复杂网络研究概述++小世界++无标度
复杂网络及其在国内研究进展的综述
第17卷第4期2009年10月 系统科学学报 JOURNAL OF SYSTEMS SCIENCE Vo1.17No.4 oct ，2009 复杂网络及其在国内研究进展的综述 刘建香 （华东理工大学商学院上海200237） 摘要：从复杂网络模型的演化入手，在简要介绍复杂网络统计特征的基础上，对国内关于复杂网络理论及其应用的研究现状从两方面进行综述：一是对国外复杂网络理论及应用研究的介绍，包括复杂网络理论研究进展的总体概括、复杂网络动力学行为以及基于复杂网络理论的应用研究介绍；二是国内根植于本土的复杂网络的研究，包括复杂网络的演化模型，复杂网络拓扑性质、动力学行为，以及复杂网络理论的应用研究等。并结合复杂网络的主要研究内容,对今后的研究重点进行了分析。 关键词：复杂网络；演化；拓扑；动力学行为中图分类号：N941 文献标识码：A 文章编号：1005-6408（2009）04-0031-07 收稿日期：2009-01-05 作者简介：刘建香（1974—），女，华东理工大学商学院讲师，研究方向：系统工程。E-mail ：jxliu@https://www.360docs.net/doc/6c16778770.html, 0引言 系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分结合的具有特定功能的有机整体[1]。而网络是由节点和连线所组成的。如果用节点表示系统的各个组成部分即系统的元素，两节点之间的连线表示系统元素之间的相互作用，那么网络就为研究系统提供了一种新 的描述方式[2、3] 。复杂网络作为大量真实复杂系统的高度抽象[4、5]，近年来成为国际学术界一个新兴的研究热 点，随着复杂网络逐渐引起国内学术界的关注，国内已有学者开始这方面的研究，其中有学者对国外的研究进展情况给出了有价值的文献综述，而方锦清[6]也从局域小世界模型、含权网络与交通流驱动的机制、混合择优模型、动力学行为的同步与控制、广义的同步等方面对国内的研究进展进行了简要概括，但是到目前为止还没有系统介绍国内关于复杂网络理论及应用研究现状的综述文献。本文从复杂网络模型的演化入手，在简要介绍复杂网络统计特征的基础上，对国内研究现状进行综述，希望对国内关于复杂网络的研究起到进一步的推动作用。 1.复杂网络模型的发展演化 网络的一种最简单的情况就是规则网络 [7] ，它 是指系统各元素之间的关系可以用一些规则的结构来表示，也就是说网络中任意两个节点之间的联系遵循既定的规则。但是对于大规模网络而言由于其复杂性并不能完全用规则网络来表示。20世纪50年代末，Erdos 和Renyi 提出了一种完全随机的网络模型———随机网络（ER 随机网络），它指在由N 个节点构成的图中以概率p 随机连接任意两个节点而成的网络，即两个节点之间连边与否不再是确定的事，而是由概率p 决定。或简单地说，在由N 个节点构成的图中，可以存在条边，从中随机连接M 条边所构成的网络就叫随机网络。如果选择M =p ，这两种构造随机网络模型的方法就可以联系起来。规则网络和随机网络是两种极端的情况，对于大量真实的网络系统而言，它们既不是规则网络也不是随机网络，而是介于两者之间。1998年，Watts 和Strogatz [8]提出了WS 网络模型，通过以概率p 切断规则网络中原始的边并选择新的端点重新连接 31--
小世界网络
4.2 小世界网络 4.2.1 小世界网络简介 1998年, Watts和Strogatz 提出了小世界网络这一概念，并建立了WS模型。实证结果表明，大多数的真实网络都具有小世界特性（较小的最短路径）和聚类特性（较大的聚类系数）。传统的规则最近邻耦合网络具有高聚类的特性，但并不具有小世界特性；而随机网络具有小世界特性但却没有高聚类特性。因此这两种传统的网络模型都不能很好的来表示实际的真实网络。Watts和Strogatz建立的小世界网络模型就介于这两种网络之间，同时具有小世界特性和聚类特性，可以很好的来表示真实网络。 4.2.2 小世界模型构造算法 1、从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2节点相连，K是偶数。 2、随机化重连：以概率p随机地从新连接网络中的每个边，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。其中规定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。 在上述模型中，p=0对应于完全规则网络，p=1则对应于完全随机网络，通过调节p 的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡。 相应程序代码（使用Matlab实现） ws_net.m （位于“代码”文件夹内） function ws_net() disp('小世界网络模型') N=input('请输入网络节点数'); K=input('请输入与节点左右相邻的K/2的节点数'); p=input('请输入随机重连的概率'); angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N; x=100*cos(angle); y=100*sin(angle); plot(x,y,'r.','Markersize',30); hold on; %生成最近邻耦合网络； A=zeros(N); disp(A); for i=1:N if i+K<=N for j=i+1:i+K A(i,j)=1; end else for j=i+1:N A(i,j)=1; end for j=1:((i+K)-N) A(i,j)=1; end
复杂网络研究概述,入门介绍
复杂网络研究概述 周涛柏文洁汪秉宏刘之景严钢 中国科学技术大学，近代物理系，安徽合肥：230026 摘要：近年来，真实网络中小世界效应和无标度特性的发现激起了物理学界对复杂网路的研究热潮。复杂网络区别于以前广泛研究的规则网络和随机网络最重要的统计特征是什么？物理学家研究复杂网络的终极问题是什么？物理过程以及相关的物理现象对拓扑结构是否敏感？物理学家进入这一研究领域的原因和意义何在？复杂网络研究领域将来可能会向着什么方向发展?本文将围绕上述问题，从整体上概述复杂网络的研究进展。 关键词：复杂网络小世界无标度拓扑性质 A short review of complex networks Zhou Tao Bai Wen-Jie Wang Bing-Hong? Liu Zhi-Jing Yan Gang Department of Modern Physics, University of Science and Technology of China, Hefei, 230026 Abstract: In recent years, the discoveries of small-world effect and scale-free property in real-life networks have attracted a lot of interest of physicists. Which are the most important statistical characteristics for complex networks that known from regular networks and random networks? What is the ultimate goal of the study of complex networks? Are physical processes sensitive to the topological structure of networks? What are the reason and meaning that physicist come into the research field on complex networks? What are the directions for future research? In the present paper, we concentrate on those questions above and give a general review about complex networks. Keyword: complex networks, small-world, scale-free, topological characters 1 引言 自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述。一个典型的网络是由许多节点与连接两个节点之间的一些边组成的，其中节点用来代表真实系统中不同的个体，而边则用来表示个体间的关系，往往是两个节点之间具有某种特定的关系则连一条边，反之则不连边，有边相连的两个节点在网络中被看作是相邻的。例如，神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络[1]；计算机网络可以看作是自主工作的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络[2]。类似的还有电力网络[1]、社会关系网络[1,3-4]、交通网络[5]等等。 数学家和物理学家在考虑网络的时候，往往只关心节点之间有没有边相连，至于节点到底在什么位置，边是长还是短，是弯曲还是平直，有没有相交等等都是他们不在意的。在这里，我们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构。那么，什么样的拓扑结构比较适合用来描述真实的系统呢？两百多年来，对这个问题的研究经历了三个阶段。在最初的一百多年里，科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网，它看起来像是格子体恤衫上的花纹；又或者最近邻环网，它总是会让你想到一群手牵着手围着篝火跳圆圈舞的姑娘。到了二十世纪五十年代末，数学家们想出了一种新的构造网
WS小世界网络模型的程序代码(matlab)
程序仿真实例 例一、请输入最近邻耦合网络中节点的总数N:30 请输入最近邻耦合网络中每个节点的邻居数K:4 请输入随机化重连的概率p:0.9 例二、请输入最近邻耦合网络中节点的总数N:40 请输入最近邻耦合网络中每个节点的邻居数K:2 请输入随机化重连的概率p:0.7
Matlab的m文件代码如下： N=input('请输入最近邻耦合网络中节点的总数N:'); K=input('请输入最近邻耦合网络中每个节点的邻居数K:'); if K>floor(N-1)|mod(K,2)~=0; disp('参数输入错误：K值必须是小于网络节点总数且为偶数的整数'); return ; end angle=0:2*pi./N:2*pi-2*pi/N; angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N; x=100*sin(angle); y=100*cos(angle); plot(x,y,'ro','MarkerEdgeColor','g','MarkerFaceColor','r','MarkerSize',8); hold on; A=zeros(N); for i=1:N for j=i+1:i+K/2 jj=j; if j>N jj=mod(j,N); end A(i,jj)=1; A(jj,i)=1; end end %WS小世界网络的代码 p=input('请输入随机化重连的概率p:'); for i=1:N for j=i+1:i+K/2
jj=j; if j>N jj=mod(j,N); end p1=rand(1,1); if p1
课题：WS小世界网络模型构造
课题：WS小世界网络模型构造 姓名赵训 学号 2 班级计算机实验班
一、WS 小世界网络简介 1998年, Watts和Strogatz 提出了小世界网络这一概念,并建立了WS模型。实证结果表明,大多数的真实网络都具有小世界特性(较小的最短路径) 和聚类特性(较大的聚类系数) 。传统的规则最近邻耦合网络具有高聚类的特性,但并不具有小世界特性;而ER 随机网络具有小世界特性但却没有高聚类特性。因此这两种传统的网络模型都不能很好的来表示实际的真实网络。 Watts 和Strogatz建立的WS小世界网络模型就介于这两种网络之间,同时具有小世界特性和聚类特性,可以很好的来表示真实网络。 二、WS小世界模型构造算法 1、从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络，它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2节点相连，K是偶数。 2、随机化重连：以概率p随机地从新连接网络中的每个边，即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选择的一个节点。其中规定，任意两个不同的节点之间至多只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。 在上述模型中，p=0对应于完全规则网络，p=1则对应于完全随机网络，通过调节p的值就可以控制从完全规则网络到完全随机网络的过渡，如图a所示。 图a 相应程序代码（使用Matlab实现） ws_net.m （位于“代码”文件夹内） function ws_net() disp('WS小世界网络模型') N=input('请输入网络节点数'); K=input('请输入与节点左右相邻的K/2的节点数'); p=input('请输入随机重连的概率'); angle=0:2*pi/N:2*pi-2*pi/N; x=100*cos(angle); y=100*sin(angle); plot(x,y,'r.','Markersize',30); hold on; %生成最近邻耦合网络； A=zeros(N);
小世界网络的研究现状与展望
小世界网络的研究现状与展望 !"#$%#&#’()#&#*%+",-(.*(-/’*’01/%#+*&(/2("#,3*445/%406#(7/%8 黄萍张许杰刘刚 （华东理工大学商学院管理科学与工程系上海%$$$&’） 摘要近年来，真实网络中小世界效应和无标度特性的发现激起了学术界对复杂网络的研究热潮，基于小世界网络的知识管理研究也得到了一定发展。在对小世界网络的研究背景、基础概念以及各个领域的研究进行简单综述的基础上，提出了其今后可能的发展趋势。 关键词复杂网络小世界网络流言传播无标度网络 现实世界中许许多多的复杂网络都是具有小世界或无尺度特征的复杂网络：从生物体中的大脑结构到各种新陈代谢网络，从()*+,)+*到---，从大型电力网络到全球交通网络，从科研合作网络到各种政治、经济、社会关系网络等等，数不胜数。各种网络的研究目前在世界上受到了高度的重视，形成了日益高涨的热潮，已成为一个极其重要而且富有挑战性的前沿科研方向。 !小世界网络研究背景及其基本概念 !.!复杂网络拓扑结构人们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质，相应的结构叫做网络的拓扑结构［%］。网络拓扑结构经过以下&个发展阶段：在最初的!$$多年里，科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以用一些规则的结构表示。到了!"世纪/$年代末，数学家们想出了一种新的构造网络的方法，即两个节点之间连边与否不再是根据一个概率决定的［!］，这样生成的网络叫做随机网络（01)234），在接下来的5$年里它一直被认为是描述真实系统最好的网络。直到最近几年，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络。这样的一些网络被科学家们叫做复杂网络，对于复杂网络的研究标志着第三阶段的到来［5%］。 复杂网络拓扑结构的不确定性是复杂网络研究的基本问题。%$世纪中叶，6,237和0+)89突破传统图论，用随机图描绘了复杂网络拓扑。近年来研究发现，很多实际的复杂网络既不完全规则也不完全随机，而是介于完全规则和完全随机这两个极端之间，既具有类似规则网络的较大集聚系数，又具有类似于随机网络的较小平均路径长度，这就是小世界网络。人际关系网络中的“六度分离”就是小世界网络的经典例子。 大多数早期文献中都有关于六度分离的描述，!":’年，哈佛大学社会心理学家斯坦利?米尔格拉姆（;*1)<+8=9<> ?,14）作了这样的一个实验，他要求&$$多人发信把他的一封信寄到某市一个“目标”人。于是形成了发信人的链条，链上 的每个成员都力图把这封信寄给他们的朋友、家庭成员、商业同事或偶然认识的人，以便尽快到达目标人。实验结果是，一共:$个链条最终到达目标人，链条中平均步骤大约为:。人们把这个结果说成“六度分离”并广为传播［&!!!］。 应该注意到三种概念在当代对复杂网络的思考中占有重要地位。1.小世界的概念。它以简单的措辞描述了大多数网络尽管规模很大但是任意两个节点间却有一条相当短的路径的事实。@.集群即集聚度（A 复杂网络理论及其研究现状 复杂网络理论及其研究现状 【摘要】简单介绍了蓬勃发展的复杂网络研究新领域，特别是其中最具代表性的是随机网络、小世界网络和无尺度网络模型；从复杂网络的统计特性、复杂网络的演化模型及复杂网络在社会关系研究中的应用三个方面对其研究现状进行了阐述。 【关键词】复杂网络无标度小世界统计特性演化模型 一、引言 20世纪末，以互联网为代表的信息技术的迅速发展使人类社会步入了网络时代。从大型的电力网络到全球交通网络，从Internet 到WWW，从人类大脑神经到各种新陈代谢网络，从科研合作网络到国际贸易网络等，可以说，人类生活在一个充满着各种各样的复杂网络世界中。 在现实社会中，许多真实的系统都可以用网络的来表示。如万维网（WWW网路）可以看作是网页之间通过超级链接构成的网络；网络可以看成由不同的PC通过光缆或双绞线连接构成的网络；基因调控网络可以看作是不同的基因通过调控与被调控关系构成的网络；科学家合作网络可以看成是由不同科学家的合作关系构成的网络。复杂网络研究正渗透到数理科学、生物科学和工程科学等不同的领域，对复杂网络的定性与定量特征的科学理解，已成为网络时代研究中一个极其重要的挑战性课题，甚至被称为“网络的新科学”。 二、复杂网络的研究现状 复杂网络是近年来国内外学者研究的一个热点问题。传统的对网络的研究最早可以追溯到18世纪伟大数学家欧拉提出的著名的“Konigsberg七桥问题”。随后两百多年中，各国的数学家们一直致力于对简单的规则网络和随机网络进行抽象的数学研究。规则网络过于理想化而无法表示现实中网络的复杂性，在20世纪60年代由Erdos和Renyi（1960）提出了随机网络。进入20世纪90年代，人们发现现实世界中绝大多数的网络既不是完全规则，也不是完全随机 复杂网络理论及其应用研究概述 刘涛 ，陈忠，余哲 （上海交通大学安泰管理学院，上海市华山路1954号287＃信箱，200030） liuzhang@https://www.360docs.net/doc/6c16778770.html, 摘 要：本文从统计特性、结构模型和网络上的动力学行为三个层次简述复杂网络相关研究，并着重介绍了网络上的传播行为，认为它代表了复杂网络在社会经济系统中的重要应用。 关键词：复杂网络、小世界、无标度网络、疾病传播 1. 引言 结构决定功能是系统科学的基本观点[1]。如果我们将系统内部的各个元素作为节点，元素之间的关系视为连接，那么系统就构成了一个网络，例如神经系统可以看作大量神经细胞通过神经纤维相互连接形成的网络、计算机网络可以看作是计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互连接形成的网络，类似的还有电力网络、社会关系网络、交通网络等等[2][3]。强调系统的结构并从结构角度分析系统的功能正是复杂网络的研究思路，所不同的是这些抽象出来的真实网络的拓扑结构性质不同于以前研究的网络，且节点众多，故称其为复杂网络（complex networks ）。近年来，大量关于复杂网络的文章发表在Science 、Nature 、PRL 、PNAS 等国际一流的刊物上，从一个侧面反映了复杂网络已经成为国际学术界一个新兴的研究热点。 复杂网络的研究可以简单概括为三方面密切相关却又依次深入的内容：通过实证方法度量网络的统计性质；构建相应的网络模型来理解这些统计性质何以如此；在已知网络结构特征及其形成规则的基础上，预测网络系统的行为[3]。 2. 复杂网络的统计性质 用网络的观点描述客观世界起源于1736年德国数学家Eular 解决哥尼斯堡七桥问题。复杂网络研究的不同之处在于首先从统计角度考察网络中大规模节点及其连接之间的性质，这些性质的不同意味着不同的网络内部结构，而网络内部结构的不同导致系统功能有所差异。所以，对这些统计性质的描述和理解是我们进行复杂网络相关研究的第一步，下面简述之。 2.1 平均路径长度（The average path length） 网络研究中，一般定义两节点间的距离为连接两者的最短路径的边的数目；网络的直径为任意两点间的最大距离；网络的平均路径长度则是所有节点对之间距离的平均值，它描述了网络中节点间的分离程度，即网络有多小。复杂网络研究中一个重要的发现是绝大多数大规模真实网络的平均路径长度比想象的小得多，称之为“小世界效应”l [2]。这一提法来源 资助项目：国家自然科学基金70401019，高等学校博士点科研基金2002048020。 作者简介： - 1 - 小世界网络及其性质 复杂网络是多主体系统的一个子集，对它的研究是计算经济学的一个重要研究领域。而贸易网络又是复杂网络在社会科学领域的一个子集，因此要讨论贸易网络，首先要关注关于复杂网络的一般性研究。在本章中，我们先介绍复杂网络研究的一个重要成果，即小世界模型，这为后面讨论贸易网络做准备。因为小世界模型只是一个纯粹的数学问题，并不包含某一学科的特殊含义，因此要首先讨论贸易网络的经济学意义，这是从一个简单的分工协调问题开始的。之后，我们进一步的追问，贸易网络是否也具有小世界这样一个普遍存在的性质。 1、多主体系统中的复杂网络 我们生活在各种各样的网络之中。在与同学、朋友、老师交往的时候，我们处于一个人际关系网络中；在我们使用各种电器的时候，我们处于一个电力网络中，很多发电厂、变电所、输电线构成了这个网络；我们去银行取钱的时候，便处于一个银行网络之中，而银行又可以与各种投资者，贷款人联系，这又是一个更大的网络。复杂网络是最近几年新兴起来的一个研究方向，如图 3.1 所示，复杂网络是多主体系统的一个子集，它里面还包括了社会关系网络（社会学）、神经网络（生物学）、计算机网络（计算机科学）、贸易网络（经济学）等等诸多的网络类别。复杂网络是多主体系统研究的一个重要分支，对社会网络、贸易网络的分析是计算经济学（ACE）的一个主要领域。 ACE 在社会科学角度对复杂网络的研究主要关注以下几个方面：（1）市场或 人际关系网络的拓扑结构究竟是什么样的。（2）这些网络结构的微观基础是什么，即如何从个体的行为出发，通过自下而上的建模涌现出这样的网络。（3）社会科学领域的网络与其它领域的网络能否找到一致的共性特征。社会科学可 关于小世界网络的文献综述 一、小世界网络概念方面的研究 Watts和Strogatz开创性的提出了小世界网络并给出了WS小世界网络模型。小世界网络的主要特征就是具有比较小的平均路径长度和比较大的聚类系数。所谓网络的平均路径长度，是指网络中两个节点之间最短路径的平均值。聚类系数被用来描述网络的局部特征，它表示网络中两个节点通过各自相邻节点连接在一起的可能性，以及衡量网络中是否存在相对稳定的子系统。规则网络具有大的特征路径长度和高聚类系数，随机网络则有短的特征路径长度和比较小的聚类系数[1]。 Guare于1967年在《今日心理学》杂志上提出了“六度分离”(Six Degrees of Separation) 理论，即“小世界现象”。该理论认为，在社交网络中存在短路径，即人们只要知道自己认识的人，就能很快地把信息传递到任何远方目标[2]。 .Stanleymilgram的邮件试验，后来的“培根试验”，以及1998年《纽约时代周刊》的关于莱温斯基的讽刺性游戏，都表现出：似乎在庞大的网络中各要素之间的间隔实际很“近”，科学家们把这种现象称为小世界效应[3]。研究发现，世界上任意两个人可以平均通过6个人联系在一起，人们称此现象为“六度分离” [2]。 二、小世界网络模型方面的研究 W-S模型定义了两个特征值：a.特征路径的平均长度L。它是指能使网络中各个结点相连的最少边长度的平均数，也就是上面说的小世界网络平均距离。b.集团化系数C。网络结点倾向于结成各种小的集团,它描述网络局部聚类特征。 稍后，Newman和WattS对上述的WS模型作了少许改动，提出了另一个相近但较好的(NW)小世界网络模型[5]，其做法是不去断开原来环形初始网络的任何一条边、而只是在随机选取的节点对之间增加一条边(这时，新连接的边很可能是长程边)。这一模烈比WS模型容易分析，因为它在形成过程中不会出现孤立的竹点簇。 其次，还有Monasson小世界网络模型[6]以及一些其它的变形模型包括BW 小世界网络模型等等[7]。 三、小世界网络应用方面的研究 ①、在生物学领域的应用 Wdt怡和StrogatZ证明疾病全球传播所需的时间和特征路径长度非常相似，只要在传播网络中加人一些捷径就可以使传播速度明显加快。运用病毒在小世界网络中的传播性质可推出信息在一个平均分离度为6的网络中传播要比在平均分离度为一百或一百万的网络中快得多[8]。 许多知名的生物网络表现出了小世界网络节点间的关连性。一般的小世界网络模型,也利用了网络的无向和无标度特性来展示网络中各节点之间的联系。这种网络模型能模拟一些神经网络的重要性质，例如，染色体结合的方向和标度。 [9][10]。 有学者研究了基于神经网络的有小世界结构的联想记忆模型。这一网络检索某一存储的模型的有效性展示了混乱的有限价值的阶段转换。更加常规化的网络很难恢复这个模型，而对混合的不对称的状态更有效。[11]。 ②、在博弈论方面的应用 小世界网络简介及MATLAB建模 1.简介 小世界网络存在于数学、物理学和社会学中，是一种数学图的模型。在这种图中大部份的结点不与彼此邻接，但大部份结点可以通过任一其它节点经少数几步就可以产生联系。若将一个小世界网络中的点代表一个人，而联机代表人与人之间是相互认识的，则这小世界网络可以反映陌生人通过彼此共同认识的人而起来产生联系关系的小世界现象。 在日常生活中，有时你会发现，某些你觉得与你隔得很“遥远”的人，其实与你“很近”。小世界网络就是对这种现象的数学描述。用数学中图论的语言来说，小世界网络就是一个由大量顶点构成的图，其中任意两点之间的平均路径长度比顶点数量小得多。除了社会人际网络以外，小世界网络的例子在生物学、物理学、计算机科学等领域也有出现。许多经验中的图可以用小世界网络来作为模型。因特网、公路交通网、神经网络都呈现小世界网络的特征。 小世界网络最早是由邓肯·瓦茨（Duncan Watts）和斯蒂文·斯特罗加茨（Steven Strogatz）在1998年引进的，将高聚合系数和低平均路径长度作为特征，提出了一种新的网络模型，一般就称作瓦茨-斯特罗加茨模型（WS模型），这也是最典型的小世界网络的模型。 由于WS小世界模型构造算法中的随机化过程有可能破坏网络的连通性，纽曼(Newman)和瓦茨(Watts)提出了NW小世界网络模型，该模型是通过用“随机化加边”模式来取代WS小世界网络模型构造中的“随机化重连”。 在考虑网络特征的时候，使用两个特征来衡量网络：特征路径长度和聚合系数。 特征路径长度（characteristic path length）：在网络中，任选两个节点，连同这两个节点的最少边数，定义为这两个节点的路径长度，网络中所有节点对的路径长度的平均值，定义为网络的特征路径长度。这是网络的全局特征。 聚合系数(clustering coefficient)：假设某个节点有k个边，则这k条边连接的节点之间最多可能存在的边的个数为k(k-1)/2，用实际存在的边数除以最多可能存在的边数得到的分数值，定义为这个节点的聚合系数。所有节点的聚合系数的均值定义为网络的聚合系数。聚合系数是网络的局部特征，反映了相邻两个人之间朋友圈子的重合度，即该节点的朋友之间也是朋友的程度。 我们可以发现规则网络具有很高的聚合系数，大世界（large world，意思是特征路径长度很大），其特征路径长度随着n(网络中节点的数量)线性增长，而随机网络聚合系数很小，小世界（small world，意思是特征路径长度小），其特征路径长度随着log(n)增长中说明，在从规则网络向随机网络转换的过程中，实际上特征路径长度和聚合系数都会下降，到变成随机网络的时候，减少到最少。但这并不是说大的聚合系数一定伴随着大的路径长度，而小的路径长度伴随着小的聚合系数，小世界网络就具有大的聚合系数，而特征路径长度很小。试验表明，少量的short cut的建立能够迅速减少特征路径长度，而聚合系数变化却不大，因为某一个short cut的建立，不仅影响到所连接的节点的特征路径长度，而且影响到他们邻居的路径长度，而对整个网络的聚合系数影响不大。这样，少量的short cut的建立就能使整个网络不知不觉地变成小世界网络。 实际的社会、生态、等网络都是小世界网络，在这样的系统里，信息传递速度快，并且少量改变几个连接，就可以剧烈地改变网络的性能，如对已存在的网络进行调整， 小世界复杂网络模型研究 摘要：复杂网络在工程技术、社会、政治、医药、经济、管理领域都有着潜在、广泛的应用。通过高级计算机网络课程学习，本文介绍了复杂网络研究历史应用，理论描述方法及阐述对几种网络模型的理解。 1复杂网络的发展及研究意义 1.1复杂网络的发展历程 现实世界中的许多系统都可以用复杂网络来描述，如社会网络中的科研合作网、信息网络中的万维网、电力网、航空网，生物网络中的代谢网与蛋白质网络。 由于现实世界网络的规模大，节点间相互作用复杂，其拓扑结构基本上未知或未曾探索。两百多年来，人们对描述真实系统拓扑结构的研究经历了三个阶段。在最初的一百多年里，科学家们认为真实系统要素之间的关系可以用一些规则的结构表示，例如二维平面上的欧几里德格网；从20世纪50年代末到90年代末，无明确设计原则的大规模网络主要用简单而易于被多数人接受的随机网络来描述，随机图的思想主宰复杂网络研究达四十年之久；直到最近几年，科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随机网络，而是具有与前两者皆不同的统计特性的网络，其中最有影响的是小世界网络和无尺度网络。这两种网络的发现，掀起了复杂网络的研究热潮。 2复杂网络的基本概念 2.1网络的定义 自随机图理论提出至今，在复杂网络领域提出了许多概念和术语。网络（Network）在数学上以图（Graph）来表示，图的研究最早起源于18世纪瑞士著名数学家Euler的哥尼斯堡七桥问题。复杂网络可以用图论的语言和符号精确简洁地加以描述。图论不仅为数学家和物理学家提供了描述网络的语言和研究的平台，而且其结论和技巧已经被广泛地移植到复杂网络的研究中。 网络的节点和边组成的集合。节点为系统元素，边为元素间的互相作用（关系）。若用图的方式表示网络，则可以将一个具体网络可抽象为一个由点集V和 复杂网络链路预测的研究现状及展望 吕琳媛 前言：做链路预测这个方向有一年多的时间了，有一些收获和体会。一直想写一个综述进行总结，总是希望这个综述尽可能的包括更多更全面的信息，但是新的思想和结果源源不断的涌现，所谓的综述也就无限期的搁置了下来。前不久刚刚和伟平合作发表了一篇关于利用网络局部随机游走进行链路预测的文章，借此文发表之动力，总结一下链路预测这个方向的研究进展以及展望。希望该文能对那些正奋战在这个方向上和希望在此领域有所建树的科研工作者有所帮助和启迪。 （本文中所提到的具体的技术方法以及实验结果将在另一篇中文综述中详细介绍。） 1．链路预测及其研究意义 网络中的链路预测(Link Prediction)是指如何通过已知的网络节点以及网络结构等信息预测网络中尚未产生连边的两个节点之间产生链接的可能性[1]。这种预测既包含了对未知链接（exist yet unknown links）的预测也包含了对未来链接（future links）的预测。该问题的研究在理论和应用两个方面都具有重要的意义和价值。 近年来，随着网络科学的快速发展，其理论上的成果为链路预测搭建了一个研究的平台，使得链路预测的研究与网络的结构与演化紧密联系起来。因此，对于预测的结果更能够从理论的角度进行解释。这也是我们相比计算机专业的人研究链路预测的优势所在。与此同时，链路预测的研究也可以从理论上帮助我们认识复杂网络演化的机制。针对同一个或者同一类网络，很多模型都提供了可能的网络演化机制[2, 3]。由于刻画网络结构特征的统计量非常多，很难比较不同的机制孰优孰劣。链路预测机制有望为演化网络提供一个简单统一且较为公平的比较平台，从而大大推动复杂网络演化模型的理论研究。另外，如何刻画网络中节点的相似性也是一个重大的理论问题[4]，这个问题和网络聚类等应用息息相关[5]。类似地，相似性的度量指标数不胜数，只有能够快速准确地评估某种相似性定义是否能够很好刻画一个给定网络节点间的关系，才能进一步研究网络特征对相似性指标选择的影响。在这个方面，链路预测可以起到核心技术的作用。链路预测问题本身也带来了有趣且有重要价值的理论问题，也就是通过构造网络系综并藉此利用最大似然估计的方法进行链路预测的可能性和可行性研究。这方面的研究对于链路预测本身以及复杂网络研究的理论基础的建立和完善，可以起到推动和借鉴的作用。 链路预测研究不仅具有如上所述的理论价值，其更重要的意义还是体现在应用方面。很多生物网络，例如蛋白质相互作用网络和新陈代谢网络，节点之间是否存在链接，或者说是否存在相互作用关系，是需要通过大量实验结果进行推断的。我们已知的实验结果仅仅揭示了巨大网络的冰山一角。仅以蛋白质相互作用网络为例，酵母菌蛋白质之间80%的相互作用不为我们所知[6]，而对于人类自身，我们知道的仅有可怜的0.3%[7,8]。由于揭示这类网络中隐而未现的链接需要耗费高额的实验成本。那么如果能够事先在已知网络结构的基础上设计出足够精确的链路预测算法，再利用预测的结果指导试验，就有可能提高实验的成功率从而降低试验成本并加快揭开这类网络真实面目的步伐！实际上，社会网络分析中也会遇到数据不全的问题，这时候链路预测同样可以作为准确分析社会网络结构的有力的辅助工具[9,10]。除了帮助分析数据缺失的网络，链路预测算法还可以用于分析演化网络，即对未来 小世界网络小世界网络简介及简介及MATLAB 建模 1.简介 小世界网络存在于数学、物理学和社会学中，是一种数学图的模型。在这种图中大部份的结点不与彼此邻接，但大部份结点可以通过任一其它节点经少数几步就可以产生联系。若将一个小世界网络中的点代表一个人，而联机代表人与人之间是相互认识的，则这小世界网络可以反映陌生人通过彼此共同认识的人而起来产生联系关系的小世界现象。 在日常生活中，有时你会发现，某些你觉得与你隔得很“遥远”的人，其实与你“很近”。小世界网络就是对这种现象的数学描述。用数学中图论的语言来说，小世界网络就是一个由大量顶点构成的图，其中任意两点之间的平均路径长度比顶点数量小得多。除了社会人际网络以外，小世界网络的例子在生物学、物理学、计算机科学等领域也有出现。许多经验中的图可以用小世界网络来作为模型。因特网、公路交通网、神经网络都呈现小世界网络的特征。 小世界网络最早是由邓肯·瓦茨（Duncan Watts ）和斯蒂文·斯特罗加茨（Steven Strogatz ）在1998年引进的，将高聚合系数和低平均路径长度作为特征，提出了一种新的网络模型，一般就称作瓦茨-斯特罗加茨模型（WS 模型），这也是最典型的小世界网络的模型。 由于WS 小世界模型构造算法中的随机化过程有可能破坏网络的连通性，纽曼(Newman)和瓦茨(Watts)提出了NW 小世界网络模型，该模型是通过用“随机化加边”模式来取代WS 小世界网络模型构造中的“随机化重连”。 在考虑网络特征的时候，使用两个特征来衡量网络： 特征路径长度和聚合系数。 特征路径长度（characteristic path length ）：在网络中，任选两个节点，连同这两个节点的最少边数，定义为这两个节点的路径长度，网络中所有节点对的路径长度的平均值，定义为网络的特征路径长度。这是网络的全局特征。 聚合系数(clustering coefficient)：假设某个节点有k 个边，则这k 条边连接的节点之间最多可能存在的边的个数为k(k-1)/2，用实际存在的边数除以最多可能存在的边数得到的分数值，定义为这个节点的聚合系数。所有节点的聚合系数的均值定义为网络的聚合系数。聚合系数是网络的局部特征，反映了相邻两个人之间朋友圈子的重合度，即该节点的朋友之间也是朋友的程度。 我们可以发现规则网络具有很高的聚合系数，大世界（large world ，意思是特征路径长度很大），其特征路径长度随着n(网络中节点的数量)线性增长，而随机网络聚合系数很小，小世界（small world ，意思是特征路径长度小），其特征路径长度随着log(n)增长中说明，在从规则网络向随机网络转换的过程中，实际上特征路径长度和聚合系数都会下降，到变成随机网络的时候，减少到最少。但这并不是说大的聚合系数一定伴随着大的路径长度，而小的路径长度伴随着小的聚合系数，小世界网络就具有大的聚合系数，而特征路径长度很小。试验表明，少量的short cut 的建立能够迅速减少特征路径长度，而聚合系数变化却不大，因为某一个short cut 的建立，不仅影响到所连接的节点的特征路径长度，而且影响到他们邻居的路径长度，而对整个网络的聚合系数影响不大。这样，少量的short cut 的建立就能使整个网络不知不觉地变成小世界网络。 实际的社会、生态、等网络都是小世界网络，在这样的系统里，信息传递速度快，并且少量改变几个连接，就可以剧烈地改变网络的性能，如对已存在的网络进行调整， 复杂网络度分布的研究 (1) 1. 复杂网络的研究对象........................................................................................ 1 2. 复杂网络的研究内容........................................................................................ 1 3. 复杂网络中的三个概念.................................................................................... 1 4. 复杂网络的几何量............................................................................................ 1 5. 社会网络与其它网络的判别指标.................................................................... 2 6. 随机网络－ER 模型 ......................................................................................... 2 7. 随机网络的研究宗旨........................................................................................ 2 8. 子图出现的临界概率........................................................................................ 3 9. 子图临界概率存在的证明................................................................................ 3 10. BA 模型与度的幂指分布 ................................................................................ 4 11. BA 模型构造的网络度符合幂指形式的证明 (4) 复杂网络度分布的研究 － 复杂网络度分布的研究 河北工大硕士论文 陈德伟 指导教师：何文辰 1. 复杂网络的研究对象 用来描述真实网络统计特征的物理量主要有度分布、平均路径长度、聚集系数、相关系数等，都是力求更加详细、精确的描述复杂的真实网络。寻找网络各种宏观统计性质的微观生成机制一直都是网络研究中一项极具意义而且也是极具挑战性的工作。现在人们已经对复杂网络的小世界性质和无标度特征的微观生成机制有了一定的认识，但是度的相关性、团体性质、分层结构等更为复杂的宏观统计性质的微观生成机制的探索还处于起步阶段。对不同结构复杂网络的鲁棒性和脆弱性(vulnerability)的研究也是一个具有广泛应用价值的课题。 2. 复杂网络的研究内容 目前，复杂网络研究的内容主要包括：网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模型性质，以及网络的结构稳定性，网络的演化动力学机制等问题。 3. 复杂网络中的三个概念 三种概念在当代对复杂网络的思考中占有重要地位。第一，小世界概念；第二，集群即集聚系数的概念；第三，幂律的度分布概念。 4. 复杂网络的几何量 直径：网络的直径是指任意两个顶点之间最短路径的最长长度(包含的边数)。 集聚系数：对于网络中的任意一个节点i 来说，其集聚系数i C 表示与i 相连的节点中任意两点之间相互连接的概率。它可定义如下：如果与节点i 相连的点的数目为i k ，则在这i k 个节点之间最多存在2/)1(-k k 条边，而实际存在的可能只有i E 条边，则得到i 的集聚系数i C 为 ) 1(2-= i i i i k k E C .复杂网络理论及其研究现状
复杂网络及其应用
小世界网络及其性质
小世界网络综述
小世界网络简介及MATLAB建模
小世界复杂网络模型研究
复杂网络链路预测研究现状与展望
看看挺有用的(小世界网络简介及MATLAB建模)
复杂网络度分布的研究