2-3复合函数反函数求导法则

·复习 函数的和差积商的求导法则.

·引入 前面我们复习了函数的和差积商的求导法则，应用这些法则和一些基本初等函数的导数公式可以求出一些比较简单的初等函数的导数.但是，产生初等函数的方法，除了四则运算外，还有函数的复合，因而复合函数的求导法则是求出等函数的导数所不可缺少的工具.

·讲解新课

第三节 复合函数、反函数的求导法则

一 复合函数的求导法则

定理1（链式法则） 设函数)(x u ?=在点x 处可导，()x u x ?''=；函数)(u f y =在对应点)(x u ?=处也可导，()u y f u ''=，则复合函数

[])(x f y ?=在点x 处也可导，且有

dx

du du dy dx dy ?=. 上式也可写成x u x u y y '?'=' 或)()()(x u f x y ?'?'='的形式.

此定理说明，求复合函数[])(x f y ?=对x 的导数时，可先求出

()y f u =对u 的导数和)(x u ?=对x 的导数，然后相乘即得.

显然以上法则也可用于多次复合的情形.

推论 如设()y f u =,()u v ?=,()v x φ=都可导，则复合函数

{[()]}y f x ?φ=对x 的导数为

dy dy du dv

dx du dv dx

=??或x u v x y y u v ''''=??.

例1 求函数5

)1(x y +=的导数．

解：函数5)1(x y +=是由5

y u =，1u x =+复合而成，

因为45u y u '=，1x u '=，

所以44

55(1)x u x

y y u u x '''===+． 例2 已知x y sin ln =，求

dx

dy

解：函数x y sin ln =是由u y ln =，x u sin =复合而成。

因为

u du dy 1=，x dx du cos =， 所以

11cos cos cot sin dy dy du x x x dx du dx u x

====. 练习 求下列函数的导数。

（1）)34cos(x y -=，（2）2

sin y x =，（3）y =

（4）)1ln(2x y +=（5）52)74(-+=x x y ，

（6）)1(sin 22+=x y ， 通过上面的例子可知，运用复合函数求导法则的关键在于把复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用复合函数求导法则和适当的导数公式由外及里，逐层求导即可．因此复合函数的求导法则也形象地称为链式法则．

例3 求下列函数的导数.

（1）3221x y -=，（2）x y cos =，（3）2

tan

2

x y =， （4）x y 2sin ln =，（5）)cos(sec ln 2

x y =

解：（1）12

22233

1(12)(12)(12)3y x x x -'??''=-=-?-=????

.

（2）x

x x x x y 2sin )(sin )(cos -

='-='='．

（3）2

(tan

)2tan (tan )222

x x x

y '''==222tan sec ()tan sec 22222x x x x x '==.

（4）1

(ln sin 2)(sin 2)sin 2y x x x

'''==

1(cos 2)(2)2cot 2sin 2x x x x '==. （5）2

2

21

ln cos(sec )cos(sec )cos(sec )y x x x '

'

'????==????

2221

sin(sec )(sec )cos(sec )

x x x '??=

-??22tan(sec )(sec )(sec )x x x '=- 222tan sec tan(sec )x x x =-

练习 求下列函数的导数. （1）)1ln(2x y +=，

（2）2

11x y -=，（3）1)1(2++=x x y ，

（4）222a x x y -=

，（5）x

x

y 2sin =. 例4 求ln ||y x =的导数。 解

因为21

ln ||ln 2

y x x ===

， 所以2221121()22x y x x x x ''=

==。因而有公式1

(ln ||)x x

'=。

求有些函数的导数时，将函数化简后再求导，比较简便。

例5 求下列函数的导数。 （1

）y =

，（2

）y =

解 （1

）因为y x =

=，

所以2(1)11y x ''=

+-=

。

因为11

ln sin ln(2

4y x x ==-+，

所以11(sin )2sin y x x x '''=

-+

1cos 2sin x x =

+

1cot 2x =

cot 2x =

。 练习 P39 2 （11）（12）（15）。

二 反函数的求导法则

定理2 如果单调连续函数()x y ?=在点y 处可导，而且()0y ?'≠，那么它的反函数()y f x =在对应的点x 处可导，且有

1()()f x y ?'='或

1dy dx dx

dy

=。 例6 求x

y a =（a>0,a ≠1）的导数。

解 x y a =是log a x y =的反函数，

且 log a x y =在（0，+∞）内单调、可导， 又

10ln dx dy y a

=≠， 所以 1

ln ln x y y a a a dx dy

'=

==， 即 ()ln x x a a x '=。 特别地，有 ()x x e e '=。 例7 求下列函数的导数。 （1）y=arcsinx ，（2）y=arctanx.

解 （1）因为y=arcsinx 是x=siny 的反函数，x=siny 在区间(,)

22

ππ

-

内单调、可导，且

cos 0dx

y dy

=>， 所以

11cos y dx y dy

'=

===

， 即

(arcsin )x '=

。

类似地，有

(arccos )x '=

（2）因为y=arctanx 是x=tany 的反函数，x=tany 在区间(,)22

ππ

-

内

单调、可导，且

2sec 0dx

y dy

=≠， 所以2221111sec 1tan 1y dx y y x dy

'=

===++， 即 2

1

(arctan )1x x '=+。 类似地，有 2

1

(cot )1arc x x '=-+。

例8 求下列函数的导数。

（1

）y =（2）2

32()3

x y x =+ （3）cos x

y e =

解 （1

）y ''==

=

。

（2）2113

3222222()ln ()ln 333333

x x y x

x --'=+=+． （3）cos cos (cos )sin x

x y e

x e x ''==-．

练习 求下列函数的导数。

（1）353()5

x y x =+，（2）12e -=x y ，（3）x y sin 2=，（4）cos(3)x

y =，

（5）x y 3arcsin =，（6）22arctan x y =，（7）t y t

sin e -=，

（8）2

e x x y =，（9）x x y arctan )1(2+=，（10）2

arccos

x

y =. 小结 1 对复合函数求导，注意分析函数结构，“由表及里，逐层求导”，教学中可采取两步走：第一步，写出中间变量，将复合函数分解为基本初等函数或由基本初等函数经过四则运算所得到的关系式，再应用法则求导.第二步，中间变量在每一步求导过程中体现，由表及里，逐层求导.

2根据导数的定义和求导法则，推出了所有基本初等函数的求导公式，即建立了和差积商求导法则，复合函数求导法则，反函数求导法则，这样就解决了初等函数的求导问题。

作业 P38:1,2 板书设计