有限元法的应用现状研究

有限元法的应用现状研究3

于亚婷,杜平安,王振伟

(电子科技大学机械电子工程学院,四川成都　610054)

摘要:有限元法(FEM:Finite Element Method)作为一种最有效的数值方法,在工程实际中得到了广泛、深入的应用。以应用为主线,首先回顾了FEM的发展历程,然后从FEM的应用过程和应用领域两个方面详细地论述了FEM应用的有关问题,并例举了相关的应用实例。最后总结了FEM的国内外应用现状及研究热点问题。

关键词:有限元法;应用过程;应用领域;现状

中图分类号:TP391.7 文献标识码:A 文章编号:1001-2354(2005)03-0006-04

1　F EM的发展历程

FEM作为求解数学物理问题的一种数值方法,已经历了50余年的发展。20世纪50年代,它作为处理固体力学问题的方法出现。1943年,Courant第一次提出单元概念[1]。1945～1955年,Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大进展[1]。1956年,Turner、Clough等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题[1]。1960年,Clough首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法”[1],并描绘为“有限元法= Rayleigh Ritz法+分片函数”。几乎与此同时,我国数学家冯康也独立提出了类似方法。

FEM理论研究的重大进展,引起了数学界的高度重视。自20世纪60年代以来,人们加强了对FEM数学基础的研究。如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。

FEM理论研究成果为其应用奠定了基础,计算机技术的发展为其提供了条件。20世纪70年代以来,相继出现了一些通用的有限元分析(FEA:Finite Element Analysis)系统,如SA P、ASKA、NASTRAN等,这些FEA系统可进行航空航天领域的结构强度、刚度分析,从而推动了FEM在工程中的实际应用。

20世纪80年代以来,随着工程工作站的出现和广泛应用,原来运行于大中型机上的FEA系统得以在其上运行,同时也出现了一批通用的FEA系统,如ANSYS-PC、N ISA,SU PER SA P等[3]。20世纪90年代以来,随着微机性能的显著提高,大批FEA系统纷纷向微机移植,出现了基于Windows的微机版FEA系统。

经过半个多世纪的发展,FEM已从弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题;从静力问题扩展到动力问题、稳定问题和波动问题;从线性问题扩展到非线性问题;从固体力学领域扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他连续介质领域;从单一物理场计算扩展到多物理场的耦合计算。它经历了从低级到高级、从简单到复杂的发展过程,目前已成为工程计算最有效的方法之一。

2　F EM应用的有关问题

2.1　FEM的应用过程

FEM应用于实际问题须经历以下过程,如图1所示

。

图1　FEM的应用过程

(1)问题的数学描述。对问题客观规律的数学描述(通常是微分方程及边界条件)是建立有限元方程的前提。单元特性矩阵和整体有限元方程都是基于数学模型建立的。常见的弹性力学基本方程、运动方程、热传导方程等都是对客观现象的数学描述。

(2)有限元方程的建立。利用变分原理,通过离散、单元分析、整体分析等过程,建立数学模型的有限元方程,它通常是一组易于用数值方法求解的代数方程。

(3)算法研究。有限元方程的计算量庞大,须有有效的算法来保证计算效率和精度,同时考虑对计算条件的要求。如求解大型线性方程组的带宽法、波前法,求解大型特征值问题的分块Lanczos法等。

第22卷第3期2005年3月

机　械　设　计

J OU RNAL OF MACHIN E DESIGN

Vol.22　No.3

Mar. 2005

3收稿日期:2004-07-22;修订日期:2004-09-02

基金项目:四川省学术与技术带头人培养基金资助项目(2200104)

作者简介:于亚婷(1979-),女,陕西人,电子科技大学博士研究生,研究方向:CAD/CAM/CA E有限元法应用等。

(4)程序开发。数值计算依赖于计算机,因此求解算法需

用相应的计算程序来实现。

(5)有限元建模。对应于FEA 系统的前处理(Pre -pro 2cessing )。它为数值计算提供所有原始输入数据(节点数据、单元数据和边界条件数据)。因为模型形式直接决定计算精度和规模,且建模所需时间约占整个FEA 的70%左右,所以建模质量和效率是FEA 的关键。图2列出了有限元建模中的关键技术

。

图2　有限元建模的关键技术

(6)数值计算。对应于FEA 系统的计算(Solving )。它由

一系列计算程序组成,计算程序又称求解器(solver )。每个求解器完成特定类型的计算因此求解器越多,系统功能越强。

(7)结果处理。对应于FEA 系统的后处理(Post -pro 2

cessing )。它对计算结果进行处理、显示、运算和列表等。

若按照(1)～(7)过程,问题得以解决,则FEM 应用结束;反之,则需根据求解结果提出改进方案,循环执行(5)～(7)过程,直至问题解决或得到最佳设计。

对于一个全新的问题,必须从第一步开始。而对已知的问题,可从第(5)步开始,即直接利用已有的FEA 系统,建立有限元模型。在实际应用中,绝大多数问题都属于第二类问题。

2.2　FEM 的应用领域

FEM 最早应用于固体力学领域,但由于其解决问题的有

效性和实用性,很快推广应用于温度场、电磁场、流场、声场等连续介质领域。目前FEM 的应用领域主要包括:

2.2.1　静力分析

包括线性非线性静力分析。线性静力分析研究线弹性结构的变形和应力,它是工程结构分析和设计中最基本的方法。非线性结构静力分析主要研究外载作用下引起的非线性响应,其中非线性来源主要是材料非线性、几何非线性和边界条件非线性3大类。

2.2.2　动力分析

主要包括以下分析类型:

(1)模态分析。用于求解多自由度系统的模态参数。图3为计算得到的计算机主板的前三阶振型[4]。

(2)瞬态响应分析。求解在时域内结构承受随时间变化的载荷和速度作用时的动力响应。

(3)简谐响应分析。对简谐激励结构在其平衡位置的振动进行分析。

(4)频谱响应分析和随机振动分析。用于分析结构受已知频率激励时的最大响应。

(5)屈曲和失稳分析。分析考察结构的极限承载能力,研究结构总体或局部的稳定性,获得结构失稳形态和失稳路径。

(6)自动接触分析。用于接触边界定义和摩擦分析

。

(a )第一阶振型 (b )第二阶振型 (c )第三阶振型

图3　计算机主板前三阶模态振型

2.2.3　失效和破坏分析

包括断裂分析(线弹性断裂分析和弹塑性断裂分析)、裂纹

萌生与扩展分析、跌落分析和疲劳失效分析。图4是对电视机

进行的跌落分析

[5]

。

图4　电视机跌落分析

2.2.4　热传导分析

包括稳态热传导分析、瞬态热传导分析、热辐射、强迫对流

及温度的耦合分析。图5是一个铸造过程中的热传导分析,目的是追踪固化过程中铸件和模具的温度分布。

图5　固化过程中铸件和模具的温度分布图

2.2.5　电磁场分析

它用于对电磁场中电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分

布、磁力线分布、能量损失等物理量进行分析。图6为E 型电机的磁场分布和吸力特性图。

(a )磁场分布图 (b )吸力特性图

图6　E 型电机电磁场分析

2.2.6　声场分析

它用来研究在含有流体介质中声波的传播问题,或分析浸在流体中的固体结构的动态特性。2.2.7　流体分析

研究流体速度、压强、密度变化规律和粘滞流体的运动规律及粘滞流体中运动物体所受阻力及其它热力学性质。图7是离心泵叶轮叶片表面相对速度和压力变化曲线。

(a )相对速度变化曲线 (b )压力变化曲线

图7　离心泵叶片流场分析

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2005年3月于亚婷,等:有限元法的应用现状研究

2.2.8　耦合场分析

考虑两种或两种以上物理场的交叉作用和相互影响(耦合)。图8

是双压电晶片梁在结构场和电场共同作用下的变形。

图8　双压电晶片梁的压电分析

3　F EM 发展现状和研究热点

3.1　FEM 发展现状

随着FEM 研究的深入,过去不能解决或能解决但求解精

度不高的问题,都得到了新的解决方案。

传统的FEM 假设:分析域是无限的;材料是同质的,甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的;对边界条件简化处理。但实际问题往往是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以确定等。

为解决这类问题,美国的heofanis Strouboulis &Lin Zhang 等人提出用GFEM (G eneralized Finite Element Meth 2od )解决分析域内含有大量孔洞特征的问题[6];比利时的

Nguyen Dang Hung 和越南的Tran Thanh Ngoc 提出用HSM (the Hybrid metis Singular element of Membrane plate )解决实

际开裂问题(结构尺寸有限,形状任意,边界条件复杂,材料特

性任意)[7]。

传统的有限元断裂力学技术(the finite element f racture mechanics techniques )在解决零件中出现裂缝这类问题时,需要在曲线型裂纹前缘附近的区域细分网格。这样无论是从网格生成的角度看还是从求解的角度看,都需要花费大量的时间。而且在循环加载的情况下产生的次裂纹将会使分析变得更加复杂。为此,美国的Daniel S Pipkinsay &Satya N Atlurib 提出了FEAM (Finite Element Alternating Method )。该方法在求解应力集中因子时,可在不牺牲精度的情况下节省时间,用它分析具有椭圆裂纹或部分椭圆裂纹的结构是很有用的[8]。

此外,西班牙的Onate E 和波兰的Rojek J 将DEM (Dis 2crete Element Method )和FEM 结合解决地质力学中的动态分析问题[9]

;瑞典的Birgersson F 和英国的Finnveden S 针对FEM 在频域中的应用提出了SFEM (Spectral Finite Element Method )[10]。

在FEM 应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时,FEM 也从分析比较向优化设计方向发展[11]。印度Mahanty 博士用ANSYS 对拖拉机前桥进行优化设计,结果不但降低了约40%的前桥自重,还避免了在制造过程中的大量焊接工艺,降低了生产成本[12]。

FEM 在国内的应用也十分广泛。20世纪80年代我国大连理工大学工程力学研究所开发成功了国内第一个通用有限元程序系统J IGFEX ,并在1983年开发出了它的微机版J IG 2FEX -W

[13]。目前,FEM 已渗透到工程分析的各个领域,从大

型的三峡工程[14]到微米级器件[15]都采用FEM 进行分析。它

在我国经济发展中拥有广阔的发展前景。3.2　FEM 的研究热点

FEM 的研究热点目前表现在两个方面:超收敛应力计算

和有限元模型修正技术。3.2.1　超收敛应力计算

在超收敛应力计算方面,陈传淼教授是中国学派的代表,他的“有限元超收敛构造理论”成果属于国际领先水平[16]。超收敛应力(及位移)计算是以FEM 为代表的各种数值方法争相追求的目标,所以它一直是FEM 研究的难点与热点问题。3.2.2　有限元模型修正技术[17]

有限元模型修正技术(或试验/分析模型相关)是要充分利用结构试验和FEA 两者的优点,用少量的结构试验数据对有限元模型进行修正,获得比较准确的有限元模型。

4　结束语

FEM 是20世纪50年代发展起来的一种数值计算方法,

随着有限元理论研究的逐步深入和计算机技术的飞速发展,FEM 得到了广泛的工程应用。

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机　械　设　计第22卷第3期

混合离散变量优化设计的复合遗传算法3

郭惠昕,张龙庭

(湖南文理学院机械工程系,湖南常德　415003)

摘要:目前,对混合离散变量的遗传算法研究较少,而且现有算法对设计变量的处理不能很好地满足工程设计要求。为此,提出了一种面向设计、制造的设计变量工程化处理方法,能合理地处理优化设计中混合离散变量的取值问题。引入了混沌移民算子对基本遗传算法进行了改进,并开发了混合离散变量优化的复合遗传算法程序L SGA。工程设计实例表明,该算法对优化设计问题的特性无特殊要求,具有较好的普适性,而且程序运行可靠,全局收敛能力强。

关键词:混合离散变量;遗传算法;混沌移民;程序设计;优化设计

文献分类号:T H112 文献标识码:A 文章编号:1001-2354(2005)03-0009-03

工程优化设计中经常会遇到非连续变量问题,它们是整形变量(如齿轮的齿数)或离散变量(如齿轮的模数)。研究整形变量、离散变量与连续变量共存的混合离散变量优化设计问题,具有普遍的工程实际意义;离散变量优化是数学规划和运筹学中最有意义,但也是较困难的领域之一。工程混合离散变量优化设计问题,可描述为如下的非线性约束优化数学模型: min f(X),X=(X m s,X p c)∈R n,X m s∈R m s,(n=m+p)

s.t.　g i(X)≤0,　(i=1,2,…,l)

h j(X)=0,　(j=1,2,…,k)

X L≤X≤UL

(1)

式中:X为n维实空间R n中的设计向量,X L和UL为X的上下限向量; n维设计向量X由m维离散设计向量X m s和p维连续型设计向量X p c组成,R m s为X m s取值的m维离散实空间。

解决工程问题中的混合离散变量优化设计问题,需要与一般处理连续变量优化设计技术不完全一样的理论和方法。目前,解决约束非线性离散变量的优化设计研究成果有[1,2]:

(1)以连续变量优化方法为基础的方法,如圆整法、拟离散法、离散型罚函数法;

(2)离散变量优化方法,如启发式组合优化方法、整数梯度法、离散复合形法;

(3)其它离散变量优化设计方法,如非线性隐枚举法、分支定界法、离散型正交网格法等。

在一定程度上,这些成果为工程离散变量的优化设计提供了行之有效的方法。但是,这些算法普遍存在一些缺陷:

(1)算法对优化设计问题的依赖性强,即某种算法对具有某些特性的数学模型可能行之有效,而对另一类优化问题可能不适应,甚至完全无效。这表明,现有离散变量优化设计方法的普适性差;

(2)有些算法是在基于数学规划理论的连续变量优化设计算法基础上发展起来的,因而这些算法的最优解通常无法摆脱局部最优解,即得到全局最优解的能力差;

(3)由于机械制造精度的限制,工程优化中的连续变量并不能达到诸如C语言、MA TL AB语言中的浮点实数、双精度实数的精度。但现有算法侧重于优化设计的理论研究,连续型设计变量的处理方法与工程实际存在差异,故相应优化设计程序的工程实用性不理想。

因此,现有的离散变量优化设计方法在工程优化设计中的推广应用受到限制。为此,设计了面向工程设计、制造实际的混合离散变量优化设计的复合遗传算法,设计计算实例表明,该算法与所研制的程序通用性强,工程实用性好。

合分析[J].岩土工程学报,2003(4):445-448.

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R esearch on the current application status of f inite element method

YU Ya2ting,DU Ping2an,WANG Zhen2w ei

(School of Mechatronics Engineering,University of Elec2 tronics Science and Technology,Chengdu610054,China) Abstract:The finite element method(FEM),to be regar2ded as a kind of most effective numerical method,is being ap2 plied extensively and thoroughly in engineering practice.Taking the application as a main line,the development course of FEM has been reviewed,and then a detailed discussion was made on the relevant application issues of FEM f rom two aspects of ap2 plication process and application domain,and some interrelated living examples of application were enumerated.Finally,hot topics of FEM on current application status and research in home and abroad were summarized.

K ey w ords:finite element method(FEM);application process;application domain

Fig8Tab0Ref17“Jixie Sheji”4517

第22卷第3期2005年3月

机　械　设　计

J OU RNAL OF MACHIN E DESIGN

Vol.22　No.3

Mar. 2005

3收稿日期:2004-06-18;修订日期:2004-10-11

基金项目:湖南省教育厅科学研究重点资助项目(03A031);湖南省自然科学基金资助项目(03JJ Y4047)

作者简介:郭惠昕(1962-),男,湖南桃源人,湖南文理学院机械工程系教授,研究方向:优化设计、模糊设计、稳健设计。