11-12-2概率统计答案(B卷)

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2011—2012学年第二学期闽江学院考试试卷

考试课程：概率统计

试卷类别：A卷□B卷 考试形式：闭卷 开卷□

适用专业年级：本科周3学时各专业

班级姓名学号

一、单项选择题（3%χ6＝18%）

1、A

2、C

3、C

4、B

5、D

6、C

二、填空题 (3%χ6＝18%)

7、7.8 8、001001199

100100

0.90.10.90.1

C C

+9、1

4

10、0.5 11、0.975 12、

1

1

k

n

=

-

三、计算题（58 %）

13、（8%）有3个箱子，分别编号为1、2、3．1号箱装有1

2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球．某人从三个箱子中任取一

箱，从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是来自1号箱的概率．

解：记A1=“选1号箱”，A2=“选2号箱”，A3=“选3号箱”，B=“摸得红球”。

依题意

123

()1/3,()1/3,()1/3

P A P A P A

===，……… 2分

123

(|)1/5,(|)2/5,(|)1

P B A P B A P B A

===，……… 4分

由贝叶斯公式

22

2

112233

()(|)

(|)

()(|)()(|)()(|)

1/15

0.125

1/152/155/15

P A P B A

P A B

P A P B A P A P B A P A P B A

=

++

==

++

……… 8分

14、（8%）已知离散型随机变量X

（1）求常数a；

（2）求X的分布函数()

F x.

解: （1）由分布律的性质可得

11

2()1

44

a a

+++=

1

.

6

a

?=……… 4分

（2

由分布函数的定义可得

0,1

1

,10

3

()().

7

,01

12

1,1

x

x

F x P X x

x

x

<-

?

?

?-≤<

?

=≤=?

?≤<

?

?≥

?

……… 8分

15、（12%）已知连续型随机变量X的分布函数为

0,0

()01/9

,1/9

x

F x x

B x

≤

?

?

=<<

?

?≥

?

，

（1）求常数,A B ；（2）求概率(0116)P X ≤<；（3）求X 的概率密度()f x ． .解：（1）由分布函数的性质

(19)(19)()11

F F A B F B -+

=?=+∞=?= ……… 2分

因此可得 3,1A B == ……… 4分 （2）由分布函数的性质

(0116)(116)(0)34P X F F ≤<=-= ……… 8分

（3）由密度函数的定义

12

310()()290,x x dF x f x dx -?<

其它 ……… 12分

16、（10%）已知二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为

26,01,1

(,)0,xy y y x f x y ?<<<<=?

?其它

， （1）求概率()P X Y ≤；

（2）求出边缘密度函数(),()X Y f x f y ，并判断,X Y 是否相互独立．

解：解：（1）由题意

()P X Y ≤ ……… 1分 {}

(,)x y f x y dxdy ≤=

??

……… 2分

210

6y

y

dy xydx =?? ……… 3分

1

350

3()y y dy =-? ……… 4分

1

4

=

……… 5分 （2）由题意

203,01

,01()0,0,

X x x xydy x f x ??<<<

==?????其它 其它 …… 7分

2146,013(1),01()0,0,

y Y xydx y y y y f y ?<

==??????其它 其它 ……… 9分

因(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故,X Y 不独立 ……… 10分

17、(10%)设总体X 的概率密度为：

e ,0(0)

(;)0,

0x x x x θθθ?θ-?≥>=?

解 依题意可知，似然函数为：

1

(

)

121

1

(,,

,;)(,)n

i i

i n

n

x x n

n i i i L x x x x e

e

θθθ?θθθ=--==∑===∏∏ ……… 2分

则

1

ln ln ()n

i i L n x θθ==-∑ ……… 4分

两边对θ求导可得

1

ln n

i i d L n x d θθ==-∑ ……… 6分 再求解似然方程：

1

0n

i i n

x θ

=-=∑ ……… 8分

可得出：

1

?n

i

i n

x

θ

==∑

即为θ的最大似然估计。 ……… 10分

18、(10%)一个复杂系统由400个相互独立起作用的部件所组成, 在整个运行期

间每个部件损坏的概率为0.2，为使整个系统起作用，必须至少有332个部件正常工作，利用中心极限定理求整个系统起作用的概率．（()x Φ的值见卷末附表）

解：由题意知系统中能正常工作的部件数量X 服从二项分布，即~(400,0.8)X B . ...............…2分 那么()320,()64.E X D X == ...............…4分 则根据中心极限定理，系统能正常工作的概率为

20

(332))P X ≥=

≥ ..................6分 1(1.5)≈-Φ ..................8分 10.9330.067=-= (10)

分

四、证明题 (6%)

19证明： 2(){[()]}D X E X E X =- ……… 2分

22{2()[()]}E X XE X E X =-+

22()2()()[()]E X E X E X E X =-+ ……… 4分 22()[()]E X E X =- ……… 6分

00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

()0.500.6920.8410.9330.9770.9940.999

x x Φ

其中()x Φ是标准正态分布的分布函数.