吉林省长春市十一中2015届高三上学期第二次阶段性测试 数学文试题

吉林省长春市十一中2015届高三上学期第二次阶段性测试 数学文

试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．若复数i a a z )1(12-+-= i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a （ ） A.1± B. 1- C. 0 D. 1 2.设)2,1(=，),2(k =，若⊥+)2(，则实数k 的值为（ ）

A. 2-

B. 4-

C. 6-

D. 8-

3.在等差数列{}n a 中， 1a ，2015a 为方程016102

=+-x x 的两根，则=++201410082a a a （ ） A ．10

B ．15

C ．20

D ．40

4．如图，正三棱111C B A ABC -的正视图是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图的

面积为（ ）

A ．16

B ．32

C ．34

D ．38

5.在锐角ABC ?中，“B A >”是“B A tan tan >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 在等比数列{}n a 中，若21=a ，052=+a a ，{}n a 的n 项和为n S ，则=+20162015S S （ ）

A ．4032

B ．2

C ．2-

D ．4030-

7.在边长为1的等边ABC ?中，E D ,分别在边BC 与AC 上，且DC BD =，EC AE =2，则=?BE AD （ ） A. 21-

B. 31-

C. 41-

D. 6

1

- 8.已知曲线1ln 342+-=x x y 的一条切线的斜率为2

1

，则切点的横坐标为（ ） A. 3

B. 2

C. 1

D.

2

1

9.将函数??

?

?

?+

=46sin πx y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

，再向右平移

8

π

个单位，所得函数图像的一个对称中心是（ ）

A

B

C 1A

1B 1C

主视图

A.??

?

??0,16π B. ??

?

??0,9π C. ??

?

??0,4π D. ??

?

??0,2π 10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离为c 35

（c 为双

曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（ ） A ．

25 B ．2

3

C ． 253

D ．53

11．函数)R (2

2∈-=x x y x

的图象大致为（ ）

12.已知函数??

?>≤+=0

,

log 0,

1)(2x x x x x f ，若方程a x f =)(有四个不同的解1x ，2x ，3x ，

4x ，且4321x x x x <<<，则4

3211

1)(x x x x +

+

+的取值范围是（ ） A. ??????21,0 B. ???

??21,0 C. ???

???21,0 D. [)1,0

二、填空题（每小题5分，共20分.）

13.已知向量)2,1(-=，)3,2(=，若+=λ与-=共线，则实数λ 的值是 . 14．已知52

131)(2

3++=

x kx x f ，且4)1()2(4//≤-≤-f f ，则正整数k 为 .

15．下列命题中，正确的是 （1）曲线x y ln =在点)0,1(处的切线方程是1-=x y ； （2）函数216x y -=的值域是[]4,0；

（3）已知)cos 1,1(),cos 1,(sin θθθ-=+=b a ，其中)2

3,

(π

πθ∈，则b a ⊥； （4）O 是ABC ?所在平面上一定点，动点P 满足：)(AC AB OA OP ++=λ，

()+∞∈,0λ，则P 点的轨迹一定通过ABC ?的重心；

16.数列{}n a 中，已知11=a ，32=a ，且2+n a 是1+n n a a 的个位数字，n S 是{}n a 的前n 项和，则=--2124a a S .

三、解答题 （解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分） 在

ABC

?中，内角

C

B A ,,所对的边分别为

c

b a ,,，若

C A C A B t a n

t a n )t a n (t a n s i n =+. （1）求证：c b a ,,成等比数列；（2）若2,1==c a ，求ABC ?的面积S .

18.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，点)cos ,2

1

(2

θP 在角α的终边上，点)1,(sin 2-θQ 在角β的终边上，

且2

1-

=?OQ OP ． （1）求θ2cos 的值；（2）求)sin(

βα+的值．

19.（本题满分12分）已知函数x

a x f =)(的图象过点)21

,1(，且点),

1(2n

a n n -)(*

N n ∈在函数x

a x f =)(的图象上． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n n a a

b 2

1

1-

=+，若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：5

BD 中点，点E 是棱1AA 上任意一点.

（1）证明：1EC BD ⊥； （2）若,,2,21EC OE AE AB ⊥==求1AA 的长

21. （本题满分12分）

A 1

A B

C

D 1

D 1C 1

B E

O

(20题图)

已知椭圆：)0(122

22>>=+b a b

y a x 上任意一点到两焦点21,F F 距离之和为32，离心率

为

3

3

，动点P 在直线3=x 上，过2F 作直线2PF 的垂线l ，设l 交椭圆于Q 点． （1）求椭圆E 的标准方程；

（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值； 22. （本题满分12分）

设函数x x x f ln )2()(2+=，R a ax x x g ∈+=,2)(2 （1）证明：)(x f 在),1(+∞上是增函数；

（2）设)()()(x g x f x F -=，当[)+∞∈,1x 时，0)(≥x F 恒成立，求a 的取值范围.

数 学 试 题 （文） 答 案

一选择题

二填空题

13、1-=λ 14、1 15、（1）（2）（3）（4） 16、100 三解答题

17. 【答案】解：

（1）由已知C A C A B tan tan )tan (tan sin =+.得：C

A C

A C C A A

B cos cos sin sin )cos sin cos sin (sin =+，----2分

即：C A C A B sin sin )sin(sin =+，即：C A B sin sin sin 2

=---------4分 由正弦定理：ac b =2

，所以：c b a ,,成等比数列.------------5分 （2）由（1）知：ac b =2

，2,1==c a ，所以：2=

b ，------------6分

由余弦定理：432122412cos 222=??-+=-+=ac b c a B ，所以：4

7

sin =B -------------8分

所以：4

7

472121sin 21=???==

B ac S --------10分

18.【答案】解：

（1）因为21-=?OQ OP ，所以2

1cos sin 212

2-=-θθ，------------2分 即：21cos )cos 1(2122-=--θθ，所以3

2cos 2

=θ，------------4分

所以311cos 22cos 2

=-=θθ．------------6分

（2）因为32cos 2=θ，所以31sin 2

=θ，所以)32,21(P ，)1,3

1(-Q ，

又点)32,21(P 在角α的终边上，所以5

3

cos ,54sin ==αα ---------8分

同理 10

10

cos ,10103sin =

-

=ββ ---------10分 所以：10

10

)10103(53101054sin cos cos sin )sin(-

=-?+?=+=+βαβαβα--------12分

19. 【答案】解： （1）由条件知：21=

a ，所以：x x f 2

1

)(=，-----------2分 )(x f 过点),

1(2n a n n -，所以：122

1-=n n n a --------------4分 所以：12

2

-=n n n a -------------5分

（2）n

n n n n n n b 21

222)1(22+=-+=-----------7分 =n S n n n n 2

1)12(21)12(217215213132++-++?+?+?

-

=n S 2

1

+?+?32215213112

1

)12(21)12(21)32(+-++-+-+n n n n n n -------------10分

所以：525

25<+-=n

n n S -----------12分

20（1）证明：连结AC ,11C A ,由底面是正方形知BD ⊥AC …………1分

∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ∴1AA ⊥BD 由于1AA ∩AC =A ，所以BD ⊥平面C C AA 11…………4分 再由C C AA EC 111平面?知BD ⊥1EC …………6分 （2）设1AA 的长为x ，连结1OC , 在AOE Rt ?中，2=

AE ,2=AO ,∴2=OE

11C EA Rt ?中,21-=x E A ，2211=C A

∴(

)()2

2

2

1222

+-

=x EC

1OCC Rt ?中, 2=OC ,x CC =1，()2

22

12+

=x OC

又∵OE ⊥EC ∴2

12

12OC EC OE =+ ∴4+(

)2

2-

x +()

2

22=22+x ，∴23=x

故1AA 的长为23 21. 【答案】解：

（1）由条件得：???

?

???+====2

22333

22c b a a c e a ，解得：2,1,3===b c a ，

所以椭圆E ：12

322=+y x ---------------5分 （2）设),(),,3(110y x Q y P

Q F PF 22⊥ ，所以：022=?Q F PF ，即：0)1(2101=+-y y x ------------7分

又因为：1

2

101211011133x x y y y x y y x y K K OQ

PQ --=--?=，且)31(2212

1x y -=，--------10分 代入化简得：3

2

-=OQ PQ K K ---------12分

22、解：（1）()x

x x x x f 2

ln 2+

+='

∵1>x ，∴0ln >x ，∴02

ln 2>++x

x x x ∴()x f 在()+∞,1……4分

（2）由02ln )2()()()(22≥--+=-=ax x x x x g x f x F 得：

x x x x a 222ln )2(-+≤在[)+∞∈,1x 上恒成立，------------8分

设x x x x x G 2

22ln )2()(-+=

则2

2)

1)(ln 2()(x

x x x G --='， 所以)(x g 在)2,1(递增，),2(e 递减，),(+∞e 递增------------9分 所以)(x G 的最小值为)(),1(e G G 中较小的，022

)1()(>+-=

-e e

G e G ， 所以：)1()(G e G >，即：)(x G 在[)+∞∈,1x 的最小值为2)1(-=G ，--------11分 只需2-≤a -------12分