最新人教版选修2-2高中数学第一章 导数及其应用章末复习课 同步习题及答案

【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用

章末复习课 新人教版选修2-2

题型一 导数与曲线的切线

利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1

x 0－x 1

＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型．

例1 已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值．

解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a x .

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2

x

(x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，

即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－a

x

＝

x－a

x

，x>0知：

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.

又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为

f(a)＝a－a ln a，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．

跟踪训练1 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))

处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝1

4

相切，求a的值．

解依题意有：f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋

2

x－2

(x<2)，

∴l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0，

∵l与圆相切，∴

|2－a|

4(a－1)2＋1

＝

1

2

?a＝

11

8

，

∴a的值为11 8

.