2016年北京中考延庆区初三一模数学试题及答案

延庆区2016年毕业考试试卷

初三数学

1．龙庆峡冰灯于2016年1月中旬接待游客。今年的龙庆峡冰灯以奥运五环、冬奥会运动项目等奥运元素为题材，分为彩灯区、娱乐区、冰展区，总面积达到200 000平方米。将200 000用科学记数法表示应为

A．20×104B．0.20×106 C．2.0×106 D．2.0×105

2. 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为相反数的点是

A．点A与点B B．点A与点D

C．点B与点D D．点B与点C

3．一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸

出1个球，则摸出的球是白球的概率为

A

．

2

1

B．

3

1

C．

3

2

D．

6

1

4. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为

A ．

B ．

C ．

D ． 5. 若分式

2

1

x x --的值为0，则x 的值为 A ． 1或2 B ．2 C ．1 D ．0

6．如图，在4×4的正方形网格中，tan α的值等于

A ．2

B ．12 C

D

7. 已知如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ,CD =6,

则⊙O 的直径为

A . 6 B.8 C.10 D.12 8．若将抛物线y=12

x 2

先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，则新

抛物线的表达式是 A ．21

(2)12

y x =

+- B ．21

(2)12

y x =

-- C ．2(2)1y x =+- D ．1)2x (2

1

y +-=

9. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出A O B AOB '''∠=∠的依据是 A ．（SAS ） B ．（SSS ）

C ．（AAS ）

D ．（ASA ）

10．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，

到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x ，大小正方形重叠部分的面积为y ，则

下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是

A B C D

二、填空题（本题共18分, 每小题3分）

11．分解因式：22an amn 2am +-= . 12.

函数y =x 的取值范围是 .

13. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一

图③

图②

图①

次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为图方便，我们

把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y

的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表

述出 来，就是

类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为： .

14. 如图，AB ∥DC ，要使四边形ABCD 是平行四边形， 还需补充一个．．条件： .

15. 关于x 的一元二次方程a x 2+bx +

4

1

=0有实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值：

a =______，

b =______．

16. 下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”， 此图揭示了()n a b +（n 为非负整数）

的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a+b ）

7

的

展开式共有 项， n

a b +（）的展开式共有 项，各项的系数和．．．

是 ． 3219

423

x y x y ??

?+=+=

三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，

第29题8分）

17. 计算:

1tan 602-+-

18.已知：x 2-5x =6，请你求出代数式10x -2x 2+5的值．

19. 解方程：

5423

32x x x

+

=--

20. 解不等式组??

?

??<-+≤+.32

1),2(542x x x x 把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解.

21. 已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线 EF ，交AB 于点M ，交CB 的延长线于点F ．如果FB 的长是2， 求菱形ABCD 的周长．

22. 如图，点P （－3，1）是反比例函数m

y x

=的图象上的 一点．

（1）求该反比例函数的表达式；

共有5项共有3项共有2项共有4项各项系数和：4各项系数和：2各项系数和：8

各项系数和：16

(a+b)4 = a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4

? ? ? ? ? ? ?

(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3

? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?

(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a+b)1=a+b ? ? ? ? ? ? ?

6

441

1

3311211

11

1

（2）设直线y kx =与双曲线m

y x

=

的两个交点分别为 P 和P′，当

m

x

＜kx 时，直接写出x 的取值范围．

23. 列方程或方程组解应用题：

食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A 、B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知生产100瓶A 、B 两种饮料中，共添加270克该添加剂，问A 、B 两种饮料各生产了多少瓶？

24. 如图，甲船在港口P 的南偏西60?方向，距港口86海里的A 处，沿AP 方向以每

小时15海里的速度匀速驶向港口P ．乙船从港口P 出发，沿南偏东45?方向匀速驶离港口P ，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行

1.414

≈ 1.732

≈ 2.236≈）

25. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，PA 、PC 是⊙O 的切线，A 、C 为切点，∠BAC =30 ． （1）求∠P 的大小；

（2）若AB =6，求PA 的长．

A

26.阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23

日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题：

（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比；

（2）求表中a，b的值；

（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？

27. 已知：抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，-3）和B（4，5）.

（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G

1，求图象G

1

的表达式；

（3）设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线G

2

:y＝ax2（a≠0）

与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围

28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：

B

如果()()0'0y x y y x ??=?-??

≥＜，那么称点Q 为点P 的“妫川伴侣”． 例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（－5，6）的“妫川伴侣”

为点（－5，－6）．

（1）① 点（2，1）的“妫川伴侣”为 ；

② 如果点A （3，－1），B （－1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数3

y x

=

的图象上，那么这个点是 （填“点A ”或“点B ”）．

（2）①点M *（－1，－2）的“妫川伴侣”点M 的坐标为 ；

② 如果点N *（m +1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N 的“妫川伴侣”， 求点N 的坐标．

（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“妫川伴侣”Q 的纵

坐标y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，那么实数a 的取值范围是 ．

29. 阅读下面材料:

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB =2，AC =4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC ，求AP 的最大值。

()

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A’BC,连接A’A,当点A落在A’C上时,此题可解（如图2）．

(1)请你回答：AP的最大值是．

(2)参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点，请写出求

AP+BP+CP的最小值长的解题思路.

提示:要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法.把⊿ABP绕B 点逆时针旋转60，得到'

'BP

.

A

①请画出旋转后的图形

②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）.

图3

延庆区2016年毕业考试试卷评分参考

初三数学

一、 选择题（本题共30分，每小题3分）

二、 填空题（本题共18分, 每小题3分）

三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第

29题8分）

17. 计算1tan 602-+-

1

2

=分

1

2

=

． …………………………………5分 18. 解：10x -2x 2+5

=-2（x 2 -5x ）+5…………………………………3分 ∵x 2-5x =6，

∴原式 = -7…………………………………5分

19. 解：两边同乘以23x -得

54(23)

x x -=- …………………………1分

5812x x -=- 77x =

1x = …………………………4分

检验：1x =时，230x -≠，1x =是原分式方程的解.

∴原方程的解是1x =. …………………………5分

20. 解：由①得x ≥－2．…………………………………1分 由②得x ＜3． …………………………………2分

不等式组的解集在数轴上表示如下：

…………………………………3分

∴原不等式组的解集为－2≤x ＜3． (4)

分

∴原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2． ……………………………………5分

21. 解：联结BD ．

∵在菱形ABCD 中，

∴AD ∥BC ，AC ⊥BD ． …………………1分 又∵EF ⊥AC ， ∴BD ∥EF ．

∴四边形EFBD 为平行四边形． …………2分 ∴FB = ED =2．…………………………………3分 ∵E 是AD 的中点．

∴AD =2ED =4．…………………………………4分 ∴菱形ABCD 的周长为

4416?=．…………………………………5分

22. 解：（1）∵点P （－3,1）在反比例函数k

y x

=

的图象上， 由3

1-=

k

得3-=k . ∴反比例函数的解析式为x

y 3

-

=. ……3分 （2）3-

23. 解：设A 种饮料生产x 瓶，B 种饮料生产y 瓶. ………………………1分

依题意，得??

?=+=+.

27032,

100y x y x …………………………………3分

解得??

?==.

70,

30y x …………………………………4分

答：A 种饮料生产30瓶，B 种饮料生产70瓶 ………………………5分 24. 解： 依题意，设乙船速度为每小时x 海里，2小时后甲船在点B 处，

乙船在点C 处，2PC x = …………………………………1分 过P 作PD BC ⊥于Ｄ， ∴8621556BP =-?=

在Rt PDB △中, 90PDB ∠=?,BPD ∠=∴cos 6028PD PB =??=……………………3分 在Rt PDC △中，

90PDC ∠=?，

45DPC ∠=?，

∴cos 4522

PD PC x =?

?=

=…………………………………4分

28=，即20x =≈（海里）．

答：乙船的航行速度为每小时20海里．…………………………………5分

25. （1）解：∵PA 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，

∴ PA AB ⊥．

∴90BAP ∠= ．…………………………………1分

∵ ∠BAC =30 ，

∴ 9060PAC BAC ∠=-∠= ． 又∵PA 、PC 切⊙O 于点A 、C ，

∴ PA PC =．…………………………………2分

∴△PAC 是等边三角形．

∴ 60P ∠= ．…………………………………3分

( 2 ) 如图，连结BC ．∵AB 是直径，∠ACB =90

．…………………………………4分

在R t △ACB 中，AB =6，∠BAC =30 ，

∴cos 6cos30AC AB BAC =?∠== 又∵△PAC 是等边三角形，

∴ PA AC == …………………………………5分

26. 解：（1）∵1-28%-38%=34%．

∴该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比为34%． (1)

分

（2）∵1440.062400÷=，

∴24000.25600a =?=， (2)

分

84024000.35b =÷=． (3)

分

（3）∵八年级学生人数为204人，占全校学生总人数的百分比为34%，

∴全校学生总人数为20434%600÷=． (4)

分

∴该校学生平均每人读课外书：24006004÷=．

答：该校学生平均每人读4本课外书． (5)

分

27.解：（1）把A （2，-3）和B （4，5）分别代入y=x2+bx+c

得：3425164b c b c -=++??=++?

，解得：23b c =-??=-?，

∴抛物线的表达式为：y=x2-2x-3. …………………………………2分.

∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4.

∴顶点坐标为（1，-4）. …………………………………3分.

（2）∵将抛物线沿x 轴翻折，得到图像G 1与原抛物线图形关于x 轴对称，

∴图像G 1的表达式为：y=-x2+2x +3. ………………………5分. （3）∵B （4，5）,对称轴：X=1

∴B 点关于对称轴的对称点E 点坐标为（-2,5）………………………6分

如图，当G 2过E 、B 点时为临界

代入E （-2,5），则a=

4

5 代入B （4,5），则a=

16

5 ∴

4

5

a 165?≤………………………7分 28. 解：（1）①（2，

1）；…………………………………………………………………1分

② 点B ． (2)

分

（

2

）

①

M （－1，

2）；…………………………………………………………………3分

② 当m +1≥0，即m ≥－1时，由题意得N （m +1，2）． ∵点N 在一次函数y =x +3图象上， ∴m +1+3=2， 解

得

m =－2

（舍）. ……………………………………………………………4分

当m +1＜0，即m ＜－1时，由题意得N （m +1，－2）． ∵点N 在一次函数y =x +3图象上， ∴m +1+3=－2，

解得m =－

6. ……………………………………………………………………5分

∴N （－5，－

2）．………………………………………………………6分

（3）2≤a ＜ (7)

分

29.解：（1）AP 的最大值是：6 ……………………2分

（2）AP+BP+CP 的最小值是：6222+（或不化简为31632+） 或：8sin750

或：8cos150

① 图对………………………4分

② 要解决AP+BP+CP

把⊿ABP 绕B 点逆时针旋转60，得到'

'

BP A ?.

发现：'BPP ?和'BAA ?均为等边三角形，原来的

AP+BP+CP=CP PP P A ++''',根据“两点之间线段最短”，

可知：当'P 和P 都落在线段C A '上时，AP+BP+CP 取得最小值。………………6分

连接A ’A,P ’P, A ’C,延长CB ，过A ’做AG ⊥CB 于∵由做图可知△ABP ≌△A ’B P ’

在Rt △ABC 中,AB=BC, ∠ABC=90°

而A ’B=AB=BC=4, ∠AB A ’=60° ∴∠A ’BG=30°, ∴ A ’G=2,易求GB=32

在Rt △A ’GC 中,利用勾股定理得:AC=31632 ………………………8分

其他方法参照给分