2018年浙江省中考数学《第28讲：图形的相似(3)相似形的应用》总复习讲解

第2课时相似形的应用

相似形的应用

考试内容

考试

要求几何图形的

证明与计算

常见

问题

证明线段的数量关系，求线段的长

度，图形的面积大小等

b 相似三角形

在实际生活

中的应用

建模

思想

建立相似三角形模型

常见

题目

类型

(1)利用投影、平行线、标杆等构造

相似三角形求解；

(2)测量底部可以达到的物体的高

度；

(3)测量底部不可以达到的物体的高

度；

(4)测量不可以达到的河的宽度．

考试内容

考试

要求基本

思想

1.建模思想：相似三角形在实际生活中应用广泛，故建立相似三角形

模型解决问题；

2．分类讨论：由于三角形相似的对应关系不明确，常常分情况讨论．

b

1．(2017·绍兴模拟)如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB ∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是

____________________m.

2．(2016·衢州模拟)如图，是小李设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.1米，BP＝1.9米，PD＝19米，那么该古城墙CD的高度是____________________米．

3．(2016·新昌模拟)如图1，小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架，如图2是晒衣架的侧面示意图，经测量：OC＝OD＝126cm，OA＝OB＝56cm，且AB＝32cm，则此时C，D两点间的距离是____________________cm.

4．(2017·湖州模拟)如图，AB是斜靠在墙壁上的固定爬梯，梯脚

B到墙脚C的距离为1.6m，梯上一点D到墙面的距离为1.4m，BD

长0.5m，则梯子的长为()

A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m

【问题】如图，在Rt△ABC与Rt△ADC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝6，AD ＝2.

(1)若AB∥CD，则BC的长为________；

(2)当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？

(3)通过(1)、(2)解答的体验，你认为相似三角形的应用要注意哪些问题？

【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理相似三角形在实际问题中的应用，即如何建立相似三角形模型；复习几何图形中如何寻找相似三角形或构建相似三角形，从而解决问题．

类型一利用相似解决实际生活问题

例1如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m.当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高()

A．2m B．4m C．4.5m D．8m

【解后感悟】此题是相似三角形在实际生活中的运用，通过

实际问题构建相似三角形．

1．(2015·新疆)如图，李明打网球，球恰好打过网，且落在

离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为m.

2．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木(如图所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．

类型二利用相似测量物体的高(长)度

例2如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于()

A．60m B．40m C．30m D．20m

【解后感悟】考查相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．

3．(1)(2015·吉林)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB ＝2m，BC＝14cm，则楼高CD为m.

(2)(2015·天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD 是米．

4．如图是一个照相机成像的示意图．

(1)如果像高MN 是35mm ，焦距是50mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9m ，拍摄点离景物有多远？

(2)如果要完整地拍摄高度是2m 的景物，拍摄点离景物有4m ，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？

类型三 相似三角形中一个常见的模型

例3 如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝7，∠B ＝∠C ＝60°，P 为BC 边上一点(不与B ，C 重合)，过点P 作

∠APE ＝∠B ，PE 交CD 于E. (1)求证：△APB ∽△PEC ； (2)若CE ＝3，求BP 的长．

【解后感悟】如图是基本图形，若B ，C ，D 在同一直线上，且∠ABC ＝∠ACE ＝∠CDE ＝α，则有△ABC ∽△CDE ，∴a c ＝b

d

()ad ＝bc ；

此题通过基本图形与四边形、相似三角形以及等边三角形的结合，揭示基本数量关系，利用方程思想求解．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．

5．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．

类型四与相似三角形有关的综合问题

例4(2016·金华)在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为()

【解后感悟】本题运用相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型．

例5(2016·陕西)如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连结AF并延长交BC的延长线于点G.求证：

(1)FC＝FG；

(2)AB2＝BC·BG.

【解后感悟】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题(2)的关键．

6．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝20°.动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝100°.设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为()

(2)如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点停止，动点E从C点出发到A点停止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间t 为s.

7．(2017·杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于____________________．

【实际应用题】

某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)．

①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．

根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？

【方法与对策】这是实际应用性问题，通过题意，构造几何图形，揭示基本图形是相似三角形，这样把实际问题建模为相似三角形的问题，从而求解．这种设置是中考命题的方向．

【忽视三角形相似的对应关系】

如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连结EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝________.

参考答案

第2课时 相似形的应用

【考题体验】 1．1 2.11 3.72 4.B 【知识引擎】

【解析】(1)∵AB ∥CD ，∵∠BAC ＝∠ACD ，又∵∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∴Rt △ABC ∽Rt △CAD ，∴AC CD ＝BC

AD .在Rt △ADC 中，∵AC ＝6，AD ＝2，∴CD ＝AC 2－AD 2

＝ 2.∴BC ＝2×62

＝2 3. (2)要使这两个直角三角形相似，有AC AD ＝AB AC 或AC CD ＝AB

AC ，∴AB

＝AC 2AD ＝（6）22＝3，或AB ＝AC 2CD ＝（6）2

2

＝3 2.故当AB 的长为3或32时，这两个直角三角形相似． (3)证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等问题时，要想到相似三角形的应用；投影、平行线、标杆等问题以及测量物体的高度、宽度都需要构建相似三角形．当相似三角形对应边不明确时，需要分类讨论．

【例题精析】

例1 设长臂端点升高x 米，则0.5x ＝1

8，∴x ＝4.故选B .

例2 B

例3 (1)∵∠B ＝∠C ，而∠APB ＋∠EPC ＝180°－∠APE ，∠APB ＋∠PAB ＝180°－∠B ，又∠APE ＝∠B ，∴∠PAB ＝∠EPC ，∴△APB ∽△PEC. (2)过A 作AF ⊥BC 于F ，过D 作DH ⊥BC 于H 则△ABF ≌△DCH ，∵AD ＝3，BC ＝7，∴BF ＝CH ＝2，在Rt △AFB 中，∠AFB ＝90°，AB ＝BF cos B ＝2cos B ＝212＝4，∵△APB ∽△PEC ，∴AB CP ＝BP CE ，∴47－BP ＝BP

3

，

∴BP ＝3或4.

例4 ∵DH 垂直平分AC ，∴DA ＝DC ，AH ＝HC ＝2，∴∠DAC ＝∠DCH ，∵CD ∥AB ，∴∠DCA ＝∠BAC ，∴∠DAH ＝∠BAC ，∵∠DHA ＝∠B ＝90°，∴△DAH ∽△CAB ，∴AD AC ＝AH AB ，∴y 4＝2x ，∴y ＝8

x

，∵AB ＜AC ，∴x ＜4，∴图象是D .故选D . 例5 (1)∵EF ∥BC ，AB ⊥BG ，∴EF ⊥AD ，∵E 是AD 的中点，∴FA ＝FD ，∴∠FAD ＝∠D ，∵GB ⊥AB ，∴∠GAB ＋∠G ＝∠D ＋∠DCB ＝90°，∴∠DCB ＝∠G ，∵∠DCB ＝∠GCF ，∴∠GCF ＝∠G ，∴FC ＝FG ； (2)连结AC ，如图所示：∵AB ⊥BG ，∴AC 是⊙O 的直径，∵FD 是⊙O 的切线，切点为C ，∴∠DCB ＝∠CAB ，∵∠DCB ＝∠G ，∴∠CAB ＝∠G ，∵∠CBA ＝∠GBA ＝90°，∴△ABC ∽△GBA ，∴AB GB ＝BC

AB

，∴AB 2＝BC·BG .

【变式拓展】 1．1.4

2.梯形ABCD 中AD ∥BC ，∴∠DAM ＝∠BCM ，∠ADM ＝∠CBM ，∴△DAM ∽△BCM ，∵AD ＝10，BC ＝20∴S △AMD S △BMC ＝(1020)2＝14，∵S △AMD ＝500÷10＝50m 2，∴S △BMC ＝4×50＝200m 2.

还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500元＜2000元，所以资金不够用．

3. (1)12 (2)8

4. 根据物体成像原理知：△LMN ∽△LBA ，∴MN AB ＝LC

LD .(1)∵像高MN 是35mm ，焦

距是50mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9m ，∴3550＝4.9

LD ，解得：LD ＝7，∴拍摄点距离景物7

米； (2)拍摄高度是2m 的景物，拍摄点离景物有4m ，像高不变，∴35LC ＝2

4，解得：LC ＝

70，∴相机的焦距应调整为70mm .

5. ∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝

6.∴∠A ＝∠D ＝90°，DC ＝AB ＝6.又∵AE ＝9，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE ＝AE 2＋AB 2＝92＋62＝313.∵△ABE ∽△DEF ，∴AB DE ＝BE EF ，即62＝313EF .∴EF ＝3133

＝13.

6.(1)A (2)3或4.8

7.78 【热点题型】

【分析与解】根据题意∠BAD ＝∠BCE ，然后根据两组角对应相等，两三角形△BAD 和△BCE 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．由题意得，∠BAD ＝∠BCE ，∵∠ABD ＝∠CBE ＝90°，∴△BAD ∽△BCE ，∴BD BE ＝AB CB ，即BD 9.6＝1.7

1.2

，解得BD ＝13.6米．答：河宽BD 是13.6米．

【错误警示】答案：2或4.5. 分情况讨论，①当△ABC ∽△AEF 时，AB AE ＝AC AF ，∴9

3＝

6AF ，∴AF ＝2；②当△ABC ∽△AFE 时，AB AF ＝AC AE ，∴9AF ＝6

3

，∴AF ＝4.5.