高三复习第八讲解三角形应用举例

第三章 三角函数、解三角形

第八讲 解三角形应用举例

【考纲速读吧】

常用三角关系式A ＋B ＋C ＝π，sin （A ＋B ）＝sinC ，cos （A ＋B ）＝－cosC ，sin A ＋B 2＝cos C

2

， cos A ＋B 2＝sin C 2

．

点必须注意

1．利用解三角形的知识解决实际问题中的高度、长度及角度的问题时，要注意转化思想的应用．

个必记步骤

1．阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

2．根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型，并进一步明确是用正弦定理，还是用余弦定理来解题．

3．将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．

【课前自主导学】01

1．实际问题中的有关概念及常用术语 （1）基线

在测量上，根据测量需要适当确定的________叫做基线． （2）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．

（3）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）． （4）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）

①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向． ②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°． ③其他方向角类似．

（5）坡角与坡比

坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 与水平宽度b 之比即i ＝h

b

＝tan α（其

中α为坡角）叫做坡比（如图）．

（6）视角

观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角（如图）．

（1）从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是__________． （2）若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的________． 2．解三角形应用题的一般步骤

（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系． （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型． （3）选择正弦定理或余弦定理求解．

（1）如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为________m ．

（2）轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是________海里．

【自我校对】

1．线段

填一填：（1）α＝β（2）北偏西15°提示：如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45° ， 而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°． ∴点A 在点B 的北偏西15°．

2．填一填：（1）502 提示：∠B ＝180°－∠ACB －∠CAB ＝30°，

由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC

sin B

， ∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×

2212

＝502（m ）．

（2）70 提示：设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E 、F ，则依题意有CE ＝25×2＝50，CF ＝15×2＝30，且∠ECF ＝120°，EF ＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos120°＝502＋302－2×50×30cos120°＝70．

【核心要点研究】02

【考点一】测量距离问题

例1 [2013·成都段考]如图所示，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在这岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∠ADC ＝60°，试求AB 的长．

【审题视点】

在△BCD 中，应用正弦定理求出BC 长，

在△ABC 中，应用余弦定理求出AB 的长． [解] 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°， 所以AC ＝a ．∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°，∴∠CBD ＝45°．

在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin105°sin45°＝3＋1

2

a ．

在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos30°＝

2

2

a ． 【师说点拨】

（1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．

（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理．

（3）在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画一个空间图，再画一个平面图，处理问题既清楚又不易出错

【变式探究】某炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面C 和D 处，已知CD ＝6 km ，

∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时，测量得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°，如图，求炮兵阵地到目标的距离．

解：在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD ＝6，

∠ACD ＝45°，根据正弦定理有AD ＝CD sin45°sin60°＝2

3

CD ．同理，

在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6，

∠BCD ＝30°，根据正弦定理得BD ＝CD sin30°sin135°＝2

2

CD ．

又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，

根据勾股定理有AB ＝AD 2＋BD 2＝ 23＋12CD ＝42

6

CD ＝42（km ）．

km ．

AB ，在塔底B 测得山顶C 的

仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高AB ＝20 m ，求山高CD ．（塔底的宽度忽略不计）

【审题视点】

过点C 作CE ∥DB ，延长BA 交CE 于点E ，在△AEC 中建立关系解题．

[解] 如图，设CD ＝x m ，则AE ＝x －20 m ，tan60°＝CD

BD

，

∴BD ＝CD tan60°＝x 3＝3

3

x （m ）．

在△AEC 中，x －20＝3

3

x ，解得x ＝10（3＋3） m ．

故山高CD 为10（3＋3） m ．

奇思妙想：本例改为“在200米的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，求塔高”，该如何解答？

解：如图，∠ACE ＝30°，∠BCE ＝60°，设塔高AB 为x 米，

BD ＝200tan30°＝20033，200－x

CE

＝tan30°，

∴200－x ＝2003，x ＝400

3

．

【师说点拨】

（1）测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；仰角、俯角都是同一铅垂面

内，视线与水平线的夹角；

（2）分清已知和待求，分析（画出）示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．

【变式探究】

[2013·西宁模拟]要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角

是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度． 解：如图，设电视塔AB 高为x m ， 则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°得BC ＝x ．在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°，

在△BDC 中，由余弦定理得，

BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos120°， 即（x ）2＝x 2＋402－2·x ·40·cos120°， 解得x ＝40，∴电视塔高为40米．

【考点三】测量角度问题

例3 [2013·临川模拟]如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．

【审题视点】要求渔船甲的速度，关键是求出BC ，而AB ＝12，

AC 就是船乙2小时走的距离，因此AC ＝20，故可用余弦定理求得BC ，注意α＝∠ACB ，因此可在△ABC 中求sin ∠ACB 或cos ∠ACB ，从而获得sin α的值．

[解] （1）依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20， ∠BCA ＝α．在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784． 解得BC ＝28．

所以渔船甲的速度为BC

2

＝14（海里/小时）．

（2）法一：在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，

由正弦定理，得AB sin α＝BC sin120°．即sin α＝AB sin120°

BC ＝12×

3228＝3314

．

法二：在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α，由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 2

2AC ×BC

，

即cos α＝202＋282－1222×20×28＝13

14

． 因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝

1－(1314)2＝33

14

．

【师说点拨】

测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值．如果是用余弦定

理求得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了．

【变式探究】如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的

A ，

B ，

C 三点进行测量．已

知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．

解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ． DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130， EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150．

在△DEF 中，由余弦定理， 得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF ＝1302＋1502－102×2982×130×150＝16

65

.

【课课精彩无

限】03

利用正余弦定理解决实际问题

【选题·热考秀】

[2013·苏州模拟] 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处（3－1）海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．

[规范解答] 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获（在D 点）走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝（3－1）2＋22－2（3－1）·2·cos120°＝6． ∴BC ＝6海里．

又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin120°6＝22，

∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，

在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD

sin ∠CBD

，

∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t

＝1

2．

∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，

∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝6．∴t ＝6

10

小时≈15分钟．

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． 【备考·角度说】

No ．1 角度关键词：审题视角

（1）分清已知条件和未知条件（待求）．

（2）将问题集中到一个三角形中，如△ABC 和△BCD ． （3）利用正弦定理或余弦定理求解． No ．2 角度关键词：模板构建

利用正弦、余弦定理解决实际问题的方法步骤：

第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；

第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； 第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

【经典演练提能】04

1．[2012·湖南高考]在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于（ ）

A ． 32

B ． 33

2 C ． 3＋62 D ． 3＋394

答案：B

解析：cos60°＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，∴AB ＝3，高为AB ·sin60°＝33

2

，选B 项．

2．[2013·绍兴模拟]有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为（ ） A ． 1 B ． 2sin10° C ． 2cos10° D ． cos20°

答案：C

解析：如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°．

在△ABD 中，由正弦定理得AD sin160°＝AB

sin10°

，

∴AD ＝AB ·sin160°sin10°＝sin20°

sin10°

＝2cos10°．故选C 项．

3．[2012·福建高考]已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．

答案：－2

4

解析：设△ABC 的最小边长为a (m >0)，则其余两边长为2a,2a ，故最大角的余弦值是

cos θ＝a 2＋2a 2－a 22·a ·2a ＝－a 222a 2

＝－24.

4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时________． 答案：10海里

解析：如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，

在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是5

0.5

＝10（海里/小时）．

【限时规范特训】05

（时间：45分钟 分值：100分）

一、选择题 1．[2013·常州模拟]在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为（ ） A ． 16 B ． 17 C ． 18 D ． 19 答案：D

解析：因∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3． ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos120°＝19． ∴BC ＝19． 2．[2012·陕西高考]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小

值为（ ）

A ． 32

B ． 22

C ． 12

D ． －12

答案：C

解析：由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2(a 2＋b 2)－(a 2＋b 2)4ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝1

2

，

当且仅当a ＝b 时，cos C 取最小值，为1

2

．

3．[2013·郑州模拟]一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为（ ）

A ． 1762海里/小时

B ． 346海里/小时

C ． 1722

海里/小时 D ． 342海里/小时

答案：A

解析：如图所示，

在△PMN 中，PM sin45°＝MN

sin120°，

∴MN ＝68×3

2＝346，

∴v ＝MN 4＝1726（海里/小时）．

4．[2012·湖南高考]在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3， AB →·BC →

＝1，则BC 等于 （ ） A ． 3 B ． 7 C ． 2 2 D ． 23 答案：A

解析：由AB →·BC →＝1，2|BC →

|cos(π－B )＝1，cos B ＝－12| BC →|.

由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即9＝4＋BC 2－4BC cos B 5＝BC 2＋4BC ·12| BC →|

，BC 2＝3， ∴BC ＝3，故选A.

5．[2013·合肥质检]已知函数f （x ）的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是

（ ）

A ． f （sin A ）>f （cos

B ） B ． f （sin A ）

C ． f （sin A ）>f （sin B ）

D ． f （cos A ）

解析：由图象知f （x ）在（0，＋∞）上是增函数．

∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B >π2． ∵A >π2－B ，且π2>A >π

2

－B >0．

∴sin A >sin （π

2

－B ）＝cos B >0． ∴f （sin A ）>f （cos B ）．

6．[2013·陕西联考]如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B 处营救，则sin θ的值为（ ）

A ． 217

B ． 22

C ． 32

D ． 5714

答案：A

解析：连接BC ．在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝20，∠BAC ＝120°，

由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2

－2AB ·AC ·cos120°＝700，

∴BC ＝107，再由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝AB

sin θ

，

∴sin θ＝21

7

．

二、填空题 7．[2013·南通学情调研]“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内如图的一块三角形空地上种植草皮（单位：m ），已知这种草皮的价格是120元/m 2，则购买这种草皮需要______元．

答案：27000

解析：三角形空地的面积S ＝1

2

×123×25×sin120°＝225，

故共需225×120＝27000元． 8．[2013·温州模拟]如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________．

答案：1063

解析：由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°， ∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°．

∴x sin45°＝10sin60°．∴x ＝1063．

9．[2012·潍坊质检]已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km ． 答案：6－1

解析：如图，由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3．设BC ＝x ，

则由余弦定理可得：AB 2＝BC 2＋AC 2

－2BC ·AC cos120°，

即32＝x 2＋22－2×2x cos120°，整理得x 2＋2x ＝5，解得x ＝6－1． 三、解答题 10．[2013·浙江台州]某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？

解：在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°．CD ＝106，

由正弦定理，得BC ＝CD sin45°

sin30°

＝203；

在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin60°＝203×3

2

＝30（米）．

所以升旗速度v ＝AB t ＝30

50

＝0．6（米/秒）．

11．[2013·大连模拟]如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船向正南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°方向，如

果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？ 解：在△ABC 中，BC ＝30，∠B ＝30°，∠ACB ＝180°－45°＝135°，

所以∠A ＝15°．由正弦定理，得BC sin A ＝AC sin B ，即30sin15°＝AC

sin30°

，

所以AC ＝30sin30°

sin15°

＝15（6＋2）．

所以A 到BC 的距离为

AC ·sin45°＝15（6＋2）×2

2

＝15（3＋1）≈15×（1．732＋1）

＝40．98（海里）．

这个距离大于38海里，所以继续向南航行无触礁的危险．

12．[2013·河北名校联考]已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0．5

小时能截住该走私船？（参考数据：sin38°＝53

14，sin22°＝

33

14）

解：如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0．5x，AC＝5，

依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，

由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos120°，

所以BC2＝49，BC＝0．5x＝7，解得x＝14．

又由正弦定理得sin∠ABC＝AC·sin∠BAC

BC＝

5×

3

2

7＝

53

14，

所以∠ABC＝38°，

又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，

故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0．5小时截住该走私船．