2017西安铁路职业技术学院高职单招考试模拟试卷(数学)

2017西安铁路职业技术学院高职单招考试模拟试卷 数学

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。 参考公式：锥体体积公式V=

1

3

Sh,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

线性回归方程^^^

y b x a =+中系数计算公式^

^^

1

2

1

(1)(1)

,(1)

n

i n

i x x y y b a y b x x ==--=

=--∑∑

样本数据x 1,x 2,……，xa 的标准差，211

()2(2)()n x x x x x x n

+-+-+- 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则1221()(ab )n n n n n n a b a b a a b b -----=-+++……

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足iz=1，其中i 为虚数单位，则 A ．-i B ．i C ．-1 D ．1 2．已知集合A=(,),x y x y 为实数，且221x y +=，B=(,),x y x y 为实数，且1x y +=则A ?B 的

元素个数为

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

3．已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若λ为实数，（()a b λ+∥c ），则λ=

A ．

1

4

B ．

1

2

C ．1

D ．2

4．函数1

()lg(1)1f x x x

=++-的定义域是

A ．(,1)-∞-

B ．（1，+∞）

C ．（-1，1）∪（1，+∞）

D ．（-∞，+∞） 5．不等式2x 2-x-1>0的解集是 A ．1

(,1)2

-

B ．（1， +∞）

C ．（-∞，1）∪（2，+∞）

D ．1

(,)(1,)2

-∞-?+∞

6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式?

??

??≤≤≤≤y

x x x 2220 给定，若M （x ，y ）为D 上的

动点，点A 的坐标为(2,1)，则z=OM ·OA 的最大值为

A ．3

B ．4

C ．32

D ．42

7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正

五棱柱对角线的条数共有 A ．20 B ．15 C ．12 D ．10 8．设圆C 与圆x 2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为 A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆 9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱形，

则该几何体体积为

A ．34

B ．4

C ．32

D ．2

10．设f （x ），g （x ），h （x ）是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()()f g x 和()()f x x ?；

对任意x ∈R ，（f·g ）（x ）=(())f g x ；（f·g ）（x ）=()()f x g x ．则下列恒等式成立的是 A ．(())()(()())()f g h x f h g h x ?=?? B ．(())()(()())()f g h x f h g h x ?=? C ．(())()(()())()f g h x f h g h x =

D ．(())()(()())()f g h x f h g h x ??=???

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 11．已知{}n a 是同等比数列，a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______

12．设函数3()cos 1f x x x =+,若()11f a =,则f （-a ）=_______

13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到

5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：

时间x

1 2 3 4 5 命中率 0．4

0．5

0．6

0．6

0．

4

小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮

球6小时的投篮命中率为________．

（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为???==θ

θ

χsin cos 5y （0θ≤<π）和

????

?

==t

y t

x 245（t R ∈），它们的交点坐标为 。

15．（集合证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，CD=2．E,F 分别为AD ，BC 上点，且EF=3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分为12分）

已知函数1

()2sin()3

6

f x x π

=-，∈χR 。

（1）求(0)f 的值；

（2）设??

?

???2,

0,πβα，f （32πα+）=1310,f （3β+2π）=56．求sin （α β）的值 17．（本小题满分13分）

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用x n 表示编号为n （n=1,2,…,6）的同学所得

成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n

1 2 3 4 5 成绩x n

70

76

72

70

72

（1）求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s;

（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。 18．（本小题满分13分） 图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿

切面向右水平平移后得到的．A ，A′，B ，B′分别为 CD , ''C D , DE ,

''D E 的中点，''112,2

,,O O O O 分别为,'',,''CD C D DE D E 的中点． （1）证明：''12,,,O A O B 四点共面；

（2）设G 为A A′中点，延长\''1AO 到H′，使得''''11O H AO =．证明：''''

2

BO H BG ⊥平面

19．（本小题满分14分） 设a ＞0,讨论函数f （x ）=lnx+a （1-a ）x 2-2（1-a ）的单调性。 20．（本小题满分14分）

设b>0，数列{n a }满足a 1=b,1

1(2)1

n n n nba a n a n --=+-≥

（1）求数列{n

a }的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n ，2a n ≤b n 1

++1

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP

（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；

（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求HO+HT的最小值，并给出此时点H的坐标；

l的（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线

1斜率k的取值范围。

参考答案

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共10小题，每小题5分，满分50分。 A 卷：1—5DBCBA 6—10CADCB

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共5小题，每小题5分，满分20

分，其中14—15题是选做题，考生只能选做一题。 11．2 12．-9 13．0.5，0.53 14．251,

5??

? ??

? 15．7：5 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）

解：（1）(0)2sin 6f π??

=-

???

2sin

16

π

=-=-；

（2）10132sin 32sin ,132326f πππααα???

???=+=?+-= ? ? ????

???

61(32)2sin (32)2sin 2cos ,5362f ππβπβπββ???

?=+=?+-=+= ? ?????

53

sin ,cos ,135

αβ∴=

=

2

2

512cos 1sin 1,1313αα??

∴=-=-= ???

2

234sin 1cos 1,55ββ??

=-=-= ???

故5312463

sin()sin cos cos sin .13513565

αβαβαβ+=+=

?+?= 17．（本小题满分13分）

解：（1）6

1

1756n n x x ===∑

5

616675707672707290,n n x x x =∴=-=?-----=∑

62

2222222111

()(5135315)4966

n n s x x ==-=+++++=∑，

7.s ∴=

// （2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}， 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，

故所求概率为2

.5

18．（本小题满分13分）

证明：（1） ,,A A CD

C D ''' 分别为中点，

11//O A O A ''∴

连接BO 2

直线BO 2是由直线AO 1平移得到

12//AO BO ∴

12//O A BO ''∴

12,,,O A O B ''∴共面。

（2）将AO 1延长至H 使得O 1H=O 1A ，连接1,,HO HB H H '' ∴由平移性质得12O O ''=HB

21//BO HO ''∴

11,,2

A G H O H H A H O H H GA H π

''''''''''==∠=∠=

1GA H O H H ''''∴???

12

H O H GH A π

'''∴∠+=

1O H H G ''∴⊥ 2BO H G ''∴⊥

12212222222,,O O B O O O O O B O O O O '''''''''''⊥⊥?= 1222O O B BO O ''''∴⊥平面 122O O BO '''∴⊥ 2BO H B '''∴⊥

H B H G H ''''?=

2.BO H B G '''∴⊥平面

19．（本小题满分14分）

解：函数()f x 的定义域为(0,).+∞

22(1)2(1)1

(),a a x a x f x x

---+'=

当212(1)10a a x ≠--+=时,方程2a(1-a)x 的判别式

112(1).3a a ?

??=-- ??

?

①当1

0,0,()3

a f x '<<

?>时有两个零点， 12(1)(31)(1)(31)11

0,22(1)22(1)

a a a a x x a a a a a a ----≠

->=+

-- 且当12120,()0,()(0,)(,)x x x x f x f x x x '<<>>+∞或时在与内为增函数； 当1212,()0,()(,)x x x f x f x x x '<<<时在内为减函数；

②当

1

1,0,()0,()(0,)3

a f x f x '≤

③当1

1,()0(0),()(0,)a f x x f x x

'==>>+∞时在内为增函数；

④当1(1)(31)1

1,0,0,22(1)

a a a x a a a -->?>=

->-时 2(1)(31)1

0,()22(1)

a a x f x a a a --'=

+<-所以在定义域内有唯一零点1x ，

且当110,()0,()(0,)

x x f x f x x '<<>时在内为增函数；当1x x >时，

1()

0,()(,)f x f x x '<+∞在内为减函数。

()f x 的单调区间如下表：

1

03

a <<

1

13

a ≤≤ 1a >

1(0,)x

12(,)x x

2(,)x +∞

(0,)+∞

1(0,)x

1(,)x +∞

（其中12(1)(31)(1)(31)11

,22(1)22(1)

a a a a x x a a a a a a ----=

-=+

--）

20．（本小题满分14分）

解：（1）由1

110,01

n n n nba a b a a n --=>=

>+-知

1

111

n n n n a b b a --=+

令11,,n n n A A a b

=

= 当111

2,n n n A A b b

-≥=

+时 111111n n A b b b --=+++

1111.n n b b b

-=+++

①当11111,1(1)1n n n n b b b b A b b b

??

- ?-??

≠==--时

②当1b =时，.n A n =

(1)

,11

1,1n n n nb b b a b b ?-≠?

∴=-??=?

（2）当12(1)

1,(21,1

n n n n

nb b b a b b +-≠=≤+-时欲证

只需1

12(1))1

n n

n b nb b

b +-≤+-

1

2211121(1)11

n n n n n n n b b

b b b b b b +-+---+=+++++++-

11111n n n n n b b b b b b b --?

?=++++++ ??

?

(222)n b >+++

2,n nb =

12(1)

21.1

n n n n

nb b a b b +-∴=<+-

综上所述12 1.n n a b +≤+

21．（本小题满分14分） 解：（1）如图1，设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q ， ,,||||.MPQ AOP MP l MO MP ∠=∠∴⊥= 且

因此22

|2|,x y x +=+即

24(1)(1).y x x =+≥-

①

另一种情况，见图2（即点M 和A 位于直线OP 的同侧）。

MQ 为线段OP 的垂直平分线，

.MPQ MOQ ∴∠=∠

又,.MPQ AOP MOQ AOP ∠=∠∴∠=∠ 因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(,0).x

为分析(,0)M x x 中的变化范围，设(2,)P a -为l 上任意点().a R ∈

由||||MO MP =

（即22||(2)x x a =++）得，

21

1 1.4

x a =--≤-

故(,0)M x 的轨迹方程为

0,1y x =≤-

②

综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为

24(1),1,

0,

1.x x y x +≥-?=?

<-?

（2）由（1）知，轨迹E 的方程由下面E 1和E 2两部分组成（见图3）：

21:4(1)(1)E y x x =+≥-；

2:0, 1.E y x =<-

当1H E ∈时，过Ｔ作垂直于l 的直线，垂足为T '，交E 1于3,14D ??

-- ???

。 再过H 作垂直于l 的直线，交.l H '于 因此，||||HO HH '=（抛物线的性质）。

||||||||||3HO HT HH HT TT ''∴+=+≥=（该等号仅当H T ''与重合（或H 与D 重合）时

取得）。

当2H E ∈时，则||||||||15 3.HO HT BO BT +>+>+>

综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H 的坐标为3,1.4??-

- ???

（3）由图3知，直线1l 的斜率k 不可能为零。

设1:1(1)(0).l y k x k +=-≠

故11(1)1,x y E k =

++代入的方程得：24480.y y k k ??

--+= ???

因判别式2

21644482280.k k k ????

?=++=++> ? ?????

所以1l 与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点。

又由E 2和1l 的方程可知，若1l 与E 2有交点，

则此交点的坐标为12111,0, 1.0,2k k k l E k k ++??

<--<<

???

且即当时与有唯一交点

1,0k k +??

???

，从而1l 表三个不同的交点。 因此，直线1l k 斜率的取值范围是1(,](0,).2

-∞-?+∞