圆盘、球体转动惯量的推导

圆盘、球体转动惯量的推导
圆盘、球体转动惯量的推导

如果是过圆盘中心并且垂直于圆盘的轴,那么取距离轴为R,宽度为dr 的圆环作为微元,并设圆盘的质量面密度为μ,则圆环的质量dr dm πμ2=,带入积分式可得4

32

1dr 2R R πμπμ=

?,再利用m 2=R μπ,可得2

m 2

1R

J =

如果是过圆盘中心并且在圆盘面内的,可以根据垂直轴定理得到结果,当然也可以直接计算。如图所示,取圆盘上一小块儿作为微元,在极坐标下,θμrdrd dm =,

所以这一小块儿的转动惯量

2

)cos (9θr dm dJ =,积分得到

2

21mR

J =

。(r 从0到R ,θ从0

到2π)

对于不同的形状,分析方法都是先想办法写出dm ,关键在于分割的方法。至于计算,一般不是问题,对于不同的题目取合适的坐标系就行了。

?

÷-+

-=

=a

i

i

i i

dx x l y x a

a x z 1

3

310

1

3)()(

(完整word版)转动惯量计算公式

1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量) 8 2 MD J = 对于钢材:341032-??= g L rD J π ) (1078.0264s cm kgf L D ???- M-圆柱体质量(kg); D-圆柱体直径(cm); L-圆柱体长度或厚度(cm); r-材料比重(gf /cm 3)。 2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量: 2i Js J = (kgf·cm·s 2) J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2); i-降速比,1 2 z z i = 3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量 g w 22? ? ? ???=n v J π g w 2s 2 ? ? ? ??=π (kgf·cm·s 2) v -工作台移动速度(cm/min); n-丝杠转速(r/min); w-工作台重量(kgf); g-重力加速度,g = 980cm/s 2; s-丝杠螺距(cm) 2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量: ()) s cm (kgf 2g w 1 22 22 1?? ??? ???????? ??+++=πs J J i J J S t J 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量; J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2); J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2); s-丝杠螺距,(cm); w-工件及工作台重量(kfg). 5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量 2 g w R J = (kgf·cm·s 2) R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)

6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量 ???? ??++=2221g w 1R J i J J t J 1,J 2-分别为Ⅰ轴, Ⅱ轴上齿轮的转动惯量(kgf·cm·s 2); R-齿轮z 分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)。 马达力矩计算 (1) 快速空载时所需力矩: 0f amax M M M M ++= (2) 最大切削负载时所需力矩: t 0f t a M M M M M +++= (3) 快速进给时所需力矩: 0f M M M += 式中M amax —空载启动时折算到马达轴上的加速力矩(kgf·m); M f —折算到马达轴上的摩擦力矩(kgf·m); M 0—由于丝杠预紧引起的折算到马达轴上的附加摩擦力矩(kgf·m); M at —切削时折算到马达轴上的加速力矩(kgf·m); M t —折算到马达轴上的切削负载力矩(kgf·m)。 在采用滚动丝杠螺母传动时,M a 、M f 、M 0、M t 的计算公式如下: (4) 加速力矩: 2a 106.9M -?= T n J r (kgf·m) s T 17 1= J r —折算到马达轴上的总惯量; T —系统时间常数(s); n —马达转速( r/min ); 当 n = n max 时,计算M amax n = n t 时,计算M at n t —切削时的转速( r / min )

转动惯量公式表

常见几何体]转动惯量公式表

对于细杆 当回转轴过杆的中点并垂直于杆时;J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量,L是杆的长度。 当回转轴过杆的端点并垂直于杆时:J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量,L是杆的长度。

对于圆柱体 当回转轴是圆柱体轴线时;J=m(r^2)/2 其中m是圆柱体的质量,r是圆柱体的半径。 对于细圆环 当回转轴通过中心与环面垂直时,J=mR^2; 当回转轴通过边缘与环面垂直时,J=2mR^2; R为其半径 对于薄圆盘 当回转轴通过中心与盘面垂直时,J=﹙1/2﹚mR^2; 当回转轴通过边缘与盘面垂直时,J=﹙3/2﹚mR^2; R为其半径 对于空心圆柱 当回转轴为对称轴时,J=﹙1/2﹚m[(R1)^2+(R2)^2]; R1和R2分别为其内外半径。 对于球壳 当回转轴为中心轴时,J=﹙2/3﹚mR^2; 当回转轴为球壳的切线时,J=﹙5/3﹚mR^2; R为球壳半径。 对于实心球体 当回转轴为球体的中心轴时,J=﹙2/5﹚mR^2; 当回转轴为球体的切线时,J=﹙7/5﹚mR^2; R为球体半径 对于立方体 当回转轴为其中心轴时,J=﹙1/6﹚mL^2; 当回转轴为其棱边时,J=﹙2/3﹚mL^2; 当回转轴为其体对角线时,J=(3/16)mL^2; L为立方体边长。 只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些(绕定轴转动时)的刚体动力学公式。 角加速度与合外力矩的关系:

角加速度与合外力矩 式中M为合外力矩,β为角加速度。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。 角动量: 角动量 刚体的定轴转动动能: 转动动能 注意这只是刚体绕定轴的转动动能,其总动能应该再加上质心动能。 只用E=(1/2)mv^2不好分析转动刚体的问题,是因为其中不包含刚体的任何转动信息,里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。由这一公式,可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。 转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性)的量度,用字母I或J表示。其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置,而同刚体绕轴的转动状态(如角速度的大小)无关。形状规则的匀质刚体,其转动惯量可直接用公式计算得到。而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量,一般通过实验的方法来进行测定,因而实验方法就显得十分重要。转动惯量的表达式为I=∑ mi*ri^2,若刚体的质量是连续分布的,则转动惯量的计算公式可写成I=∫r^2dm=∫r^2ρdV(式中mi表示刚体的某个质元的质量,ri表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度,求和号(或积分号)遍及整个刚体。)转动惯量的量纲为L^2M,在SI单位制中,它的单位是kg·m^2。 平行轴定理 平行轴定理:设刚体质量为m,绕通过质心转轴的转动惯量为Ic,将此轴朝任何方向平行移动一个距离d,则绕新轴的转动惯量I为: I=Ic+md^2 这个定理称为平行轴定理。 一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说,绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加

(推荐)电机转动惯量的计算

电机转动惯量的计算 对于细杆 当回转轴过杆的中点并垂直于杆时;J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量,L是杆的长度。 当回转轴过杆的端点并垂直于杆时:J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量,L是杆的长度。 对于圆柱体 当回转轴是圆柱体轴线时;J=m(r^2)/2 其中m是圆柱体的质量,r 是圆柱体的半径。 对于细圆环 当回转轴通过中心与环面垂直时,J=mR^2;当回转轴通过边缘与环面垂直时,J=2mR^2;R为其半径 对于薄圆盘 当回转轴通过中心与盘面垂直时,J=﹙1/2﹚mR^2;当回转轴通过边缘与盘面垂直时,J=﹙3/2﹚mR^2;R为其半径 对于空心圆柱 当回转轴为对称轴时,J=﹙1/2﹚m[(R1)^2+(R2)^2];R1和R2分别为其内外半径。

对于球壳 当回转轴为中心轴时,J=﹙2/3﹚mR^2;当回转轴为球壳的切线时,J=﹙5/3﹚mR^2;R为球壳半径。 对于实心球体 当回转轴为球体的中心轴时,J=﹙2/5﹚mR^2;当回转轴为球体的切线时,J=﹙7/5﹚mR^2;R为球体半径 对于立方体 当回转轴为其中心轴时,J=﹙1/6﹚mL^2;当回转轴为其棱边时,J=﹙2/3﹚mL^2;当回转轴为其体对角线时,J=(3/16)mL^2;L 为立方体边长。

只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些(绕定轴转动时)的刚体动力学公式。 角加速度与合外力矩的关系: 角加速度与合外力矩

式中M为合外力矩,β为角加速度。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。角动量: 角动量 刚体的定轴转动动能: 转动动能 注意这只是刚体绕定轴的转动动能,其总动能应该再加上质心动能。 只用E=(1/2)mv^2不好分析转动刚体的问题,是因为其中不包含刚体的任何转动信息,里面的速度v只代表刚体的质心运动情况。由这一公式,可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。 转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性)的量度,用字母I或J表示。其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置,而同刚体绕轴的转动状态(如角速度的大小)无关。形状规则的匀质刚体,其转动惯量可直接用公

新版-转动惯量计算公式

转动惯量计算公式 1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量) 8 2 MD J = 对于钢材:341032-??= g L rD J π ) (1078.0264s cm kgf L D ???- M-圆柱体质量(kg); D-圆柱体直径(cm); L-圆柱体长度或厚度(cm); r-材料比重(gf /cm 3)。 2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量: 2i Js J = (kgf·cm·s 2) J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2); i-降速比,1 2 z z i = 3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量 g w 22? ?? ???=n v J π g w 2s 2 ? ? ? ??=π (kgf·cm·s 2) v -工作台移动速度(cm/min); n-丝杠转速(r/min); w-工作台重量(kgf); g-重力加速度,g = 980cm/s 2; s-丝杠螺距(cm) 2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量: ()) s cm (kgf 2g w 122 221??? ??? ??????? ??+++=πs J J i J J S t J 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量; J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2); J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2); s-丝杠螺距,(cm); w-工件及工作台重量(kfg). 5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量 2 g w R J = (kgf·cm·s 2) R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)

6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量 ???? ??++=2221g w 1R J i J J t J 1,J 2-分别为Ⅰ轴, Ⅱ轴上齿轮的转动惯量(kgf·cm·s 2); R-齿轮z 分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)。 马达力矩计算 (1) 快速空载时所需力矩: 0f amax M M M M ++= (2) 最大切削负载时所需力矩: t 0f t a M M M M M +++= (3) 快速进给时所需力矩: 0f M M M += 式中M amax —空载启动时折算到马达轴上的加速力矩(kgf·m); M f —折算到马达轴上的摩擦力矩(kgf·m); M 0—由于丝杠预紧引起的折算到马达轴上的附加摩擦力矩(kgf·m); M at —切削时折算到马达轴上的加速力矩(kgf·m); M t —折算到马达轴上的切削负载力矩(kgf·m)。 在采用滚动丝杠螺母传动时,M a 、M f 、M 0、M t 的计算公式如下: (4) 加速力矩: 2a 106.9M -?= T n J r (kgf·m) s T 17 1= J r —折算到马达轴上的总惯量; T —系统时间常数(s); n —马达转速( r/min ); 当 n = n max 时,计算M amax

最新转动惯量计算公式

1 2 1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量) 3 4 5 8 2 MD J = 6 对于钢材:341032-??= g L rD J π 7 ) (1078.0264s cm kgf L D ???-8 9 M-圆柱体质量(kg); D-圆柱体直径(cm); 11 L-圆柱体长度或厚度(cm); 12 r-材料比重(gf /cm 3)。 13 14 2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量: 15 2i Js J = (kgf·c 16 17 J s –丝杠转动惯量18 (kgf·c m·s 2); 19 i-降速比,1 2 z z i = 21 22 g w 22 ? ?? ???=n v J π 23 g w 2s 2 ? ?? ??=π (kgf·c m·s 2) 24 25 v -工作台移动速度(cm/min); 26 n-丝杠转速(r/min); 27 w-工作台重量(kgf); 28

g-重力加速度,g = 980cm/s 2; 29 s-丝杠螺距(cm) 30 31 2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量: 32 ()) s cm (kgf 2g w 1 2222 1????????????? ??+++=πs J J i J J S t 33 34 35 36 37 38 39 40 J 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量; 41 J 2-齿轮z 2的转动惯量42 (kgf ·cm · s 2); 43 J s -丝杠转动惯量(kgf ·cm ·s 2); 44 s-丝杠螺距,(cm); 45 w-工件及工作台重量(kfg). 46 47 5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量 48 2 g w R J = (kgf ·c 49 50 R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf) 53 54 55 56 57 58 6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量 59 ??? ? ??++ =2221g w 1R J i J J t 60 61 62

转动惯量计算方法

实验三刚体转动惯量的测定 转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它与刚体的质量、形状大小和转轴的位置有关。形状简单的刚体,可以通过数学计算求得其绕定轴的转动惯量;而形状复杂的刚体的转动惯量,则大都采用实验方法测定。下面介绍一种用刚体转动实验仪测定刚体的转动惯量的方法。 实验目的: 1、理解并掌握根据转动定律测转动惯量的方法; 2、熟悉电子毫秒计的使用。 实验仪器: 刚体转动惯量实验仪、通用电脑式毫秒计。 仪器描述: 刚体转动惯量实验仪如图一,转动体系由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒等(含小滑轮)组成。遮光棒随体系转动,依次通过光电门,每π弧度(半圈)遮光电门一次的光以计数、计时。塔轮上有五个不同半径(r)的绕线轮。砝码钩上可以放置不同数量的砝码,以获得不同的外力矩。 实验原理: 空实验台(仅有承物台)对于中垂轴OO’的转动惯量用J o表示,加上试样(被测物体)后的总转动惯量用J表示,则试样的转动惯量J1: J1 = J –J o (1) 由刚体的转动定律可知:

T r – M r = J α (2) 其中M r 为摩擦力矩。 而 T = m(g -r α) (3) 其中 m —— 砝码质量 g —— 重力加速度 α —— 角加速度 T —— 张力 1. 测量承物台的转动惯量J o 未加试件,未加外力(m=0 , T=0) 令其转动后,在M r 的作用下,体系将作匀减速转动,α=α1,有 -M r1 = J o α1 (4) 加外力后,令α =α2 m(g –r α2)r –M r1 = J o α2 (5) (4)(5)式联立得 J o = 21 2212mr mgr ααααα--- (6) 测出α1 , α2,由(6)式即可得J o 。 2. 测量承物台放上试样后的总转动惯量J ,原理与1.相似。加试样后,有 -M r2=J α3 (7) m(g –r α4)r –Mr 2= J α4 (8) ∴ J = 23 4434mr mgr ααααα--- (9) 注意:α1 , α3值实为负,因此(6)、(9)式中的分母实为相加。 3. 测量的原理 设转动体系的初角速度为ωo ,t = 0 时θ= 0 ∵ θ=ωo t + 2 2 1t α (10) 测得与θ1 , θ2相应的时间t 1 , t 2 由 θ1=ωo t 1 + 2121t α (11) θ2=ωo t 2 + 2 22 1t α (12) 得 2 2112 22112) (2t t t t t t --= θθα (13) ∵ t = 0时,计时次数k=1(θ=л时,k = 2) ∴ []2 2 11222112)1()1(2t t t t t k t k ----= πα (14) k 的取值不局限于固定的k 1 , k 2两个,一般取k =1 , 2 , 3 , …,30,…

刚体转动惯量计算方法

刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J=∑ mi*ri^2, 式中mi表示刚体的某个质点的质量,ri表示该质点到转轴的垂直距离。 ;求和号(或积分号)遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置,而同刚体绕轴的转动状态(如角速度的大小)无关。规则形状的均质刚体,其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量,一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。 描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系,有如下的平行轴定理:刚体对一轴的转动惯量,等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零,因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。 还有垂直轴定理:垂直轴定理 一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量,等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。 表达式:Iz=Ix+Iy 刚体对一轴的转动惯量,可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离,称为刚体绕该轴的回转半径κ,其公式为_____,式中M为刚体质量;I为转动惯量。 转动惯量的量纲为L^2M,在SI单位制中,它的单位是kg·m^2。 刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量,它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。 补充对转动惯量的详细解释及其物理意义: 先说转动惯量的由来,先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2,而且动能的实际物理意义是:物体相对某个系统(选定一个参考系)运动的实际能量,(P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小)。 E=(1/2)mv^2 (v^2为v的2次方) 把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径,在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点,质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r) 得到E=(1/2)m(wr)^2 由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的,所以把关于m、r的变量用一个变量K代替, K=mr^2 得到E=(1/2)Kw^2 K就是转动惯量,分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用,都是一般不轻易变的量。 这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了,而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。 为什么变换一下公式就可以从能量角度分析转动问题呢? 1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究对象的运动能量 2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析转动物体的问题,是因为其中不包含转动物体的任何转动信息。 3、E=(1/2)mv^2除了不包含转动信息,而且还不包含体现局部运动的信息,因为里面的速度v只代表那个物体的质 心运动情况。 4、E=(1/2)Kw^2之所以利于分析,是因为包含了一个物体的所有转动信息,因为转动惯量K=mr^2本身就是一种积 分得到的数,更细一些讲就是综合了转动物体的转动不变的信息的等效结果K=∑ mr^2 (这里的K和上楼的J一样) 所以,就是因为发现了转动惯量,从能量的角度分析转动问题,就有了价值。 若刚体的质量是连续分布的,则转动惯量的计算公式可写成K=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdV 其中dV表示dm的体积元,σ表示该处的密度,r表示该体积元到转轴的距离。 补充转动惯量的计算公式 转动惯量和质量一样,是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性,用字母J表示。 对于杆: 当回转轴过杆的中点并垂直于轴时;J=mL^2/12 其中m是杆的质量,L是杆的长度。 当回转轴过杆的端点并垂直于轴时:J=mL^2/3 其中m是杆的质量,L是杆的长度。 对与圆柱体: 当回转轴是圆柱体轴线时;J=mr^2/2 其中m是圆柱体的质量,r是圆柱体的半径。 转动惯量定理:M=Jβ

转动惯量公式

nema标准中的计算是如下(转化公式):J=A×0.055613×(Pn^0.95)÷(n/1000)^2.4-0.004474×(Pn^1.5)÷(n/1000)^1.8 A小于等于1800rpm时取24,A大于1800rpm时取27 Pn为功率(kw) n 为同步转速 高压电动机在设计时,要求计算出转子的转动惯量。下面对计算方法做一分析。 转动惯量是物体在转动时惯性的度量,它不仅与物体质量的大小有关,还与物体质量分体情况有关。机械工程师手册给出了一些简单形状物体的转动惯量。 1、圆柱体沿轴线转动惯量: Kg?m2 (1) 式中:M —圆柱体质量Kg R —圆柱体外径半径 m 2、空心圆柱体沿轴线转动惯量: Kg?m2 (2) 式中: M —空心圆柱体质量Kg R —空心圆柱体外半径 m r —空心圆柱体内半径m 3、薄板沿对称线转动惯量: Kg?m2 (3) 式中:M —薄板质量Kg a —薄板垂直于轴线方向的宽度m 物体的转动惯量除了用J表示外,在工程上有的用物体的重量G和物体的回转直径D的平方的乘积GD2来表示,也称为物体的飞轮力矩或惯量矩,单位N?m2或Kg f m2。 物体的飞轮力矩GD2和转动惯量J之间的关系,用下式表示: N?m2 (4) 式中:g —重力加速度 g=9.81 m/s2 将重力单位N化为习惯上的重力单位Kgf ,则(4)变为: Kg f m2 (5) 由以上公式,可以对鼠笼型高压电机的转动惯量进行计算。计算时,将高压电机转子分解为转子铁心(包括导条和端环)、幅铁、转轴三部分,分别算出各部分的Jn,各部分的转动惯量相加即得电机的转动惯量J。如需要,按(5)式换算成飞轮力矩GD2。一般产品样本中要求给定的是转动惯量J,兰州引进的电磁设计程序计算出的是飞轮力矩GD2。 计算程序如下:

转动惯量与刚体定轴转动定律

转动惯量与刚体定轴转动定律 先阐明几个概念: 刚体:简单的说,即形变可以忽略的物体。作为理想的物理模型,刚体的特征是有质量、大小和形状,而在处理时我们往往不考虑其形变(但有时会出现断裂、破碎或者磨损的情况)。 力矩:和力类似,并不好直接定义,可以简单的认为是力乘以力臂或者M F r =?(关于叉乘,请自行百度)。 转动惯量:度量转动时惯性的量。详见后文。 下面是准备工作: 定理:无外力系统内各质点相互作用的合力矩为0 证: ①考虑两个质点的系统: 如图, 由牛顿第三定律, 120F F +=, 且1221()F F r r - 而,合力矩=1221121()0F r F r F r r ?+?=?-= 成立。 ②假设,含k 个质点的无外力系统其内力的合力矩为0 ③对于含(k+1)个质点的无外力系统,

分为两组,一组含k 个质点,另一组则为第(k+1)个质点。 含k 个质点的一组,其内力的合力矩为 而该组任一质点与第(k+1)个质点的相互作用合力矩也为 0 故含(k+1)个质点的无外力系统其内力的合力矩为 0 因而,无外力系统内各质点相互作用的合力矩为 0 推论:对系统施加M 的外力矩,有i M M =∑ (i M 为系统内第i 个质点所受力矩。) 证: 将施加外力的质点纳入系统,由上, 则有,0i M M -+=∑ 故,i M M =∑ 刚体定轴转动定律:M I β= (M 为合外力矩,β为角加速度,I 为转动惯量(见下)。) ①考虑只有一个质点, 由牛顿第二定律: ()r F ma m a a θ==+ (其中,,r a r a r θ⊥) 则 2 ()()[()()]r F r m a a ma m r r m r r r r mr θθββββ ?=+==??=-= 『1』 ②考虑多个质点时, 对于系统中第i 个质点,

刚体转动惯量计算方法

刚体对轴转动惯量的计算 一、转动惯量及回转半径 在第一节中已经知道,刚体对某轴z 的转动惯量就就是刚体内各质点与该点到 z 轴距离 2 平方的乘积的总与,即 J z 口小。如果刚体质量连续分布,则转动惯量可写成 J z r 2 dm M (18-11) 由上面的公式可见,刚体对轴的转动惯量决定于刚体质量的大小以及质量分布情况 ,而与 刚体的运动状态无关,它永远就是一个正的标量。如果不增加物体的质量但使质量分布离轴 远一些, 就可以使转动惯量增大。例如设计飞轮时把轮缘设计的厚一些 ,使得大部分质量集中 在轮缘上,与转轴距离较远,从而增大转动惯量。相反,某些仪器仪表中的转动零件,为了提高灵 敏 度,要求零件的转动惯量尽量小一些 ,设计时除了采用轻金属、 塑料以减轻质量外,还要尽量 将材料多靠近转轴。 工程中常把转动惯量写成刚体总质量 M 与某一当量长度 的平方的乘积 (18-12) 相距为z 的点上,则此集中质量对z 轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。 具有规则几何形状的均质刚体,其转动惯量可以通过计算得到,形状不规则物体的转动惯 量往往不就是由计算得出,而就是根据某些力学规律用实验方法测得。 二、简单形状物体转动惯量的计算 1.均质细直杆 dm 如图18-7所示,设杆长为I ,质量为M 。取杆上微段dx ,其质量为 图 18-7 杆对z c 轴的转动惯量为 对应的回转半径 2.均质细圆环 如图18-8所示均质细圆环半径为 R ,质量为M 。任取圆环上一微段,其质量为dm ,则对z z 称为刚体对于 z 轴的回转半径(或惯性半径),它的意义就是 ,设想刚体的质量集中在与 Mdx I ,则此 J z c I 2 2 x 2 dm 2/ —Ml 12 J z c I M 2、3 0.289I

转动惯量(指导书)

转动惯量指导书 力学实验室 2016年3月

转动惯量的测量 【预习思考】 1.转动惯量的定义式是什么? 2.转动惯量的单位是什么? 3.转动惯量与质量分布的关系? 4.了解单摆中摆长与周期的关系? 5.摆角对周期的影响。 【仪器照片】 【原理简述】 1、转动惯量的定义 构件中各质点或质量单元的质量与其到给定轴线的距离平方乘积的总和,即

∑ =2 J mr(1)转动惯量是刚体转动时惯性的量度,其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义,在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。 图1 电磁系仪表的指示系统,因线圈的转动惯量不同,可分别用于测量微小电流(检 流计)或电量(冲击电流计)。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形 设计上,精确地测定转动惯量,都是十分必要的。 2、转动惯量的公式推导 测定刚体转动惯量的方法很多,常用的有三线摆、扭摆、复摆等。本实验采用的是三线摆,是通过扭转运动测定物体的转动惯量,其特点是无力图像清楚、操作简便易行、适合各种形状的物体,如机械零件、电机转子、枪炮弹丸、电风扇的风叶等的转动惯量都可用三线摆测定。这种实验方法在理论和技术上有一定的实际意义本实验的目的就是要求学生掌握用三线摆测定物体转动惯量的方法,并验证转动惯量的平行轴定理。 两半径分别为r'和R'(R'>r')的刚性均匀圆盘,用均匀分布的三条等长l的无弹性、无质量的细线相连,半径为r'的圆盘在上,作为启动盘,其悬点到盘心的距离为r;半径为R'的圆盘在下,作为悬盘,其悬点到盘心的距离为R。将启动盘固定,则构成一振动系统, 称为三线摆(图2)。当施加力矩使悬盘转过角 θ后,悬盘将绕中心轴O O''做角简谐振动。 A A' O O' O'' r R B θ h2 h1 H . . . C'

转动惯量

转动惯量 在古典力学中,转动惯量(又称质量惯性矩)通常以 I 表示,SI 单位为 kg * m^2。对于一个质点,I = mr^2,其中 m 是其质量,r 是质点和转轴的垂直距离。转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量,可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性,用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。 转动惯量(Moment of Inertia)是刚体绕轴转动时惯性(回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性)的量度,用字母I或J表示。其量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。刚体的转动惯量有着重要的物理意义,在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。电磁系仪表的指示系统,因线圈的转动惯量不同,可分别用于测量微小电流(检流计)或电量(冲击电流计)。在发动机叶片、飞轮、陀螺以及人造卫星的外形设计上,精确地测定转动惯量,都是十分必要的。 转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置,而同刚体绕轴的转动状态(如角速度的大小)无关。形状规则的匀质刚体,其转动惯量可直接用公式计算得到。而对于不规则刚体或非均质刚体的转动惯量,一般通过实验的方法来进行测定,因而实验方法就显得十分重要。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。 转动惯量的表达式为 若刚体的质量是连续分布的,则转动惯量的计算公式可写成 (式中m表示刚体的某个质元的质量,r表示该质元到转轴的垂直距离,ρ表示该处的密度,求和号(或积分号)遍及整个刚体。)[2] 转动惯量的量纲为 ,在SI单位制中,它的单位是 。 此外,计算刚体的转动惯量时常会用到平行轴定理、垂直轴定理(亦称正交轴定理)及伸展定则。 2张量定义 刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。惯性张量是二阶对称张量,它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。出于简单的角度考虑,这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达. 设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量

-转动惯量及其计算方法

-转动惯量及其计算方法

渤海大学本科毕业论文(设计) 转动惯量及其求法 The Computing Method of Moment of Inertia 学院(系):数理学院 专业:物理师范 学号:12022004 学生姓名:郝政超 入学年度:2012 指导教师:王春艳 完成日期:2016年3月21日 渤海大学 Bohai University

摘要 随着科学与技术的飞速发展,刚体的转动惯量作为一个十分重要的参数,使他在很多领域里受到了重视,尤其是工业领域。近几年来,伴随着高科技的飞速发展,关于刚体转动惯量的研讨,尤其是对于那些质地不均匀和形状不规则刚体的转动惯量的深入探究,已经全然对将来的军事、航空、以及精密仪器的制作等行业产生了极为深远的影响。本篇文章将在这些知识基础上,遵循着循序渐进的原则,对常见刚体的转动惯量以及不同常见规则的刚体的转动惯量的计算进行深入的研究。 本文主要分为四个部分。首先本文系统介绍了刚体以及刚体的动量矩,转动动能和转动惯量的基础知识。其次介绍了刚体的平行轴定理和垂直轴定理,并且给出了转动惯量常见的的计算方法。接着,本文介绍了几类常见的刚体的转动惯量,其中包括圆环、圆柱体、圆盘、杆、空心圆柱体以及六面体的转动惯量。最后,通过具体实例给出了不规则刚体的转动惯量的测量方法。 【关键词】力矩;角加速度;摩擦力

The compute of moment of inertia Abstract Delve into the irregular inhomogeneous along with the science and technology rapid development, the rigid body rotational inertia is a very important parameter, make him in many fields by the attention, especially industrial fields. In recent years, along with the high-tech rapid development of rigid body rotation inertia of research, especially for those texture and shape of rigid body inertia has been completely to the future military, aviation, and precision instrument manufacturing industry produced extremely far-reaching impact. This article will be in the knowledge base, follow the gradual principle of common rigid body inertia and common rules of rigid body rotation The calculation of inertia is deeply studied. This paper is divided into four parts. First of all, this paper systematically introduced the rigid body and the angular momentum of a rigid body, rotational kinetic energy and rotational inertia based knowledge. Followed by the introduction of the parallel axis theorem of rigid body and vertical axis theorem, and gives the rotation inertia common calculation method. Then, this paper introduces the several common types of rigid body's moment of inertia, which include ring, cylinder, disc, rod, hollow cylinder and hexahedron of the moment of inertia. Finally, through specific examples are given irregular rigid body rotational inertia measurement method. Key Words:Moment;Angular Acceleration;Friction

转动惯量计算公式-转动惯量公式

1.圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量) D L 2 MD J M 8 rD 4 L3 对于钢材: J10 32 g 0.78 D 4L 106 ( kgf cm s 2 )M- 圆柱体质量 (kg); D-圆柱体直径 (cm); L-圆柱体长度或厚度 (cm);r-材料比重 (gf /cm3)。 2.丝杠折算到马达轴上的转动惯量: Js2 Z2J2 J (kgf cm··s ) i 2 i J1 Z1 3.工作台折算到丝杠上的转动惯量 2 v w J 2n g 2 s w (kgf cm··s2) 2g J S V W J s–丝杠转动惯量 (kgf cm··s2);i-降速比,i z 2 z1 v-工作台移动速度 (cm/min);n- 丝杠转速 (r/min) ; w-工作台重量 (kgf) ;g-重力加 速度, g = 980cm/s2;s-丝杠 螺距 (cm) 2.丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量: 1w 2 J t J1 s2 2J2J S g (kgf cm s ) i2 Z2J2W M i J S J1 Z1 5.齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量 J w R 2(kgf cm··s2) g R J1- 齿轮 z1及其轴的转动惯量; J2- 齿轮 z2的转动惯量 (kgf cm··s2 );J s-丝杠转动惯量 (kgf cm··s2 );s-丝杠螺距, (cm); w-工件及工作台重量 (kfg). R-齿轮分度圆半径 (cm); w-工件及工作台重量 (kgf)

6.齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量 J t J 11J 2w R 2 J1,J2- 分别为Ⅰ轴,i2g J 2 ⅡW Ⅱ轴上齿轮的转动惯量 (kgf cm··s2 ); R-齿轮 z 分度圆半径 (cm); M J 1Z w-工件及工作台重量 (kgf)。 ⅠZ 马达力矩计算(1)快速空载时所需力矩: M M amax M f M (2)最大切削负载时所需力矩: M M a t M f M 0M t (3)快速进给时所需力矩: M M f M 0 式中M amax—空载启动时折算到马达轴上的加速力矩(kgf m)·; M f—折算到马达轴上的摩擦力矩 (kgf ·m); M 0—由于丝杠预紧引起的折算到马达轴上的附加摩擦力矩(kgf m)·; M at—切削时折算到马达轴上的加速力矩(kgf m)·; M t—折算到马达轴上的切削负载力矩(kgf m)·。 在采用滚动丝杠螺母传动时,M a、M f、 M0、M t的计算公式如下: (4)加速力矩: M a J r n102 (kgf m)· 9.6T 1 T s 17 J r—折算到马达轴上的总惯量; T—系统时间常数 (s); n—马达转速 ( r/min ) ; 当n = n max时,计算 M amax n = n t时,计算 M at n t—切削时的转速 ( r / min )

转动惯量计算方法

转动惯量 负载转动惯量计算 转动惯量和质量一样,是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性,用字母J表示。对于杆: 当回转轴过杆的中点并垂直于轴时;J=mL^2/12 其中m是杆的质量,L是杆的长度。 当回转轴过杆的端点并垂直于轴时:J=mL^2/3 其中m是杆的质量,L是杆的长度。 对于圆柱体: 当回转轴是圆柱体轴线时;J=m*r^2/2, 其中m是圆柱体的质量,r是圆柱体的半径。 对于长方体: 当回转轴是长方体高度轴线时;J=(a^2+b^2)*m/12 , 其中m是圆柱体的质量,ab是长方体边长。 转动惯量定理: M=Jβ 其中M是扭转力矩 J是转动惯量 β是角加速度=△ω/△t w=2πn/60,n是转速,单位rad/min 负载启动转矩 n—转速,R—转动半径 T=(m.R^2)/2*3.14*D*n/60/R 电机输出转矩 P=T * n / 9550或者T=9550P/n 式中, P:电机功率(单位:KW) T:电机转矩(单位:Nm) n:电机转速(单位:转/分)

例题1 现在已知:一个直径是80的轴,长度为500,材料是钢材。计算一下,当在0.1秒内使它达到500转/分的速度时所需要的力矩? 分析: 知道轴的直径和长度,以及材料,我们可以查到钢材的密度,进而计算出这个轴的质量m, 由公式ρ=m/v 可以推出 m=ρv=ρπr^2L. 根据在0.1秒达到500转/分的角速度,我们可以算出轴的角加速度 β=△ω/△t=2πn/60/△t 电机轴我们可以认为是圆柱体过轴线, 所以J=mr^2/2。 所以M=Jβ =(mr^2/2)*(△ω/△t) =(ρπr^2h)*(r^2)/2*(△ω/△t) =(7.8*10^3*3.14)*(0.04^2)*0.5*(0.04^2)/2*(2*3.14*500/60/0.1) 例题2 实心圆柱体中间有轴,由电机驱动旋转。圆柱体半径150mm,长500mm,总重量18Kg,转速60r/min,只知道三个公式:力矩T=9550*P/N ;功率P=FV ;力矩T=FL ; 理论上最终需要的扭矩是多少?(知道扭矩我自然会如何选配电机了) 你没有负载吗? 从理论上来说,如果没有负载,只有在开始启动到实心圆柱体开始匀速运动这顿时间才存在扭矩。 这段时间扭矩的大小,跟实心圆柱开始转动到匀速转动这个过程所用的时间长短有关, 这个时间越短,扭矩越大。 追问 的确没有负载。只是用电机带动这个圆柱体。 我想让电机启动后,带动圆柱体在最多3秒钟内达到匀速。 那么,这种情况下,所需的启动转矩应该是多大?用什么公式?谢谢~ 回答 假定圆柱体均匀加速: 匀速运动时的角速度 ω=2πn/60

转动惯量公式表

转动惯量公式表 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见几何体]转动惯量公式表对于细杆 当回转轴过杆的中点并垂直于杆时;J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量,L是杆的长度。 当回转轴过杆的端点并垂直于杆时:J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量,L是杆的长度。 对于圆柱体 当回转轴是圆柱体轴线时;J=m(r^2)/2 其中m是圆柱体的质量,r是圆柱体的半径。 对于细圆环 当回转轴通过中心与环面垂直时,J=mR^2; 当回转轴通过边缘与环面垂直时,J=2mR^2; R为其半径 对于薄圆盘 当回转轴通过中心与盘面垂直时,J=﹙1/2﹚mR^2; 当回转轴通过边缘与盘面垂直时,J=﹙3/2﹚mR^2; R为其半径 对于空心圆柱 当回转轴为对称轴时,J=﹙1/2﹚m[(R1)^2+(R2)^2]; R1和R2分别为其内外半径。

对于球壳 当回转轴为中心轴时,J=﹙2/3﹚mR^2; 当回转轴为球壳的切线时,J=﹙5/3﹚mR^2; R为球壳半径。 对于实心球体 当回转轴为球体的中心轴时,J=﹙2/5﹚mR^2; 当回转轴为球体的切线时,J=﹙7/5﹚mR^2; R为球体半径 对于立方体 当回为其中心轴时,J=﹙1/6﹚mL^2; 当回转轴为其棱边时,J=﹙2/3﹚mL^2; 当回转轴为其体对角线时,J=(3/16)mL^2; L为立方体边长。 只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些(绕定轴转动时)的刚体动力学公式。 角加速度与合外力矩的关系: 角加速度与合外力矩 式中M为合外,β为。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。 角动量: 角动量 刚体的定轴转动动能: 转动动能 注意这只是刚体绕定轴的转动动能,其总动能应该再加上质心动能。

转动惯量计算公式转动惯量公式

转动惯量计算公式转动惯 量公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量) 8 2 MD J = 对于钢材:341032-??= g L rD J π ) (1078.0264s cm kgf L D ???- M-圆柱体质量(kg); D-圆柱体直径(cm); L-圆柱体长度或厚度(cm); r-材料比重(gf /cm 3)。 2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量: 2i Js J = (kgf·cm·s 2) J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2); i-降速比,1 2 z z i = 3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量 g w 22 ? ?? ???=n v J π g w 2s 2 ? ?? ??=π (kgf·cm·s 2) v -工作台移动速度(cm/min); n-丝杠转速(r/min); w-工作台重量(kgf); g-重力加速度,g = 980cm/s 2; s-丝杠螺距(cm) 2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量: ()) s cm (kgf 2g w 1 22 22 1????? ???????? ??+++=πs J J i J J S t J 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量; J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2); J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2); s-丝杠螺距,(cm); w-工件及工作台重量(kfg). 5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量 2 g w R J = (kgf·cm·s 2) R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)

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