Z变换公式

一些常见的Z变换

附表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序 号 拉氏变换()E s 时间函数()e t Z 变换()E s 1 1 δ(t) 1 2 Ts e --11 ∑∞ =-=0 )()(n T nT t t δδ 1 -z z 3 s 1 )(1t 1 -z z 4 2 1s t 2 )1(-z Tz 5 3 1s 2 2t 3 2 )1(2)1(-+z z z T 6 11+n s !n t n )(!)1(lim 0aT n n n a e z z a n -→-??- 7 a s +1 at e - aT e z z -- 8 2 )(1a s + at te - 2 )(aT aT e z Tze --- 9 ) (a s s a + at e --1 ) )(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 ) )((b s a s a b ++- bt at e e --- bT aT e z z e z z ----- 11 2 2ωω +s t ωsin 2 sin 2cos 1 z T z z T ωω-+ 12 2 2ω+s s t ωcos 2 (cos )2cos 1 z z T z z T ωω--+ 13 22)(ω ω ++a s t e at ωsin - 22sin 2cos aT aT aT ze T z ze T e ωω----+ 14 2 2)(ω+++a s a s t e at ωcos - 222cos 2cos aT aT aT z ze T z ze T e ωω-----+ 15 a T s ln )/1(1- T t a / a z z -

附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

附录A拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 419

2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420

421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b - 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim ()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝1i n s t i i c e =∑ (F -4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

z变换的基本知识

z 变换基本知识 1 z 变换定义 连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。一个连续信号()f t 的拉普拉斯变换()F s 是复变量s 的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s 的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z 变换。 连续信号()f t 通过采样周期为T 的理想采样开关采样后，采样信号*()f t 的表达式为 0*()()()(0)()()()(2)(2)k f t f kT t kT f t f T t T f T t T δδδδ∞ ==-=+-+-+∑ (3)(3)f T t T δ-+L （1） 对式（1）作拉普拉斯变换 23*()[*()](0)()(2)(3)sT sT sT F s L f t f f T e f T e f T e ---==++++L ()e ksT k f kT ∞ -==∑ （2） 从式（2）可以看出，*()F s 是s 的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复变量“z ”，令 e sT z = （3） 代入式（2）并令1 ln *() ()s z T F x F z ==，得

1 2 ()(0)()(2)()k k F z F f T z f T z f kT z ∞ ---==+++=∑L （4） 式（4）定义为采样信号*()f t 的z 变换，它是变量z 的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。通常以()[*()]F z L f t =表示。 由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作e sT z =的变量置换。 *()f t 的z 变换的符号写法有多种，如 [*()],[()],[()],[*()],()Z f t Z f t Z f k Z F s F z 等，不管括号内写的是连续信号、 离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z 变换。 式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、s 域和z 域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是()f kT ，并且时域中的()t kT s δ-、域中的 e ksT -及z 域中的k z -均表示信号延迟了k 拍，体现了信号的定时关系。 在实际应用中，采样信号的z 变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z 的有理分式 11101110 () ()m m m n n n K z d z d z d F z z C z C z C ----++++= ++L L ＋＋ m n ≤ （5） 或1z -的有理分式 1111011110(1) ()1l m m m n n n Kz d z d z d z F z C z C z C z ---+----+--++= ++++L L ＋＋ l n m =- （6） 其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时，z 变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7） 11()() ()()()()() m n K z z z z KN z F z D z z p z p --= =--L L m n ≤ （7） 2 求z 变换的方法 1）级数求和法

常用函数的拉氏变换和z变换表

附录A 拉普拉斯变换及反变换

… 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 @ i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3）

式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ )]()([lim 111 s F s s ds d c r s s r -=→- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1 s F L t f -= ????? ?-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11 111 1111)()()( t s n r i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+?? ????+++-+-=112211 1 )!2()!1( （F-6）

常用傅里叶_拉普拉斯_Z变换表

时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移, 变换2的频域对应4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当 | a | 趋向 无穷时，成为 Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 傅里叶变换的微分性质 7 变换6的频域对应 8 表示和的卷积—这

附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质 2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b - 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：

常用函数的拉氏变换和z变换表

附录A 拉普拉斯变换及反变换 419

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421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；