之和为2，求k 的值。

3（x ＋y ）＋2y ＝k ＋1 2y ＝k －5 2（x ＋y ）＋y ＝5 y ＝1 k ＝7