运用焦半径公式 速解焦点弦问题

高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用.

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在 直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以 。

图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（）

解这里，所以，又，代入公式得，所 以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以 ，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式(优选.)

最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许 ρ ＜ 0， 方 程 就 表 示 整 个 双 曲 线 ； 当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线

（2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 310 53 e P ∴==， 2332555851015 103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????? ???-===?????? 52 b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长

圆锥曲线的焦点弦公式及应用(难)

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以。 图1

（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）

解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点 且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。

抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨 过抛物线px y 22 =(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点 结论1： p x x AB ++=21 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ 2 sin 2p AB = 证: (1)若2 π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2 π θ ≠ 时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y - =即2 cot p y x +?=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-?-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得 θ θθ2 2212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB = +=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θΘ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8 3 2为定值p AB S oAB =? 结论5： (1) 2 21p y y -= (2) x 1x 2=4 2 p 证44)(,2,22 2 221212 22211P P y y x x p y x p y x = =∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2 2 2 1 11AB BF AF BB AA MM = += += 故结论得证 结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F 同理?=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3） BF AF F M ?=2 1 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5） 2 121214M M B M AM =+ 证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 Θ11FB A ?为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点 ∴M 1F ⊥AB BF AF F M ?=∴2 1 Θ AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥?=∠∴Θ又B AM

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θ cos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θcos 1e ep PF +- =. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有 ep NF MF 211=+.

三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ， 1、椭圆中，c b c c a p 2 2=-=，θ θπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中， 若M 、N 在双曲线同一支上，θ θπθ2222 cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2 222 cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θ θπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式 设P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2； 2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点， 当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF + =.

焦点弦焦半径的两个做小题的结论

一、已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为（0<<π/2），且。 （1）当焦点内分弦时，有； （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 例1、已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 例2、已知椭圆的离心率为。过右焦点且斜率为 的直线于相交于两点，若，则（） 例3、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3

例4、已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿ 例5、已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为 的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 二、已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到 对应准线的距离）为。过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为 ，则有：较长焦半径，较短焦半径。焦点弦的弦长公式为。 特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径 ，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为。 例6（2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿ 例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。 （1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。

例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 例9（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为 的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿ 例10 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为， 过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。求四边形面积的最小值。

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系． ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PF e PQ，∴PF e(PF cos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep ． 1ecos 当P在双曲线的左支上时，PF ep 1ecos . 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有 112 . MF NF ep

2 cos 2 . c 2 2 2 三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ， a 2 b 2 ep ep 2ab 2 1、椭圆中， p ， MN c c 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2、双曲线中， ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线同一支上， MN ； 1 ecos 1 ecos( ) a 2 c 2 cos ep ep 2ab 2 若 M 、N 在双曲线不同支上， MN . 1 ecos 1 ecos c 2 cos a 2 3、抛物线中， MN p p 2p . 1 cos 1 cos( ) sin 四、直角坐标系中的焦半径公式 设 P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若 F 、F 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1 2 1 a ex ，PF 2 a ex ； 2、若 F 、 F 分别是双曲线的左、右焦点， 1 2 当点 P 在双曲线右支上时， PF 1 ex a ， PF 2 ex a ； 当点 P 在双曲线左支上时， PF 1 a ex ， PF 2 a ex ； 3、若 F 是抛物线的焦点， PF x p . 2

焦点弦公式及其应用

焦点弦公式及其应用 焦点弦公式及其应用论文关键词：焦点弦公式,应用 在近年来的高考数学试题中，经常出现圆锥曲线焦点弦问题．用常规方法解决这类问题时，由于解题过程复杂，运算量较大，所以很容易出现差错． 为了准确而迅速地解决圆锥曲线焦点弦问题．我们可以利用下面介绍的焦点弦公式． 设圆锥曲线的离心率为，焦准距为,过焦点的弦AB与主轴(即椭圆长轴、双曲线实轴、抛物线对称轴)的夹角为θ,则可以推导出弦AB的长度公式，简称焦点弦公式．特别当离心率时，焦点弦公式还可以化简． １、当时,圆锥曲线为椭圆, ； ２、当时，圆锥曲线为抛物线, ． 图1 下面对焦点弦公式进行证明． 证法一如图1,设椭圆C:焦点为,过焦点F的弦AB的倾斜角为,当时,弦AB在直线L:上．由直线L和椭圆C的方程可得 ．

设点A、B的坐标分为和，则．由焦半径公式得弦AB的长度为 ∵焦准距为,∵．当时，公式也成立． 对于双曲线和抛物线用同样的方法可以证明． 证法二设圆锥曲线的离心率为，焦准距为，则极坐标方程为，过焦点的弦AB与x轴的夹角为θ．当时，如图2．∵，． ∵ ．即． 当时，同理可以推得． 利用焦点弦公式，可以巧妙地解决与圆锥曲线焦点弦有关的各种问题．现在分别举例如下． 一、在椭圆中的应用 例1 （2008年高考安徽卷文科22题） 已知椭圆，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4． （∵）求椭圆C的方程； （∵）已知过点F1(－2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.，求证： （∵）过点F1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求的最小值． 解：（∵）由已知得，又，所以． 故所求椭圆C的方程为． （∵）因为直线AB倾斜角为，，，，。 由焦点弦，可得=得证．

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线

当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问

抛物线焦点弦的弦长公式

关于抛物线焦点弦的弦长公式 在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题： (1)已知：抛物线的方程为 px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点， 且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：由题意可设直线AB 的方程为)2(p x k y - =)2 (π θ≠将其代入抛物线方程整理得： 0)84(42 2 2 2 2 =+ +-k p k x k x p p ，且θtan =k 设A,B 两点的坐标为),(),,( 2 2 1 1 y x y x 则：k k x x p p 22 2 1 2+=+， 4 2 21p x x = ) (sin ) (2 212 2 24211||θp AB x x x x k = -+=+ 当2 π θ= 时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径 而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的 弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。 (2)已知：抛物线的方程为 )0(22 >=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点， 直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：设A,B 的坐标为),(),,(2 211y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2 ,0(p ，故AB 的方程为kx p y =- 2 ，将其代入抛物线的方程整理得： ,022 2 =- -p x pkx 从而p x x x x pk 2 2121,2- ==+， 弦长为：) (cos )(2 212 2 24211||θp AB x x x x k = -+ =+ p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。 而 px y 22 -=与（1）的结果一样，py x 22 -=与（2）的结果一样，但是（1）与（2） 的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下： （3）已知：抛物线的方程为 px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B 两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦的性质 1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。 2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若 抛物线22y px =，(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若 抛物线22x py =，(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2= 4、焦点弦常用结论： 结论1：韦达定理?????=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y 和04 )2(2 2222=++-p k x p p k x k 221p y y -=?和4 21x x = 结论2：p x x AB ++=21 证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++ =+=2121)2()2( 结论3：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p AB = 证: (1)若2π θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2 (2)若2π θ≠时, 则?????=-=px y p x k y 2)2(20222=--?p y k p y ?????-==+?221212p y y k p y y θsin 24422221p p k p y y =+=-?θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=? 结论4： 过焦点的弦中通径长最小 p p 2sin 21sin 22≥∴ ≤θ θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =? 011sin sin 22 OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θ????=+=??+?? ()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=?+=??=???22sin p θ=238OAB S P AB ?∴= 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2221 11AB BF AF BB AA MM =+=+= 故结论得证 结论6：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠ ∴∠=∠∴∠=∠∴=

与焦点弦相关的问题

三、与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1 ） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=? 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件

9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2 ） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=? 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -=+ 备用课件

10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ= 恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．？ 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．？ 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；？ 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线

（2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=， 右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有 力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，

圆锥曲线焦点弦公式及应用

圆锥曲线焦点弦公式及应用 湖北省阳新县高级中学邹生书 焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有 ；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有 。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为， 点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又 ，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以 。 图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右 焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所 以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的 离心率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得， 所以，所以，故选。

例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜 角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴 左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿ 解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代 入公式得，所以。 例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式 ，代入公式得，所以所以，所以。 定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准 距（焦点到对应准线的距离）为。过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线

（3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题

椭圆焦半径公式及应用

椭圆焦半径公式及应用 . 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 一、公式的推导 设P（，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。 证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 ，又，所以，而 。 ∴，。 二、公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A（）、B（）、C（）到焦点F（4，0）的距离成等差数列，求的值。

解：在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为 ，则、、。 ∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 评析：涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出 的值。 例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。已知P、、 是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。 解：由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。 由椭圆的对称性，不妨设P（，）（）是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。 由焦半径公式，得，。 （1）若∠为直角，则，即 ，解得，故。 （2）若∠为直角，则，即 = ，解得，故。

评析：当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。 例3 已知椭圆C：，为其两个焦点，问能否在椭圆C上找 一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 解：设存在点M（），使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=－4，则，即 ＋48=0，解得，或。 因此，点M不存在。 评析：在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简

关于抛物线焦点弦的弦长公式补充

关于抛物线焦点弦的弦长公式补充 高县中学 吴伦红 在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题： (1)已知：抛物线的方程为px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：由题意可设直线AB 的方程为)2 (p x k y - =)2 (π θ≠ 将其代入抛物线方程整理得： 0)84(42 2 2 2 2 =+ +-k p k x k x p p ，且θtan =k 设A,B 两点的坐标为),(),,( 2 2 1 1 y x y x 则： k k x x p p 2 2 2 1 2+= +， 4 2 2 1 p x x = ) (sin ) (2 2 1 2 2 24 211||θp AB x x x x k = -+ =+ 当2 π θ= 时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径 而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。 (2)已知：抛物线的方程为)0(22 >=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：设A,B 的坐标为),(),,(2 21 1y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2 , 0(p ， 故AB 的方程为kx p y =- 2 ，将其代入抛物线的方程整理得： ,022 2 =- -p x pkx 从而p x x x x pk 2 212 1,2- ==+ ， 弦长为：) (cos ) (2 2 1 2 2 24 211||θp AB x x x x k = -+ =+ p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。 而 px y 22 -=与（1）的结果一样，py x 22 -=与（2）的结果一样，但是（1）与（2） 的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下： （3）已知：抛物线的方程为 px y 22 =)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B 两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 湖北省天门中学 薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F 为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P 为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则 ∵PQ e PF =，∴)cos (p PF e PF +=θ，其中FH p =，=θ〈x 轴，FP 〉 ∴焦半径θ cos 1e ep PF -=． 当P 在双曲线的左支上时，θ cos 1e ep PF +-=. 推论：若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，则有 ep NF MF 211=+. 三、圆锥曲线的焦点弦长

若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ， 1、椭圆中，c b c c a p 2 2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中， 若M 、N 在双曲线同一支上，θ θπθ2222 cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2 222 cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ. 3、抛物线中，θ θπθ2sin 2)cos(1cos 1p p p MN =--+-=. 四、直角坐标系中的焦半径公式 设P （x,y ）是圆锥曲线上的点， 1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2； 2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点， 当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2； 3、若F 是抛物线的焦点，2 p x PF +=.

焦点弦的常用公式

当前位置：首页>>高中数学>>学生中心>>解题指导 圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用 湖北省阳新县高级中学邹生书 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在 直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又 ，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以 。

图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（）

解这里，所以，又，代入公式得，所 以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以 ，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3