江西省吉安市第一中学2014-2015学年高二数学上学期期中考试试题-理

江西省吉安市第一中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理

1. 直线0132=++y x 与直线074=++my x 平行，则它们之间的距离为（ ）

A. 4

B. 13132

C. 13265

D. 10207

2. 一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（ ）

A.

37

B.

47

C.

33

D.

57

3. 命题“

04,2

<-+∈?a ax x R x ”为假命题，是“016≤≤-a ”的（ ） A. 充要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件

D. 既不充分也不必要条件

4. 在正方体1111D C B A A B C D

-中，M 、N 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则>

A. 91

B. 594

C. 592

D. 32

5. A 、B 两点相距cm 4，且A 、B 与平面α的距离分别为cm 3和cm 1，则AB 与平面α所成角的大小是（ ） A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 30°或90°

6. 某圆的圆心在直线x y 2=上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为（ ）

A.

()()20422

2=-+-y x

B.

()()20242

2=-+-y x

C.

()()()()204220422

2

2

2=+++=-+-y x y x 或 D.

()()()()202420242

2

22=+++=-+-y x y x 或

7. 正三棱锥ABC P -中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=PB=PC=a ，点M 是AB 的中点，一只蚂蚁沿锥体侧面由点M 运动到点C ，最短路线长是（ ）

A. a 25

1+

B. a 23

C. a 22

2+

D.

a 210

8. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

9. 设点

()

1,0x M ，若在圆

1:2

2=+y x O 上存在点N ，使得∠OMN=30°，则0x 的取值范围是（ ）

A. [

]

3,

3-

B. ?

????

?-21,21 C. []2,2-

D. ??

???

?-33,33

12. 如图，正方体1111D C B A ABCD -，则下列四个命题：

①p 在直线1BC 上运动时，三棱锥PC D A 1-的体积不变；

②p 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③p 在直线1BC 上运动时，二面角C AD P --1的大小不变；

④M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线 其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第II 卷（非选择题）

二、填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）

13. 若“[]5,2∈x 或{}41|><∈x x x x 或”是假命题，则x 的取值范围是__________。（最后结果用区间表示）

14. 以棱长为1的正方体的各个面的中心为顶点的几何体的体积为__________。

15. 已知直线01=--y x 及直线=--5y x 0截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是__________。

16. 下列四个命题：①圆

()()4122

2=+++y x 与 直线02=-y x 相交，所得弦长为2；

②直线kx y =与圆

()()1sin cos 2

2

=-+-θθy x 恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点

都在同一球面上，则该球的表面积为π108；④若棱长为2的正四面体的顶点都在同一球面

上，则该球的体积为π23。其中，正确命题的序号为__________。（写出所有正确命的序号）

三、解答题：（共6大题，10+12+12+12+12+12=70分）

17. 已知R k ∈且1≠k ，直线12:1+=

x k y l 和k x k y l --=11:2。

（1）求直线21l l ∥的充分条件；

（2）当[]2,1-∈x 时，直线1l 恒在x 轴上方，求k 的取值范围。

18. 如图，在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点。

求证：（1）直线EF ∥面ACD ；

（2）平面EFC ⊥面BCD 。

19. 设命题p ：函数()??? ??

+-=16lg 2a x ax x f 的定义域为R ；命题

a q x

x <-93:对一切的实数x 恒成立，如果命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围。

20. 圆M 的圆心在直线x y 2-=上，且与直线1=+y x 相切于点A （2，-1）， （1）试求圆M 的方程；

（2）从点P （3，1）发出的光线经直线x y =反射后可以照在圆M 上，试求发出光线所

在直线的斜率取值范围。

21. 如图，在七面体ABCDMN 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD=2，NB=1，MB 与ND 交于P 点。

（1）在棱AB 上找一点Q ，使QP ∥平面AMD ，并给出证明；

（2）求平面BNC 与平面MNC 所成锐二面角的余弦值。

22. 如图，在直角坐标系xOy 中，圆

4:2

2=+y x O 与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直

线AM ，AN 分别与圆O 交于M ，N 两点。

（1）若

21

,2-

==AN AM k k ，求△AMN 的面积；

（2）过点P （5-33，）作圆O 的两条切线，切点分别为E ，F ，求PF PE ?； （3）若

2

-=?AN AM k k ，求证：直线MN 过定点。

参考答案：

第I卷（选择题）

1. C

2. D

3. A

4. B

5. D

6. C

7. D

8. B

9. A 10. C 11. C 12. C

第II卷（非选择题）

13.

)2

,1[14. 6

1

15. π

2716. ②、④

三、解答题

18. 【解析】

（1）∵E，F分别是AB，BD的中点，

∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，

∵EF∥?面ACD，AD?面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，

∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD

又EF?CF=F，∴BD⊥面EFC，

∵BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD

19. 【答案】2≤a

【解析】

试题解析：命题p ：对于任意的>+-16,2

a x ax x 0恒成立，则需满足?????<-=>04102a a △ 2>?a

()41414121393:2

>

?≤+??? ?

?

--=-=a x g q x x

x

4分

因为“p 且q ”为假命题，所以q p ,至少一假

（1）若p 真q 假，则2>a 且

41

≤

a ，a 是空集。

（2）若p 假q 真，则2≤a 且

241

,41≤<>

a a （3）若p 假q 假，则2≤a 且41,41≤≤

a a

所以2≤a

20. 【答案】（1）

()()2212

2=++-y x ；（2）??

?

?

?

?-2346,2346

【解析】

试题解析：（1）由题意知：过A （2，-1）且与直线1=+y x 垂直的直线方程为：3-=x y

∵圆心在直线：x y 2-=上，

∴由??

?-==????-=-=21

32y x x y x y 即M （1，-2），且半径 ()()2

2112||2

21=+-+-=

=AO r ，

∴所求圆的方程为：

()()2212

2=++-y x 。

（2）圆M 关于直线x y =对称的圆为

()()2122

2

=-++y x ，

设发出光线为()31-=-x k y 。

化简得013=+--k y kx ，由

2

1|

1312|2k k k ++---=

得

2346±

=k ，

所以发出光线所在直线的斜率取值范围为??

???

?-2346,23

46

。

21. 【答案】

试题解析：（1）当BQ=31

AB 时，有QP ∥平面AMD 。

证明：因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，所以MD ∥NB ，

所以21=

=MD NB PM BP ，又21=QA QB ，所以

MD NB QA QB =，所以在△MAB 中，OP ∥AM 。

又OP ?面AMD ，AM ?面AMD ，∴OP ∥面AMD 。

（2）以DA 、DC 、DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，

0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），M （0，0，2）N （2，2，1），所以=CM （0，-2，2），

=CN （2，0，1），=DC （0，2，0），

设平面CMN 的法向量为=1n （z y x ,,），则?????=?=?0011CN n CM n ，所以?

??=+=+-020

22z x x y ，所以1n =（1，-2，-2）。

又NB ⊥平面ABCD ，∴NB ⊥DC ，BC ⊥DC ，∴DC ⊥平面BNC ，∴平面BNC 的法向量为

==DC n 2（0，2，0）

设所求锐二面角为θ，则3

2

234|

|||||cos 2121=?=

??=

n n n n θ。

22.

【答案】（1）516；（2）13528

；（3）见解析

【解析】

（3）由题知直线AM 和直线AN 的斜率都存在，且都不为0，不妨设直线AM 的方程

()2+=x k y ，则直线AN 的方程为()22+-=x k y ，所以，联立方程

()

???=++=422

2y x x k y ，所以()()[]

0221222=-+++k x k x ，得2-=x 或22

122k k x +-=

所以???? ?

?++-2

2214,122k k k k M ，同理，???? ??+-+-22248,482k k k k N ，

因为x 轴上存在一点D （0

,32-）

所以，

232-=

k k k DM ，同理232-=k k

k DN

。

所以

DM DN

k k =，所以，直线MN 过定点?

?? ??-0,3

2。