第06章 向量代数与空间解析几何习题详解
第六章 向量代数与空间解析几何
习 题 6—1
1. 在平行四边形ABCD 中, 设AB ??→
=a , AD ??→
=b . 试用a 和b 表示向量?→?MA 、?→
?MB 、
?→
?MC 、?→
?MD , 其中M 是平行四边形对角线的交点.
解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以
a +
b ?→??→?==AM AC 2, 即 -(a +b )?→?=MA 2, 于是 21-=?→
?MA (a +b ).
因为?→??→?-=MD MB , 所以2
1=?→
?MB (a -b ).
因为MC MA ??→
??→
=-, 所以2
1=?→
?MC (a +b ).
因为-a +b ?→??→?==MD BD 2, 所以2
1=?→
?MD (b -a ).
2. 若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形.
证 ∵AM MC = ，BM MD = ，∴AD AM MD MC BM BC =+=+= ，AD 与BC
平
行且相等，结论得证.
3. 求起点为(1,2,1)A ，终点为(19,18,1)B --的向量AB 与12
AB -
的坐标表达式.
解 ∵ (191)(182)(11)2020(20,20,0)AB i j k i j ??→
=--+--+-=--=--,
∴1(10,10,0)2
AB -=
.
4. 求平行于(1,1,1)=a 的单位向量. 解 与a 平行的单位向量为1,1)
±=a a .
5. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1).------A B C D
解 A ：Ⅳ; B ：Ⅴ; C ：Ⅷ; D ：Ⅲ.
6. 求点(,,)M x y z 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标.
解 (,,)M x y z 关于x 轴的对称点为1(,,)M x y z --，关于xOy 平面的对称点为
2(,,)M x y z -，关于原点的对称点为3(,,)M x y z ---.
7. 已知点(,,)A a b c 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）.
解 分别为(,,0),(0,,),(,0,),(,0,0),(0,,0),(0,0,)a b b c a c a b c .
8. 过点(,,)P a b c 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？
解 平行于z 轴的直线上面的点的坐标x a,y b,z R ==∈；平行于xOy 面的平面上的点的坐标为z c,x,y R =∈.
9. 求点(2,5,4)P -到原点、各坐标轴和各坐标面的距离.
解 到原点的距离为x y 轴的距离为z 轴的距
10. 求证以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 2
22212(74)(13)(21)14M M =-+-+-=,
2
22223(57)(21)(32)6M M =-+-+-=,
2
22213(45)(32)(13)6M M =-+-+-=，即1323M M M M =，因此结论成立.
11. 在yOz 坐标面上，求与三个点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点的坐标.
解 设yOz 坐标面所求点为(0,,)M y z ，依题意有||||||MC MB MA ==，从而
=
=,
联立解得1,2y z ==-，故所求点的坐标为(0,1,2)-.
12. z 轴上，求与点(4,1,7)A -, 点(3,5,2)B -等距离的点.
解 设所求z 轴上的点为(0,0,)z ，依题意：
=
两边平方得914=z ，故所求点为14(0,0,)9
.
13. 求λ使向量(,1,5)λ=a 与向量(2,10,50)=b 平行. 解 由b a //得5051012
==
λ
得1
5
λ=.
14. 求与y 轴反向，模为10的向量a 的坐标表达式.
解 10(
)=10(0,10,
=---a j j =.
15. 求与向量(1,5,6)=a 平行，模为10的向量b 的坐标表达式.
解 1,5,6)
=
=o
a a a ，故105,6)=±=o
b a .
16. 已知向量6410=-+a i j k ，349=+-b i j k ，试求： （1）2+a b ； （2）32-a b ．
解 （1）264102(349)1248i a b i j k i j k j k +=-+++-=+-; （2）323(6410)2(349)=122048a b =i j k i j k i j k --+-+--+.
17. 已知两点(2,
5)A 和(3,0,4)B ，求向量AB
的模、方向余弦和方向角．
解 因为(1,1)AB =- ，所以11
2,cos ,cos cos 222
AB αβγ====- ,
从而π
3
α=
，3π4β=，2π3γ=.
18. 设向量的方向角为α、β、γ．若已知其中的两个角为π3α=，2π
3
β=．求第三个角γ．
解 π2π,33αβ=
=，由222
cos cos cos 1αβγ++=得21cos 2γ=.故π4γ=或3π4
.
19. 已知三点(1,0,0),(3,1,1),(2,0,1)A B C =，求：（1） BC 与 CA 及其模；（2）
BC 的方向余弦、方向角；（3）与 BC 同向的单位向量.
解 （1）由题意知
(23,01,11)(1,1,0),(12,00,01)(1,0,1),BC CA =---=--=---=--
故
BC CA =
=
.
（2）因为(1,1,0),BC =--
所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：
cos cos cos 0αβγ===， 方向角为：3,42
ππ
αβγ==
=. （3）与 BC 同向的单位向量为
0o BC a BC ??
== ??
?
.
20. 设23,23,=++=+-m i j k n i j k 和34,=-+p i j k 23a m n p =+-求向量在x 轴上的投影和在y 轴上的分向量.
解 2(23)3(2
3)(3
4)5
1a i j k i j k i j k i j k =++++---+=+-.
故向量a 在x 轴上的投影5=x a ，在y 轴上的投影分量为11y a j =.
21. 一向量的终点为点(2,1,4)B --，它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为3，3-和
8，求这向量起点A 的坐标.
解 设点A 为(,,)x y z ，依题意有：
84,31,32=---=-=--z y x ，
故5,4,12x y z =-==-，即所求的点(5,4,12)A --.
22. 已知向量a 的两个方向余弦为cos α=72，cos β=7
3
，且a 与z 轴的方向角是钝角. 求cos γ.
解 因222
cos cos cos 1αβγ++=，2
223366cos 1cos 7749
7γγ????=-=
=± ? ?????故-，，又
因为γ是钝角，所以7
6cos -
=γ.
23. 设三力1232,234,=-=-+=+F i k F i j k F j k 作用于同一质点，求合力的大小和方向角.
解 合力123(2)(234)()F F F F i k i j k j k =++=-+-+++323i j k =-+，因此，合力
的大小为=F
合力的方向余弦为cos cos ,cos αγβ=
== 因此
παγβ===-
习 题 6—2
1. (1,0,0)=a ，(0,1,0)=b ，(0,0,1)=c ，求?a b ，c a ?，c b ?，及a a ?，b a ?，
c a ?，c b ?.
解 i a =，j b =，k c =，所以0=?=?j i b a ，0=?=?k i c a ，0=?=?k j c b .
0=?=?i i a a ，k j i b a =?=?，j k i c a -=?=?，i k j c b =?=?.
2. (1,1,2),(2,2,1)==a b ，求b a ?及,?a b a 与b 的夹角余弦.
解 （1）121221?=?+?+?=a b 6, 11
222
1
?==i j
k
a b (3,3,0)-. （2
）cos a b a b a b θ++==
3. 已知 π5,2,(,)3
===a b a
b ，求23a b -. 解 ∵ ()()2
2
2
232323412976-=-?-=-?+=a b a b a b a a b b ，
∴
23-=a b
4. 证明下列问题：（1）证明：向量(1,0,1)=a 与向量(1,1,1)=-b 垂直；（2）证明：向
量c 与向量()()a c b b c a ?-?垂直.
证 （1）∵1(1)01110a b ?=?-+?+?=, ∴ π(,)2a
b =，即a 与b 垂直. （2）∵ [()()]?-??a
c b b c a c [()()]=??-??a c b c b c a c ()[]0=??-?=c b a c a c ，
∴ [()()]?-?⊥a c b b c a c .
5.
求点(1,)M 的向径OM 与坐标轴之间的夹角. 解
设(1,
1)OM =
与x 、y 、z 轴之间的夹角分别为,,αβγ，则
11
cos ,cos cos .222
αβγ===
∴ πππ
,,.343
αβγ===
6. 求与k j i a ++=平行且满足1=?x a 的向量x .
解 因为x a //, 可设(,,)x a λλλλ==，由1=?x a 得1=++λλλ，即3
1
=λ，从而111,
,333x ??
= ???
.
7. 求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量.
解 =?=x y z x y z i j k
c a b a a a
b b b 3241
12=--i j k =105+j k
，∵||=c
∴.||?=±
=±??
o
c c j c
8. 在顶点为(1,1,2)A -、(5,6,2)B -和(1,3,1)C -的三角形中，求三角形ABC 的面积以及AC 边上的高BD .
解 (0,4
,3AC =- ，(4,5,0)AB =-
，三角形ABC 的面积为
125||,22
S AC AB =?==
1251||5,||||5||,222
AC S AC BD BD =====?? ∴ || 5.BD =
9. 已知向量≠0a ，≠0b ，证明：2222||||||()?=-?a b a b a b .
证 2222222||||||sin (,)||||[1cos (,)]?=?=?-a b a b a b a b a b
22222||||||||cos (,)=?-?a b a b a b 222||||().=?-?a b a b
10. 证明：如果++=0a b c ，那么?=?=?b c c a a b ，并说明它的几何意义.
证 由++=0a b c , 有()++?=?=00a b c c c , 但?=0c c ，于是?+?=0a c b c , 所以
?=-?=?b c a c c a . 同理由()++?=0a b c a , 有 ?=?c a a b , 从而?=?=?b c c a a b . 其
几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.
11. 已知向量23,3=-+=-+a i j k b i j k 和2=-c i j ，计算下列各式： （1）()()?-?a b c a c b ；（2）()()+?+a b b c ；（3）()??a b c ； （4）??a b c . 解 （1）()()8(2)8(3)?-?=---+=a b c a c b i j i j k 824--j k . （2）344,233+=-++=-+a b i j k b c i j k ，故()()34
4233
+?+=-=---i j
k
a b b c j k . （3）()23
1(2)(85)(2)211
3
??=-?-=--+?-=-i j
k
a b c i j i j k i j . （4）由（3）知85,()85
112
?=--+??=--=-i j
k
a b i j k a b c 221++i j k .
习 题 6—3
1. 已知(1,2,3)A ，(2,1,4)B -，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解 设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA =
=
化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程，而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.
2. 一动点移动时，与(4,0,0)A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程. 解 设在给定的坐标系下，动点(,,)M x y z ，所求的轨迹为C ，则
(,,)M x y z C MA z
∈?
=, 即
z z y x =++-222)4(
∴22(4)0x y -+=从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .
3. 求下列各球面的方程：
（1）圆心(2,1,3)-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点(6,2,3)-； （3）一条直径的两端点是(2,3,5)-与(4,1,3)-； （4）通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,4)-.
解 （1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x . （2）由已知，半径73)2(6222=+-+=
R ，所以球面方程为49222=++z y x .
（3）由已知，球面的球心坐标243153
3,1,1222
a b c +-+-=
===-==，球的半径21)35()31()24(2
1
222=++++-=
R ，所以球面方程为 21)1()1()3(222=-+++-z y x .
（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x ，因为该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0,4)-，所以
??????
?=-=++=+=0
8160
62100
8160k h g g l 解得???????=-=-==2210
k g h l ∴ 所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .
4. 将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程． 解 222x y z +=(旋转抛物面) .
5. 将zOx 坐标面上的双曲线122
22=-c
z
a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生成的旋转
曲面的方程．
解 绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x ，绕z 轴旋转得122
222=-+c
z a y x .
6. 指出下列曲面的名称，并作图：
（1）221;49
x z += （2）2
2;y z = （3）221;x z +=
（4）22220;x y z x ++-= （5）222
;y x z +=
（6）2
2
441;x y z -+= （7）22
1;916
x y z ++= （8）2221;49x y z -+=-
（9）222
1;433
x y z ++= （10）2222213.x y z +=+
解 根据旋转曲面的有关知识，
（1）椭圆柱面； （2）抛物柱面； （3）圆柱面； （4）球面； （5）圆锥面； （6）双曲抛物面； （7）椭圆抛物面； （8）双叶双曲面； （9）旋转椭球面； （10）单叶双曲面.
7. 指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1）1+=x y ；（2）422=+y x ；（3）122=-y x ；（4）22x y =. 解 （1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面； （2）422=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面； （3）122=-y x 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面； （4）y x 22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.
8. 说明下列旋转曲面是怎样形成的？
（1）2221;499x y z ++= （2）22
21;4y x z -+= （3）222
1;x y z --= （4）222().z a x y -=+
解 （1）xOy 平面上椭圆19
42
2=+y x 绕x 轴旋转而成；或者平xOz 面上椭圆22
149
+=x z 绕x 轴旋转而成；
（2）xOy 平面上的双曲线14
2
2
=-y x 绕y 轴旋转而成；或者yOz 平面上的双曲线22
14
-=y z 绕y 轴旋转而成；
（3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者xOz 平面上的双曲线
221x z -=绕x 轴旋转而成；
（4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.
9. 画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成； （2）24,24z x x y =-+=及三坐标平面所围成；
（3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成； （4）2222,8z x y z x y =+=--所围.
解 （1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体； （2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；
（3）坐标面=0z ，0x =及平面(0),z =a a >y =x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成；
（4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围. 作图略.
习 题 6—4
1. 画出下列曲线在第一卦限内的图形
（1）1,2.x y =??=? （2
）0.
z x y ?=??-=?? （3）222222,
.x y a x z a ?+=??+=??
解 （1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线； （2
）上半球面z 0x y -=的交线为
1
2
圆弧； （3）圆柱面222x y a +=与222
x z a +=的交线. 图形略.
2. 分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线222222216,0
x y z x z y ?++=??+-=??的柱面方程. 解 消去x 坐标得22316y z -=，为母线平行于x 轴的柱面；
消去y 坐标得162322=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.
3. 求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.
解 221,
0.y z x ?+=?=?
2221,
0.x y z x ?++=?
=? 22222
1,
1.
x y z y z ?++=??+=??
4. 试求平面20x -=与椭球面
222
116124
x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点. 解 将椭圆方程2221,1612420.x y z x ?++=???-=?化简为：22
1,93
2.y z x ?+=???=?
可知其为平面2=x 上的椭
圆，半轴分别为3,
，顶点分别为(2,3,0),(2,3,0),(2,0,(2,0,-.
5. 将下面曲线的一般方程化为参数方程
（1）2229,
.x y z y x ?++=?=?
（2）22(1)(1)4,
0.
x y z z ?-+++=?=?
解 （1）原曲线方程即：22,21,99y x x z =???+=??
化为,,(02)3sin ,
x t y t t z t π?=??
?=
≤≤???=??
（2
）1,,
(02)0,x y z θθθπ?=??
=≤≤??=??
.
6. 求螺旋线cos ,
sin ,x a y a z b θθθ=??
=??=?
在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
解 222
,0.x y a z ?+=?=? s i n ,0.
z y a b x ?=???=? c o s ,0.z x a b y ?=?
?
?=?
7. 指出下列方程所表示的曲线
（1）22225,3.x y z x ?++=?=? （2）2224930,1.x y z z ?++=?=?
（3）222425,3.x y z x ?-+=?=-? （4）22480,4.y z x y ?+-+=?=?
（5）22
1,94
20.y z x ?-=???-=?
解 （1）圆; （2）椭圆; （3）双曲线; （4）抛物线; （5）双曲线.
8. 求曲线2220,
3
y z x z ?+-=?=?在xOy 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线.
解 原曲线229,
3
y x z ?=-?=?是位于平面3=z 上的抛物线，所求投影曲线为229,0.y x z ?=-?=?
9. 求曲线 2221,
1
2
x y z z ?++=??=??在坐标面上的投影. 解 （1）消去变量z 后得22
34x y +=，在xOy 面上的投影为22
3
,40.
x y z ?+=???
=? 它是中心
在原点，半径为
2
3
的圆周； （2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段
1,||20
z x y ?
=?
≤
??=? （3）同理在yOz 面上的投影也为线段
.1,||20z y x ?
=?≤?
?=?
10. 求抛物面x z y =+22与平面02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
解 交线方程为22,
20.y z x x y z ?+=?+-=?
（1）消去z 得投影22540,
0.
x y xy x z ?++-=?=?
（2）消去y 得投影225240,
0.x z xz x y ?+--=?=?
（3）消去x 得投影2220,
0.y z y z x ?++-=?=?
习 题 6—5
1. 写出过点0(1,2,3)M 且以(2,2,1)=n 为法向量的平面方程. 解 平面的点法式方程为2(1)2(2)(3)0x y z -+-+-=.
2. 求过三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C 的平面方程.
解 设所求平面方程为0=+++d cz by ax ，将点C B A ,,的坐标分别代入平面方程，可得d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .
3. 求过点(0,0,1)且与平面1243=++z y x 平行的平面方程. 解 依题意，可取所求平面的法向量为(3,4,2)=n ，从而其方程为
3(0)4(0)2(1)0x y z -+-+-= 即 2243=++z y x .
4. 求通过x 轴和点(4,3,1)--的平面的方程.
解 平面通过x 轴，一方面表明它的法线向量垂直于x 轴，即0A =，另一方面它必通过原点，即0D =. 设这平面的方程为0By Cz +=. 又因为这平面通过点(4,3,1)--，所以有30B C --=，或3C B =-. 将其代入所设方程并除以(0)B B ≠，便得所求的平面方程为30y z -=.
5. 求过点(1,1,1)，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面方程.
解 1(1,1,1)=-n ，
2(3,2,12)=-n ，取法向量12(10,15,5)=?=n n n ，所求平面方程为化简得 .0632=-++z y x
6. 设平面过原点及点(1,1,1)，且与平面8x y z -+=垂直，求此平面方程.
解 设所求平面为0Ax By Cz D +++=，由平面过点(1,1,1)知平0A B C D +++=，由平面过原点知0D =，∵(1,1,1)⊥-n ，∴0,0A B C A C B -+=?=-=，所求平面方程为0.x z -=
7. 写出下列平面方程：
（1）xOy 平面； （2）过z 轴的平面； （3）平行于zOx 的平面； （4）在x ，y ，z 轴上的截距相等的平面.
解 （1）0,z = （2）0=+by ax （b a ,为不等于零的常数）, （3）c y = (c 为常数), （4）(0)x y z a a ++=≠.
8. 求平行于0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.
解 设平面为,1=++c
z
b y a x ∵1,V = ∴11132ab
c ?=，因为所求平面与已知平面平
行得
111.66a b c
== 令
111111,,6666t a b c a b c t t t ===?===代入得16
t =±，即 1,6,1,a b c ===或1,6,1,a b c =-=-=-
所求平面方程为666x y z ++=或666x y z ++=-.
9. 分别在下列条件下确定n m l ,,的值：
（1）使(3)(1)(3)80l x m y n z -+++-+=和(3)(9)(3)160m x n y l z ++-+--=表示同一平面；
（2）使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示两个平行平面； （3）使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示两个互相垂直的平面. 解 （1）欲使所给的方程表示同一平面，则
16
8
339133-=
--=-+=+-l n n m m l ，即 230,270,290,m l n m l n +-=??
+-=??+-=?
解得 71337,,.999
l m n =
== （2）欲使所给的方程表示两个平行平面，则6
3
62-=
-=m l ，所以 4, 3.l m =-= （3）欲使所给的方程表示两个互相垂直的平面，则7230l ++=，所以 5
7
l =-.
10. 求平面011=-+y x 与083=+x 的夹角.
解 设011=-+y x 与083=+x 的夹角为θ
，则cos θ==
∴4
πθ=.
11. 求点(2,1,1)到平面2240x y z +-+=的距离. 解
利用点到平面的距离公式可得9
33
d =
=
=.
习 题 6—6
1. 求下列各直线的方程：
（1）通过点(3,0,1)A -和点(2,5,1)B -的直线； （2）过点(1,1,1)且与直线
4
3
3221-=-=-z y x 平行的直线； （3）通过点(1,5,3)M -且与,,x y z 三轴分别成60,45,120???的直线； （4）一直线过点(2,3,4)A -，且和y 轴垂直相交，求其方程； （5）通过点(1,0,2)M -且与两直线1
1111-+==-z y x 和01
111+=--=z y x 垂直的直
线；
（6）通过点(2,3,5)M --且与平面02536=+--z y x 垂直的直线. 解 （1）所求的直线方程为
1
5323-=
-=++z y x ，即 01553-=-=+z y x . （2）取L 的方向向量为(2,3,4)=s ，则直线L 的方程为
4
1
3121-=-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为1
1(cos60,cos 45,cos120),,22
2?????
=- ?
???，故所求直线方程为
13
2
511--=
+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交，所以交点为(0,3,0)B -，取(2,0,4)BA s ??→
==，故所求直线方程为
.4
4
0322-=+=-z y x （5）取直线的方向向量为(1,1,1)(1,1,0)(1,1,2)=-?-=---s ，于是，所求直线方程为
2
2
111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为(6,3,5)=--s ，所求直线方程为
235
635
x y z -++==--.
2. 求直线1,
234x y z x y z ++=-??
-+=-?
的点向式方程与参数方程.
解 在直线上任取一点000(,,)x y z ，取10=x ,0
630
20000???=--=++?z y z y 解000,2y z ==-.
所求点的坐标为(1,0,2)-, 取直线的方向向量
(1,1,1)(2,1,3)11143,213
=?-==---i j k
s i j k
所以直线的点向式方程为
,3
2
1041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===-- 则所求参数方程为 14,
,23.x t y t z t =+??=-??=--?
3. 判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.
（1）220,3260x y z x y -+=??
+-=? 与2110,
2140.
x y z x z +--=??+-=?
（2）,
21,2
x t y t z t =??=+??=--?
与
142
475x y z --+==-. 解 （1）将所给的直线方程化为标准式
33
7224,234234
x y z x y z -
---====---.
234234-==-- ∴ 两直线平行. 又点33(,,0)24
与点(7,2,0)在两直线上，∴ 向量
331157,2,0,,02424?
???--= ? ??
???平行于两直线所确定的平面，该平面的法向量为
115(2,3,4),,0(5,22,19),24??
-?=-- ???
从而平面方程为 0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即 0919225=++-z y x .
（2）因为
121475
-≠≠-，所以两直线不平行，又因为130
121047
5
?=-=-，所以两直线相交，两直线所决定的平面的法向量为(1,2,1)(4,7,5)(3,1,1)-?-=--，∴ 两直线所决定的平面的方程为330x y z -++=. 设两直线的夹角为?，则
cos ?=
=
4. 判别下列直线与平面的相关位置：
（1）37423z
y x =-+=--与3224=--z y x ； （2）7
23z y x =-=与8723=+-z y x ；
（3）53250,
210
x y z x y z -+-=??
---=?与07734=-+-z y x ；
（4）,29,94x t y t z t =??=-+??=-?
与010743=-+-z y x .
解 （1）因为0)2(3)2()7(4)2(=-?+-?-+?-，并且容易验证点(3,4,0)-不在平面3224=--z y x 上，所以直线与平面平行.
（2）因为0717)2(233≠?+-?-?，所以直线与平面相交. 因为7
7
2233=--=，所以直线与平面垂直.
（3）直线的方向向量为(5,3,2)(2,1,1)(5,9,1)-?--=，因为0179354=?+?-?，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点(2,5,0)M --，代入平面方程，点在(2,5,0)M --也在平面上（因为4(2)3(5)70?--?--=），所以直线在平面上.
（4）直线的方向向量为(1,2,9)-， 097)2(413≠?+-?-?，所以直线与平面相交但不垂直.
5. 验证直线l ：2
1
111-=
-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 相交，并求出它的交点和交角.
解 032111)1(2≠-=?-?+-?, ∴ 直线与平面相交. 直线的参数方程为
,
1,12.x t y t z t =-??
=+??=+?
设交点处对应的参数为0t ，∴ 03)21()1()(2000=-+-++-?t t t , ∴ 10-=t ，从而交点为(1,0,1)-. 又设直线l 与平面π的交角为θ，则
2
1
6
62
111)1(2sin =
??-?+-?=
θ，∴6πθ=.
6. 确定m l ,的值，使： （1）直线
1
3241z
y x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行； （2）直线22,45,31x t y t z t =+??
=--??=-?
与平面076=-++z my lx 垂直.
解 （1）欲使所给直线与平面平行，则须015334=?-?+l ，即1l =-. （2）欲使所给直线与平面垂直，则须 3
642=-=m l ，所以4,8l m ==-.
7. 求下列各平面的方程：
（1）通过点(2,0,1)p -，且又通过直线
3
2
121-=
-=+z y x 的平面； （2）通过直线
11
5312-+=
-+=-z y x 且与直线230,250x y z x y z ---=??+--=?平行的平面； （3）通过直线
2
2
3221-=
-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面； （4）求过点(2,1,0)M 与直线23,
35,x t y t z t =-??=+??=?
垂直的平面方程.
解 （1）因为所求的平面过点(2,0,1)p -和(1,0,2)p '-，且平行于向量(2,1,3)-，所
以要求的平面方程为
2
121303
3
x y z -+-=-， 即015=-++z y x .
（2）已知直线的方向向量为(2,1,1)(1,2,1)(3,1,5)--?-=，∴ 平面方程为
231
1510315
x y z -++--=，即3250x y z +--=. （3）所求平面的法向量为(2,3,2)(3,2,1)(1,8,13)-?-=-，∴ 平面的方程为
0)2(13)2(8)1(=--+--z y x ，即09138=+--z y x .
（4）所求平面的法向量为(2,3,1)，则平面的方程为
2(2)3(1)(0)0x y z -+-+-=, 即 2370x y z ++-=.
8. 求点(4,1,2)M 在平面1x y z ++=上的投影.
解 过已知点(4,1,2)M 作所给平面的垂线，垂线的方向向量就是已知平面的法向量
(1,1,1)n = ，所以垂线方程为412
111x y z ---==
，垂线与所给平面的交点即为所求投影.为了求投影，将垂线方程化为参数方程4,
1,2,x t y t z t =+??=+??=+?
代入平面方程求得2t =-，故得所求投影
为(2,1,0)-.
9. 求点(2,3,1)p -到直线2230,
322170
x y z x y z -++=??-++=?的距离.
解 直线的标准方程为
2
25
1211-+=
=-z y x ，所以p 到直线的距离
45
153
d =
==.
10. 设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上一点，且直线的方向向量为s
，试证：点0
M 到直线L
的距离为d =
.
证 设0M M
与L 的夹角为θ，一方面由于0sin d M M θ= ；另一方面，
00sin M M s M M s θ?=
，所以d =
.
11. 求通过平面0134=-+-z y x 和025=+-+z y x 的交线且满足下列条件之一的平面：
（1）通过原点； （2）与y 轴平行； （3）与平面0352=-+-z y x 垂直. 解 （1）设所求的平面为0)25()134(=+-++-+-z y x z y x λ，欲使平面通过原点，则须021=+-λ，即1
2
λ=
，故所求的平面方程为 0)25()134(2=+-++-+-z y x z y x 即 0539=++z y x .
（2）同（1）中所设，可求出1
5
λ=
. 故所求的平面方程为 0)25()134(5=+-++-+-z y x z y x 即 031421=-+z x .
（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面0352=-+-z y x 垂直，则须
0)3(5)51()4(2=-++--+λλλ
从而3=λ，所以所求平面方程为05147=++y x .
[整理]7空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及； 及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.
3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程02422 2 2 =++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22 =绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 22 2 =+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的36942 2 =-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、
空间解析几何(练习题参考答案)
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴
空间解析几何试题
空间解析几何试卷 一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上） 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是_______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→ b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{}{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→ →b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+=-3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线1 23z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线???=-+-=-+0 201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线? ??+==-+1022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的
方程分别是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是 ________________(请用x y x ,,的一个方程表示). 10.曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面. 二、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若=?-+=+-=→ →→→→→→→→→b a k j i b k j i a 则,23,532( ) A. 7 B. -7 C. -1 D. 0 2. 已知→→b a ,不共线, 与→→b a ,同时垂直的单位向量是( ) A. →→?b a B. →→?a b C. ||→→→ →??±b a b a D. ||→→→→??b a b a 3. 在空间右手直角坐标系下，点P(-1,2,-3)在第( )卦限. A. II B. III C. V D. VI 4. 若两个非零向量→→b a ,满足|→→+b a |=|→→-b a |，则一定有( ) A. →→⊥b a B. →→b a // C. →→b a 与同向 D. → →b a 与反向 5. 点M(1,-3,-2)关于y 轴的对称点N 的坐标是( )
第六章-空间解析几何要求与练习(含答案)
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ； （4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求 （1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±； （2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影；
空间解析几何答案word
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为 k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
第七章_空间解析几何与向量代数复习题(答案)
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 213+= -=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=-
空间解析几何练习题
习题一 空间解析几何 一、填空题 1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。 2、直线2100x y --=方向向量为 。 3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。 4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。 5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。 6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。 7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。 8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。 9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)?a b = 。 10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。 二、解答题 1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。 2、求过点(4,2,3) 且平行与直线 31215 x y z --==的直线方程。 3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程。 4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。
5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。 6、求222 19416 x y z ++=在XOY 平面上的投影域。 7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。 8、求曲线222251x y z x z ?++=?+=? 在XOY 平面上的投影曲线。 9、求曲线 22249361x y z x z ?++=?-=? 在XOY 平面上的投影曲线。 10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。
空间解析几何习题答案解析(20210120005111)
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
向量代数与空间解析几何复习题
第七章 向量代数与空间解析几何 （一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量b a , =.则=同向。 ( ) 4． 若二向量, + ,则,同向。 （ ） 5． 若+=+,则= ( ) 6． 向量, ,同向。 （ ） 7．若={ z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为| |a x | |a a | |a z 。（ ） 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ） 二、填空题 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量与有共同的始点，则与,共面且平分与的夹角的向量为 5． 已知向量与方向相反，且|2|a b =，则由表示为= 。 6． ，与轴l 的夹角为 6 π，则a l prj = 7． 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。以及它的对角线交 点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。 8． 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =ο 60，β=ο 120。则γ= 9． 设的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，垂直于 坐标面。 三、选择题 1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 已 知 梯 形 OABC 、 21AB 2 1 -b a 21-a b -21a b 21-b a ,⊥b
空间解析几何习题答案解析
一、计算题与证明题 1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ?+?+?. 解:因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向,且b a +与c 反向 因此0=?b a ,0=?c b ,0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2.已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?. 解:3cos ||=?=?θb a b a (1) 4sin ||=?=?θb a b a (2) ()222)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a ρ ρ, 求向量x 的坐标. 解:设x 的坐标为()z y x ,,,又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a (1) 又x 与a 共线,则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即01042026529222=-++++xy xz yz z y x (2) 又x 与a 共线,x 与a 夹角为0或π ()30325110cos 22222 2222?++=-++?++?==z y x z y x a x 整理得 10 3222=++z y x (3) 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为??? ??-51,21,101
向量代数与空间解析几何期末复习题高等数学下册
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为
向量与空间解析几何练习题
题型 1.向量的线性运算（三角形法则、平行四边形法则）；向量的坐标运算 2.向量的平行、垂直以及它们之间的夹角、向量的投影 3.向量的数量积（点积）；向量的向量积（叉积）4．直线方程、平面方程 5.曲线方程、曲面方程 内容 一．向量的概念及其运算 1.向量的概念 6.数乘向量 2.向量的模7.向量的数量积 3.单位向量8.向量的向量积 4.方向角9.向量的混合积 5.向量的加减运算10.向量之间的关系 二．平面与直线 1.平面方程 2.直线方程 3.平面束 4.两平面的位置关系
5.平面与直线的位置关系 6.两直线的位置关系 7.点到平面的距离 三．曲面方程 1.球面方程 2.柱面方程 3.旋转方程 4.锥面 5.其他二次曲面 四．空间曲线方程 1.空间曲线的一般方程（面交式） 2.空间曲线的参数方程 3.空间曲线在平面上的投影方程 典型例题向量I 向量的概念与运算 向量II 平面与直线方程 向量III 曲面与空间曲线方程 自测题七综合题与方法相结合
4月6日向量练习题 基础题： 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ） A ） 2π B ）4π C ）3 π D ）π 6. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 7. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ）362 B ）3 64 C ）32 D ）3 8.点P(-3,2,-1)关于平面XOY 的对称点是_______，关于平面YOZ 的对称点是_________，关于平面ZOX 的对称点是__________，关于X 轴的对称点是__________，关于Y 轴的对称点是____________，关于Z 轴的对称点是____________。 9.设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ 10. 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 11.设向量的模是4，它与轴的夹角是3 π，则它在轴上的投影为_________。 12.已知A(4，0，5)，B （7，1，3），则=→-0AB ____ _____。 13.已知5,3==b a ，问________=λ时，b a λ+与b a λ-相互垂直。 14.已知7,3,2=-==b a b a ，则.________ ),(=∧b a 15．已知a 与b 垂直，且,12,5==b a 则._____________,=-=+b a b a 16．向量c b a ,,两两垂直，且3,2,1===c b a ，则c b a s ++=的长度为______.
空间解析几何及向量代数测试题及答案
军教院 第八章空间解析几何测试题 一、填空题（共7题，2分/空，共20分） 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______. 2.已知向量(1,1,1)a → =,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→ →→??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是___66 ___________. 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__ 3 147 ___________. 5.曲线C:220 1 x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线 C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_________________. 二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分） 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里 ,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影 点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r ，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r
高等数学 空间解析几何与向量代数练习题与答案
空间解析几何与矢量代数小练习 一 填空题 5’x9=45分 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________ 3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 5、方程22x y z +=表示______________曲面. 6、222x y z +=表示______________曲面. 7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形. 二 计算题 11’x5=55分 1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点(1,2,3)且平行于直线51 132-=-=z y x 的直线方程. 4、求过点(2,0,-3)且与直线???=+-+=-+-012530 742z y x z y x 垂直的平面方 5、已知：k i 3+=，k j 3+=，求OAB ?的面积。
参考答案 一 填空题 1、?????? -±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22 cos ,21 cos ==-=γβα,3 ,43,32π γπ βπ α=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x 4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、04573=-+-z y x 2、029=--z y 3、53 1221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x 5 219 ==?S
(完整版)高等数学空间解析几何与向量代数练习题与答案.doc
空间解析几何与矢量代数小练习 一填空题 5 ’x9=45 分 1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________. 2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________ 3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面. 5、方程x2 y2 z 表示______________曲面. 6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 . 7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 . 二计算题11 ’x5=55 分 1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线x y 3 z 1 的直线方程 . 2 1 5 4、求过点 (2,0,-3) x 2 y 4z 7 0 且与直线 5 y 2z 1 垂直的平面方3x 0 5、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。 1
参考答案 一 填空题 1、 6 , 7 , 6 11 11 11 2、 M 1 M 2 =2, cos 1 ,cos 2 ,cos 1 , 2 , 3 , 2 2 2 3 4 3 3、 ( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 14 4、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为 6 的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、 x 1 y 2 z 3 4 、 16x 14y 11z 65 0 2 1 5 5 S 1 OA OB 19 2 2 2
(精心整理)空间解析几何例题
第4章 向量代数与空间解析几何习题解答 习题4.1 一、计算题与证明题 1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ?+?+?． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=?b a ，0=?c b ，0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2．已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?． 解：3cos ||=?=?θb a b a （1） 4sin ||=?=?θb a b a （2） ()2 22)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小． 解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--= 力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-?-+-=?= k j i k j i k j i 41614321 2523253315 32312-+=--+-----=---= 所以，力矩的大小为 ()136416142 22=-++=M 4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a , 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a （1）
又x 与a 共线，则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以 ()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即010********* 2 2 =-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π () 30 3 25110cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?++= -++?++?= =z y x z y x a x 整理得 10 3 2 2 2 = ++z y x （3） 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为?? ? ??-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平 分, 则该四边形为平行四边形． 证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线 互相平分，则有 MA CN ND BM ==, 由矢量合成的三角形法则有MA BM BA += MA BM BM MA MD CM CD +=+=+= 所以CD BA = 即BA 平行且等于CD 四边形ABCD 是平行四边形 6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--B AB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得 ()()()()()()2 222 22321783++-++= -+-+-z y x z y x
高等数学空间解析几何练习
向量代数与空间解析几何 第一部分 向量代数___线性运算 [内容要点]: 1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算. 3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算. [本部分习题] 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. (2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C --- 2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标. 3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离. 4. 一向量的起点为(1,4,2)A -,终点为(1,5,0)B -,求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。 5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M ??→的模、方向余弦和方向角. 6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→ -+及其单位向量. 7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量. 第二部分 向量代数___向量的“积” [内容要点]: 1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算
规律。 2.向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。 3.向量垂直、平行、共面的条件. [本部分习题] 1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求： （1）;(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→ ?? 2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)(a b c a b c a b c →→→→→→→→→?????? 3． 112233a b a b a b ++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件. 4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值,使得: （1）a b λ→→+与z 轴垂直； （2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→ +取最大值。 5．已知||3,||36,||72,a b a b →→→→==?=求a b →→?。 6． 判断向量,,a b c →→→是否共面。 (1){3,2,5},{1,1,2},{9,7,16};a b c →→→ ===- (2){1,2,3},{3,3,1},{1,7,5};a b c →→→=-==- (3){1,1,2},{2,4,5},{3,9,8};a b c →→→=-== 第三部分 空间解析几何 [内容要点]:
空间解析几何(练习题参考答案)
1. 过点Ｍo （１,1-，１)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 3９．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等. 7.)5 1,1,57(. ５.已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ） Ａ.4 B ．1 C. 2 1 D ．2 ７.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ） Ａ．平行于x 轴 B.平行于y 轴 Ｃ．平行于z 轴 Ｄ.过z 轴. 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D.重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) Ａ.平行 Ｂ.垂直 C ．斜交 D.直线在平面内 1０．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ) Ａ.5 B ． 6 1 C. 51 D.8 1 5.Ｄ 7．D ８.B 9．A 10．A. 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2, 22+-=, 243+-=，则 )(prj c += . 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 1０．曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线___＿____绕____＿_______＿旋转而成的.
空间解析几何习题答案解析
一、计算题与证明题 1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ?+?+?． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=?b a ，0=?c b ，0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2．已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?． 解：3cos ||=?=?θb a b a （1） 4sin ||=?=?θb a b a （2） ()2 22)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a ρ ρ, 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a （1） 又x 与a 共线，则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以 ()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即010********* 2 2 =-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π () 30 3 25110cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?++= -++?++?= =z y x z y x a x 整理得 10 3 2 2 2 = ++z y x （3） 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为??? ? ?-51,21,101