伴随矩阵的若干性质及应用

伴随矩阵的若干性质及应用

摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单.

关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值

引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的

伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.

本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵.

1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用

1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下：

()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA =

=**可得()A

A

A =

-1

*； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA =

=**可得1*-=A A A ；

例1、已知A 为一三阶矩阵，且???

?

? ??=100310241A ，求()

1

*

-A .

解 经计算可得1=A ，所以()

?

???

?

??===-1003102411

*A A A

A .

例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4

1=

A ，求()*1

32A A --. 解

()1

111*

14

32132132------=-=

-A A A A A A A 1611

4141413

131-=?

?? ??-=??? ??-=-=--A

A A . 例3、已知A 和

B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵

?

??

? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵*

C . 解 由E C C C CC ==**得， ????

??=???? ?

?=???

?

??==------11

11

1

1

*

B B A O O

A B A B O

O A B A B O O A B O O A C

C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有()

()

*

11

*

--=A A

证明 因为 ()

E A A A

E A AA 1

*

11

*

,---==故有，A

A A *

1

=-；又因为A A 11=-

从而 ()

()

E A

E A A A

A A A

1

1*

1

**

11

=

==----，因0≠A ，故()

E A A =-*

1*, 所以

()

()

*

11

*

--=A A .

例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且????

? ??=-2311123211

A ，

求*A 的逆矩阵.

㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 ()

A A A

A

A 11

*

--==

， 而2

311123

211=-A =8，()

????

?

??------==--315513151811

1A A ,所以()

????

? ??------=-3155131511

*A .

㈡本题用性质6可直接得()()

???

?

? ??------==--315513151*

11

*A A ，可见简单之处. 1.3 ()*1*

A k kA n -= （k 为常数）

证明 因为

???????

??=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 2

1

22221

11211

*A =??

?

?

?

??

??nn n

n

n n A A A A A A A A A

2122212

12111

所以kA 的1-n 阶子式中每一个元素都是A 中的相对应元素的k 倍，从每一行中提取公因子k ，从而矩阵kA 中每一元素ij ka 的1-n 阶代数余子式就是ij n A k 1-.

所以

()??

?????

?

?=---------nn n n

n n n n n n n n n n n A k A k A

k A k A k A k A k A k A k kA 1211121

221121

1121

111

1*

=1

-n k ??

???

?? ??nn n

n

n n A A A A A A A A A

212221212111

=*

1A k n - 故证之.

例5、设A 为一个3阶矩阵，且已知?

???? ??--=112211123A ，求*

41???

??A .

解 因为????

? ??----=????? ??=5135555313323

13

322212

312111

*

A A A A A A A A A A ，

所以 ???????? ??----=?????

??----=??? ??=??? ??16516116

3

165165165165163161

5135555311614141*2

*A A .

1.4 伴随矩阵的秩的性质 设A 是n 阶矩阵()2≥n ,则

秩()

=*A ()()(),;

1,1;0,1;n A n A n A n =??

=-??<-?

当秩时当秩时当秩时

证明 ()1 当秩()n A =时 0≠A ，由于E A AA =*，两边同时取行列式，得 n

A A A =* 所以0*≠A 故秩()

n A =*. ()2当秩()01=-=A n A 时，，由0**==AA E A AA 得

从而可知*A 的每一列都是方程组0=AX 的解向量,故由此可得()

()1*=-≤A n A 秩，

又因为 A 矩阵至少有一个1-n 阶子式不为零，故*A 至少有一个元素不为零， 所以 此时秩()

1*=A .

()3当秩()1-

秩()

0*=A .

性质4在解关于矩阵的题目中用的很广泛，以下的性质5、6、9、16的证明过程中都有用到性质4，从而使证明简单、明了.

例6、设()2>n n 阶方阵A ，若秩()2-=n A 时，则秩()

=*A ______.

A.n

B.1-n

C.1

D.0

解 因为秩()2-=n A ，由以上性质可得秩()

=*A 0，故选D.

例7、设A 为一四阶矩阵，且*

,00

0000100100

1000

A A ??????

?

?

?=是A 的伴随矩阵，求秩()()*

*

A

.

解 因为秩()3=A ，而A 为4阶矩阵，

所以 秩()

3141*=-<=A ，由以上性质可得 秩()()0*

*=A .

1.5 1

*-=n A

A

证明 ()1当A 可逆时，由于两边同时取行列式，得,*E A AA =

n

A A A =*

，因为0≠A ，两边同时乘以1

-A

，得

1

*-=n A

A ；

()2当A 不可逆时，()

1;0*≤=A A 可得秩，则,0*=A

从而此时也有 1

*-=n A

A .

例8、已知B A 和都是n 阶方阵，=-==-1*4,2,4B A B A 则. 解 3411

1*1*22

1441444------=-??===n n n n n n B A B A B A . 1.6()A A

A n 2

*

*-= （2>n ）

证明 ()1当0≠A A 可逆时，则， 因为,*E A AA = 所以,1*-=A A A 于是 ()(

)

()

()*

*

1

1

*11

11

11n

A

A A A A

A A A A

A A

-------=== =A A A A

A A n n

2

1

1--= ()2当()

,1,0*≤=A A A 秩不可逆时，则由此可得 当()

()

所以此时有所以时，秩,0,02*

*

*

*

==>A A n

()*

2

*n A A

A -=.

例9、已知A 为n 阶可逆矩阵,且3=A ，化简()

*

*1A A --. 解 因为E A A A AA ==**，所以 *

11A A

A =

-，所以 ()

()

()A

A A

A A A A A A A A A A A

A

n n n n 3

2111111

2

1

*

*1

*

**

***

*1

------=???

?

??-=???

? ??-=???? ?????? ??-=???? ??-=-1.7 ()[]

5***A B AB =

证明 ()1;0,00≠≠≠B A AB 时，此时有当从而有1*1*,--==B B B A A A 可得 ()()**11111

*

A B A A B B A B B A AB AB AB ====-----

()()(),,02E B B E A A AB λλλλ-=-==时，此时考察矩阵当 因为矩阵B A 和的特征值最多只有有限个，因此存在有无穷多个λ，使得 ()()0,0≠≠λλB A ?

由()1得结论可得，()()()()()λλλλ***

A B B A = ，

令()()()()(),*

n n ij h B A ?=λλλ ()()()()

n n ij k A B ?=λλλ** 则由上式得

()()λλij ij k h =， ()n j i ,...,2,1,= Θ

因为知有无穷多个式成立，使穷多个式成立，从而也就有无使Θ?λλ但是由于

()()λλij ij k h ,都是多项式，因此Θ式对一切都成立λ；特别，当令0=λ时有 ()()()()()()*****

*

0000A B A B B A AB ===

故证明之.

例10、已知A 和B 为三阶可逆矩阵，且

????? ??=211212131*A ，????

?

??=100310241*B ，求()*

1AB -.

解 经计算可得()

????

?

??--=-10031010411

*B ， 所以 ()()

????

? ??---=????? ??????? ??--==--21142113932112121311003101041**

1*

1A B AB

.

1.8 ()()*

*

T T

A A =

证明 由于 E A A A AA ==**

所以 ()()()()()T

T

T T T

T T T

A A A A E A A A A A ****

*===

又 ()()()()()()()*

*

*

**

*T T T

T T

T T T

A A A E A A AA A A A ===

因此有 ()()*

*T T

A A A A =

()1当A 可逆时，则0≠A ， 所以 ()()**

T T

A A =；

()2当A 不可逆时，则0=A ，此时用矩阵A E A 代替矩阵λ-，得 ()

()

()

(

)*

*T T

E A E A E A E A λλλλ--=--

因为矩阵A 的特征值最多只有有限个，因此存在无穷多个λ使得

,0≠-E A λ从而有()()()()*

*

T T

E A E A λλ-=-

令()()()()n

n ij

T

h E A ?=-λλ*， ()()()()n

n ij

T k E A ?=-λλ*

， ?

所以有 ()()λλij ij k h = ()n j i ,...,2,1,=

由此可得存在无穷多个λ使得上式成立，而()()λλij ij k h ,都是多项式，因此上式对一切λ都成立，取0=λ代入?式时，有 ()()*

*

T T

A A =.

1.9 伴随矩阵的特征值]5[

设矩阵n n A λλλ，，，个特征值有...21；

()阵的特征值为为满秩矩阵时，伴随矩当A 1

A A A n 11211,...,,---λλλ

()2当A 为降秩矩阵时，那么伴随矩阵*A 的n 个特征值至少有1-n 个为

0，而且另一

个不等于零的特征值若存在，则等于nn A A A +++...2211.[5]

证明 ()1因为A 为满秩矩阵，所以A 为可逆矩阵也即0≠A 1*-=A A A ，

此时矩阵A 的特征值均不为零，且1-A 的n 个特征值为,...,1

211--λλ,1-n λ，再由

1*-=A A A 可得，伴随矩阵有n 个特征值为

A A A n

1

1

2

1

1,...,,---λλλ；

()2 ①当秩()2-≤n A 时，此时，秩()

0*=A ，所以0*=A

因此 可推得0,0，…,0为伴随矩阵*A 的特征值 此时结论成立.

②当秩()1-=n A 时，此时，秩()

1*=A ，那么设*A 的特征值为

'

'2'1,...,,n λλλ

由若尔当标准形知，存在可逆矩阵T ，使得

?????? ??=-''1*

10**n T A T λλ ， 其中''2'1,...,,n λλλ为*A 的全部特征值

因为()

1*=A ，不妨设,0 0

'2'1===≠n λλλ而则上式为

????

??

??=-0...0.........**'1*

1λT A T

从而 nn A A A trA +++==...2211*'

1λ.

例11、设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则()

E A +3

*

必有特征值什么?

解 由性质知，A 有特征值λ，*A 必有特征值

λ

A

，从而()

E A +3

*

必有特征值

3

???

?

??λA +1. 1.10 如果A 是可逆矩阵，且**~,~B A B A 则

证明 因为B A ~，则存在可逆矩阵T ，使得 B AT T =-1 把上式两边同时取行列式得B T A T =-1，

又由于A 可逆，故0≠A ，从而0≠B ，即B 也是可逆的， 所以，1*1*,--==B B B A A A 由B AT T =-1，则()

()

1111

1

111

1---------===B T A T T A T AT

T

因此 11~--B A 因为B A ~，则B A =

把111---=B T A T 两端同时乘以A 得，*1111*1B B B B A T A A T T A T ====-----

所以，,**1B T A T =-**~B A .

例12、设A 、B 为三阶相似矩阵，A 的特征值为1，1，3，求*B .

解 因为A 的特征值为1，1，3， 故3=A ，

所以 *A 的特征值为13

1

,31,31=?=?=?A A A ，

又因为B A ~，所以**~B A ，

所以 *B 的特征值为3，3，1， 所以9*=B .

1.11 如果A 是可逆矩阵，且也合同与和合同，则与**B A B A

证明 由题中矩阵B A 与合同，因此存在可逆矩阵C ，使[1] B AC C T =，等式两边分别取行列式，得B C A C T = 因为A 是可逆矩阵，所以0≠A ，从而0≠B ，而B A C =2

又因为()

()

11

111

-----==B C A C AC

C T

T ， 令()

1

-=T

C T

则()

(

)T

T T

C

T 1

-==()()

11--=C C T

T ， 从而

11--=B T A T T ， 故是合同的与11--B A ， 从而()11112

----==B B T C A A T C B B T A T A C T

T 即

所以()()**B T C A T C T

=，

所以**B A 与也合同.

2.某些特殊矩阵的伴随矩阵的性质[4]

2.1 若A 是可逆的对称矩阵，则它的伴随矩阵*A 也是可逆的对称矩阵

a.已知数量矩阵()0≠k kE ，它的伴随矩阵也是数量矩阵；

b.若对角矩阵A 是可逆的，则它的伴随矩阵*A 也是对角矩阵. 2.2 若A 是上（下）三角矩阵，且A 是可逆的，则*A 也是上（下）三角矩阵

例13、设???

?

? ??=100130211A ，故3=A ，所以A 是可逆的，

???

?

? ??---=????? ??=3001105133323

13

322212

312111*

A A A A A A A A A A ，所以*A 是可逆的，且为上三角矩阵.

2.3 ()1当n 阶实矩阵A 是半正定时，则它的伴随矩阵*A 也是半正定的

证明 由于A 是半正定的，因此存在实矩阵C ，使 C C A T = 从而()

()

()

P P C C C C C C A T T

T

T ====*

**

**

* 其中()

T

C P *=

即有实矩阵P ，使得P P A T =* 所以*A 也半正定的.

()2当n 阶实矩阵A 是正定矩阵时，则它的伴随矩阵*A 也是正定矩阵

证明 由于矩阵A 是正定的，从而可知存在可逆矩阵T ，使 E AT T T = 所以()

()

()

E E T A T T A T AT T T

T T ====**

***

***

即有 ()

E T A T T

=*

**

所以 *A 也是正定矩阵.

2.4 当n 阶矩阵A 为正交矩阵时，则其伴随矩阵*A 也为正交矩阵[7] 证明 由于A 为正交矩阵，从而可知E A A T =，1±=A ， 而E A AA =*，所以11*--±==A A A A 而()

()()E A A A A T

T

=±±=--1

1

**

故*A 也是正交矩阵.

例14、设正交矩阵??????

?

?

-=212

12121A ，易算?????

?

?

?-

--=21212121*A ， 从而可算的()

=T

A A *

*E,即*A 也为正交矩阵.

2.5 若A 为幂等矩阵，也就是说满足A A =2，当秩()()1-<=n A n A 或秩时，对应可得矩阵*A 也是幂等矩阵[4]

证明 ()1当秩()n A =时，由于A A =2，左式两边同时取行列式，得 A A =2

，所以1=A ， 由A A =2，又可得12--=A A ； 而E A AA =*，1*-=A A A ，

从而()()()*1122

12

12

*A A A A A A A A A ======-----，即()

*2

*

A A =

所以，此时*A 也是幂等矩阵.

()2当秩()1-

0*=A ，所以 *A =0， 当然有()

*2

*

A A =，所以，此时*A 也是幂等矩阵.

小结 本文运用矩阵计算的有关方法和技巧，以及应用已经证明了的关于伴随矩阵的

性质，进一步证明了矩阵的伴随矩阵的其它相关性质.这样较广泛深入的理解了伴随矩阵，从而能更好的把伴随矩阵的性质运用到矩阵的学习中，不断升华知识.与伴随矩阵有关的性质还有很多，本文只是对其一部分性质进行说明，需要不断努力去挖掘找到它其它很有价值的性质.也可以把伴随矩阵放到高等代数的其它章节中找到它相应的性质，这需不断的去研究.

参考文献：

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[9]叶世源.叶家琛等[M].同济大学出版社，1995

[10]张禾瑞.高等代数（第4版）[M].北京高等教育出版社，1999

[11]曾京玲.关于伴随矩阵的几个讨论[J].渭南师范学院学报，2003年增刊：28-29

Some Properties and Applications of the Adjoint Matrix Name:Yang Ting Student Number:200740510647Advisor:Ge Xintong

Abstract Matrix is a very important point in learning higher algebra,while in matrix’s calculations and application adjoint matrix plays an extremely important role.This paper using some techniques and methods in matrix’s calculations,proved some properties of general n order phalanx and some special matrix’s adjoint matrix.These properties are discussed based on the relationship between the original matrix and adjoint matrix,using the study of matrix methods to begin.Through these properties we can have a deeper understand of matrix and adjoint matrix.Moreover,we can use these properties directly to make it simple when we encountered some problems about adjoint matrix.

Keywords matrix ;adjoint matrix; eigenvalue;