【解析版】2014-2015学年山东省东营市河口实验学校八年级上月考数学试卷(9月)
2014-2015学年山东省东营市利津县陈庄中学八年级（上）月考
数学试卷（9月份）
一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1．如图，图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列运算中，正确的是（）
A．3a2﹣a2=2 B．（a2）3=a5C．a3?a6=a9D．（2a2）2=2a4
3．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100°B．120°C．20°或120°D．36°
4．已知∠1=48°，∠2的两边分别与∠1的两边垂直，则∠2=（）
A．48° B．132°C．42°D．48°或132°
5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去
6．把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是（）
A．B． C．D．
7．点P（a+b，2a﹣b）与点Q（﹣2，﹣3）关于x轴对称，则a+b=（）
A．B．C．﹣2 D．2
8．△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（）
A．50° B．60° C．150°D．50°或130°
9．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（）
①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）
A．6 B．12 C．32 D．64
二、细心填一填（每小题4分，共32分）
11．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为．
12．（）2013×1.52012×（﹣1）2014= ．
13．小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应
是．
14．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．
15．在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D
到AB的距离为cm．
16．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有个．
17．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为．
18．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是．
三、解答题（共58分）
19．x4?x3?x+（x4）2+（﹣2x2）4．
20．①把下图补成关于l对称图形（保留作图痕迹）．
②探究：要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留痕迹．
21．如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，∠3=80°．求∠BCA的度数．
22．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
23．如图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理．
24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE垂足为E，AD⊥CE垂足为D，AD=2.5cm，BE=1.7cm，求DE的长．
25．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向三角形外作等边△ABD和等边△ACE．
（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；
（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．
2014-2015学年山东省东营市利津县陈庄中学八年级
（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1．如图，图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：轴对称图形．
分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对常见的安全标记图形进行判断．
解答：解：A、有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．
故选A．
点评：本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列运算中，正确的是（）
A．3a2﹣a2=2 B．（a2）3=a5C．a3?a6=a9D．（2a2）2=2a4
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
分析：根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解答：解：A、3a2﹣a2=2a2，故A选项错误；
B、（a2）3=a6，故B选项错误；
C、a3?a6=a9，故C选项正确；
D、（2a2）2=4a4，故D选项错误．
故选：C．
点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的知识．注意理清指数的变化是解题的关键．
3．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100°B．120°C．20°或120°D．36°
考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
专题：分类讨论．
分析：本题难度中等，考查等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解．
解答：解：设两内角的度数为x、4x；
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
故选C．
点评：此题是一个两解问题，考生往往只选A或B，而忽视了20°或120°都有做顶角的可能．
4．已知∠1=48°，∠2的两边分别与∠1的两边垂直，则∠2=（）
A．48° B．132°C．42° D．48°或132°
考点：垂线；多边形内角与外角．
专题：分类讨论．
分析：分∠2在∠1的内部和外部两种情况讨论，①当∠2在1内部时，利用四边形的内角和定理求解即可；②当∠2在∠1的外部时，根据等角的余角相等的性质∠2=∠1．
解答：解：如图，因为∠1与∠2的位置不明确，所以分∠2在∠1的内部和外部两种情况讨论：
（1）如图一，当∠2在1内部时，
∠2=360°﹣∠1﹣90°﹣90°=360°﹣48°﹣90°﹣90°=132°；
（2）如图二，当∠2在∠1的外部时，
∵∠3=∠4，∠1与∠2的两边互相垂直，
∴∠2=∠1=48°．
因此∠2的度数为48°或132°．
故选D．
点评：本题主要考查垂直得到90°角，本题注意分两种情况讨论，学生往往容易漏掉∠2在∠1外部的情况而导致出错．
5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去
考点：全等三角形的应用．
专题：应用题．
分析：此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．解答：解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
点评：主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
6．把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是（）
A．B． C．D．
考点：剪纸问题．
专题：操作型．
分析：把一个正方形的纸片向上对折，向右对折，向右下方对折，从上部剪去一个等腰直角三角形，展开，看得到的图形为选项中的哪个即可．
解答：解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，故选C．
点评：考查学生的动手操作能力，也可从剪去的图形入手思考．
7．点P（a+b，2a﹣b）与点Q（﹣2，﹣3）关于x轴对称，则a+b=（）
A．B．C．﹣2 D．2
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
专题：计算题．
分析：根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数进行解答．
解答：解：∵点P（a+b，2a﹣b）与点Q（﹣2，﹣3）关于x轴对称，
∴a+b=﹣2且2a﹣b=3，
∴a=，b=﹣，
∴a+b=﹣=﹣2．
故选C．
点评：本题考查了关于x、y轴对称，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
8．△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为（）
A．50° B．60° C．150°D．50°或130°
考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
专题：应用题．
分析：此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况解答．
解答：解：（1）当AB的中垂线MN与AC相交时
易得∠A=90°﹣40°=50°，
（2）当AB的中垂线MN与CA的延长线相交时，
易得∠DAB=90°﹣40°=50°，
∴∠A=130°，
故选D．
点评：本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，此类题需要注意的是要分两种情况解答，考生在考虑问题时要全面．
9．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则这四个结论中正确的有（）
①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．
A．4个B．3个C．2个D．1个
考点：全等三角形的判定与性质．
分析：根据已知条件利用HL易证△APR≌△APS，再利用全等三角形的性质可得∠PAR=∠PAS，AR=AS，从而可证（1）、（2）正确；由AQ=PQ，利用等边对等角易得∠1=∠APQ，再利用三角形外角的性质可得∠PQC=2∠1，而（1）中PA是∠BAC的角平分线可得∠BAC=2∠1，等量代换，从而有∠PQC=∠BAC，利用同位角相等两直线平行可得QP∥AR，（3）正确；根据已知条件可知△BRP与△CSP只有一角、一边对应相等，故不能证明两三角形全等，因此（4）不正确．
解答：解：（1）PA平分∠BAC．
∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，
∴△APR≌△APS，
∴∠PAR=∠PAS，
∴PA平分∠BAC；
（2）由（1）中的全等也可得AS=AR；
（3）∵AQ=PR，
∴∠1=∠APQ，
∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，
又∵PA平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1，
∴∠PQS=∠BAC，
∴PQ∥AR；
（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠BRP=∠CSP，
∵PR=PS，
∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等）．
故选B．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；做题时利用了平行线的判定、等边对等角、三角形外角的性质，要熟练掌握这些知识并能灵活应用．
10．图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）
A．6 B．12 C．32 D．64
考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
专题：压轴题；规律型．
分析：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…进而得出答案．
解答：解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：A6B6=32B1A2=32．
故选：C．
点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．
二、细心填一填（每小题4分，共32分）
11．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为7.5cm或11cm ．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．
解答：解：①当11cm为腰长时，则腰长为11cm，底边=26﹣11﹣11=4cm，因为11+4＞11，所以能构成三角形；
②当11cm为底边时，则腰长=（26﹣11）÷2=7.5cm，因为7.5+7.5＞11，所以能构成三角形．
故答案为：7.5cm或11cm．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．
12．（）2013×1.52012×（﹣1）2014= ．
考点：幂的乘方与积的乘方．
分析：将（）2013×1.52012转化为×（）2012×（）2012，再根据积的乘方公式进行解答．
解答：解：（）2013×1.52012×（﹣1）2014
=×（）2012×（）2012×1
=×（×）×1
=．
故答案为．
点评：本题考查了积的乘方，将指数化成相同数字即可解答．
13．小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是16：25：08 ．
考点：镜面对称．
分析：关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．
解答：解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵5的对称数字为2，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是16：25：08．
故答案为：16：25：08．
点评：考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2．
14．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为75 度．
考点：三角形内角和定理；平行线的性质．
专题：计算题．
分析：根据三角形三内角之和等于180°求解．
解答：解：如图．
∵∠3=60°，∠4=45°，
∴∠1=∠5=180°﹣∠3﹣∠4=75°．
故答案为：75．
点评：考查三角形内角之和等于180°．
15．在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，且BD：DC=5：3，则D
到AB的距离为 6 cm．
考点：角平分线的性质．
分析：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知D到AB的距离为等于CD的长度，求CD长即可．
解答：解：∵∠C=90°，BC=16cm，∠BAC的平分线交BC于D，
∴CD就是D到AB的距离，
∵BD：DC=5：3，BC=16cm，
∴CD=6，
即D到AB的距离为6cm．
故填6．
点评：本题主要考查角的平分线上的点到角的两边的距离相等的性质．利用线段相等学会线段的转移，利用相等的线段进行线段转移是一种很重要的方法，注意掌握．
16．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有 3 个．
考点：等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质．
分析：由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．
解答：解：∵∠C=72°，∠DBC=36°，∠A=36°，
∴∠ABD=180°﹣72°﹣36°﹣36°=36°=∠A，
∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，
∵根据三角形内角和定理知∠BDC=180°﹣72°﹣36°=72°=∠C，
∴BD=BC，△BDC是等腰三角形，
∵∠C=∠ABC=72°，
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．
故图中共3个等腰三角形．
故答案为：3．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
17．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为15 ．
考点：轴对称的性质．
分析： P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，故有PM=P1M，PN=P2N．
解答：解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，
∴PM=P1M，PN=P2N．
∴△PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P1M+P2N=P1P2=15．
故答案为：15
点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
18．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是50°．
考点：翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
分析：利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出∠OBC=40°，以及∠OBC=∠
OCB=40°，再利用翻折变换的性质得出EO=EC，∠CEF=∠FEO，进而求出即可．
解答：解：连接BO，
∵∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠ABO=25°，
∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠OBC=65°﹣25°=40°，
∵，
∴△ABO≌△ACO，
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=40°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，∠CEF=∠FEO，
∴∠CEF=∠FEO==50°，
故答案为：50°．
点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及垂直平分线的性质和三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．
三、解答题（共58分）
19．x4?x3?x+（x4）2+（﹣2x2）4．
考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
分析：首先利用积的乘方运算以及幂的乘方运算化简，进而合并同类项得出即可．
解答：解：x4?x3?x+（x4）2+（﹣2x2）4
=x8+x8+16x8
=18x8．
点评：此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
20．①把下图补成关于l对称图形（保留作图痕迹）．
②探究：要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留痕迹．
考点：轴对称-最短路线问题．
专题：作图题．
分析：①分别作出点A、B、C关于直线l的对称点，然后顺次连接即可；
②作出A镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B 与燃气管道的交点即为所求的点P的位置．
解答：解：①如图所示；
②点P的位置如图所示．
点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称图形，熟练掌握轴对称点的作法是解题的关键．
21．如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，∠3=80°．求∠BCA的度数．
考点：平行线的判定与性质．
专题：计算题．
分析：先根据CD⊥AB，FE⊥AB，可知CD∥EF，再根据平行线的性质及已知可求出∠1=∠FCD，再根据平行线的判定及性质解答即可．
解答：解：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2=∠FCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠FCD，
∴DG∥BC，
∴∠BCA=∠3=80°．
点评：本题涉及到的知识点为：
（1）平行线的判定定理：在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；内错角相等，两直线平行．
（2）平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
22．如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB=DC；
（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
专题：证明题．
分析：（1）根据BE=CF得到BF=CE，又∠A=∠D，∠B=∠C，所以△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据三角形全等得∠AFB=∠DEC，所以是等腰三角形．
解答：（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE．
又∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB=DC．
（2）解：△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴OE=OF，
∴△OEF为等腰三角形．
点评：本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据BE=CF得到BF=CE是证明三角形全等的关键．
23．如图所示，在等边三角形ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，试用你所学的知识说明BE=EF=FC的道理．
考点：线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．
分析：先根据线段的垂直平分线的性质和角平分线性质得到有关的角和线段之间的等量关系：∠OBC=∠OCB=30°，OE=BE，OF=FC；再利用三角形的外角等于不相邻的两内角和求出∠OEF=60°，∠OFE=60°．从而判定△OEF是等边三角形即OE=OF=EF，通过线段的等量代换求证即可．
解答：解：连接OE，OF则在等边三角形ABC中．
∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，
∴∠OBC=∠OCB=30°，OE=BE，OF=FC．
∴∠OEF=60°，∠OFE=60°．
∴OE=OF=EF．
∴BE=EF=FC．
点评：此题考查了线段的垂直平分线的性质等和三角形的外角等于不相邻的两内角和以及等边三角形的性质；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE垂足为E，AD⊥CE垂足为D，AD=2.5cm，BE=1.7cm，求DE的长．
考点：全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质．
专题：计算题．
分析：根据BE⊥CE，AD⊥CE得∠E=∠ADC，则∠CAD+∠ACD=90°，再由∠ACB=90°，得∠BCE+∠ACD=90°，则∠BCE=∠CAD，从而证出△BCE≌△CAD，进而得出DE的长．
解答：解：∵AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
即∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
又∵AC=BC，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴CE=AD，BE=CD，
∵AD=2.5cm，DE=1.7cm，
∴DE=CE﹣DC=2.5﹣1.7=0.8cm．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
25．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向三角形外作等边△ABD和等边△ACE．
（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；
（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题：证明题；压轴题．
分析：（1）由△ABD和△ACE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，然后给∠DAB和∠EAC都加上∠BAC，得到∠DAC=∠BAE，利用“SAS“即可得到△DAC≌△BAE，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）作DG∥AE，交AB于点G，由等边三角形的∠EAC=60°，加上已知的∠CAB=30°得到∠FAE=90°，然后根据两直线平行内错角相等得到∠DGF=90°，再根据∠ACB=90°，∠CAB=30°，利用三角形的内角和定理得到∠ABC=60°，由等边三角形的性质也得到∠
DBG=60°，从而得到两角的相等，再由DB=AB，利用“AAS”证得△DGB≌△ACB，根据全等三角形的对应边相等得到DG=AC，再由△AEC为等边三角形得到AE=AC，等量代换可得DG=AE，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等根据“AAS”证得△DGF≌△EAF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证．
解答：证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；
（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，
∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，
，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，
，
∴△DGF≌△EAF（AAS），
∴DF=EF，即F为DE中点．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等边三角形的性质，其中全等三角形的判定方法为：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角相等等隐含条件的运用．第二问作出辅助线构造全等三角形是本问的突破点．