量子力学习题解答-第5章
第五章
全同粒子
本章主要内容概要
1. 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。在一个量子体系中全同粒子是不可区分的，两全同粒子相互交换不会引起物理性质的改变（全同性原理）。所有的微观粒子可以分为两类：波色子和费米子。所有自旋为 整数倍的粒子称为波色子，而所有自旋为/2 奇数倍的粒子称为费米子。由费米子组成的量子体系，不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态（泡利不相容原理），体系的波函数在交换任意两个费米子时是反对称的。对由波色子组成的量子体系，则不受泡利不相容原理的限制，两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态，体系的波函数在交换任意两个波色子时是对称的。
如果体系的波函数可以由归一化的单粒子波函数()i q αφ的积表示，其中i 表示不同的单粒子态，q α表示第α个粒子的量子数（包括空间与自旋），则由N 个费米子组成体系的反对称波函数可以用N 阶行列式表示为
12121212()
()()()()()(,,...,,...,)()()()
i i i N j j j N A N k k k N q q q q q q q q q q q q q αφφφφφφΦ=
交换任何两个粒子就是交换行列式中的两列，这使行列式改变符号，即波函数A Φ在交换两粒子时是反对称的。当任两粒子处于相同状态，即行列式中两行相同，行列式为零，表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态。
对由N 个波色子组成的体系，体系的对称波函数可以表示为 1212(,,...,,...,)()()...()A N i j k N P
q q q q C P q q q αφφφΦ=∑
其中P 表示N 个粒子在波函数中的某一种排列，P
∑表示对所有可能排列求和，由于波色
子可以处于相同的状态，,,...,i j k 可以相等，C 是归一化常数为求和的项数，,,...,i j k 完全相等时为1
，全不相等时为1/
2.交换力：以两粒子体系为例，若体系的波函数可以表示为空间部分和自旋部分之积，对称和反对称的空间波函数为
121212(,)()()()()]a b b a x x x x x x ψψψψψ±=±
这种波函数对称化的要求会使两粒子间出现一种力的作用，称为交换力。对对称空间波函数这个力是吸引力，倾向于把两粒子拉近；对反对称空间波函数，这个力是排斥力，倾向于让两粒子相互远离。固体中属于不同原子的两个电子组成的共价键可以由这种力解释，两电子体系的波函数是反对称的，当两个电子的自旋波函数为反对称的自旋单态时，空间波函数必是对称的，所以这种状态下的两个电子倾向于相互靠近，形成共价键。
3. 元素周期表：原子中一个单粒子态(),,n l m 称之为轨道，因为电子是费米子，受到泡利不相容原理的制约，一个轨道上只能有两个电子（一个自旋向上，一个自旋向下）。当原子处于基态时，电子将从最低能态开始依据洪特定则依次填充。1n =这个壳层能容纳两个电子，2n =壳层能容纳8个，3n =容纳18个，第n 个壳层可以容纳2
2n 个电子。（洪特第一定则：在其它量都相同时，总自旋（S ）取最大值的状态的能量最低。第二定则：当
自旋给定时，总轨道角量子数（L ）取最大值且同整体的反对称性一致时，将具有最低的能量。第三定则：如果次壳层（n ，l ）填充不到一半，则能量最低态满足：J=L-S ；如果填充超过一半，则J=L+S 态能量最低。）一般以
21
S J L +表示原子电子组态，其中S 为电子总自
旋角动量，L 为总轨道角动量，J 为总角动量量子数。
习题5.7 解：（a ）可分辨粒子
()()()()123123,,a b c x x x x x x ψψψψ=
（b ）全同玻色子
(
)()()()()()()()()()()()()()()()()()()123123123123123123123,,a b c a c b b a c b c a c b a c a b x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+++++??
（c ）全同费米子
()()()()
()()()()()(
)
()()()()()()()()()()()()()()()()()()111123222333123123123123123123,,a b c a b c a b c a b c a c b b a c b c a c b a c a b x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=
=
--+-+??
习题5.33 解：
（a ）对于可分辨例子，三个粒子都可以处于任意一个态，所以总共会有3327=个可能三粒
子态。列出如下：
（b ）当粒子为全同玻色子时，要求波函数满足交换对称性，共10个可能态。 三个粒子处于相同粒子态：3个
123()()()a a a x x x ψψψ 123()()()b b b x x x ψψψ 123()()()
c c c x x x ψψψ 三个粒子处于两个粒子态：6个
1231231231
()()()()()()()()())a a b a b a b a a x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
123123123()()()()()()()()())a a c a c a c a a x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
1231231231
()()()()()()()()())b b a b a b a b b x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
123123123()()()()()()()()())b b c b c b c b b x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
1231231231
()()()()()()()()())c c a c a c a c c x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ
123123123()()()()()()()()())c c b c b c b c c x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ 三个粒子处于三个不同粒子态：1个
123123123123123123()()()()()()()()()
()()()()()()()()())
a b c a c b b a c b c a c a b c b a x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψ+ψψψ+ψψψ+ψψψ+ψψψ+ψψψ
（c ）当粒子为全同费米子时，要求波函数满足完全反对称性，每个费米子必须处在互不相同的态上，只有1种可能态
]111222123123333
1231231231
23
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()a b c a b c a b c a c b a b c b a c b c a c a b c b a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ψψψψ=ψψψ-ψψψψψ-ψψψ+ψψψ+ψψψ-ψψψ
《高等工程数学》试题(2007年1月)
高等工程数学试题 ( 工程硕士研究生及进修生用 2007年1月 ) 注意：1. 答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记； 3. 本试题可能用到的常数: ,,1448.2)14(1604 .2)13(975.0975.0==t t 0.900.900.95(11)39.9(12)8.53 1.645F F u === , , ,, . 一 填空题(每空3分,共30分) 1. )(P 2t 中的多项式132)(2 +-=t t t p 在基)}2)(1(11 {---t t t , ,下的坐标向量为 . 2. 设0α是欧氏空间n V 中固定的非零向量,记0{ |0}n W V ξαξξ? =<>=∈,, ，则 )dim(=W . 3. 设111121i A i +?? =? ?-?? ，则|||| A ∞=. 4．设? ?? ? ????=c c c A 2000001，则当且仅当实数c 满足条件 时，有O A k k =+∞→lim ． 5. 设??? ?????=111001A 的奇异值分解为H V ΣU A =，则 =Σ． 6. 设)(21X X ,是来自)0(~2 ,σN X 的样本，则当常数 =k 时有 10.0)()()(2 212212 21=? ?????>-+++k X X X X X X P ． 7. 对某型号飞机的飞行速度进行了15次试验，测得最大飞行速度的平均值 )s /m (0.425=x ，样本标准差2.8=s .根据长期经验，可以认为最大飞行速度X 服从正 态分布) (2 σN , μ，则 μ的置信度为95%的置信区间是 ) ( , . 8. 设总体 X 的概率密度函数为 )0( . 0,0,0,)(>?????≤>=-λλλx x e x f x ,,21X X …n X ,是来自总体X 的样本, 则未知参数λ的矩估计 ?=λ. 9. 为了检验某颗骰子是否均匀，将其掷了60次，得到结果如下： 11 10137811 6 54321 数频出现点数 则2χ拟合优度检验中的检验统计量=2 χ______________ . 学院（部） 学号（编号） 姓名 修读类别（学位/进修） （ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ） …………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………
《高等工程数学》试卷
《高等工程数学》试题 注意：1. 考试时间2.5小时，答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效； 2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记； 3. 可能需要的常数：0.900.950.9951.282, 1.645, 2.576u u u === 一、填空题(本题共10空，每空3分，满分30分.把答案填在题中的横线上) 1. 给定线性空间22R ?的基： 1001000000001001??????????=??????????? ?????????，，，B 及线性变换Tx Px =，其中22 011 0P x R ???=∈???? ，.则T 在基B 下的矩阵为 A =. 2. 设123{}e e e =，，B 是欧氏空间3 V 的标准正交基，令112213.y e e y e e =+=-，则由B 出发，通过Schmidt 标准正交化方法可求得12span{}y y ，的标准正交基为 (用123e e e ，，表示） ． 3．设211113 01021i 0A x ???? ????==????+???? ，，其中i =. 则2|||||||| A Ax ∞?=. 4．当实常数c 满足条件 时，幂级数1116 k k k c k c ∞ =?? ??-?? ∑收敛. 5．对称阵321220103A ?? ??=????的Cholesky 分解为 A =. 6．设12101210()()X X X Y Y Y ，，，， ，，，是来自正态总体2~()X N μσ，的两个独立样本，则当常数 c =时，统计量4 21 10 2 5()() i i i i i i X Y c X Y ==-? -∑∑服从F 分布． 7．袋中装有编号为1~N 的N 个球(N 未知)，现从袋中有放回地任取n 个球，依次 记录下球的编号为12.n X X X ，，，则袋中球的个数N 的矩估计量为? N =. 8．设12n X X X ，，，为来自总体~(1)X N μ，的样本.为得到未知参数μ的长度不 超过0.2、置信度为0.99的双侧置信区间，其样本容量至少应满足 n ≥. 学院（部） 修读类别（学位/进修） 姓名 学号（编号） （ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ） ……………………………………密………………………………………封………………………………………线……………………………………
高等代数试卷及答案1
高等代数 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ）
研究生2005吉林大学量子力学真题
2005年吉林大学硕士研究生入学试题 一、[25分] 一维线性谐振子 [222 1)(x m x V ω=] 初始时刻的状态为： )()(5 1)(52)0,(210x C x x x ???Ψ++=， 其中，)(x n ?为谐振子的正交归一化能量本征函数。 １）若在)0,(x Ψ态上测量能量的平均值为ω=2 3，试求系数C 。 ２）写出时刻振子的波函数，并求出此时测量能量的取值不小于平均 值的几率。 0>t ３）求时刻振子宇称的可取值、取值几率和平均值。 0>t 二、[25分] 在位场)0()()(00>=V x V x V δ中，质量为的粒子从m ∞?处向右运动，试问能量E 如何取值，粒子刚好能有一半的几率被反射回来？ 三、[25分] 已知力学量的本征值谱和正交归一化本征态矢系分别为和 Q ?}{n q }{|>n (，)。现有算符方程，其中"3,2,1=n 0≠n q >>=ψ?||?Q >ψ|为已知态矢。 １）在表象中求出态矢Q >?|的表达式。 ２）若以和分别表示投影到?P ?ψ P ?>?|和>ψ|上的投影算符，试求出它们在表象中的矩阵表示之间的关系。 Q ３）试给出算符的定义，并论证其合理性。 3/1?Q 四、[25分] 设一自旋粒子的能量算符为 2/1z y x S C S B S A H ????++= 其中A 、B 、C 均为实数。 １）求粒子的能量本征值和本征态矢。 ２）若粒子处在H ?的一个本征态上，求粒子自旋分量向上的几率。 y
五、[25分] 设两个质量为m 、自旋为的全同粒子通过位势 2/12212)4()(r b s s a r V ???=G G = 作用，其中r 为两粒子间距离，1s G 和2s G 分别为两粒子的自旋算符，a 为大于 零的实数。 １）为使两粒子束缚在一起，b 应如何取值？ ２）若取，试求基态能量和简并度。 2/3=b ３）若0=b ，求处于基态时两粒子间距离的均方根。 六、[25分] 设体系能量算符为 且有 ,'???0H H H +=,||?)0(0 >>=i E i H i ,|ij j i δ>=<);2,1(=i ;2|1|1|'?>+>>=b a H 、b 均为实数，且为小量。 ,2|1|2|'?>?>>=a b H a １） 若，求体系能级至二级近似，并求出一级近似态矢量。 )0(2)0(1 E E ≠２） 若，求体系能级至一级近似，并求出零级近似态矢量。 )0(2)0(1E E =
高等工程数学试题--2013-11-3工程硕士
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷） 考试日期：2013年 月 日 时间110分钟 注：解答全部写在答题纸上 一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 对矩阵 A 进行Doolittle 分解的条件是 ； 2．设总体2212~(,),~(,)X N Y N θσθσ，从总体分别独立抽取容量为,m n 的简单随机样本 12(,,,)m X X X ，12(,,,)n Y Y Y 。记2,X X S 为样本12(,,,)m X X X 的样本均值与方差，2,Y Y S 为 样本12(,,,)n Y Y Y 的样本均值与方差，则12θθ-的95%的置信区间为 ； 3．如果2 113342 53,5351154 6 4Ax b A ??????? ? ==?????????? ，矩阵A ∞= ， 利用Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的敛散性情况是 ； 4．在进行二元方差分析时，当两个因子之间存在交互作用时，需要进行重复试验，假设两个因子都取3水平，各种组合时试验的重复次数均为4，则体现两因子的交互作用的平方和的自由度是 ； 5．函数22 1212(,)y f x x x x ==，已知1x 和2x 的绝对误差限分别为1()0.1x ε≤和2()0.2x ε≤，则函数 值的绝对误差限为： ； 6．线性规划123123123123min 32..2363260,0,x x x s t x x x x x x x x x +-? ?++≥??-+≤? ?≤≥-∞≤≤∞ ? 的标准形式是 ； 7．方程()sin(1)2 x f x x =+- 与()x x ?== 等价，由于迭代函数()x ?满足： ，可用迭代法求方程()0f x =的唯一正根* x 的近似值； 8. 设011n n a x x x x b -=<< <<=为区间[,]a b 的n 等分点，n T 和2n T 为定积分()b a f x dx ?复合梯 形公式，利用Romberg 思想写出复化Simpson 求积计算式 n S = 。 二、（本题14分）某工厂生产A 、B 两种产品，需利用甲、乙两种资源。已知生产产品A 一件 需消耗资源甲、乙分别为3吨、4吨，生产产品B 一件需消耗资源甲、乙分别为4吨、3吨。A 、B 产品每件产值分别为1、2万元。工厂现有甲、乙资源量分别为120、120吨。 （1） 建立工厂安排生产使总产值最大数学模型。 （2） 列出并利用单纯形法求工厂的最优生产方案。
高等代数试题附答案
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
高等工程数学题(南理工高等工程数学考题)
南京理工大学 工程硕士高等工程数学学位课程考试试题（2010.3） （一）矩阵分析 一．（6分）设,021320012???? ? ??-=A 求21,,A A A ∞值。 二．（8分）已知函数矩阵：22222222222223332t t t t t t At t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ?? --- ? =--- ? ?---? ? ， 求矩阵.A 。 三．（10分）已知矩阵82225 42 4 5 --=A ，()??? ? ? ??=099t t e e t b （1）求At e ； （2）求解微分方程()()()()()?? ? ??=+=T x t b t Ax dt t dx 2,0,10。 四．（10分）给定3 R 的两个基 ()T x 1,0,11= ()T x 0,1,22= ()T x 1,1,13= ()T y 1,2,11-= ()T y 1,2,22-= ()T y 1,1,23--= 定义线性变换：i i y Tx = ()3,2,1=i （1）写出由基321,,x x x 到基321,,y y y 的过渡矩阵； （2）写出T 在基321,,x x x 下的矩阵； （3）写出T 在基321,,y y y 下的矩阵。 五．（8分）给定(){} R a a A R ij ij ∈==??222 2（数域R 上的二阶实矩阵按矩阵的加法和数乘 构成的线性空间）的子集 {}022112 2=+∈=?a a R A V （1）证明V 是2 2?R 的线性子空间；
高等代数试题及答案
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页
中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
吉林大学高等量子力学习题答案共11页word资料
高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符
()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h
关于高等工程数学 试题 答案
《高等工程数学》试题 一、 设总体X 具有分布律 其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+?-+-=-+ 令EX X =，得5 ?6 θ=. （2）最大似然估计： 得5?6 θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为（mg/L ），标准差为（mg/L ），问该工厂 生产是否正常（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====） 解： （1）检验假设H 0：σ2 =1，H 1：σ2 ≠1； 取统计量：20 2 2 )1(σχs n -= ； 拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.0221χχα=-- n =或χ2≥2 025.022 )1(χχα=-n =， 经计算：96.121 2.19)1(22 2 2 =?=-= σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2， 故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。 （2）检验假设101010 ≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10 /10S X t -=~ )9(2 αt ； 拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210 /2.1108.10=-=t Θ< ，所以接受0 H '，
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。 综上，认为工厂生产正常。 三、 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显着水平0.05α=下对因素A 是否显着做检验。 解： 0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显着的. 四、 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得 0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =. （1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01 ???y x ββ=+； （2）对回归系数1β做显着性检验（0.05α=）. 解：（1）125.5218?84.39750.3024 xy xx l l β=== 所以，?35.238984.3975y x =+ （2）1?2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-?= 拒绝原假设，故回归效果显着.
高等代数习题及答案(1)
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
高等工程数学数值分析部分试题与解答(1)
一、填空题 1. 求方程 ()x f x =根的牛顿迭代格式是 . 1()1() n n n n n x f x x x f x +-=- '- 2. 在求解方程组b AX =时，建立的迭代格式f BX X +=+)()1(k k 对于任意初始向量）0(X 及任意f 收敛的充要条件是 . 1)(
??? ??=++=++=-+5 223122321 321321x x x x x x x x x 的Gauss-Seidel 迭代法，并说明其收敛性. 解：解线性方程组的系数矩阵可以表示为 U L D --=??? ? ? ??---????? ??----????? ??=????? ??-000100220022001000 100010001122111221， 则Gauss-Seidel 迭代格式为 b L D UX L D f BX X k k k 1)(1)()1()()(--+-+-=+=， 这里???? ? ??-=-=-200120220)(1 U L D B ，b 为右端向量， 且12)(>=B ρ，则该迭代法发散. 3. 用复化Simpson 公式求积分 x e x d 1 ?=I 的近似值时，为使计算结果误差不超过4102 1 -?，问至少需要取多少个节点？ 解：由x e x f =)(，x e x f =)()4(，1=-a b ，有 [] 4 4 )4(4102 1128801)(2880-?≤??? ??≤--=e n f h a b f R n η 解得08441.2≥n ，故至少需将[]1,0三等分，即取7132=+?个节点. 4. 用梯形方法解初值问题 '0;(0)1,y y y ?+=?=? 证明其近似解为2,2n n h y h -??= ?+??并证明当0h →时，它收敛于原初值问题的准确解.x y e -=
2019年浙江大学高等代数试题解答word资料4页
1。解：由题意可知 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++= 故()323p x x x x =--+ 2。证明：由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。如果()f x 有重数大于2的非零根，在()f x '有重数大于1的非零根，根据()f x '的表达式可知()f x '没有非零重根，从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。解：由于()111n n k j k k k j n D x x x =≤<≤=-∏∏，又可知 从而知()() () ()1 11 1 111n n i n i i i i i j k k j n D y x x y δ+-----≤<≤-=--∏即()1n i i j k k j n D x x δ≤<≤=-∏，从 而知 4。解；由于11T T A E XY Y X α=+=+=+从而 ()1当1α≠时，A 可逆 ()2由于当1α=时()()() 1 11n T T E E XY E XY λλλλ--+=--=-，从而A 的特 征 多 项 式 为 () 1 1n λλ--故 ()1 rank A n =-， 又 ()()()1T T rank A E rank X Y rank YX -=== 从而()()rank A rank A E n =-=，从而2A A =，故A 的最小多项式()m λ能整除()1λλ-，从而()m λ无重根，从而A 可对角化 5。证明：若1n =时，11A a =显然满足。若2n =时，由于2 112212A a a a =-，由于A 为正定矩阵，从而0A >，即2112212a a a >，从而1122A a a ≤等号成立时， 12210a a ==，即A 为对角矩阵时候成立显然为充要条件 若小于n 时成立，且等号成立时候充要条件A 为对角矩阵。令 11 nn A b A b a ??=???? ，则11A 为1n -阶正定矩阵，从而1 11A -存在且也为正定矩阵。又
2018吉林大学《科学道德与学术规范》
1. 导语也成前言、导言，通常在学位论文或篇幅较长的论文中出现，导语应明确交待该领域的学术史，不能闭门造、车自说自话。下列哪个选项不属于导语基本要素 A. 研究方法 B. 研究的价值 C. 研究的计划 D. 研究所用材料的来源 2. 中国科协的一项调查发现，38.6%的科技工作者自认为对科研道德和学术规范缺乏足够了解，49.6%的科技工作者表示自己没有系统的了解和学习过科研道德和学术规范。这种现象所反映出在科学道德和学风问题中应该( ) A. 坚持教育引导 B. 加强制度规范 C. 强化监督约束 D. 坚持自我反省 3. 引文应当是作者在撰写论著时确实参考或引用过的文献，如果为了给人一种阅读了大量文献资料、研究基础扎实的印象，而故意在论著中加入大量实际没有参考或引用过的、或者与本文论题根本不相干的文献，做不相关引用、无效引用。这种行为属于 A. 过度他引 B. 不当自引 C. 模糊引注 D. 著而不引 4. 在合作研究中，故意隐瞒应共享的信息，不提供相关数据和资源等。根据相关加强科研规范的措施和意见，这种行为违反了科研人员须遵守科研规范中的( ) A. 诚实原则 B. 公开原则 C. 公正原则 D. 尊重知识产权 5. 1964年，新疆的一位年轻人郝天护给时任中国科学院力学研究所所长钱学森写信，指出钱学森近期发表的一边力学论文中有一处需要商榷，钱学森当时在力学界已是绝对权威，但收到来信后，不仅亲笔回信，承认了自己的错误，更鼓励郝天护将自己的观点写成文章，并推荐发表在《力学学报上》，这体现出钱学森作为一名合格科技工作者的( ) A. 严谨作风 B. 诚信品行 C. 责任意识 D. 人文素养 6. 解决科学道德和学风问题，关键在于抓好教育、制度和监督三个环节教育是( )，制度是( )监督是( )，惩防结合、标本兼治。 A. 基础关键保障 B. 基础保障关键 C. 核心手段保证 D. 手段保证核心 7. 科研规范是基于科研道德和科学共同体共识的，具有稳定性、连续性的规制和安排，因而具有文化的意义，要求研究者自觉遵守和共同维护。下列（不属于：题干错误）属于当代科技工作者应该坚持的规范是 A. 诚实原则B. 不伤害原则 C. 公正原则 D. 尊重原则 8.在一般学术性期刊中对于署名和单位地址下列描述不正确的是( ) A. 一个作者下写一个地址 B. 如果换了新地址，则应在脚注中写上新地址 C. 必须提供邮政编码 D. 必须提供作者全名，不可隐名发表 9. 学界公认的科研规范中，规定在保守国家秘密和保护知识产权的前提下，公开科研过程和结果相关信息，追求科研活动社会效益最大化。这条原则属于当代科研工作者应该坚持的 A. 公开原则 B. 诚实原则 C. 尊重知识产权原则 D. 声明与回避原则 10. 一搞多投是指同一作者，在法定或约定的禁止再投期间，或者在期限以外获知自己作品将要发表或已经发表，在期刊编辑和审稿人不知情的情况下，试图或已经在两种或多种期刊同时或相继发表内容相同或相近的论文。一稿多投的行为是严格被学界所禁止的行为。下列属于一稿多投行为的是 A. 不尊重科学和实验结果 B. 拼凑数据 C. 不尊重他人学术思想、学术观点 D. 将他人的论文翻译成外文发表在国际学术刊物上 11. 任鸿隽先生于1916 年在“科学精神论”一文中首次明确提出科学精神的概念“科学精神者何？求真理是已。”美国著名学者莱科维茨将科学精神概括为激情（enthusiasm）、创造性和诚信三个方面。可见，科学精神是在长期的科学实践活动中形成的、贯穿于科研活动全过程的共同信念、价值、态度和行为规范的总称。下列不属于科学精神的内涵的是 A. 求真精神 B. 理性的怀疑精神 C. 民主精神 D. 激情状态 12. 病态科学是科学研究者被其主观性错误所自我欺骗而导致的“科学式”的研究。在一定意义上看，病态科学实属科学的常态。下列情况不属于病态科学的是 A. 主观期望的科学 B. 一厢情愿的科学 C. 独断论式的科学 D. 伪科学
《高等工程数学》试题(2005年)
国防科技大学05级工科硕士研究生 高等工程数学试题 2、考试时间为两个半小时； 3、答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上一律无效； 4、可以使用计算器； 5、本试题可能用到的有关常数 282.190.0=u , 65.195.0=u , 6110.0)282.0(=Φ, 71.1)25(95.0=t , 635.6)1(299.0=χ, 21.9)2(299.0=χ, 89.3)12,2(95.0=F . 一、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分. 把答案填在题中横线上）： 1) 设},,,{21n αααB α =,},,,{21n εεεB ε =是欧氏空间V 的两个标准正交基,则由基εB 到αB 的过渡矩阵是可逆矩阵,且是 矩阵. 2) 将向量)2,1,2('=x 变为向量)0,0,3('=y 的Householder 矩阵 =H . 3) 设621,,,X X X 是取自总体),0(~2σN X 的样本, 则统计量 ~)()(2 6542 321X X X X X X --++ . 4) 从一批晶体管中随机地抽取26只,测得它们的平均寿命1000=X 小时,样本标准差80=S 小时. 假定晶体管的寿命服从正态分布,则该批晶体管平均寿命的置信水平为0.90的双侧置信区间为 . 5）某医院欲比较异梨醇口服液（试验组）和氢氯噻嗪+地塞米松（对照组）降低颅内压的疗效.将200例颅内压增高症患者随机分为两组进行试验,在显著性水平检验得两组降低颅内压的疗效 显著差异. 学院（部） 学号（编号） 姓名 （ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ） ………………………………密………………………………………封……………………………线…………………………
浙江大学2006年高等代数试题解答
浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题 考试科目：高等代数 科目代号：341 注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！ {} ,(,)0(,)0(,)0(,)0,0(,) i i i A B B A B A A B rankA rank A b xA x A b x A B x A b i xA rankA rank A B =?=?==?=??=?===：一、(15分)矩阵具有相同的行数，把的任意一列加到得到矩阵秩不变，证明:把的所有列同时加到上秩也不变.: 法一：取的列向量的极大线性无关组，那么知道的任何列都可以由这些向量线性表（行出，从而得结论。法二秩 列秩矩阵证的秩） 明而 11121212221211121212221..................... (2)..................n n n n nn n n n x a x a x a x a x a x a x D a x a x a x D a x a x a x a x a x a x D a ++++++= +++++++++=+二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按的幂次排列的多项式 把行列式的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余 子式之和不变.)证明： (1111212111 2212 212111212 111 1212111 2212 2121 11 2212 21111 212 1..................... .................................n n n n nn n n nn n n n n n n n n nn n a x a x a x a a a a a a x a x a x a a a a a a a a a x x x a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++---= ++---------=+---111 212121112212211,111 212 1............ 11...1.................. (),n n nn n n n ij i j n n n nn n ij n n ij ij a a a a a a a a a a a a A x A x A a a a a a a A a A A a ≤≤?------=+=+---=∑ 为中的代数余子式。
高等工程数学 试题 答案
《高等工程数学》试题 一、 设总体X 具有分布律 其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计. 解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+?-+-=-+ 14 (121)33 X =++= 令EX X =，得5?6 θ=. （2）最大似然估计： 2 2 5 6 ()2(1)22L θθθθθθθ=??-=- 45ln() 10120d d θθθθ=-= 得5?6 θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是 否正常？（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====） 解： （1）检验假设H 0：σ2 =1，H 1：σ2 ≠1； 取统计量：20 2 2 )1(σ χs n -= ； 拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.022 1χχ α=-- n =2.70或χ2 ≥2025.022 )1(χχα=-n =19.023， 经计算：96.121 2.19)1(22 2 2 =?=-= σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2， 故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。 （2）检验假设101010 ≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10 /10S X t -=~ )9(2 αt ；
拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210 /2.1108.10=-= t <2.2622 ，所以接受0 H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。 综上，认为工厂生产正常。 三、 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。 解： 0.95(2,9) 4.26F =，7.5 4.26F =>，认为因素A 是显著的. 四、 现收集了16组合金钢中的碳含量x 及强度y 的数据，求得 0.125,45.7886,0.3024,25.5218xx xy x y L L ====，2432.4566yy L =. （1）建立y 关于x 的一元线性回归方程01 ???y x ββ=+； （2）对回归系数1β做显著性检验（0.05α=）. 解：（1）1 25.5218 ?84.39750.3024 xy xx l l β== = 1 ??35.2389y x ββ=-= 所以，?35.238984.3975y x =+ （2）1?2432.456684.397525.5218278.4805e yy xy Q l l β=-=-?= 2 278.4805 ?19.8915214 e Q n σ ===- ?5 4. 46σ==