指数函数多项式展开及其应用

指数函数多项式展开及其应用
指数函数多项式展开及其应用

本科毕业论文(设计)

( 2013届)

指数函数的多项式展开及其应用院系数学系

专业数学与应用数学姓名许月

指导教师齐继兵

职称讲师

等级

摘要

指数函数是基本的初等函数,它的性质及其多项式逼近形式应用非常广泛.本文将主要围绕指数函数的多项式展开式进行研究,首先论述了指数函数的泰勒展开式的概念,给

出了泰勒公式的一种证明,利用MATLAB做出了指数函数与其不同多项式逼近函数的图像,

并进行了误差分析和比较.简要介绍了自然指数函数展开式的两种多重分割法的概念及性

质.接着又讨论了指数函数的泰勒展开式在求解非线性发展方程,求解极限,近似估值以

及在不等式证明当中的应用.这些应用反映了利用指数函数展开式及相关性质在解决一些

问题中的技巧和方法,有助于进一步深入理解指数函数及其多项式展开在解决实际问题中

的重要作用.

关键词:指数函数初等函数多项式泰勒展开

线

ABSTRACT

Exponential function is the basic elementary function, it has a very wide range of properties

and its application form of polynomial approximation. This paper will mainly focus on the

exponential polynomial expansion is studies, firstly discusses the concept of Taylor expansion of

exponential function, one can prove the Taylor formula, using MATLAB to make the exponential

function with different images of the polynomial approximation function, and the error analysis

and comparison. Nature of exponential function expansion is briefly introduced the concept of

two multiple segmentation and nature, and then discussed the Taylor expansion of exponential

function in solving nonlinear evolution equations, the solving limit, approximate valuation as

well as the application in the middle of the inequality proof. These applications reflects the use

of exponential function expansion and related properties in the methods and skills in solving

some problems, will help to further understand exponential and polynomial expansion’s

important role in solving practical problems[10].

Key words:exponential function elementary function polynomial Taylor expansion

线

目录

摘要...................................................... I ABSTRACT ................................................... II 1引言 (1)

2指数函数的多项式展开 (1)

2.1函数多项式展开的概念 (1)

2.2泰勒展开式的证明 (1)

2.3指数函数多项式逼近图 (2)

2.4自然指数函数展开式的多重分割法 (6)

3指数函数多项式展开的应用 (8)

3.1应用指数函数展开法求解非线性发展方程 (8)

3.2利用指数函数展开法求极限 (11)

3.3利用指数函数展开式进行近似计算 (12)

3.4利用泰勒公式证明不等式 (13)

4结束语 (14)

参考文献 (14)

1 引言

指数函数是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是学习对数函数的基础,在生活及生产实际中有着广泛的应用.多项式理论在代数中也占有十分重要的地位,且在数学的各门学科中都有着广泛的运用.关于多项式的定义,在1981年12月第一版统编六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册中说“一个多项式的元和系数都在实数集上取值时,这个多项式就叫做实数集R 上的多项式”,这个说法前一句讲的是多项式函数,而后一句却有问题,1983年11月第一版统编6年制重点中学高中数学课本《代数》第三册把这段话删去了,改为“以x 为元的一元n 次多项式的一般形式可以写成1110n n n n a x a x a x a --++++ 这里n 是确定的自然数,0n a ≠”[1].

2 指数函数的多项式展开

多项式函数是各类函数中最简单的一种,用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆.

2.1 函数多项式展开的概念

定义[2] 指数函数的多项式展开即泰勒展开,对于一般的函数()f x ,假设它在一点0x 存在直到n 阶的导数,且多项式()n T x 由这些导数构成,即

()()()()()()(

)

()

()

'''2

00000001!

2!

!

n n

n f x f x f x T x f x x x x x x x n =+

-+

-++

-

该式称为函数()f x 在该点处的泰勒公式. 指数函数在点0x 处的泰勒展开式为

()()()()()()()()()()()

()

'''

2000000002!!

n

n n

x

n f x f x a f x f x f x x x x x x x T x o x x n ==+-+-++-+=+-

这里()(

)

0n

o x x -称为佩亚诺型余项.

2.2 泰勒展开式的证明

泰勒公式的证明方法有许多种,本文利用最基本的方法给出泰勒公式的证明.

定理[2] 若函数()x f 在点0x 存在直至n 阶导数,则有()()()()

n

n x x o x T x f 0-+=,即

()()()()()()()()()()()

'''

2000000002!!

n

n n

f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+-

装 订 线

证明:不妨设()()()n n R x f x T x =-,()()0n

n Q x x x =- 则只要证明

()()0lim 0n x x n

R x Q x →= 又知

()()()(

)()'''00000n n n n n R x R x R x R x =====

()()()(

)

()1'''00000n n n n n Q x Q x Q x Q x -===== ,()

()0!n n Q x n =

因为()()0n f x 存在,所以在点0x 的某邻域()0U x 内f 存在1n -阶导函数()

()1n f x -.

于是,当().

0x U x ∈且0x x →时,允许接连使用洛必达法则1n -次,得到

()()()()(

)

()()()(

)

()()()()()()

()()

111'000'10lim lim lim lim

12n n n n n n n n x x x x x x x x n n n

R x R x R x f x f x f x x x Q x Q x n n x x Q x ----→→→→---====--

()()()()()

()0110001lim 0!n n n x x f x f x f x n x x --→??-=-=??-????

2.3 指数函数多项式逼近图

2.3.1 指数函数x y e =的多项式逼近

根据

2.1

可以写出指数函数x y e =的泰勒展开式为

2312!3!!

n

x x x y x n =++++++ ,现在我们利用数学作图工具MATLAB 做出指数函数x

y e =与其泰勒展开式中n 分别取3、4、5时得到的不同的指数函数多项式逼近函数的图像.这里为了更加清晰明了的做出误差比较与分析,则会做出三张图片,分别为指数函数x y e =与

3n =时得到的多项式逼近函数23

12!3!

x x y x =+++在同一坐标系下的函数图像比较、指数函

数x

y e =与4n =时得到的多项式逼近函数234

12!3!4!

x x x y x =++++在同一坐标系下的函数图

像比较、指数函数x

y e =与5n =时得到的逼近函数2345

12!3!4!5!

x x x x y x =+++++在同一坐标

系下的函数图像比较,最后将根据图象分析指数函数与其逼近函数之间的关系并做出误差分析,得出结论[3].

【例1】利用MATLAB 在同一坐标系中做出函数x

y e =、23

12!3!

x x y x =+++、

23412!3!4!x x x y x =++++、2345

12!3!4!5!x x x x y x =+++++的图像并做比较.

解:a 、x

y e =与23

12!3!

x x y x =+++图像的比较

b 、x

y e =与234

12!3!4!

x x x y x =++

++图像的比较

x y e =

x y e =

c 、x

y e =与2345

12!3!4!5!

x x x x y x =+++++的图像比较

根据上述例题我们可以看出原指数函数x y e =与其不同程度的多项式逼近函数均有着某种程度的逼近,且当n 的取值不同时原指数函数与其多项式逼近函数的逼近程度也不同.对比图像我们可以看出在指数函数的泰勒展开式中随着n 取值的增大,原指数函数与其逼近函数的图像越接近误差越小. 2.3.2 指数函数x y e -=的多项式逼近

同样根据 2.1的多项式展开概念,可得出指数函数x y e -=的泰勒展开式为

()23112!3!!

n

n x x x

y x n =-+-++-+ .依旧利用数学作图工具MATLAB 做出指数函数

x y e -=与其泰勒展开式中n 分别取3、4、5时的多项式逼近函数的函数图.同理为了更加清

晰的比较不同指数函数与它们各自的多项式逼近函数的逼近趋势是否一致,仍旧作出三张

图片,分别为指数函数x y e -=与3n =时的多项式逼近函数2311

12!3!y x x x =-+-在同一坐

标系下的函数图像、指数函数x y e -=与4n =时的多项式逼近函数

234

11112!3!4!

y x x x x =-+

-+在同一坐标系下的函数图像、指数函数x y e -=与5n =时的多项式逼近函数23451111

12!3!4!5!

y x x x x x =-+-+-在同一坐标系下的函数图像,做出图像并

分析图像,得出结论[3]

. x y e =

【例2】 利用MATLAB 在同一坐标系中做出函数x y e -=、23

1112!3!

y x x x =-+- 23411112!3!4!y x x x x =-+

-+、23451111

12!3!4!5!

y x x x x x =-+-+-的图像并做比较. 解:a 、x y e -=与2311

12!3!

y x x x =-+-的图像比较

b 、x y e -=与234

11112!3!4!

y x x x x =-+

-+的图像比较

c 、x y e -=与2345

111112!3!4!5!

y x x x x x =-+-+-的图像比较

x

y e -=x

y e -=23411112!3!4!

y x x x x =-+-+

23

1112!3!

y x x x =-+-

由例题的三张图片,三个不同程度的同一指数函数的泰勒展开式的函数图像分别与原指数函数的图像比较我们可以看出原指数函数与其多项式逼近函数也有着某种程度的逼近,而且同样的随着在泰勒展开式中n 取值的不同逼近程度也不同,随着n 取值的增大,原指数函数与其逼近函数图像越接近,即误差越小.

由2.3.1与2.3.2中的两个例题我们可以看出原指数函数与其不同程度的多项式逼近函数有着某种程度的逼近,且随着泰勒展开式中n 取值的增大,原函数与其对应的多项式逼近函数图像越接近,即两个函数在同一点下的函数值越接近,误差越小.再两个例题进行比较可以看出上述得出的结论并不只针对某一个指数函数,它对于任何指数函数均成立,可以普遍的应用于指数函数与其多项式逼近函数的误差分析中[4].

2.4 自然指数函数展开式的多重分割法

2.4.1 自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数

定义1 [5]

形如()()()211!2!!

m m nm x x x S x m m nm =+

++++ ()()()()

1211

21!121!1!m m nm x x x x S x m m nm +++=+

+++++++

()()()()()

()11

121311!21!31!11!n m m m m m x x x x S x m m m n m +----=+++++---+-????

其中,3x R m ∈≥均为广义双曲线

定义1'[5] 广义双曲函数组()()()12,,,m S x S x S x 的等价条件为

()()()()()()1211,

,,

m m m dS x dS x dS x S x S x S x dx

dx

dx

-===

x

y e -=2345111112!3!4!5!

y x x x x x =-+

-+-

以及()()()()12301,0000m S S S S ===== 广义双曲函数的性质

1、2m >时,广义双曲函数组()()()12,,,m S x S x S x 构成的m 阶循环行列式

()()

()()()()()()

()()

12112311m m m m S x S x S x S x S x S x D x S x S x S x -=

=

2、2m >时,广义双曲函数的和较恒等式

()()()()()()()111

22m m S x y S x S y S x S y S x S y +=+++

()()()()()()()221

123m S x y S x S y S x S y S x S y +=

+++ ()(

)()

()()()()11

21m m m m S x y S x S y S x S y S x S y

-+=+

++

2.4.2 自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数

定义2[6]

形如()()()()2111!2!!

m m nm

n x x x T x m m nm =-

+-+-+ ()()()()()1212111!1!21!1!

m m nm n x x x x

T x m m nm +++=-+-+-++++

()()()()()()()11

1213111!21!31!11!n m m m m n

m x x x x T x m m m n m +----=-+-+-+---+-????

其中,3x R m ∈≥均为广义三角函数.

定义'2[6] 广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 满足下列常微分方程组

()()()()()()1211,

,,

m m m dT x dT x dT x T x T x T x dt

dt

dt

-===

以及初值条件()()()()12301,0000m T T T T ===== 广义三角函数的性质

1、2m >时,广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 构成的m 阶反循环行列式

()()()()()()()()()

1221311---1m m m T x T x T x T x T x T x T x T x T x -=

2、2m >时,广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 的和角恒等式

()(

)()()()()()(

)()1112132

m m m

T x y T x T y T x T y T x T Y T x T y

-+=----

()()()()()()()()()2211233

m m T x y T x T y T x T

y T x T Y T x T y +=+--- ()()()()()()()()()33122134m T x y T x T y T x T y T x T y T x T y +=++--

()()()()()()()()()112231m m m m m T x y T x T y T x T y T x T y T x T y --+=++++

3 指数函数多项式展开的应用

3.1 应用指数函数展开法求解非线性发展方程

在大学课本中我们学习了非线性方程,即因变量与自变量之间的关系不是线性的方程,同样也学习了数学的重要分支之一的微分方程,我们将含自变量、未知数和未知数微商(或偏微商)的方程称为常(或偏)微分方程.本文将呈现的非线性发展方程,即为费线性且依赖与时间的方程,一般为微分方程.

给定非线性方程

(),,,,,0t x xx tx F u u u u u = , (1) 为了求(1)行波解,令

()(),u x t ?θ=,kx vt θ=+, (2) 这里,k v 是非零的待定参数,(2)式带入方程(1)进行化简得到()?θ对应的常微分方程 (

)

''2'''

,,,,,0G u vu ku k u kvu = . (3) 根据指数函数法,假设方程有如下解的形式:

()q

i p q i

i p

p q r r s j r s j

j s

a e a e a e

b e

b e

b e θ

θθθ

θ

θ

φθ-=----=-++=

=

++∑∑ (4)

这里,i j a b 是待定常数,,,p q s r 均为待定正常数.通过平衡方程式(3)最高导数项与最高非线性项找出r 和p 的关系.同理通过平衡方程式最低导数项和最低非线性项找出q 和s 的关系,进一步找出方程的新解[3],利用此方法可以求解BBM 方程[7].

BBM 方程有如下的基本形式:

60t x x xxt u u uu u +-+= (5)

利用变换

()(),,u x t kx vt f q q ==+

使方程(1)式变为:

()''2'''60k v k k v f f f f ++-=. (6)

利用假设条件求出:

()7'''

182r p r c e c e q

q

f ++=+

, (7) ()()

262'

333844r p r p r r c e c e c e c e q

q

q q f f ++++==++

, (8)

其中()1,2,3,4k c k =,平衡子式得:

762r p r p r

p +=+?. (9)

同理

()7'''

586s q s c e c e q

q f 轾-+臌-++=++

, (10)

()()262'

773888s q s q s s c e c e c e c e q

q

q

q

f f 轾轾-+-+臌臌

--++=

=

++ , (11)

通过平衡子式()()762s q s q s

q -+=-+?.

情形1 取1,1r p s q ====,从而方程(4)式变为:

()101101a e a a e b e b b e q q

q q

f q ----++=++, (12)

将(12)式代入方程(6)中,利用Maple 计算得到:

3

30i i i C C e q =-=?,

(13) 这里()

4

101C b e b b e

q

q --=++,令0,33,i C i

i R =-# ,进而可得

()()

()

2220101101

5,,,2466b v k k v b k v k v b k v k v a a a kb k

k

-----+--+++=

=

=-

2

0001111

,,,,4b v v b b b b b b ---====

代入(12)式,可得

()()

()

2220011

120011

524664b v k k v b k v k v b k v k v e e kb k

k

b e b b e b q

q

q

q

f --------+++--+-+

=

++. (14)

(i) 令2

011

4b b b --=截得012b b -= ,从而得到两个孤立波解: ()22,363cosh 1k k v kv

k kx vt f --= 轾+ 臌

. (15) (ii) 令1k K i =,2v K i =,这里1K ,2K 为待定常数,i 为虚数,从而得到两个周期解:

()2121212

4,511

263cos 1K K K K K K K K x K t f ++=- 轾+ 臌. (16)

1110

11000111

,0,0,,,,a b a a b a a v v b b b b b --====

=== 从而有1

61

a b f =

为常数解. 情形2 取2r p ==,2s q ==,为方便起见令110b b -==,从而方程(4)变为

()222101222202a e a e a a e a e b e b b e q q q q

q q

f q ------++++=++. (17)

将(17)式代入方程(6)式中利用Maple 计算,有

7

70i i i C C e q =-=?, (18)

这里()4

22202C b e b b e q q --=++,令0,77,i C i

i R =-# ,从而得到

()

()

()

22220202202

4420,,,2466b v k k v b k v k v b k v k v a a a kb k

k

-----+--+++=

=

=-

2

000222112

,,,,0,04b v v b b b b b a a b -----======,

代入(17)式,可得

()

()

()2222200222

72

220022

420466244b k k v b k k v b k k v e e k

k

kb b e b b e b q q

q

q

f --------++---+

=

++ (19)

(iii) 令2

022

4b b b --=解得022b b -= 从而得到两个孤立波解: ()28,946cosh 1k k v kv

k kx vt f --= 轾+ 臌

. (20) (iv) 令1k K i =,2v K i =,这里1K ,2K 为待定常数,i 为虚数,从而得到两个周期解:

()2121212

10,111126cos 1K K K K K K K K x K t f ++=-轾+ 臌

. (21) 利用指数函数展开法求解非线性发展方程式在Maple 软件运算功能的帮助下,运用指数函数法成功得到了非线性方程的精确解,其中包括孤立波解与周期解.从而可以看出使用指数函数法求解非线性方程除了过程简单外,结果也比较准确.该方法具有普遍性,此方法还可以求解更加复杂类型的非线性发展方程.

3.2 利用指数函数展开法求极限

对于待定型的极限问题,一般可以采用罗比达法则来求,但是,对于一些求导比较繁琐,特别是要多次使用罗比达法则的情况,泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限,一般用麦克劳林公式形式,并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时,一般要求分子分母展开成同一阶的麦克劳林公式,通过比较求出极限[8].

【例3】 求极限224

2

4

12!4!

lim

x x x x e x -

→-

+-.

分析:该题为0

型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将22

x e

-用其多项式展开式代

替,则可化简被求方程式. 解:由222242

()21()22!

x x x e

o x --=-++得 ()2

2

22

4

242

42

211124

2422!

x x x x x x x e o x -

??

- ???-

+-=-+-+-+ 于是

()()22

22424

24

442

4440

00211112422!824

lim

lim lim 8

x x x x x x x x x x x

o x o x e x

x x -

→→→??- ???-+-+-++-+-===

由题目我们可以看出,它其实也可以用罗比达法则,但是使用罗比达法则我们必须求

导4次,为了简化解题过程,本题选择了泰勒展开法,而带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.

【例4】 求极限01sin 2lim sin cos x x x

e x x

x x x ?----.

分析:此为0

0型极限,若用罗比达法求解,则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , x e 分别用泰

勒展开式代替,则可化简被求方程式.

解:()()()2331sin 1122!3!2

x

x x x x

e x x x o x x x o x ---=++++---+

()3

36

x o x =+

()()()323323sin cos 162!3

x x x x x x x o x x o x o x ??-=-+--+=+ ???

于是

3333()1sin 162lim sin cos 2

()3

x

x x x

o x x x x x x x o x e →0+---==-+ 本题的极限式为分式,也可利用罗比达法则,但那样将会使解题过程复杂化,解题的过程中也很容易出错.为了简化求极限过程本题选择了泰勒展开法,将cos x ,sin x ,x e 分别泰勒展开为带有佩亚诺型余项的泰勒公式,且保持分子与分母同阶,这样只需简单的几步就求出了极限值.

3.3 利用指数函数展开式进行近似计算

利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林

展开得到函数的近似计算式为'''

2(0)(0)()(0)(0)2!!

n n

f f f x f f x x x n ≈++++ ,其误差是余项()n R x .必须注意,泰勒公式只是一种局部性质,因此在用它进行近似计算时,x 不能远离0x ,否则效果会比较差,甚至产生完全错误的结果[8]

.

【例5】 求2

1

x e dx -?的近似值,精确到510-.

分析:因为2

x e -的原函数不存在(即不能用初等函数表达),现用泰勒展开式的方法求

2

1

x e

dx -?的近似值.

解:将2

x e

-进行泰勒展开得2

4221(1)2!!

n

x n x x e

x n -=-+++-+ ,逐项积分得 2

4211

1

1

12

000001(1)2!n

x n

x x e dx dx x dx dx dx n -=-+-+-+????? !

111111(1)32!52n 1n n =-+?-+-?++ !

1111111

1310422161329936075600

=-+-+-+-+

上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知

71

||0.00001575600

R ≤

< 所以

2

1

11111110.7468363104221613299360

x e dx -≈-+-+-+≈? 对与类似的定积分求近似值,由于被积函数的原函数不存在无法完成积分过程,则求

不出积分值,此时利用泰勒展开法将被积函数化成多项式函数,将其多项式逼近函数带入积分得出原函数的近似值,这样既简化了求解过程又得出的结果. 【例6】 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值,并估计误差.

分析:为求e 得近似值先求()x f x e =得10次泰勒展开式,求e 得近似值即求()1f 得近似值,利用()f x 的麦克劳林展开得到()f x 的近似计算式,然后取1x =求出()1f 的近似值,即e 的近似值.

解:在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有

111112!3!10!

e ≈++

+++ 2.718281801= 由于e 的精确度值e 2.718281801= ,可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差,则有如下的估计

11

813

()

6.81011!

11!

x e d x ξ==<

≈? 求解e 为底的指数函数或三角函数在某点的近似值时,利用泰勒展开法求出其原函数的近似式进而求出其在改点出的近似值,该方法简捷明了具有一定的普遍性,可广泛运用与其它的解题过程中.

3.4 利用泰勒公式证明不等式

关于不等式的证明,我们已经学习了多种方法,如利用拉格朗日中值定理来证明不等式,利用函数的凸性来证明不等式,以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性,从而证明不等式的方法,但对于一些特殊的不等式证明可能使用上述证明方法并不能很好的运用,此时不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往能够使证明过程更加方便简捷[9].

【例7】当0x ≥时,证明2311

126

x e x x x ≥+++.

证明:取()2311

126

x f x e x x x =----,00x =,则

()()()()''''''00,00,00,1x f f f f x e ====-

带入泰勒公式,其中3n =,得

()310003!

x e f x x θ-=+++,其中01θ<<

当0x ≥时,2311

126

x e x x x ≥+++

4 结束语

通过大学对数学分析的学习,我们了解了指数函数的多项式展开即泰勒展开,并且我们可以了解到泰勒展开对多种函数均成立,且可应用于多种解题过程中.而本文则主要围绕指数函数的多项式展开及其应用,即应用指数函数展开法求解非线性发展方程、利用指数函数展开法求极限、利用指数函数展开式进行近似计算、利用指数函数证明不等式.并简要介绍了自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数、自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数的概念及性质.这肯定不会是指数函数的多项式展开的全部应用,它肯定还有其他方面的应用,这还有待于我们进一步探索研究.

经过几个月的学习和工作,我终于完成了本篇论文.从开始拿到论文题目到系统的实现,再到论文文章的完成,每走一步对我来说都是新的尝试与挑战,这也是我在大学期间独立完成的最大的项目.虽然我的论文作品并不够成熟,还有很多不足之处,但我可以自豪的说,这里面的每一个文字都是我仔细推敲后得到的.

这次做论文的经历也会使我终身受益,我感受到做论文是非常需要用心去做的一件事情,是真正的自己学习的过程和研究的过程,没有学习就不可能有研究的能力,没有自己的研究,就不会有所突破,那也就不叫论文了.所以希望这次的经历能够在以后的学习中激励我继续进步.

最后,我要特别感谢齐老师,是他在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励,使我能够顺利完成毕业设计,在此表示衷心的感激.

参考文献

[1] 曾德备.关于多项式的定义[J].玉溪师专学报, 1988,02:9-17. [2] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社出版社,2009.

[3] 欧阳明松,徐连民.基于MATLAB 的实验数据拟合[J].南昌工程学院学报,2010,08:24-28. [4] 张和平,王凯.Taylor 多项式逼近函数的计算机模拟[J].高等数学研究,2011,07:113-115. [5] 耿济.自然指数函数展开式的多重分割法(一)—广义双曲函数[J].海南大学学报自然科学

版,1994,12::23-290.

[6] 耿济.自然指数函数展开式的多重分割法(二)—广义三角函数[J].海南大学学报自然科学

版,1995,06:95-104.

[7] 杨昆望.应用指数函数展开法求解非线性发展方程[J].纯粹数学与应用学,2012,02:85-91. [8] 陈传章, 金福林.《数学分析》[M].北京:高等教育出版社,1986.

[9] 王福利.关于指数函数的本性特征[J].佳木斯教育学院学报,1991,01:58-60. [10] Abolowitz MJ, Clarkson PA.Soliton Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering

[M].Cambridge: University Press, 1989.

装 订 线

数学教案-指数函数与对数函数的性质及其应用.doc

数学教案-指数函数与对数函数的性质 及其应用 教案 课题:指数函数与对数函数的性质及其应用 课型:综合课 教学目标:在复习指数函数与对数函数的特性之后,通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点:指数函数与对数函数的特性。 难点:指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法:多媒体授课。 学法指导:借助列表与图像法。 教具:多媒体教学设备。 教学过程: 一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性,加深学生的记忆。 二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。

指数函数与对数函数关系一览表函数 性质 指数函数 y=ax (a>0且a≠1) 对数函数 y=logax(a>0且a≠1) 定义域 实数集r 正实数集(0,﹢∞) 值域 正实数集(0,﹢∞) 实数集r 共同的点 (0,1) (1,0) 单调性 a>1 增函数 a>1 增函数 0<a<1 减函数 0<a<1 减函数

函数特性 a>1 当x>0,y>1 当x>1,y>0 当x<0,0<y<1 当0<x<1, y<0 0<a<1 当x>0, 0<y<1 当x>1, y<0 当x<0,y>1 当0<x<1, y>0 反函数 y=logax(a>0且a≠1)y=ax (a>0且a≠1) 图像 y y=(1/2)x y=2x (0,1)

x y y=log2x (1,0) x y=log1/2x 三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成,观察其特点,并得出y=log2x与y=2x、 y=log1/2x与y=(1/2)x 的图像关 于直线y=x对称,互为反函数关系。所以y=logax与y=ax互为反 函数关系,且y=logax的定义域与y=ax的值域相同,y=logax的 值域与y=ax的定义域相同。 y y=(1/2)x y=2x y=x (0,1) y=log2x (1,0) x y=log1/2x

指数函数的性质及应用

对应学生用书P 110 基础达标 一、选择题 1.若函数y =(1-2a )x 是实数集R 上的增函数,则实数a 的取值范围为( ) A .(1 2,+∞) B .(-∞,0) C .(-∞,1 2 ) D .(-12,1 2 ) 解析:由题意知,此函数为指数函数,且为实数集R 上的增函数,所以底数1-2a >1,解得a <0. 答案:B 2.(2010·温州十校联考)函数y =2x +1 的图象是( ) 解析:函数y =2x 的图象是经过定点(0,1)、在x 轴上方且单调递增的曲线,依据函数图象的画法可得函数y =2x +1 的图象单调递增且过点(0,2),故选A. 答案:A 3.函数y =(12)1- x 的单调递增区间为( ) A .(-∞,+∞) B .(0,+∞) C .(1,+∞) D .(0,1) 解析:定义域为R . 设u =1-x ,y =(1 2 )u . ∵u =1-x 在R 上为减函数, 且y =(1 2)u 在(-∞,+∞)为减函数, ∴y =(12)1- x 在(-∞,+∞)是增函数,∴选A. 答案:A

4.设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(12)- 1.5,则( ) A .y 3>y 1>y 2 B .y 2>y 1>y 3 C .y 1>y 2>y 3 D .y 1>y 3>y 2 解析:y 1=40.9=21.8,y 2=80.48=21.44,y 3=(12)- 1.5=21.5.因为函数y =2x 在R 上是增函数, 且1.8>1.5>1.44,所以y 1>y 3>y 2. 答案:D 5.已知函数f (x )=a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1),则函数y =f (x )的图象是( ) 解析:∵f (x )=a x 在(0,2)内的值域是(a 2,1), ∴f (x )在(0,2)内单调递减, ∴01,-10,函数y =(a 2-8)x 的值恒大于1,则实数a 的取值范围是______________. 解析:因为x >0时,y =(a 2-8)x 的值大于1恒成立,则a 2-8>1,即a 2>9,解得a >3或a <-3.

指数函数及其性质教学设计

一、标题与单位 指向数学学科核心素养的课堂教学设计 ——指数函数及其性质 《数学5 必修A版》(人教版)第二章(2.1.2) 建宁一中肖秀勇 二、教学设计 (一)内容和内容解析 本节课的内容在知识体系上起到承上启下的作用。这是在学生已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上进一步研究指数函数以及指数函数的图像与性质。在实际生活中应用也非常广泛。它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。这节课在授课的时候借助了空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思路。 我根据所教班级的实际情况,我把这部分内容分为两节课来讲。其一,探究图象及其性质;其二,指数函数及其性质的应用。这是第一节课,所以所讲的内容是“探究图象及其性质”。作为常见函数,它一方面可以进一步深化学生对函数的理解,使学生得到较系统的函数知识和研究函的方法,另一方面也为学习对数函数、幂函数以及等比数列的学打习下坚实的基础。 (二)目标和目标解析 1、知识目标:理解并掌握指数函数的定义,熟悉指数函数的图像特点及其性质。能画出指数函数的简图,会判断指数函数的单调性,并能根据指数函数的单调性判断同底幂的大小。 2、能力目标:一方面培养学生运用信息技术解决数学问题的能力;另一方面提高学生观察分析、类比归纳和问题探究的能力。 3、情感目标:通过主动探究,合作交流学习,使学生养成积极思考,勇于探索的思想,同时培养学生的团队合作精神。 在直观想象核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力,增强运用图形和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力,感悟事物的本质,培养创新思维。在教学过程中通过类比,回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法,加深对指数函数的认识,让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要;同时通过本节课的学习,使学生获得研究函数的规律和方法;培养学生主动学习、合作交流的意识。 (三)教学问题诊断分析

指数函数性质应用(一)

指数函数性质应用(一) 教学目标:1、掌握指数函数定义式的应用 2、会求定点,会求指数函数和其它函数综合的定义域,值域 难点,重点:性质的灵活运用 回顾指数函数的定义和性质 定义: 定义域: 值域: 过定点: 活动一:定义式的应用 例1、 若函数2(55)x y a a a =-+?为指数函数,求a 的值 例2、 若指数函数图像过点(2,4),求(2)f 练习:函数223()(1)x x f x a m a +-=+>的图像恒过定点(1,10),求m 活动二:过定点问题 复习平移变换(0)a > ()y f x = ()y f x a =+ ()y f x = ()y f x a =- ()y f x = ()y f x a =+ ()y f x = ()y f x a =- 例3、 函数1x y a +=过定点 思考:函数1x y a +=的图像由x y a =的图像经过怎么样的平移得到的? 例4、 函数12x y a -=+(0,1)a a >≠过定点 思考:函数12x y a -=+(0,1)a a >≠图像由x y a =图像经过怎么样的平移得到的?

例5、 函数3x y m =+的图像不经过第二象限,求m 的取值范围? 思考:如果13x y m +=+呢? 活动三:定义域、值域问题 例6、求下列函数的定义域、值域 (1)y y =153-x (3)y =2x +1 ⑷ 112x x y -+= 例7、设[0,2]x ∈求4425x x y =-?+的值域 例8、求下列函数的值域 ①31 31x x y -=+ ②3131x x y +=-

指数函数与对数函数的实际应用.doc

指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型,会根据数量关系建构、解决函数 模型; 2、掌握互化的方法,在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用; 3、通过实际问题的解决,渗透数学建模的思想,提高学生的数学学习兴趣. 【课前知识整理】 1、指数函数、对数函数的图像和性质: a 1 0 a 1 图 象 ( 1)定义域: 性 ( 2)值域: 质 ( 3)过定点: ( 4)在 ______上是 ________函数. ( 4)在 ______上是 ________函数. 2、指数函数与对数函数的互化: y a x x l o g a y ( a 0,a 1 ) 【基础练习】 、若 9 x 1 ,则 x= ( ) 1 3 A. 1 B. 1 C.2 D.1 2 2 2 2、若函数 h( x) lg( x x 2 1) , h( 1) 1.62 ,则 h( 1) ( ) x 2 A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3 若 log ( x a) log a 2 log x 有解,则 a 的取值范围是 ( ) A. 0 a 1或 a 1 B. a 1 C. a 1 或 1 a D. a 1 4、某工厂某设备价值 50 万元,且每年的综合损耗是 3%,若一直销售不下去,经过多少年其价值降低为 36 万元。(精确到 1 年)

【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题. 例1、一项技术用于节约资源,使谁的使用量逐月减少,若一工厂用这一技术, 则该工厂的用水量是 5000 m3,计划从二月份,每个月的用水量比上一个月都减 少 10%,预计今年六月份的用水量约是多少?(精确到1m3) 活动二指数函数与对数函数模型的互化. 例2、某种储蓄利率为 2.5%,按复利计算,若本金为 30000 元,设存入 x 期后的本金和利息为 y 元. ( 1)写出 y 随 x 变化的函数; ( 2)若使本利和为存入时的 1.5 倍,应该存入多少期? 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数,若牛奶放在 0 摄氏度的冰箱中,保鲜时间是 192 小时,而在 22 摄氏度的厨房中则是 42 小时. (1)写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数关系式; (2)利用( 1)中的结论,指出温度在 30 摄氏度到 16 摄氏度的保鲜时间. 【课后检测】 1、一批设备价值 a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低 b %,则 n 年后这批设备的价值为() C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n A、 na (1-b%) B、a (1- nb %) 2、方程 2 x x2 2 的实数解的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质,每年有10% 的变化,设该放射性物质原来的质量为 a 克.(1)写出它的剩余量 y 随时间 x 变化的函数关系; (2)经过多少年它的原物质是原来的一半.

指数函数及其性质教学设计

指数函数及其性质教案 一、教学目标: 1.通过观察、分析,归纳探究指数函数的概念,并能判断给出的具体函数是否是指数函数. 2. 会画指数函数的图象,从借助计算机画出的多个指数函数的图象中,能观察归纳出指数函数的的有关性质。至少能说出四条。 3.能根据图象或指数函数的性质判断两个具体的同底数的指数幂值的大小,以及具体的不同底数而同指数的两个指数幂值的大小. 4. 在学习的过程中,体会探究指数函数及其性质的过程和方法,如具体到一般的过程、数形结合的方法等. 二、教学重点、难点: 教学重点:指数函数的概念、图象和性质。 < 教学难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程: (一)创设情景: 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y=2x 。 问题2:一根1米长的绳子,第1次剪去绳长的一半,第2次再剪去剩余绳子的一半,剪了x 次后,绳子的剩余长度y与x有怎样的关系学生回答:y与x之间的关系式,可以表示为y=1 x。 () 2 (二)导入新课: 引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。

设计意图:充实实例,突出底数a的取值范围,让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 y=2x、y= 1 () 2 x分别以01的数为底,加深对定义的感性认识,为顺利引出指数函数 定义作铺垫。 · 1.指数函数的定义 一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R。 的含义: 设计意图:为按两种情况得出指数函数性质作铺垫。若学生回答不合适,引导学生用区间表示:(0,1)∪(1,+∞) 问题:指数函数定义中,为什么规定“”如果不这样规定会出现什么情况 设计意图:教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢这是本节的一个难点,为突破难点,采取学生自由讨论的形式,达到互相启发,补充,活跃气氛,激发兴趣的目的。 对于底数的分类,可将问题分解为: (1)若a<0会有什么问题(如,则在实数范围内相应的函数值不存在) ! (2)若a=0会有什么问题(对于,都无意义) (3)若a=1又会怎么样(1x无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定a>0且. 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。 设计意图:认识清楚底数a的特殊规定,才能深刻理解指数函数的定义域是R;并为学习对数函数,认识指数与对数函数关系打基础。 教师还要提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,然后把问题引向深入。 1:判断下列函数哪些是指数函数

北师大版数学高一必修1练习 指数函数及其性质的应用

[A 基础达标] 1.当x ∈[-1,1]时,f (x )=3x -2的值域是( ) A.??? ?-53,1 B .[-1,1] C.????1,53 D .[0,1] 解析:选A.f (x )在R 上是增函数,由f (-1)=-53 ,f (1)=1得当x ∈[-1,1]时,f (x )=3x -2的值域是??? ?-53,1. 2.设f (x )=????12|x |,x ∈R ,那么f (x )是( ) A .奇函数且在(0,+∞)上是增函数 B .偶函数且在(0,+∞)上是增函数 C .奇函数且在(0,+∞)上是减函数 D .偶函数且在(0,+∞)上是减函数 解析:选D.f (x )的定义域为R ,f (-x )=f (x ),所以f (x )为偶函数,排除A 、C ;当x >0时,y =????12x 为减函数,排除B.故选D. 3.函数y =6x 与y =-6-x 的图像( ) A .关于x 轴对称 B .关于y 轴对称 C .关于原点对称 D .关于直线y =x 对称 解析:选C.y =f (x )与y =-f (-x )的图像关于原点对称. 4.函数y =????12x 2-2在下列哪个区间上是减少的( ) A .(-∞,0] B .[0,+∞) C .(-∞,2] D .[2,+∞) 解析:选B.设u =x 2-2,u 在(-∞,0]是减函数,在[0,+∞)上是增加的,y =????12u 是 减函数, 所以y =????12x 2 -2在[0,+∞)上是减少的.

5.下列图像中,二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y = ????b a x 的图像只可能是( ) 解析:选A.由指数函数图像可以看出0

指数函数实际应用(2)金融投资理财应用

课题:指数函数的实际应用(二) ——金融投资理财应用 授课人:马欣 授课时数:1课时 授课班级:经贸14级1班 一、教学目标: 知识与技能:理解利率、年化利率、保险理财、余额宝、P2P理财等金融知识;了解指数型函数模型,会将金融实际问题抽象成数学问题,建立适当模型求解; 过程与方法:从介绍金融投资理财知识开始,通过个人金融行为的实际问题,理解题意、感悟含义,从实际问题中抽象出数学问题,用数学的语言来表达实际问题,结合指数函数知识,解决实际问题,从而体会到数学的实用性。 情感态度与价值观:培养具体与抽象思维之间的转化,在建立模型的过程中,体验“化归”的数学思想,让学生发现生活中的数学,发现数学的工具性在各学科内的渗透。 二、教学重点、难点: 建立适当的函数模型,注意函数知识与之联系。 三、教学流程 (一)知识准备: 百度百科: 1、利率表示一定时期内利息量与本金的比率,通常用百分比表示,按年计算则称为年利率。其计算公式是:利息率= 利息量/ (本金x时间)×100%。加上x100%是为了将数字切换成百分率。 2、年化利率:年化利率是通过产品的固有收益率折现到全年的利率。 3、理财保险:通过保险进行理财,是指通过购买保险对资金进行合理安排和 规划,防范和避免因疾病或灾难而带来的财务困难,同时可以使资产获得理想的保值和增值。

4、余额宝是支付宝打造的余额增值服务。把钱转入余额宝即购买了由天弘基 金提供的余额宝货币基金,可获得收益。余额宝内的资金还能随时用于网购支付,灵活提取。特点:把钱转入余额宝,可以获得一定的收益。支持支付宝账户余额支付、储蓄卡快捷支付(含卡通)的资金转入。不收取任何手续费。通过“余额宝”,用户存留在支付宝的资金不仅能拿到“利息”,而且和银行活期存款利息相比收益更高。 5、P2P理财是指以公司为中介机构,把借贷双方对接起来实现各自的借贷需求。借款方可以是无抵押贷款或是有抵押贷款,而中介一般是收取双方或单方的手续费为盈利目的或者是赚取一定息差为盈利目的的新型理财模式。 (一)银行个人存款 例1:以银行整存整取2年为例,年利率为2.5%,存入1万元,2年后可取出多少钱?利息是多少? 本息:10506 ?元 100002≈ + %) 5.2 1( 利息:10506-10000=506元 小结:在解决应用问题时,其关键是能够正确理解题意,从而建立目标函数,进而将生活实际问题转化为数学问题,同时要结合具体问题的实际意义确定函数的定义域。 (二)余额宝 例2:2015年10月18日,余额宝公布的年化利率为2.975%,如果你在余额宝转入1万元,并且一直不使用这笔金额。 (1)试建立余额宝帐户资金年增长模型的数学解析式; (2)2年后,你在余额宝的资金增长为多少元? 解:(1)x ? = 10000+ .2 y%) 1( 975 (2)当2 x时,10604 = ? = y元 %) + 975 100002≈ .2 1( (三)分红型保险(以平安鑫祥两全保险为例) 例3:某35岁男性,投保平安鑫祥两全保险(分红型),基本保险金额5

(完整版)指数函数及其性质教案

2.1.2指数函数及其性质教学设计 一、教学目标: 知识与技能:理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质,培养学生实际应用函数的能力。 过程与方法:通过观察图象,分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法,培养学生发现、分析、解决问题的能力。 情感态度与价值观:在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 二、教学重点、难点: 教学重点:指数函数的概念、图象和性质。 教学难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。 三、教学过程: (一)创设情景 问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞分裂的个数 y 与 x 之间,构成一个函数关系,能写出 x 与 y 之间的函数关系式吗? 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y =2x 。 问题2: 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的84%.求出这种物质的剩留量随时间(单位:年)变化的函数关系.设最初的质量为1,时间变量用x 表示,剩留量用y 表示。 学生回答: y 与 x 之间的关系式,可以表示为y =0.84x 。 引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。 1.指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1,2=-=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a .

指数函数的性质的应用教案

2.1.2指数函数的性质的应用 【教学目标】 (1)能熟练说出指数函数的性质。 (2)能画出指数型函数的图像,并会求复合函数的性质。 (3)在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用,养成良好的思维习惯。 【教学重难点】 教学重点:指数函数的性质的应用。 教学难点:指数函数的性质的应用。 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1.指数函数的定义,特点是什么? 2.请两位同学画出指数函数的图象(分两种情况画a>1与0 2.函数)1 a y a x. =a ,0 (≠ > 当a>1时,若x>0时,y1, 若x<0时,y1;若x=1时,y1; 当0<a<1时,若x>0时,y1, 若x<0时,y1;若x=1时,y1.

3.函数)1,0(≠>=a a y a x 是 函数(就奇偶性填). ㈢合作探究、精讲精练 探究点一:平移指数函数的图像 例1:画出函数21+=x y 的图像,并根据图像指出它的单调区间. 解析:由函数的解析式可得: 21+=x y =??????? -≥-<++) 1(,) 1(,2)2 1(11 x x x x 其图像分成两部分,一部分是将)2 1 1 1( +=x y (x<-1)的图 像作出,而它的图像可以看作)2 1(x y =的图像沿x轴的负方向平移一个单位而得到的,另一部分是将)1(21 2 ≥=+x x y 的图像作出,而 它的图像可以看作将2x y =的图像沿x轴的负方向平移一个单位而得到的. 解:图像由老师们自己画出 单调递减区间[-∞,-1],单调递增区间[-1,+∞]. 点评:此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图,单调性由图像易知。 变式训练一:已知函数)2 1 (1 +=x y (1)作出其图像;

2021-2022学年高中数学人教A版必修1作业:2.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用

课时分层作业(十六) 指数函数及其性质的 应用 (建议用时:60分钟) 一、选择题 1.三个数a =(-0.3)0,b =0.32,c =20.3的大小关系为( ) A .a <b <c B .a <c <b C .b <a <c D .b <c <a C [∵a =(-0.3)0=1,b =0.32<0.30=1,c =20.3>20=1, ∴c >a >b .故选C.] 2.若? ????122a +13-2a ,∴a >12.] 3.若函数f (x )=3(2a -1)x +3在R 上是减函数,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???-∞,12 B.? ???? 12,+∞ C.? ?? ?? 12,1∪(1,+∞) D.? ?? ??12,1 A [由于底数3∈(1,+∞),所以函数f (x )=3(2a -1)x +3的单调性与y =(2a -1)x +3的单调性相同.因为函数f (x )=3(2a -1)x +3 在R 上是减函数,所以y =(2a -1)x + 3在R 上是减函数,所以2a -1<0,即a <12,从而实数a 的取值范围是? ? ???-∞,12, 选A.] 4.已知函数f (x )=3x -? ?? ??13x ,则f (x )( ) A .是奇函数,且在R 上是增函数

B .是偶函数,且在R 上是增函数 C .是奇函数,且在R 上是减函数 D .是偶函数,且在R 上是减函数 A [因为f (x )=3x -? ????13x ,且定义域为R ,所以f (-x )=3- x -? ????13-x =? ?? ??13x -3x =-???? ?? 3x -? ????13x =-f (x ),即函数f (x )是奇函数. 又y =3x 在R 上是增函数,y =? ????13x 在R 上是减函数,所以f (x )=3x -? ?? ??13x 在R 上是增函数.] 5.函数y =a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y =2ax -1在[0,1]上的最大值是( ) A .6 B .1 C .3 D .32 C [函数y =a x 在[0,1]上是单调的,最大值与最小值都在端点处取到,故有a 0+a 1=3,解得a =2,因此函数y =2ax -1=4x -1在[0,1]上是单调递增函数,故x =1时,y max =3.] 二、填空题 6.已知a = 5-12 ,函数f (x )=a x ,若实数m ,n 满足f (m )>f (n ),则m ,n 的大小关系为________. m f (n ),∴m 1,0.2x >1,又因为0.5x <0.2x ,所以b

指数函数的概念及其性质(含答案)

指数函数的概念及其性质 一、单选题(共11道,每道9分) 1.若函数满足,则的值为( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:指数函数的解析式及运算 2.若函数是指数函数,则的值为( ) A.2 B. C. D.-2 答案:B 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:指数函数的解析式及运算 3.函数的定义域是( ) A.(-∞,2] B.["0,2"] C.(-∞,2) D.(0,2] 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:指数函数的定义域 4.函数的值域是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:指数函数的值域 5.若,则函数的值域是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:指数函数的值域 6.若函数的图象恒过定点(1,2),则b的值

A.0 B.1 C.2 D.3 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:指数函数的图象与性质 7.不论a是何值,函数恒过一定点,这个定点坐标是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:指数函数的图象与性质 8.若函数的图象在第一、三、四象限,则有

A., B., C., D., 答案:D 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:指数函数的图象与性质 9.函数在上是( ) A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:指数函数单调性的应用 10.函数在上的最小值为( ) A.-1 B.0 C.2 D.10 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:指数函数单调性的应用 11.已知函数,,若有,则b的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:指数函数综合题

指数函数综合运用

指数函数综合运用 1.已知集合M ={}? ?? ? ??∈<<=-+Z x x N x ,422 1|,1,11,则M N= . 2.化简: 3 42 14 13 2 2 3)(a b b a ab b a ?= )0,0(>>b a 3.6 .02 .02 .04.0,4.0,2的大小顺序为 . 4.如图中曲线C 1、C 2、C 3、C 4分别是x a y =,x b y =,x c y =, x d y =的图象,则d c b a ,,1,,的 大小关系是 5.函数)1,0(11≠>+=-a a a y x 图象过定点__________ 6.已知函数1 21 )(+-=x a x f 为奇函数,则=a . 7.若函数1 ()21 x f x a =--是定义在(][),11,-∞-+∞上的奇函数,则 ()f x 的值域 是 . 8.不等式28 2144x x --??> ??? 的解集为_____________ 9.函数R x y x x ∈=-,)2 1(22 的单调增区间为__________,值域为__________ x y C 4 C 3 C 2 C 1 O

10.函数???≥<-+-=) 0()0(33)(x a x a x x f x 在R 上递减,则a 的范围是 . 11.函数21 21 x x y -=+的值域为 . 12.已知a 2 1+a 2 1-=3,求下列各式的值. (1)a +a -1; (2)a 2+a -2; (3) 2 12 1232 3- - --a a a a . 13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=12x --,求不等式f (x )<-1 2 的解 集. 14.已知函数()1 21 2-+=x x x f , (1)求函数()x f 的值域;(2)判断函数的奇偶性;(3)判断 函数在) ,(∞+0上的单调性

指数函数与对数函数综合运用

课 题 指数函数与对数函数综合运用 教学目标 熟练掌握指数、对数函数的定义、图像、性质等基本知识,在此基础上加强对其涉及到的问题的解答和理解。 重点、难点 重点:掌握指数函数、对数函数定义、图像和性质。 难点:结合函数定义域值域等知识解答综合问题。 考点及考试要求 指数函数:掌握指数的图像、定义域、值域,熟练运用各个知识的转换。 对数函数:掌握对数的图像、定义域、值域,熟练运用各个知识的转换,可以和指数综合解题。 教学内容 知识点:指数函数与对数函数 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作 ,其中a 叫做对数的 ,N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化:log b a a N b N =?= 2.常用对数:通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数,记作lg N 。 自然对数:通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数,记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 (1)对数恒等式:①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 (2)换底公式:log a N = log log b b N a (3)对数的性质:①负数和零没有对数 ② 1的对数是零,即log 10a = ③底的对数等于1,即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且,那么 (1)log ()a MN = ; (2)log a M N = ; (3)log n a M = ; (4)log n a m M = 。

指数函数与对数函数的实际应用

指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型,会根据数量关系建构、解决函数 模型; 2、掌握互化的方法,在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用; 3、通过实际问题的解决,渗透数学建模的思想,提高学生的数学学习兴趣. 【课前知识整理】 2、指数函数与对数函数的互化: x y a =?y x a l o g =(1,0≠>a a ) 【基础练习】 1、若3 19=-x ,则x= ( ) A.21 B.2 1- C.2 D.1 2、若函数)1lg(2)(22+++=x x x x h ,62.1)1(=-h ,则=-)1(h ( ) A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3若x a a x πππlog log )(log 2+=+有解,则a 的取值范围是 ( ) A.110-<<a C.011<<->a a 或 D. 1

【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题. 例1、一项技术用于节约资源,使谁的使用量逐月减少,若一工厂用这一技术,则该工厂的用水量是5000 m3,计划从二月份,每个月的用水量比上一个月都减少10%,预计今年六月份的用水量约是多少?(精确到1m3) 活动二指数函数与对数函数模型的互化. 例2、某种储蓄利率为2.5%,按复利计算,若本金为30000元,设存入x期后的本金和利息为y元. (1)写出y随x变化的函数; (2)若使本利和为存入时的1.5倍,应该存入多少期? 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数,若牛奶放在0摄氏度的冰箱中,保鲜时间是192小时,而在22摄氏度的厨房中则是42小时. (1)写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数关系式; (2)利用(1)中的结论,指出温度在30摄氏度到16摄氏度的保鲜时间. 【课后检测】 1、一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b %,则n年后这批设备的价值为() A、na (1-b%) B、a (1- nb %) C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n 2、方程2 -+=) 2x x A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质,每年有10%的变化,设该放射性物质原来的质量为a克.(1)写出它的剩余量y随时间x变化的函数关系; (2)经过多少年它的原物质是原来的一半.

指数函数的图像及性质知识要点

第10讲 指数函数的图像及性质 一、学习目标 1.理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点,掌握指数函数的性质 2.在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 掌握指数函数的性质及应用. 3. 逐步渗透数形结合的数学思想方法 二、重点难点 1.教学重点:利用函数的单调性求最值 2.教学难点:函数在给定区间上的最大(小)值 第一部分 知识梳理 讨论:12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称,所以这两个函数是偶函数,对吗? ②利用电脑软件画出11 5,3,(),()35x x x x y y y y ====的函数图 象. 864 2 -2 -4 -6 -8-5510 问题:1:从画出的图象中,你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律. 8 6 4 2 -2-4 -6 -8-5 510 从图上看x y a =(a >1)与x y a =(0<a <1)两函数图象的特征. 问题2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 3x y = 5x y = 13x y ??= ??? 15x y ?? = ??? 0

问题3:指数函数x y a =(a >0且a ≠1),当底数越大时,函数图象间有什么样的关系 图象特征 函数性质 a >1 0<a <1 a >1 0<a <1 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点(0,1) 0a =1 自左向右, 图象逐渐上升 自左向右, 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x >0,x a >1 x >0,x a <1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 x <0,x a <1 x <0,x a >1 5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[,]x a b f x a 上,()=(a >0且a ≠1)值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 (2)若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; (3)对于指数函数()x f x a =(a >0且a ≠1),总有(1);f a = (4)当a >1时,若1x <2x ,则1()f x <2()f x ; 例1:(P 66例7)比较下列各题中的个值的大小 (1)1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.10.8-与0.20.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.9 3.1 1、已知0.70.90.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 2. 比较1 132a a 与的大小(a >0且a ≠0). x y d =的图象,判断,,,a b c d 与1的大小关系;

指数函数实际应用

课题:指数函数实际应用 一、教学目标: 知识与技能:理解生活中出现的“单利”、“复利”的概念;理解指数增长模型和指数减少模型,了解指数型函数模型,会将实际问题抽象成数学问题,建立适当模型求解; 过程与方法:从所熟悉的实际问题开始,通过理解题意、感悟含义,从实际问题中抽象出数学问题,用数学的语言来表达实际问题,结合函数知识,解决实际问题,从而体会到数学的实用性。 情感态度与价值观:培养具体与抽象思维之间的转化,在建立模型的过程中,体验“化归”的数学思想,让学生发现生活中的数学,发现数学的工具性在各学科内的渗透。 二、教学重点、难点: 建立适当的函数模型,注意函数知识与之联系。 三、教学流程 (一)居里夫人发现的放射性元素:钋和镭 例1:某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,剩留的这种物 质是原来的84%. (1)写出该物质剩留量关于经过年数的函数关系式; (2)作出上述函数图像; (3)结合图像,大约经过几年剩留量是原来的一半? 小结:在解决应用问题时,其关键是能够正确理解题意,从而建立目标函 数,进而将生活实际问题转化为数学问题,同时要结合具体问题的实际意义确 定函数的定义域。

(二)世界人口增长状况 例2:统计资料显示,2010年甲乙两个国家的人口情况如下:甲国人口数为75967(千),人口年增长率2.0%;乙国人口数为79832(千),年增长率为1.4%,假设两国的人口增长率不变. (1)试建立这两个国家的人口增长模型的数学解析式; (2)作两国的人口增长曲线图,根据图像你能作出怎样的预测. (三)储蓄问题(单利,复利) 练习:某种储蓄按复利计算,若本金为a元,每期利率为r,设存期是x,本利和(本金加上利息)为y元。已知:1176 0225 .15= .1 (1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式。 (2)如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和。(四)归纳总结: ①指数增长模型 设原有产值为N,平均增长率为p,则经过时间x后的总产值y可以用x 1(+ =表示; N P y) ②指数减少模型 设原有产值为N,平均减少率为p,则经过时间x后的总产值y可以用x 1(- =表示。 N y) P (五)作业:4.2(2)

课时分层作业26 指数函数的性质的应用

课时分层作业(二十六) 指数函数的性质的 应用 (建议用时:60分钟) [合格基础练] 一、选择题 1.设a =40.9 ,b =8 0.48 ,c =? ?? ? ?12-1.5 ,则( ) A .c >a >b B .b >a >c C .a >b >c D .a >c >b D [a =40.9=21.8,b =80.48=21.44,c =? ????12- 1.5=21.5,因为函数y =2x 在R 上 是增函数,且1.8>1.5>1.44,所以21.8>21.5>21.44,即a >c >b .] 2.若? ????122a +13-2a ,∴a >12.] 3.若函数f (x )=3(2a -1)x +3在R 上是减函数,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???-∞,12 B.? ???? 12,+∞ C.? ?? ?? 12,1∪(1,+∞) D.? ?? ??12,1 A [由于底数3∈(1,+∞),所以函数f (x )=3(2a -1)x +3 的单调性与y =(2a - 1)x +3的单调性相同.因为函数f (x )=3(2a -1)x +3在R 上是减函数,所以y =(2a -1)x +3在R 上是减函数,所以2a -1<0,即a <1 2,从而实数a 的取值范围是? ? ? ??-∞,12,选A.] 4.已知函数f (x )=3x -? ?? ?? 13x ,则f (x )( )

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